Tecnologie delle Costruzioni
Aerospaziali
CRITERI DI ROTTURA STATICI
PER MATERIALI ISOTROPI
PARTE 1
Prof. Claudio Scarponi
Ing. Carlo Andreotti
TIPOLOGIE DI SOLLECITAZIONE
Un provino può essere sottoposto a 2 tipi
di sollecitazione:
1. Semplice





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Statica
Monodirezionale (per esempio trazione)
La forma del provino è semplice (per
esempio un’asta)
La verifica delle condizioni critiche può
essere effettuata tramite prove sperimentali
semplici (per esempio una prova di trazione)
I dati a disposizione nei manuali sono
direttamente confrontabili
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2
TIPOLOGIE DI SOLLECITAZIONE
2. Composta





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Statica
Biassiale o triassiale
La forma del provino può essere
complessa
La verifica delle condizioni critiche
richiede procedimenti lunghi e costosi
I dati a disposizione nei manuali non
sono direttamente confrontabili
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TEORIE DELLA ROTTURA



Nascono per risolvere il problema della
verifica delle condizioni critiche nel caso di
sollecitazioni composte.
Restano valide nel caso di sollecitazioni
semplici con una netta semplificazione dei
calcoli.
Si basano sulla conoscenza degli assi
principali (sforzi principali e Cerchio di
Mohr).
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TEORIE DELLA ROTTURA
IDEA: qualora si riuscisse a definire
la combinazione più gravosa delle σ
principali, si potrebbe, attraverso
alcune
ipotesi
semplificative,
escogitare
un
criterio
per
confrontare i diversi stati di
sollecitazione composta con i dati a
disposizione sui materiali.
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TEORIE DELLA ROTTURA
SOLUZIONE: sulla base delle diverse
ipotesi, riguardanti il cedimento dei
materiali,
si
definisce
tensione
equivalente o ideale quella tensione
monoassiale, esprimibile con la relazione
 i   1,  2 ,  3 
che provoca
sollecitazione
applicata.
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lo
stesso effetto della
composta
realmente
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TEORIE DELLA ROTTURA


La tensione ideale può essere facilmente
confrontata con i dati a disposizione sui
materiali.
La relazione fondamentale per la verifica
della resistenza è la seguente:
U
i 


Il pedice “U” sta per “ultimo”. Il simbolo β
indica un coefficiente di sicurezza.
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TEORIE DELLA ROTTURA
Principali teorie di rottura:

Teoria della massima tensione normale

Teoria della massima tensione tangenziale

Teoria



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(Rankine, Lamé, Navier)
(Saint Venant, Tresca, Guest)
della
massima
(Poncelet, Saint Venant, Grashof)
deformazione
Teoria
della
massima
energia
di
deformazione (Beltrami, Huber, Haigh)
Teoria
della
massima
energia
di
distorsione (Von Mises, Hencky, Huber)
Teoria della massima tensione tangenziale
ottaedrale (Rôs, Eichinger)
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TEORIE DELLA ROTTURA
Metodo di esposizione per ogni teoria:




Ipotesi di rottura
 i nel caso generale di stato di tensione
triassiale
 i nel caso generale di stato di tensione
biassiale, relativo alle tensioni  x ,  y ,  xy
Rapporto  U  U
I simboli  U e  U indicano rispettivamente i valori
della σ e della τ in corrispondenza dei quali il
materiale si trova al limite della resistenza.
Il pedice “U” sta per “ultimo”.
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TEORIE DELLA ROTTURA
Nel caso di sollecitazioni statiche si deve
operare una distinzione tra materiali
duttili e materiali fragili:
Materiali duttili
 U   S

 U   S
Materiali fragili
 U   R

 U   R
Il pedice “S” indica lo snervamento, mentre
il pedice “R” indica la rottura.
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TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE NORMALE
a) Ipotesi di rottura
Per qualsiasi stato di tensione, si
verifica il cedimento del materiale
in un punto qualora il valore della
massima
tensione
normale
(positiva o negativa) raggiunga in
esso il valore della tensione
limite  U .
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TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE NORMALE
b)  i
nel caso generale di stato di
tensione triassiale
Nel caso di stato di tensione triassiale, si ha
la seguente situazione:
1   2   3
La condizione critica si verifica se
 1   U a trazione
 3   U a compressione  2
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 MAX
1
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TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE NORMALE
Poiché lo stato di crisi è espresso
dalla relazione
 i  U
l’espressione
della tensione ideale
valida nel caso generale è
a trazione
 i  1
i  3
a compressione
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TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE NORMALE
c)  i nel caso generale di stato di
tensione biassiale, relativo alle
tensioni  x ,  y ,  xy
Nel caso di stato di tensione
l’espressione della tensione
risulta:
i 
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 x  y
2
piano,
ideale
  x  y 
2
   xy
 
