“o piccolo”
Siano f e g entrambi infiniti o infinitesimi per x c
si dice che f è un “o piccolo” di g in un intorno di c se:
f x 
Lim
0
x  c gx 
f  og in Uc

x2
2
Lim  0 x  ox in U0
x0 x


x
2
Lim 2  0 x  ox  in U 
x   x


Nota bene: essere un “o piccolo” è una proprietà locale


se x   x  ox 2 
se x   x  x 2  x 2  ox 2 


se x 0  x 2  ox 
se x 0  x  x 2  x  ox
Esercizio
f x  x 2  4x gx  x 3  ex  ln x
Stabilire se
f  og oppure g  o f  in U  e in U  0
x2  4x
x2
Lim 3 x
 Lim x  0  f  og in U 
x   x e  ln x
x   e
 x 2  4 x



0  4 0
0

Lim 3 x

f

o
g


0



in
U
0

0

x  0 x  e  ln x
0
 e  ln 0


 

Stabilire quali funzioni sono o1 in U 0
f x 
  un infinitesimo

f
x


Lim

0
deve
essere



x0
1
f x  x; x 2 ; x ;ln 1 x ;e x 1;......




Teorema degli Infiniti e degli infinitesimi
f ; f1;g;g1
Contemporaneamente infiniti o infinitesimi
in un intorno di c
Se f1  o f 
f x   f1x 
f x 
Lim
 Lim
allora
x  c gx   g x 
x  c gx 
Se g1  og
1

x 3  ln x 2
x3
Lim
 Lim 3  1
3
x


x   x

xx
x
x  x2
Lim
 Lim 3\ 2  
x0 x x  x4
x0 x





Stabilire se è possibile risolvere i seguenti limiti e in caso
affermativo risolverli
x 5  ox 5 
x5
Lim 3
 Lim
 
5
x   2x  o x
x   o x 5
 
 
ox 5  sono infiniti del tipo x a con 0  a  5
2x 3  ox 5  ox 5 
ox 5   ox 5 

x 5  ox 6  
? 
Lim 5
 Lim 5 
3
x   2x  o x
  x   2x
ox 6  potrebbe contenere infiniti del tipo x a con 0  a  6
ma non abbiamo la certezza che ci sia una potenza >5
 5
3
ox   ox 


Stabilire se è possibile risolvere i seguenti limiti e in caso
affermativo risolverli
x 5  ox 5 
5
x
Lim 3
 Lim 3  0
5
x  0 2x  o x
  x  0 2x
ox 5  sono infinitesimi del tipo x a con a  5

ox 5   ox 3 

 x 5
x 5  ox 6 
x 5
 Lim 
Lim 5
 Lim
3
3
x  0 2x  o x
  x  0 ox  x  0 ?
ox 6  contiene infinitesimi del tipo x a con a  6
2x 5  ox 3  ox 3  ox 3   ox 3 

3

ox  contiene infinitesimi del tipo x a con a  3


ma non abbiamo la certezza che ci sia una potenza <5
Asintotico “  ”
Siano f e g entrambi infiniti o infinitesimi per x c
si dice che f è “asintotica” a g in un intorno di c se:

f x 
Lim
1
x  c gx 
f g
in Uc

x
x  x3
3
2
Lim

1
Lim

in U0
x

x

x

x
2
x0 x
x0 x  x


5x  3x 2
3x 2
2
2
x
in U 
5x

3x

3x

e
Lim 2 x  Lim 2  1
x   3x  e
x   3x



Nota bene: essere “asintotici” è una proprietà locale



Esercizio
f x  x 2  3x 3 gx  3x 3  ex  ln x 5
U  e in
f  g in
Stabilire se
U  0
x 2  3x 3
3x 3
Lim 3 x
f  g in U 
5  Lim
3 1 
x   3x 
x   3x
 e  ln x

0  3 0
x2  3x 3
0

f
non

g
Lim 3 x



0

in
U
0

0

5
x  0 3x  e
0 e  ln 0
 ln x


 

