Il modello del duration gap
Slides tratte da:
Andrea Resti
Andrea Sironi
Rischio e valore
nelle banche
Misura, regolamentazione, gestione
Egea, 2008
Rischio e valore nelle banche
Il modello del duration gap
AGENDA
• Una contabilità a valori di mercato
• La duration
• Il duration Gap
• I limiti del modello del duration gap
•Il convexity gap
•Esercizi
© Resti e Sironi, 2008
2
Rischio e valore nelle banche
Il modello del duration gap
Una contabilità a valori di mercato
• Consideriamo il seguente stato patrimoniale semplificato della banca Alfa (2006):
Attività
Mutui decennali a tasso fisso (5%)
Totale
€ m Passività
100 CD a tasso fisso a 2 anni (3%)
Patrimonio
100 Totale
€m
90
10
100
• Senza alcuna variazione di tassi il MI sarebbe:
MI 2007  IA2007  IP2007  5% 100  3%  90  5  2,7  2,3
• Il ROE della banca sarebbe il 23%.
• Senza alcuna variazione di tassi il bilancio del 2007 sarebbe:
Attività
Cassa
Mutuo decennale a tasso fisso (5%)
Totale
© Resti e Sironi, 2008
€ m Passività
€m
2,3 CD a tasso fisso a 2 anni (3%) 90
100 Utile netto
2,3
Patrimonio
10
102,3 Totale
102,3
3
Rischio e valore nelle banche
Il modello del duration gap
Una contabilità a valori di mercato
• Si supponga un aumento dei tassi dell’1% al primo gennaio del 2007.
• Il margine di interesse della Banca Alfa non subirebbe alcuna variazione nel 2007
e nel 2008 rispetto a quanto atteso. Attività e passività della banca sono infatti a
tasso fisso. Il MI risulta ancora pari a 2,3 per il 2007 e per il 2008.
• Nel 2009 la Banca Alfa si rifinanzia alle nuove condizioni di mercato, rinnovando i
certificati di deposito con altri CD, a un tasso di interesse superiore di un punto
percentuale (4%). Il MI relativo al 2009 è dunque:
MI 2009  IA2009  IP2009  5% 100   4%  90  5  3,6  1, 4
• Il ROE è invece pari al 9,59%.
• Seguendo la logica del repricing gap, l’effetto di una variazione dei tassi avvenuta
all’inizio del 2007 sulla redditività della banca viene riconosciuta solo due esercizi
dopo che la variazione ha avuto luogo, mediante una variazione del MI.
© Resti e Sironi, 2008
4
Rischio e valore nelle banche
Il modello del duration gap
Una contabilità a valori di mercato
• Valutiamo ora le attività e le passività della banca a valori di mercato:
Un aumento dei tassi di interesse produce
una riduzione del valore di mercato
delle attività e passività finanziarie a tasso fisso
Il valore dei certificati di
deposito a fine 2007 sarebbe
(vita residua = 1 anno, interesse
pagato sul CD 3%):
Dopo l’aumento dei tassi
dell’1%(al 6%), il valore di
mercato del mutuo alla fine del
2007 è (vita residua = 9 anni,
tasso 5%):
VM mutuo 
9
 1  6%  1  6% 
5
t 1
t

