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Scienza delle costruzioni
Università : II Università degli studi di Napoli (sede Caserta)
Facoltà : Ingegneria
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Parte B1: Il problema cinematico o della labilità
Fase (a). Le condizioni di vincolo conducono ad individuare i A il centro assoluto del tronco I
(tronco ABDE); sull’asse del carrello Q (retta verticale passante per Q) il centro assoluto C2 del
tronco II (tronco GHPQ) ed in corrispondenza dell’intersezione degli assi dei due pendoli interni
EG e PQ il centro relativo C12 (vedi Fig. 10).
Fase (b). Avendo a che fare con due soli tronchi, bisogna imporre il rispetto del solo 1° teorema
delle catene cinematiche, che impone l’allineamento dei centri:
C1 C12
C2
Poiché, dalla fase (a), C1 e C12 sono noti e di C2 è nota la retta di appartenenza, la condizione di
allineamento precedente consente di determinare univocamente quest’ultimo centro e di
posizionarlo nell’intersezione tra l’asse del carrello Q e la congiungente C1 - C12 , ossia nel punto H
(Fig. 10).
Fase (c). Si è ottenuta una posizione univoca dei centri di tutti i tronchi, per cui la struttura è 1 volta
labile e la labilità è di tipo globale.
e.c
om
Per costruire il cinematismo sulla struttura, si tracciano i vettori spostamento dei vari vertici A, B,
D, E, G, H, P, Q, utilizzando la costruzione grafica della Figura iv del paragrafo B1.4 e le posizioni
dei centri ottenute al termine della Fase (b) (vedi Fig. 10).
Ct
rib
Si assegnerà un angolo di rotazione arbitrario ad uno dei due tronchi (ad esempio un angolo I al
tronco I) e si determinerà l’angolo di rotazione dell’altro tronco imponendo la “connessione” tra i
cinematismi dei due tronchi in corrispondenza del centro relativo C12 .
AB
Se si è partiti dal tronco I, ad esempio, si traccia lo spostamento del centro C12 , pensato
appartenente a tale tronco, lungo la perpendicolare alla congiungente C1 - C12 (Fig. 10). Si
determina a questo punto l’angolo di rotazione II imponendo che il vettore spostamento di C12
ottenuto in precedenza risulti uguale a quello ottenibile se si pensa invece lo stesso punto come
appartenente al tronco II.
Una volta ottenuto il valore di II , si traccia il cinematismo del tronco II utilizzando sempre la
costruzione grafica illustrata nel paragrafo B1.4.
Per quanto riguarda, invece, la costruzione per componenti, si può cominciare, ad esempio, dal
diagramma V del tronco I, che si traccerà ovviamente a partire da una fondamentale orizzontale
(Fig. 10).
Una volta riportate sulla fondamentale le proiezioni ortogonali di tutti i centri (indicate con un apice
in Fig. 10), è immediato disegnare il diagramma V in esame, che si annullerà, ovviamente, in
corrispondenza della proiezione C1' di C1 e avrà andamento lineare lungo tutto lo sviluppo della
proiezione del tronco sulla fondamentale.
Si può tracciare a questo punto il diagramma V del tronco II, imponendo che esso sia lineare; si
annulli in corrispondenza della proiezione C 2' di C2 e presenti lo stesso valore del diagramma V
'
di C12 sulla fondamentale.
del tronco I in corrispondenza della proiezione C12
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Parte B1: Il problema cinematico o della labilità
Per quanto riguarda il diagramma W, che si traccerà a partire da una fondamentale verticale, si
comincia riportando sulla fondamentale le proiezioni ortogonali di tutti i centri (indicate con due
apici in Fig. 10).
Il diagramma W del tronco I si annullerà in corrispondenza di C1'' ed avrà pendenza sulla verticale
pari alla pendenza del corrispondente diagramma V rispetto all’orizzontale (tale pendenza
rappresenta infatti l’angolo di rotazione I del tronco I). Esso si può quindi tracciare per
ortogonalità rispetto al diagramma V, come è mostrato in Fig. 10.
Terminato il diagramma W del tronco I, si passa a costruire il corrispondente diagramma del tronco
II. Quest’ultimo avrà valore nullo in C 2'' e valore coincidente con quello del diagramma W del
''
(Fig. 10).
tronco I in corrispondenza di C12
Ulteriori esempi di tracciamento grafico dei cinematismi sono riportati nelle Figure che seguono.
om
Nelle Figure da 11 a 15 i cinematismi sono stati costruiti “sulle strutture”; mentre in quelle da 17 a
20, essi sono stati costruiti, invece, per componenti. Per il caso presentato in Fig. 16 sono state
utilizzate entrambe le costruzioni suddette.
e.c
La costruzione dei centri è immediata nel caso della struttura di Fig. 11, che è una volta labile per
insufficienza dei vincoli (labilità di tipo globale).
AB
Ct
rib
Nel caso di Fig. 12 (s=3t=6), le posizioni dei centri sono univocamente determinate già al termine
della fase (a) sopra e nella fase (b) vi è da verificare soltanto il rispetto del 1° teorema delle catene
cinematiche. E’ significativo osservare che in questo caso C1 e C12 in effetti coincidono, venendo a
trovarsi nello stesso punto all’infinito. La labilità è di tipo parziale (interessa solo il tronco di
sinistra) ed imputabile al mal posizionamento dei vincoli. Analogo è il caso mostrato in Fig. 13.
Per la struttura di Fig. 14, formata da tre tronchi, sono riportate a margine le condizioni di
allineamento da soddisfare per imporre il rispetto del primo e del secondo teorema delle catene
cinematiche. Al termine della fase (a) sono noti i centri C1 , C12 , C 23 e C3 . Nella fase (b) si
determina C 2 mettendo a sistema le condizioni di allineamento (i) e (iii), ossia si fa coincidere tale
centro con l’intersezione delle congiungenti C1 C 2 e C 2 C 23 . Si può determinare infine C13 , che
non è in effetti essenziale per la costruzione del cinematismo, mettendo a sistema le condizioni di
allineamento (ii) e (iv).
Il caso di Fig. 15 è relativo ad una struttura assimilabile a due soli tronchi. Infatti, in virtù del 2°
teorema delle catene cinematiche, le maglie triangolari con nodi a cerniera e le loro unioni in
corrispondenza di due punti distinti danno luogo a sottostrutture nelle quali le singole travi non
possono presentare spostamenti rigidi relativi (i centri relativi delle tre travi di una maglia
triangolare con nodi a cerniera non sono allineati). Tali sottostrutture sono quindi assimilabili a
tronchi unici ai fini dello studio della labilità. La struttura di Fig. 15, così come quella della Fig. 14,
è una volta labile per mal posizionamento dei vincoli ed esibisce una labilità di tipo globale.
Si lascia al lettore la cura di discutere in maniera analoga i problemi presentati nelle Figg. 16-20.
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rib
e.c
om
Parte B1: Il problema cinematico o della labilità
AB
Ct
Fig. 11
!
Fig. 12
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