Stabilire se sono asintotiche in U 0 le seguenti funzioni
f x   x x  x 3  x 2 
gx  x 2e x 1  x 4  3x x

 
f x 
Lim
1 ?
x  0 gx 
x x  ox 3 / 2 

x xx x
1
Lim 2 x 1
 Lim
 
4
3
/
2
x0 x e
3
 x  3x x x  0 3x x  ox 

3
2
NO
Limiti notevoli
sin x
Lim
1
x0
x
e x 1
Lim
1

x0
x

ln 1 x 
Lim
1
x0
x
cos x 1
1
Lim

2
x0
x
2
Lim 1 x   e
1 x 1

1\ x
x0

Lim
xc
x

Limiti notevoli: generalizzazioni
Sia f x  un infinitesimo per x c
cos f x  1
1
ln 1 f x 
sin f x 

Lim
 1 Lim
1 Lim
2
x

c
2
xc
xc
f x 
f x 
f
x






f x 
1\ f x 
1 f x  1
e 1

 e Lim
Lim
 1 Lim1 f x 

x

c
xc
xc
f x 
f x 




Esercizi
0
x 2 sin x
Lim x

x  0 e 1
0
Applico il criterio dell’asintotico
x 2 x  ox 
x 3  ox 3 
x 3  x 2ox 
x3
 Lim
Lim
 Lim
0
 Lim
x

0
x0
x

0
x  0 x  ox 
x  ox 
x  ox 
x

3
2
x 2 ln 1 x 3 
ln
1
x


x
1
0
Lim 3x

Lim 2  3x 

2
x0 e
1sin x 0 x  0 sin x e 1  1
 

2
x
3x
Lim 2 

3x
x  0 sin x 3x e
  1
x 3 ln 1 x 3 
x3

1 3
x3
1  x  Lim
 Lim
0
x0
3x
x  0 3x

Esercizi
Errore da non commettere!!!
0
x 3  x 2 sin x  x 6
Lim

4
x
x0
0
x e 1
Applico il criterio dell’asintotico
in modo “superficiale”
x6
x 3  x 2 x   x 6
x3  x3  x6
Lim
 Lim
 Lim 5  0
4
5
x0 x
x0
x0
x x 
x

x 3  x 3  ox 3  x 6
x 3  x 2 x  ox  x 6
Lim
 Lim

4
5
5
x0
x0
x 
x  ox 
x  ox 

ox 3  x 6
?
Lim
 Lim 5 
5
x0 x
x0
x

Non è possibile applicare il teorema degli infinitesimi!!

Risolvere il seguente limite
 1 
x  ln1 
 x 
Lim

1
x  
3
x  sin
x
2
 1  1
ln1  se
 x  x
1 1
sin  se
x x
x 
x 
1 
1 
x    o 
x  ox 
x x 
x

Lim

Lim

Lim

0
1 1  x   x 2  ox 2  x   x 2
x  
3
x    o 
x x 
2


Risolvere il seguente limite
1


3
x  e x 1
 0


Lim


x   x ln 1 x 
 ln 
1
x
1
e 1  se
x
ln 1 x   ln x se
ln x

1
Infatti: xLim
  ln 1 x 


1 1 
3
x    o 
2
2
x

o
x


x
x x 
Lim
 Lim
 
 Lim
x  
x   ln x
x  
x ln x
x ln x


x 
x 
Risolvere il seguente limite

sin 2x e
Lim
x0
3x x 2

1
x 2  ln 1 x 2 

e
3x x 2
1 3x  x 2 se
sin 2x  2x se
x 0
ln 1 x 2  x 2 se
2x 3x  x 2   6x 2  2x 3
Lim
 Lim

2
2
4
x0
x

0
x  x 
x

x 0
x 0
6x 2
Lim 4  
x0 x
Nel caso in cui sono presenti solo prodotti di funzioni,
applicandoil criterio dell’asintotico
è possibile omettere

gli “o piccoli” senza rischiare di commettere un errore.
Risolvere il seguente limite

Lim

1  3x 1  e sin 2x 1
1
x
x0
0 0



1  0
 2x 
1   ln 1 x 2 
 3 
e sin 2x 1 sin 2x  2x se x 0
3
1  3x 1   x se x 0 ln 1 x 2  x 2 se x 0
 

2
2
3
3 


2
 2x   2x 2x 
 e 3 se
1   1 
 3   3  


 3 
 x  2x 
3
 2 
Lim
 2
2
x0
e 3  x 2 
e3
1
x
x 0