100
9
93, 2
VM CD 
92, 7
 89,13
1  4% 
DVMB=DVMA-DVMP =(100-93,2)-(90-89,13) =5,93
© Resti e Sironi, 2008
5
Rischio e valore nelle banche
Il modello del duration gap
Una contabilità a valori di mercato
• Il bilancio a valori di mercato alla fine del 2007 sarebbe:
Attività
Cassa
Mutuo a tasso fisso (5%)
Totale
€ m Passività
2,3 CD a tasso fisso (3%)
93,20 Utile (Perdita) di esercizio
Patrimonio
95,5 Totale
€m
89,13
(3,63)
10
95,5
Seguendo la logica di mercato l’utile/perdita di esercizio è dato da:
U 2007  MI  DVM B  MI  DVM A  DVM P
U 2007  (5  2, 7)   93, 2  100   89,13  90    3, 63
•La perdita di 3,63 rappresenta quindi la risultante tra una minusvalenza netta di
5,93 (data dal saldo tra la variazione di valore dell’attivo e quella del passivo) e
ricavi netti da interessi per 2,3.
•L’effetto della variazione al rialzo di un punto percentuale dei tassi, verificatasi nel
2007, viene ora riconosciuto nello stesso esercizio in cui essa si è verificata.
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6
Rischio e valore nelle banche
Il modello del duration gap
Una contabilità a valori di mercato
• A fine 2008:
Il valore del CD, in scadenza, è 90
(importo da rimborsare).
Il valore di mercato del mutuo (vita residua 8 anni), è:
VM mutuo 
8
 1  6%   1  6% 
t 1
• Lo stato patrimoniale a fine 2008 è quindi:
Attività
Cassa
Mutuo a tasso fisso (5%)
€m
4,6
93,79
Totale
98,39
5
100
t
Passività
CD a tasso fisso (3%)
Utile (Perdita) di esercizio
Patrimonio
Totale
8
93, 79
€m
90
2,02
6,37
98,39
L’utile/perdita di esercizio è dato da:
U 2008  MI  DVM B  (5  2, 7)   93, 79  93, 2    90  89,13   2, 02
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Rischio e valore nelle banche
Il modello del duration gap
La duration
• La duration di uno strumento finanziario è data dalla media aritmetica delle
scadenze dei flussi di cassa ad esso associati, dove ogni scadenza viene ponderata
per il rapporto fra il valore attuale del flusso associato a quella scadenza e il prezzo
(o valore di mercato totale) dello strumento finanziario
Flusso di cassa t-esimo
Ft
Scadenza dell’attività,
ossia dell’ultimo flusso
di cassa
D
T
t 
t 1
Scadenza, espressa
in anni, del singolo
flusso di cassa
© Resti e Sironi, 2008
1  y 
t
Tasso di rendimento
effettivo a scadenza
(yield to maturity)
richiesto dal mercato
sulla scadenza t
P
Prezzo o valore di
mercato dello
strumento in esame
8
Rischio e valore nelle banche
Il modello del duration gap
Il calcolo della duration
• Al 1/1/2007 consideriamo un titolo obbligazionario che paga una cedola annuale
del 6%, con vita residua di quattro anni (scadenza 31/12/2010).
Il rendimento effettivo a scadenza richiesto dal mercato è pari al 6%. Il prezzo è
allora uguale al valore di rimborso:
Data
31/12/07 31/12/08 31/12/09 31/12/10
Flusso
6
6
6
106
Valore attuale
5,660
5,340
5,037
83,962
Prezzo tel quel
100,00
Scadenza in anni (a)
Flusso (b)
Valore attuale (c)
Valore attuale/Prezzo (d)
(a) x (d) = (e)
Duration = ( (e))
© Resti e Sironi, 2008
Per calcolare la duration,
pesiamo ogni scadenza con un
peso uguale al rapporto fra
valore attuale del flusso
corrispondente
e prezzo del titolo
1
2
3
4
Totale
6
6
6
106
5,660 5,340 5,037 83,962 100,00
0,0566 0,0534 0,05037 0,83962 1,00
0,0566 0,1068 0,1511 3,3585
3,6730
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Rischio e valore nelle banche
Il modello del duration gap
La duration modificata
• Misurare la sensibilità del suo prezzo a variazioni nel tasso di rendimento di
mercato.
• Partiamo dalla relazione tra prezzo di un titolo (P) e il tasso di rendimento a
scadenza richiesto dal mercato (y):
P
T
Ft
 1  y 
t 1
t
Derivando
rispetto al tasso
di rendimento
Dividendo poi per il
prezzo P si ottiene:
dP 1
1

dy P
1 y
T
t 
t 1
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1 F1
2  F2
T  FT
dP


 ... 
2
3
T 1
dy 1  y 
1

y
1

y
 
 
T  Fn 
2  F2
dP
1  F1




 ... 
2
T
dy
1  y   1  y  1  y 
1  y  
Ft
Duration
t
Modificata
dP
D
1  y 
D
P

1 y
Cioè:
P

1 y
 dy
10
Rischio e valore nelle banche
Il modello del duration gap
La duration modificata
• La duration modificata consente di quantificare la variazione percentuale di
prezzo corrispondente a una variazione (infinitesima) dei rendimenti di mercato.
• Utilizzando variazioni del tasso di rendimento finite (Dy), si ottiene una stima
approssimata della conseguente variazione percentuale del prezzo:
DP
D

 Dy
P
1 y
• La duration è tanto minore quanto maggiori sono il numero e la consistenza dei
flussi intermedi.
• Se un titolo obbligazionario ha vita residua più breve e/o cedole di maggiore
importo, a fronte della stessa variazione dei tassi di mercato, registra una
variazione di prezzo più contenuta, grazie a una minore duration.
• La duration è espressa in unità temporali, ossia generalmente in anni.
• Si può dimostrare che la duration di un portafoglio non è altro che la media delle
duration dei singoli titoli che lo compongono, ognuno ponderato per il proprio
valore di mercato.
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Rischio e valore nelle banche
Il modello del duration gap
Il duration gap
• Con la duration è possibile stimare la variazione che il valore di mercato delle
attività e delle passività della banca subirebbe a seguito di una variazione dei tassi.
DVM A
DA

