Libera Università di Bolzano
Facoltà di Scienze della Formazione
Didattica della matematica e informatica
3. anno - Scuola dell'infanzia (30 ore)
Corso di Laurea quadriennale in Scienze della Formazione primaria
Sezione in lingua italiana a.a. 2012/2013
Prof. Benedetto Di Paola
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[email protected]
Avvertenza
Tutto ciò che segue viene presentato
solo in maniera schematica come
traccia degli argomenti trattati
durante il corso.
Obiettivi e
contenuti
del corso
Prof. Benedetto Di Paola
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Alcuni riferimenti bibliografici citati nell’ipertesto:
Angeli A., D’Amore B., Di Nunzio M., Fascinelli E. (2011). La matematica
dalla scuola dell’infanzia alla scuola primaria. Bologna: Pitagora.
(riferimento principale)
D’Amore B., Fandiño Pinilla M.I., Gabellini G., Marazzani I., Masi F., Sbaragli S. (2004).
Infanzia e matematica. Didattica della matematica nella scuola dell’infanzia. Bologna:
Pitagora.
Arrigo G., Sbaragli S. (2004). I solidi. Roma: Carocci.
Cottino L., Sbaragli S, (2005). Le diverse “facce” del cubo. Roma: Carocci.
www.dm.unibo.it/rsddm.
Di Paola B., Manno G., Scimone A., Sortino C. (2007). La Geometria, una guida ai suoi
contenuti e alla sua didattica. Editore Palumbo, Palermo
Scimone A., Spagnolo F. (2005). Argomentrare e Congetturare nella scuola primaria e
dell’infanzia, Palumbo, Palermo.
Materiale
didattico
in
rete
sul
sito
del
insegnamento/Apprendimento delle Matematiche):
http://dipmat.math.unipa.it/~grim/matdit.htm.
G.R.I.M.
(Gruppo
di
Ricerca
Angeli A., D’Amore B., Di Nunzio M.,
Fascinelli E. (2011). La matematica
dalla scuola dell’infanzia alla scuola
primaria. Bologna: Pitagora. (1)
(1) Le slide riportate su questo ipertesto fanno diretto riferimento al testo.
Il
Progetto
Matematica
nella
scuola
primaria, percorsi per apprendere, nasce
come strumento pensato per la formazione
iniziale ed in servizio degli insegnanti di
primaria, come strumento al servizio della
scuola militante.
Che cosa significa didattica?
Prima di iniziare un percorso che si snoderà tra l’insegnamento e
l’apprendimento, è necessario approfondire adeguatamente il
significato di questo termine, didattica, così diffuso e dal senso non
sempre altrettanto chiaro e delimitato (Pellerey, 1991).
Discuteremo il significato, la portata del termine didattica mediante
la presentazione di alcune tra le principali questioni ad esso
collegate.
Cfr. Didattica generale e didattiche disciplinari di B. D’Amore e di F. Frabboni (1996).
Esistono le
didattiche specifiche (disciplinari)
ed esiste la
didattica generale.
Si tratta di due approcci diversi al problema, o forse di due fasi
successive: le azioni, le scelte, le posizioni assunte dall’insegnante, così
come l’apprendimento da parte dell’allievo, sono certamente riferite
alla disciplina insegnata (e appresa); pertanto l’attività didattica e la
corrispondente ricerca non possono eludere il riferimento alla materia
(Bagni, 2009).
Tuttavia le singole didattiche specifiche non procedono separatamente,
sulla base di valutazioni, riferimenti e considerazioni completamente
indipendenti: esistono questioni che, pur sorgendo da situazioni
proprie della singola disciplina, sono generalizzabili e la cui
importanza, una volta operata tale generalizzazione, è comune. (Bagni,
2009)
Spesso durante questo corso, parleremo di didattica della Matematica
pensando a una didattica specifica senza però dimenticare o negare la
piena validità di considerazioni riferite ad una didattica generale.
Questo aspetto è infatti particolarmente SIGNIFICATIVO per la
scuola dell’Infanzia.
Che cos’è, dunque, la didattica della Matematica?
Come possiamo intendere lo studio, la ricerca in didattica della
Matematica?
Iniziamo a presentare una prima concezione della didattica della
Matematica, secondo la quale lo scopo centrale dell’azione e della
ricerca didattica è il miglioramento dell’insegnamento …
E’ importante utilizzare una varietà di strumenti
di osservazione, di riflessione … di natura teorico/sperimentale
Un possibile indice del corso:
- L’apprendimento della Matematica:
un meccanismo meraviglioso ma complesso;
- La trasposizione didattica;
- Problem solving e apprendimento;
- Problem solving e metacognizione;
-Il contratto didattico;
-Ostacoli e apprendimento.
Le Neuroscienze, le Scienze Cognitive
dell’educazione sottolineano che se si insegna adeguatamente, il cervello dei nostri alunni è
organizzato per ottenere il meglio delle sue funzioni
di base (memoria, attenzione, lettura, il calcolo,
conoscenze dichiarative ecc.).
Ma che cosa significa
insegnare adeguatamente?
Vuol dire potenziare le abilità implicate negli
apprendimenti in modo adeguato allo sviluppo.
Questo significa che è importate riflettere su come si sviluppano le
varie abilità implicate negli apprendimenti che via via
didatticamente si affrontano (D’Amore, 1999).
Maestro (dal latino magister, derivato di magis, “più”), chi conosce pienamente
una qualche disciplina così da possederla e poterla insegnare agli altri.
Dal Vocabolario della lingua italiana di Aldo Duro, Istituto della Enciclopedia Italiana “Treccani”
Formazione … Scaffolding e graduale Fading
Educazione Matematica e metodologiche didattiche
1
Differenza fra Matematica e
educazione matematica.
2
Riconoscimento della natura dei
concetti (oggetti) della Matematica
e i registri semiotici per le
rappresentazioni di questi.
3
4
Linguaggio comune e linguaggio
matematico.
La matematica come fatto culturale,
cosa può insegnarci la Cina?
5
Approccio neuroscientifico e
linguistico.
Educazione Matematica e metodologiche didattiche
Contesto di Riferimento
Sistema educativo
Istituzione scolare
Aula
Relazioni accademiche
Relazioni professionali
Domande dell’insegnante
Che cosa è l’educare?
Educare a che cosa?
Che relazione esiste tra il sapere, l’insegnamento e
l’apprendimento?
Che cosa devo insegnare?, Per quale regione insegno un
determinato contenuto?
Che relazione esiste tra quel che insegno e i fini del
sistema educativo in una ottica di verticalità?
Come apprendono i miei allievi?
Perché e a che scopo apprendono?
Quali sono i problemi di ricerca che devo affrontare?
Quali le teorie che mi permettono di capire questi
problemi?
Come rendere pubblico quel che imparo a partire dalle
mie ricerche, dalla mia esperienza?
Quale è l’importanza della mia professione? Conosco le
professionalità docenti degli altri gradi scolastici?
Domande complesse per un compito complesso!
Educazione Matematica e metodologiche didattiche
Un interessante studio (Gallagher,1991) condotto in classe osservando il lavoro
degli insegnanti e discutendo con loro, ha individuato sei concezioni della relazione
tra insegnamento/apprendimento, che sono state categorizzate ed ordinate in un
ordine crescente rispetto all’evoluzione professionale:
il livello più basso è quello in cui
l’insegnante si considera semplicemente
il “depositario” dei contenuti della
disciplina che trasmette secondo
sequenze rigide e “garantite”, mentre il
livello più alto è quello in cui l’insegnante
ha di sé l’immagine professionale di
mediatore, usa molteplici strategie per
aiutare lo studente ad esplicitare le proprie
conoscenze ed innesta su di esse nuove
conoscenze che l’alunno metterà in
relazione con quanto già conosce.
Cfr. Gallagher, J. (1991). Prospective and practicing secondary school science teachers’
knowledge and beliefs about the philosophy of science. Science Education, 75, 121-133.
Un approccio sistemico: possibile chiave di lettura, interpretazione e
previsione di fenomeni di insegnamento/apprendimento in classe.
Sapere
Sapere
Insegnante
Insegnante
SituazioneDidattica
Insegnante
Sapere
SituazioneDidattica
Sapere
Allievo
Situazione
Didattica
InsegnanteAllievo
Allievo
SituazioneDidattica
Allievo
Cfr. Chevallard & Joshua, 1982; Chevallard, 1985; D’Amore & Frabboni, 1996, p. 111.
Un approccio sistemico: possibile chiave di lettura, interpretazione e
previsione di fenomeni di insegnamento/apprendimento in classe.
Cfr. Chevallard & Joshua, 1982; Chevallard, 1985; D’Amore & Frabboni, 1996, p. 111.
La storia e l’epistemologia hanno un duplice scopo, culturale e
strumentale.
Conoscere il senso della disciplina che insegno mi dà strumenti
per valutarne i contenuti, i modi, gli sviluppi, perfino per decidere
che cosa conta o no e prevedere i comportamenti dei miei allievi.
L’uso strumentale è il più concreto.
Conoscere la storia e l’epistemologia della Matematica è un forte
indicatore che ci aiuta a capire gli ostacoli che possono incontrare
gli allievi, quelli oggettivi, non sempre facilmente identificabili,
quelli legati alla stessa disciplina…
Lo strano caso … dello “zero”
D’Amore B. (2007). I bambini e lo zero. Come un ostacolo epistemologico si trasforma in ostacolo didattico.
In: D’Amore B., Sbaragli S. (eds.) (2007). Allievi, insegnati, sapere: la sfida della didattica della matematica.
Atti del Convegno Nazionale: Incontri con la matematica, n° 21. 2-3-4 novembre 2007, Castel San Pietro
Terme. Bologna: Pitagora. 83-90.
Alla scuola dell’Infanzia …
La proposta della RdM è quella di lasciare liberi di esprimere in
modo spontaneo, informale, ingenuo ogni concetto matematico
che il bambino ha già fin da piccolo, senza bloccarlo, anzi,
sfruttando proprio le sue competenze ingenue, informali; e
procedere così, con molta oculatezza didattica, facendo in modo
che le relative immagini mentali successive si organizzino fino a
diventare modelli stabili corretti al momento opportuno, ben
organizzati nella mente e coincidenti con il risultato
cognitivamente atteso. (D’Amore, 2007)
Il rapporto con la Matematica
L’atteggiamento...verso la Didattica della Matematica
Il tema di Giacomo
(prima media)
(Cfr. Zan, 2006)
(Cfr. Zan, 2006)
(Cfr. Zan, 2006)
(Cfr. Zan, 2006)
(Cfr. Zan, 2006)
(Cfr. Zan, 2006)
“Io e la matematica”:
la vostra storia …
… alcune riflessioni
… alcune riflessioni
Il rapporto con la matematica definito come positivo, di sfida,
di rispetto, difficile, tormentato, di paura, negativo, di
indifferenza, di odio, ecc.
Mediazione dell’insegnate ma anche la propria visione della
disciplina come disciplina definita in più casi come astratta e
spesso arida.
Un rapporto che si è modificato in positivo o in negativo nel
tempo, in funzione delle metodologie didattiche proposte in
classe dall’insegnate (disponibilità ai chiarimenti, uso di
materiali concreti/tecnologici … esercizi ripetitivi, troppa
astrazione e formalismo ecc.)
… alcune riflessioni
Volendo schematizzare i risultati ottenuti, sembra che le
argomentazioni riportate si possano sintetizzare nello studio
del processo di matematizzazione tipico nell’individuo.
Come sottolineato in molti dei “vostri” elaborati, si ha
inizialmente una natura intuitiva, si prosegue poi attraverso
un pensiero analitico e riflessivo sino ad arrivare
al
conseguimento del concetto matematico stesso.
Rapportando questo processo alla vita scolastica dello studente
si ha quindi che la fase intuitiva iniziale concerne la scuola
dell’infanzia e in parte il primo ciclo della primaria, mentre
una fase più astratta e riflessiva caratterizza il pensiero
matematico del bambino nei successivi anni scolastici.
… alcune riflessioni
I problemi psicologici connessi alla formazione dei concetti e
quindi alla relativa didattica sono complessi e fanno capo ai
processi mentali che compongono la concettualizzazione in
generale.
In particolare dagli studi della Psicologia piagetiana sappiamo
che l’attività concettuale ha inizio con il processo di percezione,
quelli di discriminazione, di generalizzazione, di astrazione,
sino al processo di verbalizzazione tramite il quale il processo
viene denominato.
Un esempio: il calcolo del volume
L’esperienza dei sacchi di Galileo Galilei sui due cilindri ottenuti da un avvolgimento di un foglio di carta per il lato
lungo o quello largo.