 2 
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2
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TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE NORMALE
d) Rapporto  U  U
Nel caso di semplice torsione o taglio
( x   y  0
), la precedente
relazione diventa:
 i   xy
La condizione critica si raggiunge per
 i   xy   MAX   U
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TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE NORMALE
Poiché
 i  U
si ricava
 i  U  U
U
1
U
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TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE TANGENZIALE
a) Ipotesi di rottura
Per qualsiasi stato di tensione, si
verifica il cedimento del materiale
in un punto qualora il valore della
massima
tensione
tangenziale
raggiunga in esso il valore della
tensione limite  U .
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TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE TANGENZIALE
b)
i
nel caso generale di stato di
tensione triassiale
Nel caso di stato di tensione triassiale si ha
la seguente situazione:
1   2   3
 MAX
La condizione critica si verifica se
 MAX 
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1   3
2
 U
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3
1
2
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TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE TANGENZIALE
Nel caso monodimensionale si ha  1 oppure 3 . Poiché
dal cerchio di Mohr si ricava
 MAX
1
 MAX 
Ponendo
2
1
 i  1
lo stato di crisi è espresso dalla relazione
 MAX 
i
2
 U
Di conseguenza l’espressione della tensione ideale
valida nel caso generale è
 i  1   3
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TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE TANGENZIALE
c)  i nel caso generale di stato di
tensione biassiale, relativo alle
tensioni  x ,  y ,  xy
Nel caso di stato di tensione piano
l’espressione della tensione ideale
risulta:
i 
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 x   y 
2
2
 4 xy
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TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE TANGENZIALE
d) Rapporto  U  U
Nel caso di semplice torsione o taglio
( x   y  0 ) la precedente relazione
diventa:
 i  2 xy
La condizione critica si raggiunge per
 i  2 xy  2 MAX  2 U
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TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE TANGENZIALE
Poiché
 i  U
si ricava
 U  2 U
U
2
U
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TEORIA DELLA MASSIMA DEFORMAZIONE
a) Ipotesi di rottura
Per qualsiasi stato di tensione, si
verifica il cedimento del materiale
in un punto qualora il valore della
massima deformazione principale
(positiva o negativa) raggiunga in
esso un valore limite.
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TEORIA DELLA MASSIMA DEFORMAZIONE
b)  i nel caso generale di stato di tensione
triassiale
Nel caso di stato di tensione triassiale si ha la
seguente situazione:
1   2   3
La condizione critica si verifica se
1
1   1   2   3    U
E
1
 3   3   1   2    U
E
a trazione
a compressione
dove ν è il Coefficiente di Poisson ed E è il Modulo di
Young del materiale.
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TEORIA DELLA MASSIMA DEFORMAZIONE
Nel caso monodimensionale si ha
oppure  3. Di conseguenza:
 MAX 
i
E
 U 
1
U
E
Confrontando le precedenti relazioni,
l’espressione della tensione ideale valida
nel caso generale è
 i   1   2   3 
 i   3   1   2 
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a trazione
a compressione
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TEORIA DELLA MASSIMA DEFORMAZIONE
c)  i nel caso generale di stato di
tensione biassiale, relativo alle
tensioni  x ,  y ,  xy
Nel caso di stato di tensione piano
l’espressione della tensione ideale
risulta:
 i  1  
Materiale curato da:
Ing. Carlo Andreotti
 x  y
2
 1  
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  x  y 
2

   xy
 2 
2
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TEORIA DELLA MASSIMA DEFORMAZIONE
d) Rapporto  U  U
Nel caso di semplice torsione o taglio
( x   y  0 ) la precedente relazione
diventa:
 i  1    xy
La condizione critica si raggiunge per
 i  1   xy  1   MAX  1   U
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TEORIA DELLA MASSIMA DEFORMAZIONE
Poiché
 i  U
si ricava
 i   U  1   U
U
 1 
U
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