Fotonica1D
Struttura a bande
Sistema con N periodi
Riprendiamo
M 0  N M 0  N 1I
N
RN2
RN 
1  R   N2 R
 sin N 


 sin  
2
se
1
Re    1
t 
N
se
1
Re    1
t 
 sinh N 
2
N  

 sinh  
2
2
1
Re    1
t 
Stop band
99.99% riflessione
1
Re    1
t 
Leaky modes
d1
Trasmissione dell’elemento singolo
U1
U1
()
U2
()
U2
1 exp  j1 
2
2







n

n
exp
j


n

n
exp  j 2 
2
1
2
2
1
*
t
4n2 n1

d2

2
2


n2  n1 
1  n2  n1 
Re    
cos 2  1  
cos 2  1 
4n2 n1
 t   4n2 n1

()
()
d1
Trasmissione dell’elemento singolo
U1
U1
d2
()
U2
()
U2
1 exp  j1 
2
2







n

n
exp
j


n

n
exp  j 2 
2
1
2
2
1
*
t
4n2 n1


2
2


n2  n1 
1  n2  n1 
Re    
cos 2  1  
cos 2  1 
4n2 n1
 t   4n2 n1


1   2  
B
d1  d 2
1,0
0,5
Re(1/t)
2
i 
ni d i
c
c
B 
2(n1d1  n2 d 2 )
1,5
n1  1.5
0,0
n 2  3 .5
-0,5
-1,0
-1,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
B
2,5
3,0
3,5
4,0
()
()
d1
d2
Trasmissione dell’elemento singolo
 round trip  21   2 
2
1,5
d1  d 2
1,0
n1  1.5
0,0
n 2  3 .5
-0,5
-1,0
-1,5
N
Re(1/t)
0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0

b
2,5
3,0
3,5
4,0
N  10
@ B  round trip  2
Max RN
Bragg mirrors: finite 1D PhC
T=1-R
d1
Trasmissione dell’elemento singolo
U1
U1
d2
()
U2
()
U2
()
()
1 exp  j1 
2
2







n

n
exp
j


n

n
exp  j 2 
2
1
2
2
1
*
t
4n2 n1


2
2


n2  n1 
1  n2  n1 
Re    
cos 2  1  
cos 2  1 
4n2 n1
 t   4n2 n1


1   2  
B
1,0
Re(1/t)
2
i 
ni d i
c
c
B 
2(n1d1  n2 d 2 )
1,5
d1  d 2
0,5
n1  1.5 ; n1  1.5
0,0
n2  3.5 ; n2  2.5
-0,5
-1,0
-1,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
b
2,5
3,0
3,5
4,0
Dependence on ni
n1d1  n2d2
n1  1.0
n 2  3 .5
n1  1.5
n 2  3 .5
Dependence on di
n1  1.5 n2  3.5
n1d1  n2d2
d1  d 2
Width of the stop band
 2  1   0

  n2  n1 2
  B   / 2  n2  n1 2 
1
 
Re 
cos 

  1
B
4n2 n1 
 t  B   / 2    4n2 n1


2
 n2  n1 2
 
 




n

n
   1  2 1
cos  1 


4n2 n1
 4n2 n1
  2 B  
2
2

  


n2  n1 
n2  n1 
  1 
cos 

2
2
2
2
2









n

n

n

n
n

n

n

n
B


2
1
2
1
2
1
2
1



   n2  n1 2  2n2  n1 2
n2  n1 2
 
cos 

2
2
2
2
2









n

n

n

n
n

n

n

n
B


2
1
2
1
2
1
 2 1

   n2  n1 2  2n2  n1 2
 
cos 
2
2



n

n
B 

2
1
Width of the stop band
   n2  n1 2  2n2  n1 2
 
cos 
2
2



n

n
B 

2
1
   2n2  n1 2
 
1  cos 
2
2

n2  n1 
B 

2






2
n

n
2
1
 
2 sin 2  
2
4



n

n
B 

2
1
 n2  n1 
  

 
  arcsin 



n

n
2
1
 4 B 



B
 n2  n1 

 arcsin 




n

n
 2 1 
4
n1  1.5

n 2  3 .5
B
 0.53
Dependence on N
N  10
N  50
Field amplitude within the stop band
Field amplitude within the stop band
Infinite system: 1d PhC
Evanescent field
due to interference
Evanescent wavefunction
N
Infinite Bragg
Origine del band gap
Mezzo uniforme
Legge di dispersione
e1
w
0

w
ck
e1
k
Origine del band gap
[ Lord Rayleigh, “On the maintenance of vibrations by forces of double frequency, and on the propagation of
waves through a medium endowed with a periodic structure,” Philosophical Magazine 24, 145–159 (1887). ]
Trattiamolo
come periodico
Legge
bandsdi
aredispersione
“folded”
èbyripiegata
nella FBZ
2π/a equivalence
e1
a
e(x) = e(x+a)
w

i x
a
e

 cos
a
–π/a
0
π/a

i x
a
,e
 
x , sin
 a
k

x

Origine del band gap
Gli stati degeneri a
bordo zona sono
riscrivibili come
Trattiamolo
come periodico
a
e1
w
E1 ( x)
E2 ( x )
0
π/a
x=0
 
E1 ( x)  A sin  x 
a 
 
E2 ( x)  A cos x 
a 
e(x) = e(x+a)
Tutti i sistemi 1d hanno gap
Stato con ventre in 1
Aggiungiamo una
piccola anisotropia
e2 = e1 + e
Stato con ventre in 2
a
e(x) = e(x+a)
e1 e2 e1 e2 e1 e2 e1 e2 e1 e2 e1 e2
w
E1 ( x)
E2 ( x )
0
 