Alla scuola dell’infanzia
Cfr. Indicazioni per il curricolo per la scuola dell’infanzia e per il primo ciclo d’istruzione (2007)
Alla scuola dell’infanzia
Cfr. Indicazioni per il curricolo per la scuola dell’infanzia e per il primo ciclo d’istruzione (2007)
Attivare la connessione tra mente in sviluppo e contenuti
organizzati nel contesto educativo proprio della scuola
dell’Infanzia significa entrare in un ordine di considerazioni
del tutto particolare rispetto a quelle implicate dall’attivazione
dello stesso rapporto nei gradi scolastici successivi.
Non si tratta di trasmissione delle conoscenze, né di
apprendimenti relativi ad elementi del sapere codificati dalle
varie discipline.
Il riferimento ai contenuti … in chiave PROTODISCIPLINARE e
quindi nel caso della Matematica, il contenuto di riferimento è
la PROTOMATEMATICA
PROTOMATEMATICA:
prima ancora di essere quell’insieme di nozioni concettuali
concernenti i NUMERI, le OPERAZIONI, le FIGURE
GEOEMTRICHE, le FORMULE ecc. la Matematica è un modo di
rapportarsi nei confronti dei dati della realtà, di organizzare il
pensiero e le attività complesse che possono essere sottese.
Parlare della mente in sviluppo riferendoci alla fascia di età
propria della scuola dell’Infanzia, significa riferirsi a tutti quei
processi cognitivi che attivano la costruzione dei concetti e che
perciò hanno tanta rilevanza nella vita intellettuale
dell’individuo e ne condizionano la sua successiva capacità di
concettualizzazione.
Ciò che risulta importante allora dal punto di vista evolutivo
del bambino della scuola dell’Infanzia non è tanto promuovere
apprendimenti di concetti bensì capacità che essi sottendono,
cioè le forme intuitive dei concetti stessi definiti in termini di
PROTOCONCETTI.
Un possibile esempio:
Concetto di “percorribilità”.
Protoconcetto di percorribilità come
percorribilità posseduto dall’adulto.
idea
intuitiva
di
Può esser acquisito da un bambino di 3-6 anni attraverso
opportune attività topologiche che comportano mentalmente
un processo di sviluppo ed estensione delle capacità di
orientamento e direzionalità dello spazio.
Contenuti
PROTOMATEMATICI
Sottolineando ancora un volta come la scuola dell’infanzia non
debba essere una “scuola di contenuti” è importante riflettere
sui grandi temi della Matematica che possono essere proposti
ai bambini in quella fascia di età e che possono emergere dai
bambini stessi, dalle loro esperienze, dalle loro richieste.
Geometria
Aritmetica
Probabilità e
Statistica
Cfr. Indicazioni per il curricolo per la scuola dell’infanzia e per il primo ciclo d’istruzione (2007)
Geometria
Unità caratterizzanti il TEMA e
principali concetti protomatematici
TOPOLOGIA
Chiusura, connessione, percorribilità,
MISURA
Lineare, superficiale, volumetrica,
ampiezze, …
FORME
Dei poligoni e dei soldi più comuni, ...
ENUNCIATI
Verità di enunciati anche con
connettivi logici, …
RELAZIONI
Ordine, equivalenza, …
GLI INSIEMI
Prime operazioni con gli insiemi
Aritmetica
MISURA
ENUNCIATI
RELAZIONI
Unità caratterizzanti il TEMA e
principali concetti protomatematici
Lineare, superficiale, volumetrica,
ampiezze, …
Verità di enunciati anche con
connettivi logici, …
Ordine, equivalenza, …
GLI INSIEMI
Prime operazioni con gli insiemi…
DATI E GRAFICI
Rappresentazione di un andamento di
un fenomeno
Probabilità e
Statistica
Unità caratterizzanti il TEMA e
principali concetti protomatematici
EVENTI
Concetto di evento e sua probabilità
(evento probabile, possibile), …
ENUNCIATI
Verità di enunciati anche con
connettivi logici, …
RELAZIONI
Ordine, equivalenza, …
GLI INSIEMI
Prime operazioni con gli insiemi
DATI E GRAFICI
Rappresentazione di un andamento di
un fenomeno
L’attenzione
si
concentra
sulla
PROTOMATEMATICA
introducendo i bambini ad alcuni concetti matematici di base che
già dovrebbero essere interiorizzati nell’ambito familiare, e che
comunque devono poi essere valutati e analizzati in modo più
selettivo durante il periodo scolastico successivo.
Geometria
Aritmetica
Probabilità e
Statistica
Spazio - Ordine - Misura
•ESSERE PARTE DI UN TUTTO;
•ESSERE COMPONENTE (ELEMENTO) DI UN INSIEME;
•ESSERE SOGGETTI A MODIFICHE SPAZIO-TEMPORALI:
TEMPO – AZIONI – MOVIMENTO;
Spazio, Ordine, Misura
Parole-chiave per indicare la Matematica
non come disciplina a sé stante, avulsa da
un contesto reale, ma come “campo di
esperienza”.
La Matematica è una forma di conoscenza
che si può rintracciare e scoprire in molte
attività dell’uomo, pratiche o anche solo
linguistiche.
ESSERE PARTE DI UN TUTTO
Significa comprendere che qualsiasi cosa che possiamo
conoscere è parte di un sistema più grande, di una totalità.
Un dito della mano, un piede del mio corpo … non potrebbero
“vivere” da soli ma hanno comunque una loro specificità che li
distingue .
ESSERE COMPONENTE (ELEMENTO) DI UN INSIEME
Significa comprendere che qualsiasi cosa (oggetto, persona,
animale …) fa parte di un insieme più grande. Ognuno degli
elementi dell’insieme può “vivere” singolarmente, può essere
considerato un elemento “completo”, ma fa parte anche di un
insieme più grande, che lo raggruppa e lo rappresenta.
ESSERE SOGGETTI A MODIFICHE SPAZIO-TEMPORALI:
TEMPO – AZIONI – MOVIMENTO
Tutto ciò che ci circonda è in relazione con noi stessi, con la
nostra capacità di essere “vivi”, di muoverci e muovere ciò che ci
circonda.
Il tempo è alla base del movimento; il tempo che trascorre
evidenzia le nostre azioni che sono sempre diverse.
FUNZIONI DEL DOCENTE :
PASSARE CONTENUTI;
VALORIZZARE L’ESPERIENZA;;
PROMUOVERE LA CREATIVITA’.
TECNICHE DI LAVORO:
•ANIMAZIONE FOTOGRAFICA CON SOGGETTI REALI;
•ANIMAZIONE FOTOGRAFICA CON SOGGETTI MATERIALI PLASTICI;
•COSTRUZIONE DI DISEGNI;
•COSTRUZIONE DI IMMAGINI CON FIGURE GEOMETRICHE PRERELAIZZATE (TANGRAM, BLOCCHI LOGICI …)
Esistono metodi “vincenti” per insegnare la matematica?... NO!
PASSARE CONTENUTI:
Il bambino deve essere attratto e fare domande, l’insegnante
deve stimolare la curiosità e portarlo a domandare sempre di
più. STIMOLARE LA MOTIVAZIONE!
VALORIZZARE L’ESPERIENZA:
Deve essere protagonista in prima persona delle attività e delle
scoperte che lo vedono coinvolto . Deve concretamente vivere il
suo apprendimento.
PROMUOVERE LA CREATIVITA’:
Il bambino deve sentirsi libero di esprimere le proprie capacità
creative, di sbagliare e correggersi e di utilizzare le modalità che
ritiene più funzionali per esprimere le sue idee.
Come sottolineato più volte, nel bambino il processo
di costruzione delle fondamentali conoscenze e
competenze matematiche inizia in modo informale ed
è segnato dall’ambiente di appartenenza e dalla
comunicazione familiare e sociale; gradualmente si
sviluppa sempre più in modo formale e sistematico via
via che l’esperienza scolastica avanza.
E’ intorno ai tre anni che il bambino esprime le prime intuizioni
numeriche, come valutazioni approssimate della quantità del
contare oggetti e nel confrontare grandezze.
Incomincia inoltre ad avvertire, esprimendole linguisticamente,
alcune collocazioni spaziali e a riconoscere alcune proprietà
comuni degli oggetti.
Verso i cinque/sei anni, operando in modo concreto, è in grado
di contare oggetti, persone, cose; ordinarle per grandezza,
lunghezza, altezza; di classificare per forma, colore, spessore,
superficie; di localizzare le persone nello spazio; di
rappresentare percorsi e di eseguirli, anche su semplice
consegna verbale.
La costruzione delle competenze relative a questo campo, nella
scuola dell’infanzia, si riferisce, come detto allo spazio, all’ordine
e alla misura in un approccio basato sulla strutturazione di
schemi per immagini e per forme linguistiche dell’esperienza
diretta, percettiva o interattiva, guidata e sostenuta dalla
comunicazione interpersonale.
Tutto ciò in un contesto vivo e sollecitante, in cui il gioco è visto
come la modalità di azione che permette, da una parte
l’arricchimento dell’esperienza e, dall’altra guida, a una sua
riorganizzazione tramite la riflessione che il gioco stesso
favorisce.
Il “fare” nelle diverse situazioni, è sempre correlato con il porsi
domande, con lo scoprire connessioni, con il provare strategie,
con il darsi spiegazioni, con il fantasticare e il capire meglio.
Lo spazio, nella mente del bambino, deve passare
dalla percezione alla rappresentazione e diventare
così un sistema di riferimento omogeneo,
reversibile e quindi concettualizzato.
Lo spazio vissuto, pian piano lascia il posto allo
spazio rappresentato.
Questo passaggio diventa la trama sulla quale
tessere
gli
incontri
che
il
bambino
fa
quotidianamente con gli ambienti, il terreno sul
quale può essere guidato a riconoscere ed usare in
modo corretto il lessico specifico che accompagna
tutte le attività psicomotorie, il veicolo efficace per
la costruzione e la ristrutturazione della
rappresentazione mentale.
Lo spazio, infine, deve iniziare ad essere
considerato come un insieme di coordinate
costruite sulla base di convenzioni
condivise, che progressivamente esclude il
ruolo del proprio corpo, quale punto di
riferimento unico e basilare.
Dobbiamo guardare i bambini, osservarli, rispettarli,
lasciare loro ampi spazi creativi di manovra, non offenderli
nella loro intelligenza in evoluzione ed in espansione!
Così come per lo spazio, anche le occasioni
di approccio alla misurazione e alla
matematizzazione della realtà, nella scuola
dell’infanzia sono sempre presenti in ogni
momento della giornata scolastica e le
attività di routine sono una fonte
inesauribile di stimoli.
-l’osservazione e la costruzione di calendari scolastici,
-la turnazione e la distribuzione degli incarichi personali,
-l’osservazione e la registrazione del tempo meteorologico,
-l’organizzazione dei momenti di gioco libero e di riordino di materiali,
-l’uso di canzoncine e la recitazione di filastrocche e conte …
Giocare è in molti casi già fare Matematica
In grande misura ed in moltissimi esempi giocare è
l´esplicitazione, la realizzazione pratica di un’attività razionale.
Specie nei giochi di strategia, il comportamento dell’individuo
deve seguire regole (e dunque l’individuo deve saper
distinguere se la mossa che intende eseguire rientra o no tra
quelle ammesse: dal generale al particolare); ma deve anche
perseguire un obiettivo e dunque programmare le proprie
scelte in modo consapevole, coerente e consono allo scopo;
Il giocatore che gioca ad un gioco di strategia deve cercare di
vincere, deve quindi tener conto delle possibili scelte
dell’avversario.
Tutto ciò è Matematica di alto livello, almeno come
atteggiamento.
La corsa al 20
Scopo del gioco: raggiungere per prima il
numero 20 aggiungendo 1 o 2 al numero detto
precedentemente “dall‘avversario”.
Giocare è in molti casi già fare Matematica
Qualche esempio:
Gioco delle costruzioni, libero o strutturato
Esempio 1: Gioco delle costruzioni, libero o strutturato è
un’attività profondamente matematica, legata ad accostamenti
di pezzi, a progettazione preliminare (con dichiarazione
esplicita) di quel che si vuole ottenere.
L’apparato linguistico messo in moto è interessante:
«Metto il tetto rosso sopra al quadrato blu» non contiene solo
le parole “matematiche”: “tetto” (che sta per triangolo) e
“quadrato”, ma molte altre:
• sopra
• tetto-rosso, che distingue da tetti - di - altro - colore
• idem per quadrato-blu
Qualche esempio:
Gioco delle costruzioni, libero o strutturato
• sequenzialità: c’è un implicito ordine nel quale far avvenire la
costruzione; per mettere A su B, occorre già in qualche modo
aver situato B. La parola “sopra”, insieme a tante altre della
lingua italiana, è assai più ricca di profondi sensi matematici
di quanto appaia a prima vista.
