1D Photonic Crystal
Struttura a bande
1
 t*
Mo   *
 r*
 t
 1
t *
M N   N*
 rN
t *
 N
r
t

1
t 
rN 
tN 

1
t N 
MN
d
…….
M0
M0
M0
……. M0
M0
Sistema con N periodi
Riprendiamo
M 0  N M 0  N 1I
N
RN2
RN 
1  R   N2 R
 sin N 


 sin  
2
se
1
Re    1
t 
N
se
1
Re    1
t 
 sinh N 
2
N  

 sinh  
2
2
1
Re    1
t 
Stop band
99.99% riflessione
1
Re    1
t 
Leaky modes
Propagazione attraverso un
mezzo omogeneo seguita da
una slab dielettrica
d1
U1
U1
 n2  n1
 2n exp  j 2 
2
M 
 n2  n1 exp  j 
2
 2n2
 n2  n1
 2n exp  j1 
1

 n2  n1 exp  j 
1
 2n1
d2
()
U2
()
U2
()
()
n1  n2

exp  j 2 
2
2n2
 ; i 
ni d i
n2  n1

exp  j 2 

2n2
n2  n1
  1 r
exp  j1 
 t* t 
2n1
 *

n2  n1
r
1

exp  j1   *
  t
2n1
t 
d1/2
Trasmissione dell’elemento singolo
U1
U1
d2
d1/2
()
U2
()
U2
n1  n2
 n2  n1





exp
j

exp

j

2
2 
0
exp  j1 / 2
  2n2
2n2
M 



n

n
n

n
0
exp  j1 / 2   2 1 exp  j  2 1 exp  j 

2
2
 2n2

2n2
n2  n1
 n2  n1
  1 r




exp
j

/
2
exp

j

/
2
1
1
 2n
  *

2
n
t
t
1
1

 *

n

n
n

n
r
1
 2 1 exp  j / 2  2 1 exp  j / 2 

1
1
*
 2n1
  t
2n1
t 
()
()
d1/2
Trasmissione dell’elemento singolo
U1
U1
d1/2
d2
()
U2
()
U2
1 exp  j1 / 2
2
2







n

n
exp
j


n

n
exp  j 2  exp  j1 / 2
2
1
2
2
1
*
t
4n2 n1

2
2


n2  n1 
1  n2  n1 
Re    
cos 2  1  
cos 2  1 
4n2 n1
 t   4n2 n1


()
()
R
RN 
1  R   N2 R
2
N
sin N
N 
sin 
Sistema con N periodi
1
cos   Re  
t 
2
2



n2  n1 
1 n2  n1 
Re    
cos 2  1  
cos 2  1 
4n2 n1
 t   4n2 n1

i 
2

ni d i
d1/2
Trasmissione dell’elemento singolo
U1
U1
d2
d1/2
()
U2
()
U2
2
2


n2  n1 
1  n2  n1 
Re    
cos 2  1  
cos 2  1 
4n2 n1
 t   4n2 n1


1   2  
B
d1  d 2
1,0
0,5
Re(1/t)
2
i 
ni d i
c
c
B 
2(n1d1  n2 d 2 )
1,5
n1  1.5
0,0
n 2  3 .5
-0,5
-1,0
-1,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
B
2,5
3,0
3,5
4,0
()
()
d1/2
d2
d1/2
Trasmissione dell’elemento singolo
 round trip  21   2 
2
1,5
d1  d 2
1,0
n1  1.5
0,0
n 2  3 .5
-0,5
-1,0
-1,5
N
Re(1/t)
0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0

b
2,5
3,0
3,5
4,0
N  10
@ B  round trip  2
Max RN
d1/2
d2
d1/2
Trasmissione dell’elemento singolo
2
2



n2  n1 
1 n2  n1 
Re    
cos 2  1  
cos 2  1 
4n2 n1
 t   4n2 n1


1   2  
B
1,0
Re(1/t)
2
i 
ni d i
c
c
B 
2(n1d1  n2 d 2 )
1,5
d1  d 2
0,5
n1  1.5 ; n1  1.5
0,0
n2  3.5 ; n2  2.5
-0,5
-1,0
-1,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
b
2,5
3,0
3,5
4,0
Dependence on ni
n1d1  n2d2
n1  1.0
n 2  3 .5
n1  1.5
n 2  3 .5
Dependence on di
n1  1.5 n2  3.5
n1d1  n2d2
d1  d 2
Width of the stop band
 2  1   0

  n2  n1 2
  B   / 2  n2  n1 2 
1
 
Re 
cos 

  1
B
4n2 n1 
 t  B   / 2    4n2 n1


2
 n2  n1 2
 
 