 Dy A   DM A  Dy A
VM A
1  y A 
DVM A  VM A  DM A  Dy A
DVM P
DP

 DyP   DM P  DyP
VM P
1  yP 
DVM P  VM P  DM P  DyP
Duration
Modificata
• La variazione del valore di mercato del patrimonio della banca è quindi:
DVM B  DVM A  DVM P   VM A  DM A  DyA    VM P  DM P  DyP 
• Assumendo che le variazioni dei tassi di rendimento medi dell’attivo e del passivo
siano uguali, si ottiene:
DVM B   VM A  DM A  VM P  DM P   Dy
Leva finanziaria VMP / VMA
Duration Gap
DVM B    DM A  L  DM P   DVM A  Dy  DG VM A  Dy
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Rischio e valore nelle banche
Il modello del duration gap
Il duration gap
• Secondo il modello del duration gap la variazione del valore di mercato del
patrimonio conseguente a una variazione dei tassi è una funzione di tre elementi:
1. Il valore di mercato del totale dell’attivo
2. La dimensione della variazione dei tassi di interesse
3. La differenza fra la duration modificata dell’attivo e quella del passivo, corretta
per la leva finanziaria della banca, ovvero il duration gap
• La banca è immunizzata dal rischio di tasso se il duration gap è nullo:
• se il valore netto iniziale è pari a zero (VMB = VMA – VMP = 0), ciò accade
quando la sensibilità del valore delle attività è uguale a quella delle passività
(DMA = DMP)
• Se, più realisticamente, il valore delle attività è superiore a quello delle
passività (VMA>VMP e VMB>0), ciò accade per una duration del passivo superiore
a quella dell’attivo (ma nella realtà è più probabile che DMA > DMP )
© Resti e Sironi, 2008
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Rischio e valore nelle banche
Il modello del duration gap
Il duration gap
• Calcoliamo la duration modificata dell’attivo e del passivo e il duration gap della
Banca Alfa.
• Collochiamoci al 31/12/2007, un attimo prima dell’aumento dei tassi.
Ft
5
105
t
t
t
9
9
8
1

