Plasticità
Barre soggette a flessione e
torsione
FLESSIONE DI BARRE A SEZIONE RETTANGOLARE
Materiale a comportamento simmetrico elasto-plastico
y
elastico


elasto.plastico
M

Modello elasto-plastico
curvareale


E
 K0 n0
Si possono trattare solo i casi in cui  pl   el

quindi    pl  K 0 n0
Modello simmetrico elastico-perfettamente plastico
y
elastico


M
elastico-perfettamente plastico
Modello elastico-perfettamente plastico

curva reale
 sn
curva teorica

 sn
Modello simmetrico elastico-perfettamente plastico
relazioni importanti
y
b


 sn
 sn
h
  sn
a
M  M " (1 
d 
1 h2
)
3 b2
2 sn
M
b 3(1 
)
M"
ab 2
M "   sn
4
ab 2
M '   sn
6
M" 3
Cf 

M' 2
dx
  sn
Casi limite
ab 2
1 h2
da M   sn
(1 
)
4
3 b2
se h  0     M  M"  sn
 
ab2
4

 sn
b
  sn
a
se h  b  M  M'   sn
ab2
6
 sn

 sn

b
a
  sn
  sn
Coefficiente di collaborazione
Definizion e :
M"
M'
Calcolo di M' (momento elastico di prima plasticizz azione)
Cf 
M '   snW f   sn
I
ymax
Calcolo di M" (momento di plasticizz azione totale) :
1) Asse neutro : A   A 2) Posizione baricentri G1 e G 2 e distanza d12
3) M"   sn
A
d12
2
Coefficiente di collaborazione a flessione
esempio di calcolo
Se a 1h1  a 2 h 2
a1
h1
yp 
a1h1  a2 h2
2a1
y pl
y1 
yp
2
y2 
A   A -  a1 y p
a1 (h1  y p )
h1  y p
 a2 h2 (
2
a1 (h1  y p )  a2 h2
a2
 h1 )
2
d12  y2  y1
a2
Se a 1h1  a 2 h 2
yp 
h2
Esempio :
a1  a2  30mm h1  h2  5mm
ah
 17,5 mm M"   sn ahd12   sn 2625
2
yel  11,25mm I  34531mm4 ymax  23,75mm
d12 
M '   sn
Cf 
I
ymax
  sn1454
M"
 1,81
M'
y1 
 a1h1  a2 h2  2h1h2
2h2
a1
A   A -  h2 (a2  h1  y p )
2
y h
h1
 h2 ( y p  h1 )( p 1 )
h1  a2  y p
2
2
y2 
a1h1  h2 ( y p  h1 )
2
d12  y2  y1
Coefficiente di collaborazione a flessione
altre sezioni
a
h
b
b2
M "   sn h(  ab )
2
b
M '   sn hb (  a )
3
b
a
Cf  2
b
a
3
4 3
( R2  R13 )
3
 R24  R14
M '   sn
4 R2
M "   sn
R1
R2
16 1   3
Cf 
3 1   4
R
 1
R2
M "   sn 4 R 2 h
M '   snR 2 h
R
h
Cf 
4

Trave a mensola con coppia d’estremità
a
C
L

b
f
 C
a  60mm b  100 mm L  1000 mm
E  210000 MPa  sn  480 MPa
L=1000 mm; b=100 mm; a=60 mm; E=210000 MPa; ssn=480 MPa
M ' M f  C  M "
1
M 'f  x
0.9
2 sn dx
L2 sn

M
C
0
b 3(1  f ) b 3(1 
)
M"
M"
CL2
f el 
2 EI
f res  f C  f el
L
0.8
PLV : f C  
h  b 3(1 
C
M"
0.7
C/M"
0.6
0.5
0.4
)  38,73mm se C  0,95M"
0.3
0.2
1,425 sn
 sn
0.1
0
TENSIONI RESIDUE
0
0.05
0.1
0.15
fc/L
 el 
6C
 1,425 sn
ab2
0.2
0.25
Asta su 2 appoggi con carico centrale
calcolo della freccia elastoplastica in mezzeria
P
L
Dati del caso precedente .
L
P/2
P/2
Mf
c
M'
c
PL
2
M
'
f
L
2
M'
PL
60 100 2
Inoltre M max 
 0,95M " M"   sn
 P  136800 N
2
4
Pc
60 100 2
2M '
 M '   sn
c
 701,75mm
2
6
P
P
L
xdx
x 2
x
f P  2
 2
2 EI
2
0
c
c
2 sn
Px
b 3(1 
)
2M "
 7,497  17,16  24,65mm
P (2 L) 3
f el 
 21,71mm
48 EI
f res  f P  f el  2,94mm
dx
Integrali notevoli

dx
2

  x
  x 

xdx
2( x  2 )

  x
2
3
  x

xdx
  x 2

1

  x 2
Sezioni diverse
inflessione con modello elastico-perfettamente plastico
1 h2
Nella sezione rettangola re M  M " (1 
)
k b2
1
1
per h  b M  M'. Quindi k 

M'
1
11M"
Cf
Per sezioni rettangola ri cave si può adoperare la relazione
1 h2
1
M  M " (1 
) con k 
e C f calcolato sulla sezione effettiva
2
1
kb
1Cf
d 
2 sn
dx
M
b k (1 
)
M"
le relazioni precedenti si possono usare anche per le sezioni circolari piene e cave
con b  2R
TORSIONE
Sezione circolare elastica-perfettamente plastica
corona plastica
nucleo elastico
 sn
re
R
Mt
2 3 3
( R  re )]
2
3
 sn 2R 3
1 re3
1 re3

(1 
)  M t " (1 
)
3
4 R3
4 R3
 sn 2R 3
se re  0 M t  M t " 
3
3
se re  R M t  M t '  M t "
4
Mt"
4
 Ct   1,333
Mt '
3
M t  M el  M pl   sn [
re3
per il concio infinitesi mo

d 
 sn dz
R3 4(1 
Mt
)
Mt"
Coefficiente di collaborazione a torsione
2 3
( R2  R13 )
3
 R24  R14
M t '   sn
2 R2
M t "   sn
R1
R2
Cf 
4 1 3
3 1 4

R1
R2
Mt
0.32
0.3
M t "
b
 sn a
6
2
(3b  a )
M t '   sn k 2 a 2b
Mt
1
a
Ct 
(3  )
6k 2
b
0.28
b
k2  k2 ( )
a
k2
a
0.26
0.24
0.22
0.2
1
2
3
4
6
5
b/a
7
8
9
10
Sezione circolare cava
d 
 sn dz
re
R1
re
M t "   sn
R2
Mt
k
1
1
1Ct

 sn dz
R2 3 k (1 
2 3
( R2  R13 )
3
Mt
)
Mt"