n

n
   1  2 1
cos  1 


2

4n2 n1
 4n2 n1
B




2
 n2  n1 2
  

n2  n1 
  1 
cos 

4n2 n1
4n2 n1
 2 B 

 n2  n1 2
   n2  n1 2  n2  n1 2  n2  n1 2
 
cos 

4n2 n1
 2 B 
 4n2 n1
   n2  n1 2  2n2  n1 2
 
cos 
n2  n1 2
 2 B 
Width of the stop band
   n2  n1 2  2n2  n1 2
 
cos 
2
2



n

n
B 

2
1
   2n2  n1 2
 
1  cos 
2
2

n2  n1 
B 

2






2
n

n
2
1
 
2 sin 2  
2
4



n

n
B 

2
1
 n2  n1 
  

 
  arcsin 



n

n
2
1
 4 B 



B
 n2  n1 

 arcsin 




n

n
 2 1 
4
n1  1.5

n 2  3 .5
B
 0.53
Dependence on N
N  10
N  50
I

O.D.  log 10  incid. 
 I trasm. 
Field amplitude within the stop band
Finite multilayer: Bragg mirror
Field amplitude within the stop band
Finite multilayer: Bragg mirror
Field amplitude within the stop band
Infinite multilayer: 1D Photonic crystal
Evanescent field
due to interference
Evanescent wavefunction
Bragg mirror
Tunneling out of a barrier
1D PhC
Evanescent wave in the barrier
N
Infinite Bragg
Origine del band gap
Mezzo uniforme
Legge di dispersione
e1
w
0

w
ck
e1
k
Origine del band gap
[ Lord Rayleigh, “On the maintenance of vibrations by forces of double frequency, and on the propagation of
waves through a medium endowed with a periodic structure,” Philosophical Magazine 24, 145–159 (1887). ]
Trattiamolo
come periodico
Legge
bandsdi
aredispersione
“folded”
èbyripiegata
nella FBZ
2π/a equivalence
e1
a
e(x) = e(x+a)
w

i x
a
e

 cos
a
–π/a
0
π/a

i x
a
,e
 
x , sin
 a
k

x

Origine del band gap
Gli stati degeneri a
bordo zona sono
riscrivibili come
Trattiamolo
come periodico
a
e1
w
E1 ( x)
E2 ( x )
0
π/a
x=0
 
E1 ( x)  A sin  x 
a 
 
E2 ( x)  A cos x 
a 
e(x) = e(x+a)
Tutti i sistemi 1d hanno gap
Stato con ventre in 1
Aggiungiamo una
piccola anisotropia
e2 = e1 + e
Stato con ventre in 2
a
e(x) = e(x+a)
e1 e2 e1 e2 e1 e2 e1 e2 e1 e2 e1 e2
w
E1 ( x)
E2 ( x )
0
 
E1 ( x)  A sin  x 
a 
 
E2 ( x)  A cos x 
a 
π/a
x=0
Principio variazionale
 2
d r  E


U f (H ) 
 2
3
 d re (r ) E
3
Principio variazionale:
gli autostati minimizzano il
funzionale energia, quindi i modi
fotonici di più bassa frequenza
hanno ampiezza concentrata nella regione ad alto dielettrico.
Inoltre un dato modo in generale conterrà più nodi rispetto a
un modo di minore frequenza.
In (MQ) le funzioni d’onda di più
bassa energia hanno ampiezza
concentrata nelle regioni a
potenziale minore. Vale anche in
MQ la “legge dei nodi”.
Hˆ 
3
* ˆ
d
r

H

d
3
r
2
Origine del band gap
Splitting della degenerazione:
Aggiungiamo una
piccola anisotropia
e2 = e1 + e
state concentrated in higher index (e2)
has lower frequency
a
e1 e2 e1 e2 e1 e2 e1 e2 e1 e2 e1 e2
w
 
sin  x 
 a 
 
cos  x 
 a 
Air band
band gap
Dielectric band
0
e(x) = e(x+a)
π/a
x=0
Valore del mid gap
w
Air band
ck M
w midgap 

neff
band gap
c


n1d1  n2 d 2
Dielectric band
0
ck
w
neff
neff 
n1d1  n2 d 2
a
 2 B
π/a
Stati nel band gap
w


w  w2    k  
a

w  w2
kR
Air band
band gap
w  w2
Dielectric band
0
π/a
Nel band gap onde evanescenti
k C
2
Ingegnerizzazione del band gap
2
Gap/mid gap: quarter wave stack 1  2  0
 n2  n1 
 ( B   )  n2  n1  
 