Essa assume diversi significati a seconda dei contesti e delle
situazioni.
Interessante può essere poi analizzare la coppia di termini in
opposizione sopra-sotto, perché allora si capisce bene il senso
relazionale: A è sopra rispetto a B; e dunque B è sotto A; ma se
cambio la situazione, A può andare sotto ...
Come allenamento si possono facilmente ideare situazioni concrete che
realizzino queste esperienze.
In definitiva: molte parole della lingua italiana possiedono, nella loro
semantica, forti valenze matematiche che vanno esplorate.
Qualche esempio:
Il racconto di un’esperienza
Esempio 2: Il racconto di un’esperienza, sia con linguaggio
verbale, sia con altre forme linguistiche non verbali sembra
una attività spontanea e naturale ma, in realtà, comporta
l’organizzazione di una sequenza, la scelta di elementi chiave
(significativi) della narrazione; ed in esso è adombrata la
capacità di astrarre dal contesto reale, per estraniarsi come
soggetto, vedersi con gli occhi dell’ascoltatore, scegliere per lui
quegli elementi-chiave, riorganizzarli, proporli (sequenza,
causa-effetto, ordine ecc.).
Qualche esempio:
Simbolizzazione
Esempio 3: In moltissime scuole dell’infanzia italiane e
straniere è d’uso ormai normale che ogni bambino abbia un
simbolo che lo rappresenti, disegnato su un cartellino. A volte
c’è addirittura il nome scritto del bambino in oggetto; altre
volte c’è una figura che ha a che vedere con il bambino (una
stella, un cavallo, un personaggio dei cartoni ecc.),
Dietro questa accettazione del simbolo che sta ad indicare un
bambino c’è un po’ di Matematica
Intanto c’è la necessità di accettare questo accordo
(simbolismo matematico vero e proprio introdotto solo per
convenzione, per semplice patto reciproco, ma esplicito).
Qualche esempio:
Simbolizzazione
E poi c’è l’accordo vero e proprio:
Un bambino potrebbe preferire come simbolo una sedia; ma
anche se l’insegnante lo accontenta, Marco ha capito che
sarebbe la stessa cosa, da un punto di vista simbolico, essere
rappresentato da stella, cavallo o sedia?
La sedia potrebbe proporla l’insegnante perché Marco è
sempre stanco e si vuol sempre sedere … Ma allora il
simbolismo cambia totalmente aspetto!
Perché una corona circolare rossa in campo bianco significa: “divieto di
transito nei due sensi di marcia”, mentre la figura di un trenino nero in
campo triangolare bianco significa: “attenzione: passaggio a livello
incustodito”?
I due simboli sono profondamente diversi.
Qualche esempio:
Simbolizzazione
Perché + dovrebbe rappresentare meglio l’addizione che non il
simbolo × usato invece per la moltiplicazione?
Perché in Italia usiamo : per la divisione, mentre in molti altri Paesi
del mondo si scrive ÷ ?
Si tratta, come si vede, di puri accordi che devono essere espliciti
proprio per la loro natura!
Un altro esempio sull’uso della virgola e del punto:
noi scriviamo 7,5 per dire sette e mezzo (come numero e non come
ora), laddove molti Paesi scrivono 7.5;
noi scriviamo 1.000.000 per scrivere un milione, laddove molti Paesi
scrivono 1,000,000.
Qualche esempio:
Intervenire nell’ambiente per modificarlo e dunque
progettare, eseguire, verificare, discutere
Esempio 4: I casi, in questo campo, possono essere molteplici e tra loro
diversissimi; per esempio, la riorganizzazione dei mobili della sezione:
- Quell’armadio lo spostiamo laggiù.
- Ma lì c’è il tavolo.
- Bene, allora dove possiamo mettere il tavolo?
Tutto ciò prima di eseguire davvero gli spostamenti, solo per
pianificare il lavoro.
Altro esempio di argomentazioni:
- Credo che questo tappo galleggi. Perché?
- Perché è leggero.
- Sono le cose leggere che galleggiano?
- Sì.
- Allora questo sassolino galleggia perché è leggero; e questo piattone
affonderà perché è molto più pesante del sassolino.
- Sì.
Qualche esempio:
Intervenire nell’ambiente per modificarlo e dunque
progettare, eseguire, verificare, discutere
-Bene, proviamo.
Provare, verificare, sono parole magiche. Abbiamo sentito e letto più
e più volte che il criterio per il galleggiamento è la leggerezza. Eppure
basta prendere una pietra anche piccola e leggera e confrontarla con
una nave da carico, per capire che il criterio è del tutto errato!
Provare, sperimentare, verificare, sono parole d’ordine di una didattica consapevole ed intelligente.
La magia del cognitivo matematico (D’Amore, 2011; Angeli A.,
D’Amore B., Di Nunzio M., Fascinelli E., 2011)
Qualche esempio:
Descrizione e comunicazione
Esempio 5: Due bambini si trovano da parti opposte di un paravento
ma fanno parte della stessa squadra; uno dei due ha in mano un
oggetto e deve descriverlo all’altro a parole; il primo vincerà un
punto se la sua descrizione sarà stata così buona da far giungere il
secondo a capire di che cosa si tratta (ovviamente il primo bambino
non può dire il nome dell’oggetto, altrimenti perde il punto).
A questo punto una coppia di bambini della squadra avversaria deve
fare la stessa cosa.
Bambini ed insegnanti assistono al gioco.
Sembra facile descrivere un oggetto a parole ma … quante competenze linguistiche possono venir fuori per comunicare!
Qualche esempio:
Descrizione e comunicazione
Un altro gioco dello stesso tipo può essere quello di far descrivere a
parole un disegno per far sì che un bambino lo ri-disegni.
• il bambino A esce dall’aula ed i suoi compagni rimasti in aula
inventano un disegno di tipo geometrico;
• ora A viene richiamato in classe e va alla lavagna; i bambini in
coro o uno alla volta devono descrivere la figura a parole, dando
ordini verbali per farla ridisegnare.
Questo tipo di gioco può essere significativo non solo nella scuola
dell’infanzia o nella scuola primaria ma anche nella scuola secondaria
inferiore.
I ragazzi giocando hanno perfettamente capito alla fine dell’esperienza come funziona e a che cosa serve il linguaggio della matematica, così
preciso e specifico.
Nel campo della Matematica (o, se si preferisce, nel
campo di esperienza Spazio-Ordine-Misura)
sembra essere assai più importante il formarsi di
solidi modelli mentali profondi corretti, anche se
generali, piuttosto che apprendimenti formali che
non sfociano in vere e proprie costruzioni.
Ciò che pian piano stiamo affrontando durante
questo
corso
sono
tutte
quelle
attività
“matematiche” che si compiono normalmente
nella scuola dell’infanzia e che possono essere
adatte a favorire la formazione di corretti modelli
mentali nel mondo della Matematica.
Qualche esempio:
Il gioco della caccia al “numero”
Esempio 6: bambini ed insegnante escono a fare una passeggiata ma,
questa volta, c’è uno scopo ben preciso: man mano che proseguono,
devono indicare ai compagni tutti i numeri scritti che vedono.
Un’attività all’apparenza banale e che attira invece moltissimo i
bambini. Essi vedranno numeri sulle targhe delle auto, sui cartelloni
pubblicitari, accanto alle porte delle case, sul telefono del bar, ...;
vedranno cifre di forma diversa, di colore diverso, di grandezza diversa,
...
Arrivati a scuola, potranno proseguire il gioco: ciascuno deve disegnare
i numeri che ricorda. Non solo, ma il gioco prosegue a casa: ogni
bambino deve farsi aiutare dai genitori a rintracciare numeri sulle
riviste, biglietti dei cinema, etichette di bottiglia, … Si farà poi un gran
cartellone con i numeri raccolti per scoprire come il mondo sia pieno di
numeri!
Qualche esempio:
Il numero nel calendario
Esempio 7: La struttura numerica della conta dei numeri Naturali
dipende dunque dall’àmbito.
Nel corso del triennio fra i 3 ed i 6 anni, il calendario acquista
importanza sempre maggiore. Curioso il fatto che, mentre in mille altre
attività numeriche la numerazione prosegue indisturbata, nel caso del
calendario la numerazione ha però un massimo: 31 (e talvolta neppure
quello).
Non esiste il 32 Gennaio; eppure, bambini della scuola primaria, si
confondono.
Alla richiesta: Giovanni inizia le vacanze di Pasqua il 27 marzo e sta a
casa 6 giorni; che giorno ritorna a scuola?
Molti bambini rispondono «il 33 Marzo».
Qualche esempio:
Il gioco del numero più grande
Esempio 8:
In relazione all’esempio N.7 o ad altre situazioni di
gioco già discusse nei giorni scorsi, gli
insegnanti potranno far argomentare i bambini
sui numeri che hanno scoperto in ambienti diversi
e discutere con loro sulle risposte diverse
(stimoli diversi) che ottengono.
Qualche esempio:
I numeri della probabilità
Esempio 9: i giochi nel campo della probabilità, campo di esperienza di
forte presa emotiva, possono essere molto significativi per bambini di
scuola dell’infanzia.
L’“attesa” di un risultato condiziona fortemente la capacità razionale
di ragionare su quel che è lecito attendersi.
Uno dei principali obiettivi è linguistico. Si ritiene normalmente che i
bambini anche piccoli sappiano ben distinguere tra evento “certo”,
“impossibile”, “possibile”, ma nella realtà non è così. La lingua, poi, non
aiuta affatto! Per esempio, “certo”, a volte, vuol dire: “razionalmente
possibile ma, in base alla mia fortuna, senza discussione”.
Non ci si deve limitare a prendere per buone le risposte orali dei
bambini, tanto più se nell’àmbito solo di una discussione; si devono
osservare i comportamenti e ridiscuterli con i bambini.
Qualche esempio:
I numeri della probabilità
Attività ben congegnate in questo campo sono formidabili veicoli di
modelli mentali acuti e profondi, di grande presa emotiva. Si può
arrivare, come testimoniano moltissime esperienze condotte in ricerca a
far apprezzare sensibilmente che esistono vari “gradi”, vari “livelli” di
probabilità.
Per esempio, dopo opportuna esperienza concreta, se ad un bambino di 5
anni viene presentato un dado che ha 4 facce rosse e 2 verdi e gli si
chiede di “puntare” (in forma adeguata) su rosso o su verde, si può stare
sicuri che egli punterà sul rosso (questo è solo un esempio, ma possono
essercene tanti altri altrettanto significativi).
A nostro avviso il campo della probabilità qualitativa (senza calcoli, se
non paragoni) offre spunti notevolissimi per la formazione di
competenze profonde.
Qualche esempio:
Organizzazione dello spazio: il gioco degli automi
Esempio 10: in larga misura, ciò significa: orientamento, padronanza di
sistemi di rappresentazione.
Si tratta, per esempio, di giocare al Gioco degli automi.
Un bambino funge da automa: egli è senza volontà ed esegue
automaticamente quel che un altro bambino gli ordina di fare (ma poi i
ruoli si scambiano). Con ordini opportuni l’automa deve compiere certi
percorsi.
Di solito, come abbiamo detto anche in precedenza, si privilegiano
sistemi di tipo polare, nei quali si danno indicazioni nelle quali appare
un polo, una direzione ed una distanza, del tipo: Ruota verso la finestra
e avanza di sei passi.
Il bambino-automa gira su sé stesso fino a vedere davanti a sé la
finestra e, a questo punto, avanza di 6 passi. Poi riceverà nuovi ordini.
Qualche esempio:
Organizzazione dello spazio: il gioco degli automi
Fatto il gioco concretamente, si può passare (cosa che si può proporre
anche alla scuola primaria) a plastici e dunque ad attività sempre
concrete, ma su modelli. Per esempio c’è una battaglia in corso e si
danno ordini al cannone:
-Ruota verso la finestra e spara di tre palmi.
Nella scuola primaria l’ordine potrebbe essere poi:
-Ruota di 60 gradi e spara di 350 metri.
Questo dopo aver stabilito di comune accordo il verso antiorario e di far uso di una certa
scala; alla scuola primaria uso di goniometro e scala rendono molto ricca, da un punto di
vista matematico, l’attività.
Come ribadito anche in precedenza, accettare una forma di controllo
razionale-linguistico dello spazio, tanto da arrivare ad organizzarlo
sotto forma di coordinate, è un’attività di grandissimo livello. Essa
forma modelli mentali ampi e di grande rilievo:
lo spazio è fuori di me, ma io ne faccio parte; le cose sono organizzate
nello spazio e rispondono a domande del tipo: dove?