y
1

5%
1

5%
 A




DA  Dmutuo  
 t 
 9
 7, 46
VM A
100
100
t 1
t 1
DA
7, 46

 7,11
1  y A  1  5%
Ft
t
t
1
1  yP 
DP  DCD 
1
VM P
t 1
DM A 

DM P 
DP
1

 0,97
1  yP  1  3%
DG   DM A  L  DM P    7,11  0,90  0,97   6, 23
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Duration Gap
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Rischio e valore nelle banche
Il modello del duration gap
Il duration gap
• È ora possibile stimare la variazione che subirebbe il valore di mercato del
patrimonio della banca a seguito di un rialzo del 1% dei tassi di mercato.
DVM B   DG VM A  Dy  6, 23 100 1%  6, 23
• In corrispondenza di un aumento dei tassi di un punto percentuale il valore di
mercato della Banca Alfa subirebbe una riduzione istantanea di 6,23 milioni di
euro, oltre il 60% del suo valore di partenza.
• Il risultato ottenuto è diverso dalla minusvalenza di 5,93 milioni di euro calcolata
nella slide 5. L’utilizzo della duration per stimare l’effetto sul valore di un’attività
finanziaria di variazioni finite dei tassi di mercato rappresenta
un’approssimazione soggetta a errore.
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Rischio e valore nelle banche
Il modello del duration gap
I problemi del modello del duration gap
1. Politiche di immunizzazione: anche se una banca riesce ad annullare il suo
duration gap, mediante l’utilizzo di strumenti derivati o politiche di
ristrutturazione del bilancio, l’efficacia di questa strategia di immunizzazione dal
rischio risulterà limitata nel tempo, per diversi motivi:
La duration dell’attivo della banca
può variare, nel tempo, in modo
diverso da quella del passivo,
modificando così il duration gap della
banca. Soltanto se la variazione dei
tassi si verifica subito dopo
l’immunizzazione è verosimile che il
valore di mercato del patrimonio
della banca non subisca alcuna
variazione.
© Resti e Sironi, 2008
Le variazioni dei tassi di interesse
modificano la duration di attività e
passività,
modificando
così
il
duration gap della banca. Le politiche
di immunizzazione dovrebbero essere
ricalibrate ogni volta che si verifica
una variazione nel livello dei tassi.
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Rischio e valore nelle banche
Il modello del duration gap
I problemi del modello del duration gap
2. Costi connessi alle politiche di immunizzazione: simili politiche
richiedono di modificare la duration, e dunque la scadenza, delle attività e delle
passività della banca. Le politiche di ristrutturazione del bilancio necessarie allo
scopo possono comportare costi rilevanti o la rinuncia a opportunità di impiego
o di raccolta redditizie. In realtà, queste politiche possono essere realizzate anche
mediante il ricorso alla negoziazione di strumenti derivati quali swap, opzioni e
futures su tassi di interesse.
3. Grado
di approssimazione: poiché la duration è fondata su
un’approssimazione lineare della funzione convessa che lega il valore di mercato
di uno strumento finanziario al suo tasso di rendimento, essa commette un
errore di stima tanto maggiore quanto più forte è la variazione dei tassi di
mercato. Questo problema può essere superato ricorrendo a una misura del
grado di convessità della funzione menzionata. Al duration gap può dunque
essere affiancato il convexity gap.
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17
Rischio e valore nelle banche
Il modello del duration gap
Il convexity gap
• Il convexity gap permette una stima più accurata della variazione del valore di
mercato del patrimonio della banca, tenendo in considerazione anche il grado di
2
curvatura della relazione.
DVM B   VM A  DM A  VM P  DM P   Dy  VM A  CM A  MVP  CM P  
• La convexity e la convexity modificata sono calcolate come:
Ft
C
 t  t 
T
2
t 1
1  y 
C
P
1  y 
t
 Dy 
2
Convexity
modificata
dell’ attivo e
del passivo
2
DVM B   DG  VM A  Dy  CG  VM A 
 Dy 
2
CG  CM A  L  CM P
2
Il convexity gap riflette il grado di dispersione dei flussi di cassa delle attività e
delle passività della banca attorno alla propria duration
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18
Rischio e valore nelle banche
Il modello del duration gap
I problemi del modello del duration gap
4.Variazioni uniformi dei tassi di interesse attivi e passivi: come il
repricing gap anche il duration gap si basa su questa ipotesi. In realtà una
variazione del tasso di mercato può riflettersi in variazioni differenziate dei tassi
attivi e passivi (basis risk).
• È possibile stimare il diverso grado di sensibilità dei tassi attivi (βA) e passivi (βP) al
tasso di riferimento
• La variazione nel valore del patrimonio della banca a seguito di una variazione del
tasso di riferimento sarà:
DVM B   BDG VM A  Dy
BDG  DM A  A  DM P   P  L
beta
duration gap
• L’impatto di una variazione del tasso di mercato di riferimento sul valore di
mercato del patrimonio netto della banca dipende da:
rapporto fra
duration
valore delle
sensibilità media
modificata media
passività e valore
dei tassi attivi e passivi alle
di attivo e passivo
delle attività
variazioni del tasso di mercato
© Resti e Sironi, 2008
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Rischio e valore nelle banche
Il modello del duration gap
Esercizi/1
1.Si
consideri un’obbligazione a cedola fissa con valore nominale di
1.000 euro, che paga un coupon semestrale del 3% e che scadrà tra tre
anni e due mesi. Ipotizzando che la curva dei tassi di mercato sia piatta
in corrispondenza del 4% (composto annualmente), si calcolino il
valore corrente e la duration modificata del titolo; sulla base della
duration, si stimi l’impatto di una riduzione del 2% nei tassi di mercato
sul valore del bond. Infine, si consideri una seconda obbligazione, con
la stessa scadenza, un valore nominale di 1.100 euro e una cedola
semestrale del 1,5%. Di nuovo, se ne calcoli il valore corrente e la
duration modificata. Si spieghi infine perché i due titoli hanno valore
simile, pur avendo duration modificate differenti. Si dica poi se l’effetto
sul secondo titolo di un aumento del 2% nei tassi di mercato sarebbe
più o meno consistente che per il primo, e perché.
© Resti e Sironi, 2008
20
Rischio e valore nelle banche
Il modello del duration gap
Esercizi/2
2.Usando i dati nella Tavola di pagina successiva:
• si calcoli il valore netto del patrimonio della banca;
• si calcoli il duration gap della banca;
• si calcoli il convexity gap della banca;
• sulla base del solo duration gap, si stimi l’impatto di un aumento di 50
punti base della curva dei tassi sul valore netto della banca;
• sulla base di duration gap e convexity gap, si stimi l’impatto di un
aumento di 50 punti base della curva dei tassi sul valore netto della
banca;
• si commentino brevemente i risultati
© Resti e Sironi, 2008
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Rischio e valore nelle banche
Il modello del duration gap
Esercizi/2
Attività
Aperture di credito
Titoli a tasso variabile
Prestiti a tasso fisso
Mutui ipotecari a tasso fisso
Passività
Conti correnti
CD a tasso fisso
Obbligazioni a tasso fisso
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Valore
1000
600
800
1200
Duration Convexity
modificata modificata
0
0
0,25
0,1
3,00
8,50
8,50
45
Valore
1200
600
1000
Duration Convexity
modificata modificata
0
0
0,5
0,3
3
6,7
22