ISTITUTO PROFESSIONALE DI STATO PER I SERVIZI
COMMERCIALI TURISTICO ALBERGHIERI E DELLA
RISTORAZIONE “B. STRINGHER”-UDINE
LE EQUAZIONI DI PRIMO
GRADO
a cura dei prof. Roberto Orsaria e
Monica Secco
Cosa sono le equazioni?
Un’uguaglianza tra due espressioni
algebriche può essere di due tipi:
• sempre vera, indipendentemente dal valore
delle lettere che vi compaiono: in tal caso si
parla di identità
• vera solo per particolari valori numerici
attribuiti alle lettere che vi compaiono: in tal
caso si parla di equazione
Ad esempio:
l’uguaglianza
a2-b2= (a+b)·(a-b)
è un’identità,
mentre l’uguaglianza
2x-3=x+1
è un’equazione che è verificata solo per il
valore x=+4
Cos’è l’ incognita?
In un’ equazione possono comparire una o
più lettere di cui si deve cercare il valore
numerico:
queste lettere sono chiamate incognite e per
convenzione vengono indicate con le ultime
lettere dell’alfabeto
x
y
z
t
Quale è il grado di un’equazione?
Il grado di un’equazione è determinato
dall’esponente dell’incognita:
se l’incognita compare con esponente 1
allora l’equazione si dice di primo grado o
lineare
ad esempio è lineare l’equazione
2x+5=-3x+1
Come si classificano le
equazioni?
•
•
•
•
Un’equazione si dice:
numerica se oltre all’incognita non compaiono
altre lettere
letterale se oltre all’ incognita compaiono altre
lettere,chiamate parametri
intera se l’incognita non compare al denominatore
frazionaria se l’incognita compare al
denominatore
Quali sono i componenti di
un’equazione?
In un’equazione il segno “=“ separa il primo
membro dal secondo membro
3x-10
primo membro
=
-4x+3
secondo membro
Cosa significa risolvere
un’equazione?
Risolvere un’equazione significa trovare il
valore o i valori numerici che assegnati
all’incognita rendono l’equazione
un’uguaglianza sempre vera.
Questi valori sono detti soluzioni o radici
dell’equazione.
Quante sono le soluzioni di
un’equazione?
Un’equazione ammette un numero di soluzioni
pari al suo grado:
un’equazione di primo grado ha perciò una
soluzione, una di secondo due soluzioni e così via.
Ci sono però anche dei casi particolari:
equazioni che non ammettono soluzioni, dette
impossibili
equazioni che ammettono infinite soluzioni, dette
indeterminate
Ad esempio:
l’equazione
x = x +1
è chiaramente impossibile, perché non può essere
verificata per nessun valore di x (nessun numero
infatti è uguale a se stesso aumentato di un’unità)
invece, l’equazione
x+1=x+1
è verificata per qualsiasi valore di x e quindi è
indeterminata
Come si risolve un’equazione di
primo grado?
Pensiamo ad un’equazione come ad una
bilancia:
ogni membro corrisponde ad un piatto della
bilancia; il segno “= “ implica che i due
piatti sono in equilibrio, cioè i due membri
hanno “lo stesso peso”
Ad esempio consideriamo l’equazione
3x+1=x+5
e rappresentiamo la situazione tramite una
bilancia:
se indichiamo l’incognita e i numeri con i
pesi
x
1
otteniamo una situazione come quella qui
raffigurata
3x+1 = x+5
1
x
x
x
1 1
x 1 1 1
se togliamo un peso “x” da ogni piatto si conserva
l’equilibrio
l’equazione 3x+1=x+5
2x+1= 5
1
x
x
diventa allora
1 1
x
x 1 1 1
L’equilibrio tra i due piatti si conserverà anche se da
ognuno dei due piatti togliamo un peso di una unità
questo equivale a trasformare l’equazione 2x+1=5
nell’equazione 2x=4
x
x
1
1 1 1 1 1
quindi il peso di due x vale 4 pesi unitari
2x=4
x
x
1 1 1 1
l’equilibrio tra i due piatti si conserverà allora se
dimezziamo i pesi sia nel piatto destro sia in quello
sinistro
questo equivale a trasformare l’equazione 2x=4
nell’equazione x=2
x
x
1 1 1 1
Quindi alla fine abbiamo ottenuto che una x “pesa”
quanto due pesi unitari cioè
x=2
x
1 1
I passaggi che abbiamo fatto sui piatti della bilancia
corrispondono a passaggi di equivalenza, cioè a passaggi
algebrici che trasformano una equazione in un’altra che ha le
stesse soluzioni
I principi di equivalenza sono due:
• 1° principio di equivalenza: sommando o
sottraendo ad entrambi i membri di un’equazione
una stessa quantità numerica o letterale si ottiene
un’equazione equivalente a quella data
• 2° principio di equivalenza: moltiplicando o
dividendo entrambi i membri di un’equazione per
una quantità numerica o letterale (non nulla) si
ottiene un’equazione equivalente a quella data
I principi di equivalenza si traducono poi nelle
seguenti regole pratiche
• In un’equazione si può trasportare un
termine da un membro all’altro purchè lo si
cambi di segno
• Se nei due membri di un’equazione
compaiono due termini uguali essi possono
essere soppressi
• In un’equazione è possibile cambiare i segni
a tutti i termini dell’equazione
Schema riassuntivo per la risoluzione delle
equazioni di primo grado
Si effettuano i passaggi di equivalenza fino a
portare l’equazione data nella forma:
ax=b
A questo punto si possono
verificare tre casi:
• a0
si dividono entrambi i membri per a e si
ottiene la soluzione x=b/a
• a=0, b0
allora l’equazione è della forma
0·x=b (con b0) e quindi non ha soluzione, è cioè
impossibile, perché nessun numero moltiplicato per zero
dà come risultato un numero diverso da zero
• a=0 e b=0
allora l’equazione è della forma
0·x=0 e quindi ha infinite soluzioni, è cioè indeterminata,
perché qualsiasi numero moltiplicato per zero dà come
risultato zero
Esempi
Cerchiamo la soluzione dell’equazione:
5x-12=2x+3
portiamo tutti i termini con la x a sinistra e tutti i numeri a
destra , ricordandoci di cambiare i segni
5x
-12
=
2x +3
quindi l’equazione diventa:
5x
=
-2x
+12
+3
riducendo i termini simili otteniamo
+3x
=
+15
dividendo entrambi i membri per +3 si ottiene:
x
=
+5
Consideriamo l’equazione:
3·(1+2x)=6·(x-2)
svolgiamo le moltiplicazioni e otteniamo:
+3
+6x
=
+6x
-12
spostiamo tutti i termini con la x a sinistra e i numeri a destra
+3
+6x
=
+6x
-12
e otteniamo:
0·x
=
-9
equazione impossibile
Consideriamo ora l’equazione:
3·(4-2x)=6·(2-x)
svolgiamo le moltiplicazioni e otteniamo:
+12 -6x =
+12 -6x
spostiamo tutti i termini con la x a sinistra e tutti i numeri
a destra
+12 -6x
= +12 -6x
e otteniamo:
0·x =
0
equazione indeterminata