Lo spazio è misurabile ed io posso misurarlo.
Qualche esempio:
Attività logiche
Esempio 11 per questo tipo di attività sarebbe scorretto parlare di
attività logiche “matematiche”, né di attività logiche “formali”. Si
potrebbe dire: uso razionale della lingua, con la conseguente
consapevolezza che la lingua si gestisce in modi diversi.
Per esempio, due giochi si possono pensare l’uno come l’opposto
dell’altro:
• data una raccolta di oggetti vari, si stabilisce una proprietà e si
raccolgono quegli oggetti della raccolta che hanno quella data
proprietà.
• data una raccolta (piccola) di oggetti prelevati da un’altra raccolta
(grande), cercare di capire qual è la proprietà, il criterio in base al
quale è stata selezionata.
Qualche esempio:
Attività logiche
Si tratta di un gioco molto praticato che però va proposto in un contesto
opportuno, perché non si trasformi in un esercizio noioso, sterile e
stupido, cioè senza uno scopo significativo.
Si tratta di un’attività formidabile.
Che tipo di consapevolezza si dà?
Che: cambiando la proprietà, pur conservando la raccolta (grande), si
cambia la raccolta (piccola) che ne deriva.
Dunque, la lingua è uno strumento: le parole selezionano l’ambiente.
Ciascuno di noi può essere l’artefice del risultato; le parole non si
possono usare a vanvera, ma vanno predisposte all’uso. Si tratta di un
vero e proprio progetto logico/linguistico.
Un modello significativo di come funziona la lingua.
Qualche esempio:
Esperienze di misura
Esempio 12: nel campo della Geometria ci sono idee-base ciascuna delle
quali è adatta a fungere da esempio per la costruzione di opportuni
modelli.
Così, nel campo della misura. Mettendo insieme le due cose, un
esempio convincente è il seguente: arrivare a far capire nel profondo
che il numero che esprime la misura di qualche cosa dipende dall’unità
di misurazione.
La caraffa dell’acqua misura 10 se si usa il bicchiere come unità, ma
misura 25 se, come unità, si usa la tazzina.
La misura è la stessa, ma il numero che la esprime no!
Tutti gli esempi mostrati sono tutti modelli
particolari su qualcosa di specifico.
Sarebbe bene trovare una teoria generale, un
modo di “comportarsi” in generale da parte
dell’educatore,
per
favorire
una
buona
costruzione di singoli modelli adeguati alle
circostanze.
Caratteri generali dei processi di insegnamentoapprendimento della Matematica
nella scuola dell’infanzia
Quale deve essere l’atteggiamento razionale che l’educatore deve assumere? Quello del favorire una buona costruzione di
modelli mentali adeguati alle singole circostanze?
Nel bambino c’è o no consapevolezza? Se non c’è, è perché non può esserci? O ci sono
altri motivi?
Dagli esempi proposti, dovrebbe risultare chiaro
che l’atteggiamento generale dell’educatore in
Matematica, specie (ma non solo) nell’àmbito
della scuola dell’infanzia, è principalmente un
atteggiamento di disponibilità a mettere in
discussione i propri convincimenti, accettando di
prendere in esame le proposte razionali del
bambino.
Come abbiamo già sottolineato più volte, nel campo di
esperienza Spazio-Ordine-Misura sembra essere assai più
importante il formarsi di solidi modelli mentali profondi
corretti, anche se generali, piuttosto che apprendimenti
formali che non sfociano in vere e proprie costruzioni.
Ma… farsi un modello mentale è una cosa, ma produrlo
all’esterno, cioè mostrarlo a qualcuno, è tutt’altro!
Occorre saper sfruttare l’esperienza, ed essere consapevoli dell’esistenza di quella che gli psicologi chiamano la conoscenza tacita che, spesso, è difficile da esprimere a
parole;; occorre (inglobando tutti gli altri) saper “tradurre” una sensazione (il modello interno) in una produzione
esterna che gli altri possano comprendere.
1. Facciamo il punto…
Il mondo della Matematica è spesso fatto di
stereotipi (nei modi di dire, di fare, di pensare).
Quale Matematica?
In molti casi la Matematica imparata a casa o
per strada sembra sempre stridere o addirittura
opporsi a quella scolastica.
Come aiutare un bambino a formarsi modelli
corretti?
Un possibile esempio:
In prima primaria l’insegnante fa conquistare ai bambini
l’addizione tra numeri Naturali. Normalmente c’è un certo
successo,
specie
se
per
“addizionare”
s’intende
la
formalizzazione matematica del concetto intuitivo di unire due
insiemi disgiunti:
Attorno ad un tavolo ci sono 3 ragazzi e 4 ragazze; quanti sono
in tutto?
È un esempio classico discusso da G. Vergnaud (1981) proprio
per quanto riguarda la difficoltà della risoluzione di problemi di
addizione.
Visto il successo,
moltiplicazione.
l’insegnante
propone
ai
bambini
la
Che cosa vuol dire 4 × 3?
Semplice: vuol dire 4 + 4 + 4, cioè un’addizione ripetuta, nella quale
l’addendo 4 appare 3 volte.
Una buona immagine grafica è quella che oggi i maestri chiamano dello
“schieramento”: quattro puntini (che possono rappresentare
automobiline, conchiglie, soldatini) ripetuti per tre volte, diciamo tre
file di quattro soldatini ciascuna.
L´immagine proposta come modello è ottima, funziona, è convincente.
Non solo, ma il bambino se la vede rafforzare in più occasioni: 2 × 7 è
due ciliege prese sette volte, sette file di due ciliege; 6 × 8 è otto file di
sei soldatini; e così via.
Il guaio di questa immagine è che è così semplice e perfetta, così sempre
rinforzata, che diventa modello stabile in fretta, tanto da condizionare
d’ora in poi l’allievo ogni volta che si parla di moltiplicazione …
tanto da fargli assumere un’idea non detta dall’insegnante e cioè che il
prodotto è sempre maggiore dei due fattori ...
Ma quando poi arriva la III primaria e si ha a che fare con il Sistema
Metrico Decimale, allora sono guai.
Perché 100 × 0,1 non si adegua più al modello; che cosa significa 0,1 file
di 100 soldatini? La spontaneità del modello cozza duramente contro il
formalismo che pretende che 100 × 0,1 faccia 10.
In più, come sottomodello indotto, il risultato dovrebbe essere più
grande di 100, e non lo è! Un trauma.
Apprendere vuol dire essere in grado di compiere un processo di
assimilazione e accomodamento … ma questo processo va aiutato, non impedito.
2. Facciamo il punto…
I campi di esperienza riflettono le discipline
scolastiche?
Quella disciplina che appare delineata nel campo di
esperienza “spazio-ordine-misura” è Matematica?
Le attività proposte nella SdI
rafforzano, stimolano … creano?
Caratteri generali dei processi di insegnamentoapprendimento della Matematica
nella scuola dell’infanzia
Traguardi di sviluppo
(Cfr. B. Scarpelli, Ins. Scuola dell’Infanzia Istituto Comprensivo Barberino di Mugello)
Finalità
Consolidare
l’identità
Traguardi di sviluppo per l’ambito matematico
Scoperta (del proprio corpo come elemento di
ritmicità; eseguire sequenze ritmico-motorie,
ritmico-uditive
e
ritmico-visive;
individuare
attraverso il gioco psicomotorio andature e posture
diverse e creative, che aiutino ad acquisire la
percezione di sé).
Controllo e consapevolezza (si iniziano a
precisare tutti gli schemi motori e si avvia
all’acquisizione che lo spazio che ci circonda può
essere modificato attraverso i movimenti del proprio
corpo; sviluppare la capacità di attenzione e
concentrazione; vivere con piacere le nuove scoperte
di movimento; acquisire la consapevolezza di sé,
come ampliamento della propria visione personale.).
Autovalutazione (sentirsi capaci e liberi di
domandare e chiedere per progredire ed aumentare
le proprie competenze; pianificare insieme agli altri
progetti e attività, accettando il confronto e
accogliendo e negoziando le proposte dei compagni;
saper riconoscere la validità delle scelte effettuate;
essere gratificati del proprio lavoro).
Traguardi di sviluppo
Finalità
Favorire
l’autonomia
Traguardi di sviluppo per l’ambito matematico
Interazione/cooperazione
(imparare
a
riconoscere e rispettare i ritmi personali propri e dei
compagni; imparare a vivere le esperienze
quotidiane di apprendimento con piacere ed
interesse sentendosi protagonisti; saper attingere
anche dagli aspetti fantastici le grandi possibilità di
discussione, dubbio, confronto, che aprono spazi di
ascolto dell’altro; riconoscere la necessità di
esprimersi correttamente per farsi capire; diventare
capace di sostenere la propria tesi; saper partecipare
ad un semplice gioco dall’inizio alla fine rispettando
le regole; muoversi con destrezza all’interno di spazi
conosciuti: sapervi collocare oggetti e persone
ascoltando eventuali indicazioni verbali; riordinare i
materiali ed i giochi seguendo indicazioni date;
acquisire capacità logiche nel distribuire strumenti e
materiali ai compagni).
Traguardi di sviluppo
Finalità
Promuovere la
competenza
Traguardi di sviluppo per l’ambito matematico
Capacità di osservare (individuare gli aspetti
ricorsivi della realtà; individuare coordinate e criteri
empirici per confrontare quantità e qualità della
realtà che ci circonda; rintracciare nell’ambiente di
vita quotidiana la presenza di segni e simboli che
rappresentano concetti numerici e spaziali;
individuare, a partire dal proprio corpo, gli elementi
continui e discreti della realtà; sviluppo della visione
spaziale
e
dell’immaginazione
geometrica;
riconoscere le regolarità in successioni di nomi,
numeri, misure…).
Capacità di descrivere (favorire l’arricchimento
del lessico, accompagnando tutte le attività e le
proposte con domande specifiche e una terminologia
appropriata; argomentare in modo logico ogni
pratica quotidiana; chiedere e fornire spiegazioni in
merito alle regole e allo svolgimento di semplici
giochi; completare ogni gioco, lavoro, con la
rappresentazione e la verbalizzazione individuale;
utilizzare e conoscere termini linguistici comparativi
tra due o più elementi; avviare alla costruzione e
all’uso consapevole di simboli).
Traguardi di sviluppo
Finalità
Promuovere la
competenza
Traguardi di sviluppo per l’ambito matematico
Capacità di operare (Codifica verbale come
ricerca di un corrispondente tra linguaggio verbale e
gesto, abbinato a canzoncine, filastrocche, conte…;
saper mantenere la corrispondenza ritmica tra gesto
e parola; individuazione e applicazione delle regole
di sequenza e di ricorrenza verbale nel contare;
effettuare esperienze di classificazione e seriazione
in base ad attributi percettivi e operativi condivisi;
ordinare oggetti che si riferiscono all’esperienza
quotidiana accompagnando i gesti al linguaggio con
riferimenti a termini spaziali; individuare nessi
logici, relazioni causali, avviando ad una progressiva
distinzione tra senso di realtà e fantasia, tra ciò che è
e ciò che può o potrebbe essere ).
Traguardi di sviluppo
Finalità
Vivere la
cittadinanza
Traguardi di sviluppo per l’ambito matematico
Rispetto (eseguire con ordine, metodo e continuità
le attività quotidiane; maturare la consapevolezza
del rispetto delle regole come elemento
indispensabile alla vita sociale; sperimentare
direttamente la fatica, ma anche la necessità,
dell’ordine, della precisione, della condivisione di
regole).
Promuovere ( la consapevolezza che la conoscenza
continua e si accresce incessantemente per tutto
l’arco della propria vita, come la sequenza dei
numeri; avviare ad un pensiero sistematico, critico,
caratterizzato dalla ricerca della prova e della
spiegazione logica; avviare alla consapevolezza che
la verità non è assoluta, ma rappresenta sempre un
momento di passaggio verso un’altra più
comprensiva).
Quanto detto anche attraverso gli esempi diretti discussi in
precedenza può darci qualche indicazione significativa sulla
formazione di convincimento che il bambino può radicare nel
profondo e che si possono così riassumere:
1. mondo è pieno di numeri (e quindi non è vero che i numeri
investono solo il mondo della scuola; essi fanno parte a pieno e di
diritto dell’esperienza quotidiana);
2. la struttura della conta numerica dipende dal contesto nel quale
la si usa (l’Aritmetica è al mio servizio e si adegua ai miei bisogni,
posso e devo dominarla; esempi del calendario e del danaro);
3. i numeri hanno tutti un nome, ma non dipendono dal loro nome
(per esempio: “sei” ha tre lettere, ma è più grande di “quattro” che
ha sette lettere e cose del genere; rapporti: numeri-lingua e più in
generale, rapporti: Matematica-Lingua);
4. non è possibile condizionare il mondo ed i suoi avvenimenti con
la forza del desiderio (ci riferiamo in prima battuta alla probabilità
di un evento);
5. lo spazio è misurabile, organizzabile razionalmente;
6. l’uso della lingua risponde ad un progetto (la lingua ha una forte
componente logica, razionale);
7. la misura delle cose dipende dalle cose, ma la sua espressione
numerica dipende dalle mie scelte.