E1 ( x)  A sin  x 
a 
 
E2 ( x)  A cos x 
a 
π/a
x=0
Principio variazionale
 2
d r  E


U f (H ) 
 2
3
 d re (r ) E
3
Principio variazionale:
gli autostati minimizzano il
funzionale energia, quindi i modi
fotonici di più bassa frequenza
hanno ampiezza concentrata nella regione ad alto dielettrico.
Inoltre un dato modo in generale conterrà più nodi rispetto a
un modo di minore frequenza.
In (MQ) le funzioni d’onda di più
bassa energia hanno ampiezza
concentrata nelle regioni a
potenziale minore. Vale anche in
MQ la “legge dei nodi”.
Hˆ 
3
* ˆ
d
r

H

d
3
r
2
Origine del band gap
Splitting della degenerazione:
Aggiungiamo una
piccola anisotropia
e2 = e1 + e
state concentrated in higher index (e2)
has lower frequency
a
e1 e2 e1 e2 e1 e2 e1 e2 e1 e2 e1 e2
w
 
sin  x 
 a 
 
cos  x 
 a 
Air band
band gap
Dielectric band
0
e(x) = e(x+a)
π/a
x=0
Valore del mid gap
w
Air band
ck M
w midgap 

neff
band gap
c


n1d1  n2 d 2
Dielectric band
0
ck
w
neff
neff 
n1d1  n2 d 2
a
 2 B
π/a
Stati nel band gap
w


w  w2    k  
a

w  w2
k 
Air band
band gap
w  w2
Dielectric band
0
π/a
Nel band gap onde evanescenti
k 
2
Ingegnerizzazione del band gap
2
Gap/mid gap: quarter wave stack 1  2  0
 n2  n1 
 ( B   )  n2  n1  
 
cos 

  1
B
4n2 n1 


 4n2 n1
 ( B   )   4n2 n1  n2  n1 2
8n2 n1


cos 

 1
2
2






n

n
n

n
B


2
1
2
1
2
  

8n2 n1
n2  n1 
 
cos 
1  1 2
2
2





n

n
n

n
B 

2
1
2
1
2
  n2  n1 
2
 
sin  
2
 2 B  n2  n1 
2
2
2
B
 n2  n1 

 arcsin 




n

n
 2 1 
4
1,0
0,5
Re(1/t)
2

   n2  n1 2
1  n2  n1 
 
Re    
cos 
cos 2  1 
4n2 n1
 t   4n2 n1
 B 

1,5
0,0
-0,5
-1,0
-1,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
B
Incidenza obliqua
y
TM
x
Ht
Et
Near Brewster
angle
Perdita gap
Struttura a bande per propagazione nel piano
Non c’è gap né
per TM e TE
Struttura a bande per propagazione nel piano
Assenza band
gap completo sia
in TM e TE
(0, k y ,0)
Tipologia dei modi
Modi EE Extended-Extended
a
e1 e2 e1 e2 e1 e2 e1 e2 e1 e2 e 1 e2
All’interno di una banda e dentro il cono di luce
Origine del band gap
Modi ED Extended-Decay
a
e1 e2 e1 e2 e1 e2 e1 e2 e1 e2 e 1 e2
All’interno di un gap e dentro il cono di luce
Tipologia dei modi
Modi DE Decay-Extended
a
e1 e2 e1 e2 e1 e2 e1 e2 e1 e2 e 1 e2
All’interno di una banda e oltre il cono di luce
Tipologia dei modi
Cono di luce
Evanescent waves
Modi Ex (TM)
LEGENDA
ED=Extended in air, Decay in PhC
EE=Extended in air, Extended in PhC
DE=Decay in air, Extended in PhC
DD=Decay in air, Decay in PhC
Tipologia dei modi
Modi DD Decay-Decay
a
e1 e2 e1 e2 e1 e2 e1 e2 e1 e2 e 1 e2
Stati di interfaccia
Modi Ex (TE)
Cono di luce
(0, k y ,  / a )
(0, k y ,0)
kz
Gap entro il
cono di luce
Evanescent waves
Angolo di Brewster
tan  i   t 
Er 
Ei
tan  i   t 
 B  t 

2
n2
tan  B 
n1
n1
Onda TM non è riflessa
n2
n1
n2
Angolo di Brewster
Tutta la linea che
descrive Brewster
deve stare fuori dal
band gap
n2
tan  B 
n1
Angolo di Brewster
Cono di luce
tan 1, B
sin 1, L
n2

n1
1

n1
n1
n2
n1
n1
n2
n1
1, L  1, B
Onda esterna TM può propagarsi a Brewster
1, B  1, L
Onda esterna TM non può propagarsi a Brewster
n2
Angolo
Confronto angolo Brewster vs angolo limite (n1=1.5)
70
n
65
 B  arctan 2
n1
60
n1
n2
n1
n2
Air
55
50
 L  arcsin
45
40
1
n1
35
30
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
n2
Angolo
70
65
60
55
50
n2
45
40
35
n1
n2
1
 L  arcsin
n2
 B  arctan
30
25
20
15
10
1,0
1,5
2,0
2,5
1
1

1
2
2
n1 n2
3,0
3,5
n2
Air
n1
n2
n1
Specchio Omnidirezionale
gap
Specchio Omnidirezionale
Gap/midgap
Omnidirectional Mirrors in Practice
[ Y. Fink et al, Science 282, 1679 (1998) ]
Te / polystyrene
contours of omnidirectional gap size
10 0
normal
50
0
l/lmid
Re flec ta nc e (%)
(%)
Reflectance
10 0
450 s
50
0
10 0
450 p
50
0
10 0
800 s
50
0
10 0
800 p
50
0
6
9
12
Wavelength
Wavelength(microns)
(microns)
15
Effetti del disordine