Ricerca delle componenti principali
• Se abbiamo due variabili osservate, (per
esempio Test di vocabolario e Test di
ragionamento verbale) le possiamo
rappresentare in un grafico di coordinate
cartesiane, dopo averle standardizzate
entrambe
Grafico di dispersione di due test
Gli stessi dati, ma standardizzati
La retta di regressione è
uguale per entrambe, visto
che entrambe sono
standardizzate
Rotazione degli assi
• Ruotiamo gli assi, prendendo la retta di regressione (e la sua
perpendicolare) come nuovo sistema di assi di riferimento.
• Le nuove coordinate si ottengono con una formula matematica
• Dove sen a e cos a sono il seno e il coseno dell’angolo di rotazione
• L’angolo di rotazione dipende dal coefficiente di correlazione: più è
elevata, più grande è la rotazione
Gli stessi dati, ruotati su nuovi assi
Esempio con pochi casi ruotati…
I due nuovi assi
• Il primo asse nuovo riporta le coordinate dei
punti originali, (proporzionali alla somma delle
due variabili) e ha una varianza uguale a 1+r
• Il secondo asse riporta le coordinate dei punti
originali ma è proporzionale alla differenza dei
punti originali. La sua varianza è uguale a 1-r.
• Il valore r è il coefficiente di correlazione.
Le due nuove variabili
• Le due nuove variabili sono indipendenti (la
loro correlazione è nulla)
• Le loro varianze sono uguali a
• 1+ r per la prima
• 1-r per la seconda
• Tutti i punti originali mantengono la loro
distanza fra di loro.
• Le due nuove variabili si chiamano le
componenti principali.
Che si fa quando ci sono più di due
variabili?
• Si ruotano a due a due tutte le coppie di
variabili da analizzare
• Si ricalcolano le correlazioni fra le prime due
nuove variabili (che si chiamano ora
componenti principali) con le restanti variabili
osservate
• La rotazione trasferisce la covariazione sulle
nuove componenti principali
Siamo sicuri di arrivare ad una fine?
• Il procedimento di trasformazione verso le
componenti principali si arresta quando tutta la
covariazione è stata trasferita sulle compomenti
principali, che diventano delle somme composite
delle variabili originarie, ma ognuna incorrelata
(indipendente) da tutte le altre
• Se k è il numero di variabili originarie, la somma della
varianza nuove variabili è ancora uguale a k.
Calcolo iterativo
• Si ripete la rotazione con altre variabili, a due a
due. Alla fine del procedimento, tutta la
covariazione è stata trasferita sulle nuove
variabili.
• Le correlazioni fra le nuove variabili e quelle
originali si ritrova nella matrice delle
saturazioni fattoriali.
• Le k componenti principali contengono tutta l’
informazione originale, ma con altre
coordinate.
Risultati delle rotazioni a coppie
• Tutta la covariazione delle k variabili è
trasferita sulle k componenti principali
• Le k componenti principali sono fra loro
indipendenti (correlazione nulla fra di loro)
• Le componenti possono essere disposte in
ordine canonico, e le prime sono più
importanti delle ultime, che si possono
trascurare.
Rappresentazione vettoriale delle variabili (osservate e latenti)
Componenti
principali
(latenti)
Proiezioni di
una variabile
osservata su
una
componente
latente
Variabili
osservate
Proiezioni di una variabile
osservata su una componente
latente
Attenzione !
• La rotazione di questi assi non è quella di cui si
parla generalmente quando si parla di
rotazione degli assi fattoriali.
• Questa rotazione degli assi è un metodo
matematico di estrazione di autovalori e
autovettori dovuto a Carl Gustav Jacobi,
pubblicato nel 1846.