3. Facciamo il punto…
Quale deve essere allora l’atteggiamento generale dell’educatore?
Come diceva il grande matematico e studioso di Problem
Solving, George Polya, l’atteggiamento dell’insegnante (“di
Matematica”) di fronte all’errore non deve essere quello
(ahimè, il più diffuso) di chi dice sempre: «No, hai sbagliato,
non va bene», ma anzi quello che (proprio per le peculiarità
della disciplina) afferma: «Sì, va bene; e se tu provassi a... ».
Ogni immagine che il bambino si è fatta non è definitiva, ma è
lì, pronta, disponibile a compiere un passo avanti, a...
fagocitare nuove situazioni che sembrerebbero sfuggire
all’immagine precedente. (Angeli, D’Amore et al., 2011)
Diventa importante allora attivare meccanismi di descrizione
di progetti, attese, di immediata verifica di quel che si è appena
fatto, di ri-progettazione etc.
Apprendere vuol dire avere questa
disponibilità-capacità ad
ampliare adeguatamente l’immagine. Insegnare vuol dire: rendere possibile e
naturale questo processo.
Nell’esempio precedente relativo al “passaggio” dall’addizione alla
moltiplicazione…
come potrebbe fare un insegnante di scuola primaria, per esempio, a
non dare l’illusione che il modello dello schieramento sia il modello
definitivo della moltiplicazione tra numeri Naturali?
Potrebbe per esempio suggerire l’idea di 6 soldatini per 4 file e
mezzo, fin dalla seconda primaria, subito, mostrando con un
disegno la possibilità di tale situazione.
Tale situazione non contrasta con quelle canoniche: numero dei
soldatini di una fila in orizzontale, e tante file una sotto l’altra.
Certo, l’alunno di 6-7 anni non saprebbe gestire formalmente il
prodotto di 6 × 4,5 che, anzi, non conosce neppure come
scrittura.
Potrebbe ideare una descrizione ingenua del tipo:
6 × 4 e mezzo, cioè 24 soldatini e metà di 6 che fa 24 + 3 e
dunque 27 che metterebbe in evidenza una competenza “alta”.
Conoscenza e Competenza
Possibilità di definire competenze generali e
specifiche per la matematica
Da una scuola fondata sulle conoscenze a una scuola
centrata sulle competenze!
Come si definisce una competenza?
Quale il suo ruolo nell'azione didattica?
Quali competenze per la Matematica?
Cfr. Pellerey, Insegnare religione, nn. 1-2-3/2007
Conoscenza e Competenza
La competenza matematica si riconosce quando un individuo
vede, interpreta e si comporta nel mondo in un senso matematico.
L’atteggiamento analitico o sintetico, con il quale alcune persone
affrontano situazioni problematiche, è un esempio di questo tipo
di competenza.
Ci sono buoni risolutori di problemi che possono riconoscere e
risolvere situazioni problematiche; il che, viceversa, a volte, non è
facile da evidenziare in persone che trattano bene, per
esempio, algoritmi, procedure, eseguono solo semplici regole …
Aspetti come il gusto e la valorizzazione della Matematica, sono
alcuni degli aspetti utili per orientare il raggiungimento della
competenza matematica.
Conoscenza e Competenza
Curricolo della
scuola di base, 2001
De Mauro
Raccomandazioni per la
scuola primaria, diffuse
informalmente nel 2003
per il progetto Moratti
Indicazioni per il
curricolo per la scuola
dell’Infanzia e per il primo ciclo d’istruzione
Regolamento dell'obbligo
di istruzione (DM 139/07)
per il primo biennio del
secondo ciclo
«capacità di utilizzare le conoscenze acquisite»
«l'insieme delle buone capacità potenziali portate
al miglior compimento nelle particolari situazioni
date».
«le competenze sviluppate nell'ambito delle singole discipline
(primo ciclo)/campi di esperienza (infanzia) concorrono a loro
volta alla promozione di competenze più ampie e trasversali, che
rappresentano una condizione essenziale per la piena realizzazione
personale e per la partecipazione attiva alla vita sociale, nella
misura in cui sono orientate ai valori della convivenza civile e del
bene comune». Non è presente una definizione formale di
Competenza
«indicano la comprovata capacità di usare conoscenze, abilità e
capacità personali, sociali e/o metodologiche, in situazioni di
lavoro o di studio e nello sviluppo professionale e/o personale; le
competenze sono descritte in termini di responsabilità e
autonomia». Cfr. Quadro Europeo delle Qualifiche e dei Titoli
(2006)
Conoscenza e Competenza
Raccomandazione del Parlamento europeo e del Consiglio d'Europa (2006):
otto "competenze chiave" per l'apprendimento permanente.
«combinazione di conoscenze, abilità e attitudini adeguate per affrontare una
situazione particolare».
Esse «Contribuiscono alla realizzazione personale, all'inclusione sociale,
alla cittadinanza attiva e all'occupazione».
Competenze chiave sono:
-comunicazione nella madrelingua,
-comunicazione nelle lingue straniere,
-competenza matematica
-competenze di base in scienza e tecnologia,
-competenza digitale,
-imparare a imparare,
-competenze interpersonali, interculturali e sociali e
-competenza civica, imprenditorialità, espressione culturale.
Nel Regolamento dell'obbligo vengono poi tradotte in: imparare ad imparare, progettare,
comunicare, collaborare e partecipare, agire in modo autonomo e responsabile,
risolvere problemi, individuare collegamenti e relazioni, acquisire ed interpretare
l'informazione.
Conoscenza e Competenza
B. D'Amore et alli
Competenze in Matematica, 2003
UMI 2003
Riccardo Cantoral: il Sapere è l’azione deliberata per fare con la conoscenza un
oggetto utile di fronte ad una situazione problematica. Dal che si deduce che
l’Apprendimento è una manifestazione dell’evoluzione della conoscenza in Sapere.
L’apprendimento consiste dunque nel dare la risposta corretta prima della situazione
concreta". Definizione espressa a proposito del dibattito su che cosa significhi davvero
Sapere.
Conoscenza e Competenza
Un contenuto è una porzione limitata di sapere, ristretta ad un certo ambito e limitata ad un certo soggetto, un
certo tema specifico, un certo elemento di tale sapere.
Contenuto disciplinare, metadisciplinare, multidisciplinare, interdisciplinare, non disciplinare…
Una conoscenza è, allo stesso tempo: la capacità di rielaborare contenuti in modo autonomo per raggiungere
una mèta e il risultato di tale elaborazione.
Una conoscenza può coinvolgere uno o più contenuti.
La competenza è concetto complesso e dinamico:
si tratta infatti dell'insieme di due componenti:
uso e padronanza anche elaborativi, interpretativi e creativi, di conoscenze che collegano contenuti diversi.
Questo uso e questa padronanza non sono però l'unica espressione della competenza; la competenza racchiude
in sé fattori meta-conoscitivi come l'accettazione dello stimolo a farne uso, il desiderio di farlo, il desiderio di
completare le conoscenze e quindi lo stesso desiderio di aumentare la propria competenza.
La capacità è l'espressione specifica (esterna) di carattere attuativo di ogni singola competenza.
Conoscenza e Competenza
Per quel che riguarda i nuclei fondanti, voglio qui citarne tre, a mio avviso
trasversali ad ogni ciclo scolastico e quindi anche alla SdI: la misura, la
“dimostrazione” ed i problemi.
Come detto in precedenza, il nucleo misura può consentire sviluppi importanti nel
rendere concreti i concetti di numero e spazio, fondamentali per l'avvio e la
formazione del pensiero matematico.
Il nucleo dimostrazione caratterizza, invece, la cultura matematica matura
dell’allievo e consente di avviare alla comprensione della razionalità del pensiero
matematico. E alla SdI?
Risolvere e porsi problemi sono poi attività che giocano un ruolo fondamentale nella
costruzione e nello sviluppo della matematica e che consentono di attivare negli
studenti risorse intellettuali nell'accezione più ampia del termine, contribuendo, in tal
modo, al conseguimento di una formazione di base solida e significativa.
(Cfr. O. Robutti 2000, D. Paola, 2001)
Una loro critica individuazione in termini di competenze e conoscenze può comportare
l'opportunità di cambiamenti rilevanti nell'insegnamento-apprendimento della matematica
(proto-matematica) .
Conoscenza e Competenza
In un’ottica verticale allora“più che di sistema di
insegnamento-apprendimento, si tratta soprattutto
di un complesso sistema di azioni, di gioco ecc.,
nelle quali lo studente accetta il suo ruolo non solo
di ripetitore passivo di quanto gli è stato insegnato,
ma di attore protagonista della costruzione.
A questo va aggiunto,…, l'educazione all'assunzione di responsabilità
apprenditiva, di sfida, di valutazione
quasi autonoma dei risultati raggiunti”
Un “percorso” verticale è possibile!
CONTESTI
SIGNIFICATIVI
STRUMENTI
MATEMATICI
PERCEPISCE
RELAZIONI
RAPPRESENTAZIONI
ADEGUATE
PROCESSO
RISOLUTIVO
COSTRUZIONE
DI MODELLI
INCERTEZZA
QUANTIFICAZIONE
Alcuni esempi di competenze che il bambino di 3-7 anni può
possedere, in campo matematico, e che dunque possono costituire la
riserva della quale fa uso nell’elaborare le proprie strategie:
Il bambino sa
organizzare
strategie
Il bambino sa
contare
Il bambino ha
varie idee sulla
misura e sul
processo di
misurazione in
vari contesti
Il bambino sa che
i numeri hanno
funzioni diverse
fra loro
Il bambino ha discrete
competenze di natura
topologica
Il bambino sa
rappresentare
situazioni
differenti
Il bambino ha discrete
competenze di tipo
linguistico sulle regole
sottese alla formazione
delle singole parole
Il bambino sa
contare
Contare è un complesso di tre cose:
- avere consapevolezza del fatto che c’è un primo numero
(solitamente “uno”);
- che dopo l’uno c’è il “due” e che si possa sempre così proseguire:
dopo un numero ce n’è un altro (e solo uno) che è il suo successivo, in
un processo che prosegue (senza fine?);
-conoscere i nomi dei numeri che si susseguono nella conta.
Nelle lingue moderne, di solito vi sono dieci nomi distinti per i numeri da 1 a 10 e poi si
costruiscono i nomi dei numeri successivi utilizzando i nomi precedenti, combinati in
varie forme; in italiano undici è una riduzione di uno-dieci; dodici di due-dieci; tredici di
tre-dieci; quattordici di quattro-dieci; quindici di cinque-dieci; sedici di sei-dieci; poi c’è
una rottura di regola e diciassette è dieci-sette, con inversione dei due nomi (nelle altre
lingue vicine all’italiano l’inversione può apparire in altri punti); dopo di che diciotto è
dieci-otto; diciannove è dieci-nove; e finalmente venti fa iniziare una regola facile che si
trascina poi avanti senza più grandi rotture.
Costruire i nomi dei numeri non è del tutto banale.
Il bambino sa
contare
Ebbene, un bambino che conti a voce in questo modo: «uno-duetrequattro-sette-nove-sei-...» e così via, non è che non sappia contare,
perché dimostra di aver capito le prime due parti di quel che significa
Contare!
Quel che non evidenzia è qualche nome di numero. O, meglio, i nomi
li sa, ma non ha ancora la consapevolezza di dove mettere quei nomi,
a che punto della successione.
D’Amore (in Angeli, D’Amore et al., 2011) sostiene allora che il
bambino, di solito, sa contare, anche se presenta qualche incertezza
linguistica (e non matematica in senso stretto).
Il bambino sa che
i numeri hanno
funzioni diverse
fra loro
Il numero può servire per contare, per indicare quantità, misure, per
indicare un posto, o altro. Non c’è stupore per questa varietà di usi,
anzi naturalezza.
Quel che è facile vedere nel bambino è una variazione di modalità
d’uso a seconda della funzione del numero.
Gérard Vergnaud fa notare come un bambino che conti non per il
contare in sé, ma per indicare quantità, arrivato all’ultimo naturaleordinale, quello che indica anche la cardinalità della raccolta contata,
metta un’enfasi diversa nel pronunciare proprio quel numero, o
perché lo ripete (1, 2, 3, 4, 5, …5!) o perché lo pronuncia con tono
diverso (1, 2, 3, 4, 5).
