MATEMATICA FINANZIARIA
Docente: prof. Filippo Petroni
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AMMORTAMENTO DEI PRESTITI
• Un operatore A presta ad un operatore B una somma C
(ammontare del prestito) che B si impegna a restituire
in n anni (durata)
• L’operatore B si impegna a pagare con modalità
prestabilita gli interessi sulla somma C al tasso
d’interesse i (tasso di remunerazione)
• La restituzione del prestito può avvenire in molti modi:
– C può essere restituito tutto dopo n anni
– C può essere restituito in rate uguali alla fine di ogni anno
– Più in generale con il pagamento di n rate diverse C1, C2, …
Cn-1, Cn alla fine del primo, del secondo … dell’n–esimo
anno
AMMORTAMENTO DEI PRESTITI
• L’interesse viene pagato al tasso annuo i
• Generalmente l’interesse viene pagato con
pagamenti periodici (a parte il caso in cui il
rimborso viene effettuato tutto a scadenza)
• La quota d’interesse viene calcolato in base al
capitale non ancora restituito (debito residuo)
tenendo quindi conto dei rimborsi parziali.
• Insieme delle specifiche relative ai tempi di
rimborso del capitale e dell’interesse prende
nome di “piano di rimborso” o “piano di
ammortamento”
AMMORTAMENTO DEI PRESTITI
• Generalmente viene presentato in forma di
tabella con una struttura simile alla seguente:
Anno
Quota
capitale
Quota
Rata
interessi
Debito
residuo
1
C1
C∙i
Q1=C1+C∙i
C(1)=C-C1
2
C2
C(1)∙i
Q2=C2+C(1)∙i
C(2)=C(1)-C2
3
C3
C(2)∙i
Q3=C3+C(2)∙i
C(3)=C(2)-C3
Cn
C(n-1)∙i
Qn=Cn+C(n-1)∙i
C(n)=0
…
n
AMMORTAMENTO DEI PRESTITI
• La quota capitale sta ad indicare quella parte
di capitale che viene restituita ogni anno.
L’abbiamo indicata con Ck. Vale la relazione:
n
C
k 1
k
C
• Notiamo che posso essere anche tutte nulle
tranne l’ultima
AMMORTAMENTO DEI PRESTITI
• Abbiamo indicato con C(k) il debito ancora da restituire
(debito residuo). Vale la relazione
k
C (k )  C   C j
j 1
• Ovviamente per poter restituire tutto il capitale alla
fine dell’n-esimo anno la quota capitale Cn deve essere
uguale al debito residuo C(n-1)
Cn  C
( n 1)
– e quindi il debito residuo alla fine dell’n-esimo anno deve
essere nullo C(n) = 0
AMMORTAMENTO DEI PRESTITI
• Il debito residuo è uguale alla somma delle
quote capitali ancora da pagare =>
C
( k 1)
n
 C j
j k
• Se supponiamo i tasso annuo d’interesse e
pagamenti dell’interesse alla fine di ogni anno
la quota interesse sarà data dal debito residuo
per il tasso d’interesse i => per il primo anno
Ci, secondo anno C(1)∙i ……
AMMORTAMENTO DEI PRESTITI
• La somma tra quota capitale e quota interessi
si chiama annualità o rata
• L’ammortamento è detto immediato se
decorre da subito, altrimenti viene detto
differito
• Vediamo ora alcuni tipi di ammortamento
AMMORTAMENTO DEI PRESTITI
• Prestito di un capitale rimborsabile a scadenza
– È il caso più semplice => il capitale viene
rimborsato tutto a scadenza dopo n anni
– Il piano di ammortamento ha questa forma:
Anno
Quota
capitale
Quota
Rata
interessi
Debito
residuo
1
0
C∙i
C∙i
C
2
0
C∙i
C∙i
C
3
0
C∙i
C∙i
C
C
C∙i
C∙i + C
0
…
n
AMMORTAMENTO DEI PRESTITI
• Il caso più generale di quote capitali C1, C2 …
Cn può essere visto come n prestiti elementari
come quello appena visto di ammontare C1, C2
… Cn e scadenze dopo 1 anno, 2 anni … n anni
=> 1 anno C1
Anno
Quota
capitale
Quota
Rata
interessi
Debito
residuo
1
C1
C1∙i
0
C1 + C 1 i
AMMORTAMENTO DEI PRESTITI
• 2 anno, C2
•
……
• n-esimo
anno, Cn
Anno
Quota
capitale
Quota
Rata
interessi
Debito
residuo
1
0
C2∙i
C2∙i
C2
2
C2
C2∙i
C2 + C 2 i
0
Anno
Quota
capitale
Quota
Rata
interessi
Debito
residuo
1
0
Cn∙i
Cn∙i
Cn
2
0
Cn∙i
Cn∙i
Cn
3
0
Cn∙i
Cn∙i
Cn
Cn
Cn∙i
Cn∙i + Cn
0
…
n
AMMORTAMENTO DEI PRESTITI
• E quindi se sommiamo tutti i piani abbiamo
quello generale (C=C1+C2+…+Cn)
Anno
Quota
capitale
Quota
Rata
interessi
Debito
residuo
1
C1
C∙i
C1+C∙i
C(1)=C2+…+Cn
2
C2
C(1)∙i
C2+C(1)∙i
C(2) =C3+…+Cn
3
C3
C(2)∙i
C3+C(2)∙i
C(3) =C4+…+Cn
Cn
C(n-1)∙i
Cn+C(n-1)∙i
0
…
n
AMMORTAMENTO DEI PRESTITI
• Il valore attuale, nell’istante iniziale del
prestito, di tutte le annualità previste dal
piano calcolato nel regime dell’interesse
composto e in base al tasso annuo i coincide
con il valore C del capitale prestato
• Nel caso di rimborso a scadenza
Ci  Ci 2  ...  Ci  C  n  Cian |i  C n 
1  (1  i )  n
n
Ci
 C (1  i )  C
i
AMMORTAMENTO DEI PRESTITI
• Notiamo che se l’investitore riesce ad investire
il capitale C preso in prestito al tasso i (quindi
allo stesso tasso di remunerazione) allora
l’operazione finanziaria è in pareggio.