cos 

  1
B
4n2 n1 


 4n2 n1
 ( B   )   4n2 n1  n2  n1 2
8n2 n1


cos 

 1
2
2






n

n
n

n
B


2
1
2
1
2
  

8n2 n1
n2  n1 
 
cos 
1  1 2
2
2





n

n
n

n
B 

2
1
2
1
2
  n2  n1 
2
 
sin  
2
 2 B  n2  n1 
2
2
2
B
 n2  n1 

 arcsin 




n

n
 2 1 
4
1,0
0,5
Re(1/t)
2

   n2  n1 2
1  n2  n1 
 
Re    
cos 
cos 2  1 
4n2 n1
 t   4n2 n1
 B 

1,5
0,0
-0,5
-1,0
-1,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
B
Incidenza obliqua: perdita del band gap
y
TM
x
Ht
Et
Near Brewster
angle
Perdita gap
Struttura a bande per propagazione nel piano
Cono di luce
Evanescent waves
(0, k y ,  / a )
Modi Ex (TE)
(0, k y ,0)
kz
Assenza band
gap completo
Tipologia dei modi
Modi EE Extended-Extended
a
e1 e2 e1 e2 e1 e2 e1 e2 e1 e2 e 1 e2
All’interno di una banda e dentro il cono di luce
Tipologia dei modi
Modi ED Extended-Decay
a
e1 e2 e1 e2 e1 e2 e1 e2 e1 e2 e 1 e2
All’interno di un gap e dentro il cono di luce
Tipologia dei modi
Modi DE Decay-Extended
a
e1 e2 e1 e2 e1 e2 e1 e2 e1 e2 e 1 e2
All’interno di una banda e oltre il cono di luce
Tipologia dei modi
Cono di luce
Evanescent waves
Modi Ex (TM)
LEGENDA
ED=Extended in air, Decay in PhC
EE=Extended in air, Extended in PhC
DE=Decay in air, Extended in PhC
DD=Decay in air, Decay in PhC
Tipologia dei modi
Modi DD Decay-Decay
a
e1 e2 e1 e2 e1 e2 e1 e2 e1 e2 e 1 e2
Stati di interfaccia
Nel band gap propagazione proibita: Modo ED
Tutta l’energia è riflessa
True band gap  Omnidiretional mirror
Omnidiretional mirror  True band gap
Bande Bragg mirror
No band gap
Bande Bragg mirror
Cono di luce
ky 
ky 
w
c
w
c
n sin  L
1
sin  L 
n1
Bande Bragg mirror
Cono di luce
ky 
ky 
w
c
w
c
n sin  L
1
sin  L 
n1
Omnidirectional mirror
Angolo di Brewster
Angolo di Brewster
ky 
ky 
w
c
w
c
n1 sin  B1
n2 sin  B 2
n2
tan  B1 
n1
tan  B 2
n1

n2
Angolo di Brewster
tan  i   t 
Er 
Ei
tan  i   t 
 B  t 

2
n2
tan  B 
n1
Onda TM non è riflessa
Angolo di Brewster è simmetrico
n1
n2
n1
 B1
n2
tan  B1 
n1
n2
B2
tan  B 2
n1

n2
 B1   B 2 

2
tan   tan 
tan     
1  tan  tan 
Angolo di Brewster
Cono di luce
tan 1, B
sin 1, L
n2

n1
1

n1
n1
n2
n1
n1
n2
1, L  1, B
Onda esterna TM può propagarsi a Brewster
1, B  1, L
Onda esterna TM non può propagarsi a Brewster
n2
n1
Angolo
Confronto angolo Brewster vs angolo limite (n1=1.5)
70
n
65
 B  arctan 2
n1
60
n1
n2
n1
n2
Air
55
50
 L  arcsin
45
40
1
n1
35
30
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
n2
Angolo
70
65
60
55
50
n2
45
40
35
n1
n2
1
 L  arcsin
n2
 B  arctan
30
25
20
15
10
1,0
1,5
2,0
2,5
1
1

1
2
2
n1 n2
3,0
3,5
n2
Air
n1
n2
n1
Confronto angolo Brewster vs angolo limite
 B  arctan
n2
n1
 L  arcsin
Se i due angoli coincidono
B  L  

tan  

 sin  

n2
n1
1
n1
Quindi
1
1
 2 1
2
n1 n2
1

cos



n2

1
 sin  

n1
1
n1
1, B  1, L
Specchio Omnidirezionale
gap
Specchio Omnidirezionale
Gap/midgap
1
1

1
2
2
n1 n2
Omnidirectional Mirrors in Practice
[ Y. Fink et al, Science 282, 1679 (1998) ]
Te / polystyrene
contours of omnidirectional gap size
10 0
normal
50
0
/mid
Re flec ta nc e (%)
(%)
Reflectance
10 0
450 s
50
0
10 0
450 p
50
0
10 0
800 s
50
0
10 0
800 p
50
0
6
9
12
Wavelength (microns)
15