Il bambino sa che
i numeri hanno
funzioni diverse
fra loro
In questo atteggiamento (ed in altri analoghi) si vede bene come il
bambino abbia consapevolezza della variazione d’uso del numero.
Nessun bambino direbbe che un foglio di album che misura 6 matite
viene dopo di un autocarro che misura 5 matite... Anche se in forma
inconsapevole, egli capisce che quel 6 non è il successivo di 5, almeno
in un tale contesto.
Nessun bambino si stupisce del fatto che il posto n.2 sia per una sola
persona e non per due!
Il bambino sa
organizzare
strategie
Chiunque abbia giocato con un bambino di 5 anni avrà notato la
facilità con la quale il bambino si approccia al gioco del Tris o ad
altri giochi di strategia riuscendo a spiegare che cosa sta facendo.
Un altro esempio:
Bartolini Bussi, 2011
Il bambino sa
rappresentare
situazioni
differenti
Il gruppo di Bologna ha proposto un esercizio di Aritmetica tratto
da un libretto di Matematica del primo ciclo.
Uno dei testi era:
Pierino va al mercato e compra 6 uova. Nel tornare a casa ne
rompe 2. Quante ne consegna alla mamma?
Le risposte sono state le più disparate! C’è chi ha scritto un 4 nei
modi più vari possibili.
C’è chi ha disegnato una mamma con un “manone”, pronta a
sculacciare lo sbadato Pierino.
C’è chi ha disegnato un sasso, causa dell’inciampo che è costato due
uova a Pierino.
C’è chi ha disegnato uova.
Chi una casa con il Sole.
Chi ha tentato di trascrivere a modo suo il testo, ...
Il bambino sa
rappresentare
situazioni
differenti
La casistica sembra enorme; ma si potrebbe ridurre a:
• risposte che ineriscono al contesto del problema, in qualche modo
• risposte formali o presunte tali
• risposte figurali
• risposte che risultano estranee al contesto
La risposta del bambino che ha disegnato il sasso, senza intervista
personale, sarebbe stata classificata tra quelle che risultano
estranee al contesto, e invece va classificata fra le risposte che
ineriscono al contesto figurale. Dunque, ogni risposta va
accuratamente vagliata e va accompagnata da un colloquio diretto
immediato con l’autore.
Di fatto, lo stesso problema, dato in prima primaria (nel mese di
Maggio), produce risultati diversissimi; anche se rimane qualche
risposta inerente al contesto, figurale (queste spesso permangono
fino alla seconda media), spariscono le risposte estranee al
contesto.
Il bambino ha
varie idee sulla
misura e sul
processo di
misurazione in
vari contesti
Primi “accenni” all’uso del denaro (o, almeno, di quel che significa, da un
punto di vista matematico, anche se talvolta tende a dare maggior valore
alle monete più grandi o a mucchi più numerosi di monete).
Idee piuttosto buone su misure di lunghezza, larghezza e profondità.
Poca o nessuna dimestichezza con il concetto di estensione superficiale,
ma idee abbastanza fondate di equiestensione (specie se ha giocato con il
tangram ed ha accostato piastrelle o se ha piegato carta per il gioco della
simmetria).
Da notare che il bambino acquisisce esperienze con metro, litro, chilo, …
Oggi in Ricerca l’idea didattica della cosiddetta “pre-misura” (secondo la quale,
prima di passare alle unità “adulte” in bambino dovrebbe usarne altre) è forse
sempre più lontana dal mondo della scuola dell’infanzia o, per lo meno, ha molta
meno enfasi.
Il bambino sa
organizzare
strategie
Il bambino sa
contare
Il bambino ha
varie idee sulla
misura e sul
processo di
misurazione in
vari contesti
Il bambino sa che
i numeri hanno
funzioni diverse
fra loro
Il bambino ha discrete
competenze di natura
topologica
Il bambino sa
rappresentare
situazioni
differenti
Il bambino ha discrete
competenze di tipo
linguistico sulle regole
sottese alla formazione
delle singole parole
Alla luce di quanto detto bisognerà prestare maggiore attenzione
alle capacità del bambino, potenziandole e migliorandole e non
valutarne lo stadio grazie a quel che NON sa fare!!
Un bambino di 3-7 anni sarà fortemente indotto a fare
Matematica in modo ingenuo, basando la propria
attività sia sulle competenze matematiche ingenue sia
su strategie ingenue.
Ma questo aggettivo non deve avere un’accezione
negativa.
Anzi, vista la persistenza (si ritrovano comportamenti
ingenui anche alla scuola secondaria Inferiore)
questa attitudine va educata.
E’ più produttivo educare questa “visione” della
Matematica che non gli apparati epidermici (per
esempio quelli formali) che fanno così fatica a
“penetrare” fin nel profondo.
La pratica educativa matematica ormai diffusa nella
scuola dell’infanzia centrata su diverse attività di
gioco (come il tangram, le piastrellature, giochi di
logica, giochi sui numeri, percorsi, letture di mappe,
costruzione di labirinti, simmetrie (ottenute con
punteruolo, pennarello, forbici), vanno in questa
direzione!
Come detto più volte, non bisogna dimenticare che,
attraverso ogni narrazione, ogni colloquio, ogni
disegno, ogni schematizzazione, ogni intervista, ogni
attività, passa o può passare un contenuto
matematico di prim’ordine, purché sia organizzativo,
razionale, strutturante … COERENTE.
Sul termine COERENZA ci sarebbe molto da dire.
Che rapporto c’è o deve esserci tra COERENZA e VERITA’ in Matematica?
Per la SdI COERENZA può essere intesa solo come non-contraddizione
tra le singole parti e le parti e il tutto; oppure come congruenza tra le
proposte fatte dal bambino e la sua invenzione.
La COERENZA però non deve essere banalmente identificata con
“rispondenza al reale”; questo criterio non è significativo per i bambini
di 3-6 anni, età nella quale il confine tra mondo reale e mondo
fantastico è assai labile.
Si parla di COERENZA LOCALE ad esempio nell’ammettere che vi sia
una coerenza all’interno di certe favole, anche se esse contrastano con
il reale: non esistono stivali fatati, ma se ammettiamo che esistano,
allora perché non ammettere che chi li indossa può fare con un solo
passo sette leghe? (Angeli, D’Amore et al., 2011).
Teoria delle Situazioni di Brousseau
Dagli anni ’70 l’insegnamento della Matematica ha
subito un costante sviluppo; in consonanza con
l’insegnamento in generale, l’attenzione si è
spostata
dall’insegnare,
all’imparare,
dall’insegnante quindi all’allievo. Come facce di
una stessa medaglia!
Nel considerare la terna SAPERE-ALLIEVOINSEGNANTE (S.A.I.) si è posta allora sempre più
attenzione
alla
relazione
allievo–sapere
(conoscenze da imparare).
La ricerca in didattica della Matematica, ha
ricevuto in questo senso da Guy Brousseau e il suo
gruppo di ricerca operante a Bordeaux uno
stimolo fondamentale.
Teoria delle Situazioni di Brousseau
La teoria didattica creata si propone, da una parte di
capire e spiegare con chiarezza i processi che si
verificano nei fenomeni di
insegnamento/apprendimento
della Matematica
d’altra parte, di fornire agli insegnanti e ai ricercatori
uno strumento per progettare e realizzare un
insegnamento efficace e quindi identificare una serie
di situazioni di apprendimento che possano
permettere all’allievo di imparare quasi senza
interventi didattici da parte del docente.
Teoria delle Situazioni di Brousseau
Concetti principali della TSD:
la distinzione tra situazione didattica e situazione
a-didattica
• le situazioni di azione, formulazione, validazione,
l’istituzionalizzazione,
• la situazione fondamentale rispetto a una conoscenza
matematica,
• l’ambiente del compito (milieu),
il processo di devoluzione,
il contratto didattico,
• gli ostacoli all’apprendimento (epistemologici, psicologici, didattici).
Cfr. Anna Sierpinska, Lectures: Theory of Situations
Teoria delle Situazioni di Brousseau
Una situazione è detta didattica quando è espresso in modo esplicito
l’obbiettivo didattico che si vuole raggiungere e quindi insegnante ed
allievi giocano, per così dire, “allo scoperto”: l’insegnante dichiara qual
è lo scopo cognitivo da raggiungere, il sapere da conquistare; l’allievo lo
sa e mette in atto tutte le sue strategie non tanto per apprendere quel che
l’insegnante vuole fargli apprendere, quanto per dimostrare
all’insegnante di aver appreso, dunque per ottenere la gratificazione
prevista. (Su questo aspetto dovremo riflettere riprendendo quanto
detto sul “contratto didattico”).
Una situazione è detta a-didattica quando solo l’insegnante ha in mente
l’obiettivo didattico da perseguire, mentre l’allievo non sa neppure se
questo esista. La proposta effettuata da parte dell’insegnante non è
esplicitamente didattica; lo studente affronta un’attività che lo
coinvolge, ma non sa se vi siano finalità cognitive o meno e, nel caso vi
siano, quali esse siano.
Teoria delle Situazioni di Brousseau
Un possibile esempio:
Mettiamoci in questa situazione: l’insegnante sa che gli studenti hanno
già raggiunto una certa padronanza consapevole dell’addizione e vuol
cominciare ad introdurre la sottrazione. Non vuole semplicemente
insegnarla (come sarebbe in una situazione didattica, proponendola
direttamente,
presentandola,
nominandola,
dandone
regole,
caratteristiche, proprietà, facendo svolgere esercizi,...); vuole che gli
studenti la costruiscano da sé tacendo l’obbiettivo e invitandoli a fare
qualche cosa che li coinvolga personalmente in una sfida cognitiva
(situazione a-didattica).
Propone allora un gioco, il gioco della “Corsa al 7” come “semplificazione” del gioco visto in precedenza.
Teoria delle Situazioni di Brousseau
La “Corsa al 7”
Come accennato nelle lezioni precedenti, ipotizzando
questo gioco con i bambini, si può pensare che giocando
un po’ a caso, all’inizio, i bambini arrivino a fare un
ragionamento strategico che farà capo da un contare
alla rovescia, a sottrarre invece che ad addizionare.
In questo esempio di situazione a-didattica i bambini hanno costruito
una conoscenza, quella auspicata dall’insegnante, anche se solo in un
caso ben delimitato.
Bambini di prima primaria riescono a riconoscere la strategia vincente
(ci sono evidenze sperimentali su questo). I bambini di SdI non sempre.
Come detto nelle lezioni precedenti, in seconda Primaria, in funzione
della risposta dei bambini agli stimoli loro proposti, si può
gradualmente passare poi alla “Corsa al 20” e discutere con loro la
strategia vincente, analoga al caso del 7 ma più complessa da analizzare.
Teoria delle Situazioni di Brousseau
La “Corsa al 7”
Il bambino che ha fatto la scoperta la comunica all’insegnante ed ai
compagni; la scoperta viene messa in discussione, lo scopritore la
difende dagli ovvii attacchi degli scettici, fino a che c’è un’accettazione
generale di essa (viene cioè fatta una verifica e, se la scoperta resiste a
tutti gli attacchi, avviene la sua validazione).
A questo punto l’insegnante deve sancire, per così dire, tale scoperta;
meglio, deve istituzionalizzarla: accetta cioè la scoperta dell’allievo,
socialmente messa in discussione e validata, l’approva, la fa diventare
competenza della classe, le dà un nome e decide che essa è “spendibile”
come nuova conoscenza all’interno dell’aula.
Essa fa, cioè, parte delle competenze ufficiali, del “sapere appreso”, parte del “sapere”.
Teoria delle Situazioni di Brousseau
Se spesso, come ribadito più volte, nelle situazioni didattiche, il
contratto didattico gioca un ruolo determinante che inibisce, blocca, la
costruzione
dell’apprendimento,
nelle
situazioni
a-didattiche
l’insegnante tenta sempre la devoluzione, cioè tenta di affidare agli
allievi la responsabilità della costruzione della conoscenza di un certo
sapere, suggerendo (implicitamente) loro di implicarsi personalmente
nella costruzione, per esempio giocando ad un gioco (l’importante è far
sì che gli studenti accettino la consegna).
La conseguente proposta di uno studente che scopre, che costruisce una
conoscenza, è di fatto l’espressione della rottura del contratto didattico:
d’altra parte, solo rompendo il contratto ci può essere costruzione della
conoscenza.
Teoria delle Situazioni di Brousseau
L’idea di “istituzionalizzazione della conoscenza” spiega qual è il ruolo
dell’insegnante.