• In qualunque istante, il montante (sempre al
tasso i) del capitale ricevuto in prestito, meno
quello delle rate già pagate, uguaglia il valore
attuale delle rate ancora da pagare.
AMMORTAMENTO DEI PRESTITI
• Ammortamento progressivo con rate costanti
(ammortamento alla francese)
– Le rate sono tutte uguali e valgono R
0
R
R
t=0
t=1
t=2
R
t=n
– Il debitore deve pagare una rendita immediata
annua posticipata costante
AMMORTAMENTO DEI PRESTITI
• Ammortamento francese
– Se i è il tasso del prestito è facile trovare il valore
della rata, infatti =>
C
C  Ra n |i  R 
a n |i
– Allo stesso modo il debito residuo alla fine dell’hesimo anno sarà
C
(h)
C
 Ra nh|i 
a nh|i
a n |i
AMMORTAMENTO DEI PRESTITI
• Ammortamento francese
– Vediamo cosa succede all’n-esimo anno
R  Cn  C
( n 1)
i  Cn  Cni  Cn (1  i)
Cn  R
– Quindi la quota capitale dell’n-esimo anno è
uguale al valore della rata scontato
AMMORTAMENTO DEI PRESTITI
• Ammortamento francese
– Poiché le rate sono costanti dobbiamo anche
avere:
Ck  C
( k 1)
i  Ck 1  C i
(k )
– E quindi, poiché il debito residuo al (k-1)-esimo
anno è uguale al debito residuo al k-esimo anno
più la quota capitale dello stesso anno, abbiamo
Ck  (Ck  C )i  Ck 1  C i 
(k )
(k )
Ck (1  i)  Ck 1  Ck  Ck 1
AMMORTAMENTO DEI PRESTITI
• Ammortamento francese
– E quindi la quota capitale può essere scritta
Cn  R
Cn 1  R 2
Cn  2  R 3 C1  R n
– Riassumendo tutto in un piano di ammortamento
Anno
Quota
capitale
Quota
Rata
interessi
Debito
residuo
1
Rvn
R(1-vn)
R
Ra n 1|i
2
Rvn-1
R(1-vn-1) R
Ra n2|i
3
Rvn-2
R(1-vn-2) R
Ra n3|i
Rv
R(1-v)
…
n
R
0
AMMORTAMENTO DEI PRESTITI
• Ammortamento con quote capitali costanti
(italiano)
– In questo piano di ammortamento il prestito viene
restituito con quote capitali costanti => C/n
Anno
Quota
capitale
Quota
interessi
Rata
Debito residuo
1
C/n
Ci
C/n+Ci=(1+ni)C/n C-C/n=(n-1)C/n
2
C/n
i(n-1)C/n
(1+(n-1)i)C/n
(n-2)C/n
3
C/n
i(n-2)C/n
(1+(n-2)i)C/n
(n-3)C/n
C/n
iC/n
(1+i)C/n
0
…
n
AMMORTAMENTO DEI PRESTITI
• Ammortamento con interessi anticipati
(Tedesco)
– Gli interessi vengono corrisposti all’inizio di ogni
periodo => non è un piano diverso ma una
variante di quelli precedenti
– Si può usare sia per il rimborso a scadenza che per
quello francese che per quello italiano
AMMORTAMENTO DEI PRESTITI
• Ammortamento con interessi anticipati
(Tedesco)
– Vediamolo nel caso di rimborso a scadenza
– La prima rata sarà uguale al valore della rata nel
caso posticipato ma anticipato di un periodo =>
Ci 
Ci
 Cd
1 i
– Da cui segue facilmente il piano
AMMORTAMENTO DEI PRESTITI
• Ammortamento con interessi anticipati
(Tedesco)
Anno
Quota
capitale
Quota
Rata
interessi
Debito
residuo
0
0
C∙d
C∙d
C
1
0
C∙d
C∙d
C
2
0
C∙d
C∙d
C
n-1
0
C∙d
C∙d
C
n
C
0
C
0
AMMORTAMENTO DEI PRESTITI
• Ammortamento con interessi anticipati
(Tedesco)
– L’ammortamento con interessi anticipati equivale
a quello con interessi posticipati se si considera di
ricevere in prestito in capitale C-Cd
AMMORTAMENTO DEI PRESTITI
• Estinzione anticipata
– Supponiamo che passati un numero di anni t, degli
n previsti dal rimborso di un prestito, si voglia
terminare il piano estinguendo il debito
– Se t non coincide con il pagamento di una rata il
debitore dovrà pagare gli interessi sul debito
residuo dall’ultima scadenza fino a t
– Per quanto riguarda la quota capitale non è detto
che sia sufficiente restituire semplicemente il
debito residuo: vediamo perchè
AMMORTAMENTO DEI PRESTITI
• Estinzione anticipata
– Vanno distinti due casi in funzione del tasso
d’interesse j valido al momento dell’estinzione che
in generale sarà diverso dal tasso i di
remunerazione.
• i<j la restituzione conviene al creditore e non al
debitore
• i>j la restituzione conviene al debitore e non al
creditore