E’ un “mediatore” tra la conoscenza spontanea (quella costruita grazie
all’implicazione personale) e la conoscenza istituzionalmente accettata,
colui che sancisce quali delle scoperte, delle costruzioni fatte dagli allievi
siano accettabili come conoscenze spendibili in aula e quali no.
Il ruolo dell’insegnante è quindi estremamente diverso nella situazione
a-didattica piuttosto che nella situazione didattica: in quest’ultima,
semplicemente, l’insegnante esplicita le conoscenze, le detta, le elenca,
le nomina, le impone:
• chi sa replicarle, usarle, ripeterle è un buon studente,
• chi non lo sa fare, di conseguenza, non lo è.
Una situazione semplice, ma fallimentare, come dimostra la storia
dell’apprendimento matematico!!
Teoria delle Situazioni di Brousseau
Esistono delle specificità per: contratto didattico,
trasposizione didattica, devoluzione, … nella SdI?
Certamente non esistono situazioni del tutto didattiche, nella
SdI; ma le situazioni che si creano, sono davvero a-didattiche
nel senso detto? O esistono altre possibili situazioni più
specifiche?
L’insegnante della SdI ha sempre in mente obbiettivi
cognitivi, quando propone attività? E come sancisce, se la
sancisce, la conoscenza costruita? O le cose avvengono in
altri termini?
Teoria delle Situazioni di Brousseau
• Nella SdI l’insegnante non è visto come il valutatore, colui cioè che
dovrà dare un giudizio di merito (il voto, la nota, la valutazione, il
giudizio, etc.), tanto atteso in famiglia e per questo capace di
condizionare il rapporto tra allievo e sapere;
• Non ci sono specifiche attese cognitive, in generale; e dunque non c’è
posta cognitiva esplicita in gioco;
• Lo studente di SdI può mettere in gioco con molta maggior facilità le
proprie competenze, assunte e costruite fuori dal mondo della scuola,
con una certa sicurezza del fatto che esse verranno accettate se
l’insegnante sarà disposto/a ad ascoltare le proposte dell’allievo;
questo fatto in genere non capita spesso a partire dalla scuola
primaria: i contenuti degli interventi degli studenti, da un certo
momento in poi, dovranno essere circoscritti agli argomenti stabiliti
dall’insegnante, trattati in quel momento. (Baldisserri et al., 1993)
Su questi aspetti torneremo più avanti parlando di classe di
SdI come micro-società
Teoria delle Situazioni di Brousseau
Un altro termine che abbiamo usato senza però
darne una definizione esplicita (quando abbiamo
parlato dello zero) è il termine OSTACOLO.
Abbiamo accennato a come nella ricerca in didattica
si faccia oramai riferimento diffuso ai cosiddetti
“ostacoli” che si frappongono alla costruzione della
conoscenza:
ostacoli
ontogenetici,
didattici,
epistemologici.
Teoria delle Situazioni di Brousseau
Un ostacolo è detto ontogenetico se dipende da obbiettive
situazioni genetiche, per esempio legate all’età, alle capacità,
...;
Per esempio, è inutile tentare di far costruire il concetto di
dimostrazione matematica a bambini di 7 anni; l’ostacolo
ontogenetico, legato all’immaturità concettuale e critica, è
troppo forte, a causa principalmente dell’età;
Teoria delle Situazioni di Brousseau
Un ostacolo è detto didattico se dipende da scelte didattiche che
stanno a monte.
Riprendendo l’esempio fatto in precedenza, l’insegnante ha fatto di
tutto in seconda primaria per spiegare che la moltiplicazione è
un’operazione che aumenta il valore di ciascuno dei due fattori, ed i
suoi studenti hanno perfettamente capito la cosa.
«Se faccio 4×5 ottengo un numero che è maggiore sia di 4 sia di 5»;
proprio il successo di questo “apprendimento”, però, costituirà un
ostacolo didattico al momento in cui l’insegnante, in terza primaria o
poco dopo, tenterà di spiegare come funziona la moltiplicazione
4×0,5, visto che il risultato sarà più piccolo di uno dei fattori (4×0,5=2
e 2 è più piccolo di 4).
Questo ostacolo a volte si manifesta molto dopo, addirittura nella
scuola superiore o all’Università.
Teoria delle Situazioni di Brousseau
Un ostacolo è detto epistemologico se dipende dalla natura stessa del
concetto che si vuol far apprendere; per esempio, la storia insegna
quanto tempo è stato necessario per convincere l’umanità (e gli stessi
matematici!) che il prodotto di due numeri negativi è positivo (per
esempio (-3) × (-5) = +15).
La difficoltà della costruzione consapevole di questo apprendimento,
che si verifica in ogni scuola di ogni Paese del mondo, dimostra che
all’interno di questo concetto si cela un ostacolo specifico, ìnsito nel
concetto stesso.
Teoria delle Situazioni di Brousseau
Concetti principali della TSD:
la distinzione tra situazione didattica e situazione
a-didattica
• le situazioni di azione, formulazione, validazione,
l’istituzionalizzazione,
• la situazione fondamentale rispetto a una conoscenza
matematica,
• l’ambiente del compito (milieu),
il processo di devoluzione,
il contratto didattico,
• gli ostacoli all’apprendimento (epistemologici, psicologici, didattici).
Cfr. Anna Sierpinska, Lectures: Theory of Situations
Proposte di attività nella SdI
Insegnanti:
Catalano Silvia, Di Martino Maria Rosaria,
Grafato Rosaria
I.C.S. “G. Falcone” , Scuola dell’infanzia “M.C. Luinetti” (Palermo)
Proposte di attività nella SdI
Come codice fatto di:
• LINGUAGGIO ICONICO
•Linee
•Segni
•Ritmo regolare
• RITMO
•Ritmo irregolare
Distinguendo
• CAMPO VISIVO
•Piano
•Sfondo
•Colore
•Spazio
Proposte di attività nella SdI
Competenze matematiche da raggiungere
Esplorare, descrivere e rappresentare lo spazio;
Riconoscere e descrivere le principali figure;
Individuare relazioni tra elementi;
Classificare e ordinare in base a determinate proprietà;
Osservare, individuare e descrivere regolarità;
Stimare misure;
Impostare, discutere e comunicare strategie di risoluzione.
Proposte di attività nella SdI
Il percorso didattico:
Azione
Formulazione
Validazione
Confronto con la situazione nuova
Prodotto dei bambini
Verbalizzazione delle regole;
dimostrazione della loro validità e
accettazione (metacognizione)
Proposte di attività nella SdI
E.Fascinelli, M.Fiori, B. Gastaldelli, P.Golinelli, “Giochiamo con la Matematica - 4 Anni”, Fabbri Editori, 1994 Uccelli e pesci
Proposte di attività nella SdI
TANTISSIMI
SPUNTI!!!
Proposte di attività nella SdI
TANTISSIMI
SPUNTI!!!
Proposte di attività nella SdI
Proposte di attività nella SdI
Sewit decide di fare un
cartellone con delle
ochette e cerca di
incastrarle l’una con l’altra. Vai a prendere gli adesivi… e ricomponili
sulla pagina.
Adesso i bambini,
soddisfatti, ammirano i
loro capolavori! Ci sono
più pesci o ochette? Ci
sono più pesci azzurri o
ochette? Più pesci rosa o
più ochette? Più pesci
rosa o azzurri? Quanti
animali ci sono in tutto?
E.Fascinelli, M.Fiori, B. Gastaldelli,
P.Golinelli, “Giochiamo con la matematica 5 Anni”, Fabbri Editori, 1994 E.Fascinelli, M.Fiori, B. Gastaldelli, P.Golinelli,
“Giochiamo con la matematica 5 Anni”, Fabbri Editori, 1994
Nico invece colora dei
pesci. Ha trovato un
disegno dove ce ne sono
tanti. Due pesci sono già
colorati. Colora tu gli altri:
tutti i pesci che guardano a
destra sono rosa, tutti i
pesci che guardano a
sinistra sono azzurri.
E.Fascinelli, M.Fiori, B. Gastaldelli,
P.Golinelli, “Giochiamo con la matematica 5 Anni”, Fabbri Editori, 1994 Proposte di attività nella SdI
A Lisa piace molto la forma a cuore e la usa per costruire tante
immagini diverse. Fa’ come lei: incolla la figura su un cartoncino rosso, ritaglia il contorno e lungo le linee interne, poi componi le
figure rappresentate a sinistra e inventane altre tu.
E.Fascinelli, M.Fiori, B. Gastaldelli, P.Golinelli, “Giochiamo con la matematica 4 Anni”, Fabbri Editori, 1994 Proposte di attività nella SdI
Proposte di attività nella SdI
Partire dal singolo elemento
Il pesce
o
per arrivare alla percezione
globale del quadro ...
Il gabbiano
Proposte di attività nella SdI
Scegliamo un soggetto individuiamolo nel
quadro e coloriamolo
Il pesce
Colorato da
Alessia una
bambina di 5 anni
Proposte di attività nella SdI
Scegliamo un soggetto individuiamolo nel
quadro e coloriamolo
Il gabbiano
Colorato da Rosy
una bambina di 5
anni
Proposte di attività nella SdI
Proposte di attività nella SdI
Proviamo a
“tassellare”
Proposte di attività nella SdI
Proviamo a
“tassellare”
Proposte di attività nella SdI
Proviamo a
“tassellare”
Adesso rimettiamo tutti i
singoli pezzi al loro posto!
Proposte di attività nella SdI
Aiutiamoci con uno
schema
Lavorando tutti insieme...
Proposte di attività nella SdI
Proposte di attività nella SdI
Attività di verifica:
I bambini hanno interiorizzato le regole?
UNA PRIMA FASE DI VALIDAZIONE
Proposte di attività nella SdI
DOPO UNA LUNGA RIFLESSIONE …
Continuiamo a a
“tassellare ”
Proposte di attività nella SdI
Ce l’abbiamo fatta!!
Un “percorso” in Proposte di attività nella SdI
verticale:
lo spazio e le figure
TANTISSIMI
SPUNTI!!!
Un “percorso” in Proposte di attività nella SdI
verticale:
lo spazio e le figure
TANTISSIMI
SPUNTI!!!
Un “percorso” Proposte di attività nella SdI
in verticale:
lo spazio e le figure
Le Trasformazioni
geometriche di
Escher
Un altro Esempio:
Proposte di attività nella SdI
Il gioco: chi invitiamo alla festa?
IL GIOCO proposto trae spunto dal libro di Abbott, Flatlandia,
racconto fantastico a più dimensioni, 1996, Milano, Adelphi.
« Il modo… è una superficie piana come quella di una carta
geografica, sulla quale i Flatlandesi scivolano senza sovrapporsi. La
loro è una società rigidamente gerarchica: la casta più vile è quella
delle donne, semplici righette con sulla punta un occhio, come aghi;
viste dall’altro estremo le donne diventano invisibili, cosicché a loro
basta rivoltarsi per scomparire… ».
IN COSA CONSISTE IL GIOCO?
Il gioco consiste nell’inserire il maggior numero di invitati, tra gli abitanti di
Flatlandia, che possono partecipare ad
una festa organizzata all’interno di una delle tipiche case del fantastico mondo a
due dimensioni.
Un altro Esempio:
Proposte di attività nella SdI
Attività concrete per riflettere …
Forme strane … il problema del cerchio Insegn. A.Viola, G .Patella e
G. Ardizzone: Scuola
dell’infanzia “Nico & Nica
college” (Palermo).
Un altro Esempio:
Proposte di attività nella SdI
Attività concrete per riflettere …
Forme strane … il problema del cerchio
Forme strane!
Un altro Esempio:
Proposte di attività nella SdI
Attività concrete per riflettere …
Forme strane il problema del cerchio
Lo strano caso … del cerchio!
Un altro Esempio:
Proposte di attività nella SdI
Tante Competenze !
numeriche,
geometriche,
linguistiche …
http://www.dm.unibo.it/rsddm/it/esper/esperienze.htm
http://www.oltremare.org/scuole.php
Aspetti della Didattica della Matematica
Analisi a-priori di una situazione didattica o a-didattica
Rappresentazioni
Epistemologiche
Rappresentazioni
Storico-Epistem
Analisi dei
comportamenti
attesi
Eventuali risposte ai problemi posti
168
Analisi a priori e processi cognitivi «complessi»
Una esercitazione!
Esempio: il puzzle (Brousseau, 1981)
Ciascun gruppo riceve uno dei quattro pezzi
che compongono il puzzle.
A partire dal puzzle rappresentato in figura,
si dovrà ottenere un ingrandimento del puzzle.
Ogni gruppo ha il compito di realizzare un
ingrandimento del proprio pezzo in modo da
poter ricostruire l'intero puzzle ingrandito,
Il lato che misura 4 cm deve misurarne 6 sul puzzle ingrandito.
Si tratta di una situazione che fa venire alla luce la concezione (additiva) erronea del tipo:
“bisogna aggiungere 2 cm a ciascun lato per fare l'ingrandimento richiesto”.
Per arrivare alla realizzazione concreta, è necessario rinunciare alla concezione additiva
(erronea) della situazione (Grugnetti, 1996).
Aspetti della Didattica della Matematica
Diversi punti di vista nel considerare la Didattica della
Matematica (D'Amore, 1999):
A – come ricerca sulla divulgazione delle idee matematiche,
una teoria che si occupa (perlopiù) dell’attività di
insegnamento della Matematica (Relazione all’ “ars
docenti”).
B – come ricerca sperimentale, che fissa l’attenzione
sull’apprendimento; una teoria che si potrebbe chiamare
epistemologia dell’apprendimento matematico.
C – come ricerca che si occupa dell’epistemologia
dell’insegnante:
la
sua
formazione,
le
sue
convinzioni, il suo ruolo.
(In questa sede non ci occuperemo direttamente di quest’ultima)
Aspetti della Didattica della Matematica
Il didatta A pone l’allievo al centro della sua attenzione, ma
la sua azione didattica non è sull’allievo, ma sull’argomento
in gioco.
Per il didatta A il Laboratorio di Matematica viene inteso:
- come strumento didattico, che favorisce la costruzione dei
concetti, mediante la costruzione e l’uso di oggetti;
- per mostrare “quanta Matematica” sia racchiusa nel mondo
reale;
- per migliorare l’immagine della Matematica rendendola più
vicina alla vita quotidiana dei bambini.
(Angeli, D’Amore et al., 2011)
Aspetti della Didattica della Matematica
La Didattica della Matematica di tipologia B, accentra poi
l’attenzione sul fenomeno dell’apprendimento:
- la Didattica della Matematica come epistemologia;
- la Didattica della Matematica come scienza sperimentale:
che formula ipotesi, le convalida o le confuta con
esperimenti concreti relativi alla pratica didattica.
L’assunto di base è che l’allievo costruisce in modo attivo una sua propria
conoscenza interagendo con l’ambiente ed organizzando le sue costruzioni
mentali.
L’istruzione influenza ciò che l’allievo apprende, ma non determina tale
apprendimento. L’allievo non si limita a recepire passivamente la conoscenza,
ma la rielabora costantemente in modo autonomo. (Rif. Scuola francese anni
‘80)
Aspetti della Didattica della Matematica
Ha senso questa “distinzione” nella SdI?
Questo “passaggio” è già avvenuto … che canoni ha? … come possiamo adattare questa “distinzione” nella SdI?
Se è vero che la SdI non ha veri e propri
obbiettivi cognitivi in senso stretto (almeno non è
questo che la contraddistingue agli occhi dei
più), questa distinzione c’è o no?
Aspetti della Didattica della Matematica
Come sottolineato più volte durante il corso, tra le attività
che hanno successo nella SdI ce ne sono alcune che
sembrano avere una funzione educativa “razionale” e che
quindi, pur non essendo a rigore del tutto interne alla
Matematica,
hanno
però
un’influenza
notevole
sull’educazione
che
abbiamo
chiamato
PROTOMOATEMATICA (Angeli, D’Amore et al., 2011).
Come detto, tale funzione educativa razionale risiede, per
esempio, nell’uso degli schemi, dei riassunti, delle
descrizioni, delle definizioni, delle comunicazioni, dei
bozzetti, ...; essi possono avere funzioni metacognitive,
linguistiche e metalinguistiche.
Aspetti della Didattica della Matematica
Concretamente … nella pratica didattica:
• considerare una situazione matematica (per esempio un
problema aritmetico semplice) e farne uno schema (a parole
o simbolico o figurale); su questo schema si possono avviare
ulteriori lavori specifici: commenti, discussioni, ipotesi,
modifiche, …
• leggere un racconto all’interno del quale si cela una
situazione problematica e farne un riassunto; oppure:
estrapolarne, esplicitandola, la situazione problematica; se
ne possono evidenziare alcuni aspetti;
• descrivere una figura, per esempio geometrica; ci si
aspetta un uso massiccio della lingua naturale;
Aspetti della Didattica della Matematica
• inventare una figura complessa e darne una definizione
(o una descrizione);
(i termini “complessa” e “definizione” sono da interpretarsi a misura di bambino, ovviamente)
• risolvere un semplice problema aritmetico e comunicare a
coetanei il processo seguito per la sua risoluzione;
• comunicare a coetanei ed adulti il testo di un problema
aritmetico;
• “dettare” a parole una figura: si vince solo se l’altro la
esegue correttamente, quindi chi detta deve tentare di tutto
per fornire una descrizione efficace;
• fare un bozzetto di una situazione (per esempio:
rappresentazione
bidimensionale
di
una
figura
tridimensionale eseguita con cubetti).
Aspetti della Didattica della Matematica
Sistemi
complessi
che …
sottendono
processi
cognitivi
complessi!
Aspetti della Didattica della Matematica
Ognuna di queste attività (così come quelle che
vedremo più avanti) andrebbe studiata in appositi
ambienti di ricerca, ben controllati, studiandone
variabili, riproducibilità, effetti sulla costruzione del
sapere.
Dobbiamo essere certi, da un punto di vista
seriamente scientifico, che davvero queste attività
funzionino, che effetti producono, quanto di esse sia
riproducibile, ...non sempre questo è semplice!
Aspetti della Didattica della Matematica
Uno degli aspetti più difficili relativi all’apprendimento della
Matematica riguarda la problematica della rappresentazione
dei concetti e degli “oggetti” della Matematica.
Semplificando quanto discusso dalla ricerca, si
potrebbe dire che:
sia dato un certo oggetto e supponiamo che una
persona voglia rappresentarlo; per fare ciò, dovrà
sceglierne certe caratteristiche; la scelta delle
caratteristiche è un fatto personale e, di fronte allo
stesso oggetto, persone diverse possono sceglierne
come significative caratteristiche diverse e dunque
potremmo avere rappresentazioni diverse dello
stesso oggetto.
Aspetti della Didattica della Matematica
Una rappresentazione dell’oggetto in questione
viene necessariamente fatta dentro un certo
registro semiotico (per esempio: in lingua naturale,
oppure con un bozzetto, o con uno schema, o con
una figura, o con una fotografia, …).
Gli esempi discussi fino ad ora durante il corso
evidenziano alcuni possibili registri semiotici
utilizzabili nella SdI (e non solo).
Aspetti della Didattica della Matematica
Si tratta quindi di una rappresentazione semiotica
(cioè fatta per mezzo di segni) in un certo registro
semiotico scelto (Duval, 1994, 1997).
A questo punto, la stessa persona potrebbe passare
ad una rappresentazione diversa, ma dentro lo
stesso registro semiotico (per esempio, passare da
una descrizione fatta a parole, ad una descrizione
scritta, ammettendo che il registro “lingua naturale”
sia lo stesso).
Questo è quel che si chiama una
trasformazione di trattamento.
Aspetti della Didattica della Matematica
Trasformazione di trattamento.
Aspetti della Didattica della Matematica
Oppure la persona potrebbe passare ad un’altra
rappresentazione ma dentro un registro semiotico
diverso (per esempio, passare da una descrizione
fatta a parole ad un bozzetto disegnato, cioè passare
dal registro semiotico “lingua naturale” al registro
semiotico “disegno”).
Questa è quel che si chiama una
trasformazione di conversione.
Aspetti della Didattica della Matematica
Trasformazione di conversione.
Aspetti della Didattica della Matematica
Attività di questo genere sono molto presenti nella
SdI perché costituiscono occasione di discussione,
di costruzione cognitiva e linguistica.
Ma quando l’oggetto di cui si sta parlando è un
“oggetto”matematico, la cosa si complica perché gli
“oggetti” matematici, nella realtà empirica,
concreta, non esistono).
Aspetti della Didattica della Matematica
Scegliere tratti distintivi lo è ancora di più!
Rappresentare, trattare e convertire è a maggior
ragione di grande complessità e, di fatto, tale
complessità sembra inibire le capacità matematiche
degli individui adulti (es. relazioni tra Aritmetica e
Algebra o nella Dimostrazione geometrica e il
simbolismo algebrico).
Aspetti della Didattica della Matematica
Ecco perché per la ricerca sembra dunque di grande
interesse iniziare a studiare questo genere di
problematiche ad un livello di età minimo, proprio a
partire dalla SdI.
I bambini come si immaginano gli
matematici, come li rappresentano?,
trattano?, li convertono spontaneamente?
“oggetti”
come li
Riflettere, come futuri insegnanti, su questi aspetti
potrebbe dare molti spunti per una didattica specifica
e concreta, provando ad evitare, se possibile,
insuccessi, almeno quelli dovuti a questi fattori.
Un altro Esempio:
Proposte di attività nella SdI
http://www.dm.unibo.it/rsddm/it/esper/esperienze.htm
Un altro Esempio:
Proposte di attività nella SdI
La semiotica come
framework teorico
Evidenze sperimentali nelle
differenti fasi del progetto
presentato!!
Proposte di attività nella SdI:
ARITMETICA
Angeli A., D’Amore B., Di Nunzio M., Fascinelli E. (2011). La matematica dalla scuola
dell’infanzia alla scuola primaria. Bologna: Pitagora.
Proposte di attività nella SdI:
ARITMETICA
Proposte di attività nella SdI:
ARITMETICA
Proposte di attività nella SdI:
ARITMETICA
Didattica laboratoriale:
Filastrocche e favole che
danno i numeri
Quanta matematica si può fare con una storia?
Obiettivi:
Riconoscere i numeri e i loro diversi significati in contesti diversi.
Familiarizzare con il numero e i suoi aspetti. Riconoscere cifre e
rappresentazioni del numero.
Requisiti:
Nessuno in particolare.
Durata:
2 ore circa per ogni attività decritta.
Materiali:
Materiale di consumo.
Angeli A., D’Amore B., Di Nunzio M., Fascinelli E. (2011). La matematica dalla
scuola dell’infanzia alla scuola primaria. Bologna: Pitagora.
Didattica laboratoriale:
Filastrocche e favole che
danno i numeri
Si esplicitano le
regole del gioco del Memory:
Didattica laboratoriale:
Filastrocche e favole che
danno i numeri
Registri e
rappresentazioni
semiotiche differenti!
L’attività proposta aiuta i bambini a costruire il concetto di successivo
e di abbinamento.
Osserviamo se i bambini
- Colgono la successione numerica;
- Riescono a contare i pallini delle carte;
- Riescono ad abbinare le carte del Memory.
Didattica laboratoriale:
Filastrocche e favole che
danno i numeri
Giochi cantati:
Proponiamo ai bambini qualche filastrocca da mimare, da disegnare e
da memorizzare per fare una file.
Queste esperienze portano i bambini a padroneggiare la successione
dei numeri. A scoprire che l’ultimo numerale esprime la quantità
della raccolta.
L’ultimo bambino della fila potrà verbalizzare quanti bambini ci sono
in fila
Didattica laboratoriale:
Filastrocche e favole che
danno i numeri
Una filastrocca: togliere
l’elefante dal numero suggerito dalla cantilena.
Didattica laboratoriale:
Filastrocche e favole che
danno i numeri
Tracciate poi altre linee a zig
zag, a scala, a chiocciola, a
serpente … con dei puntini
disegnati
vicino
ai
quali
scriviamo
dei
numeri
corrispondenti alla posizione
del punto, lasciamo liberi i
bambini di posizionare gli
elefanti numerati nel punto
giusto.
Esempi di filastrocche
possono ritrovarsi in:
www.filastrocche.it
Altri esempi di
situazioni didattiche
per la SdI
Didattica laboratoriale:
numeri da favola
Angeli A., D’Amore B., Di Nunzio M., Fascinelli E. (2011). La matematica dalla
scuola dell’infanzia alla scuola primaria. Bologna: Pitagora.
Didattica laboratoriale:
Racconti e competenze matematiche
Domande stimolo poste ai bambini dopo
l’ascolto di un racconto di Lupo sabbioso, L’amico:
•Vi è piaciuto questo racconto?
•Quali sono gli animali domestici?
•Cosa desiderava molto Zackarina?
•Perché secondo il papà, Zackarina non poteva avere un
coniglietto?
•Alla fine del racconto quale animale scopre di avere in casa? Ed
era contenta di aver trovato un topolino con le orecchie “mini mini
orecchie”?
•Che vuol dire mini mini orecchie”?
•Avete mai avuto un coniglietto?
•Qualche altro animale?
•Ed era grande come l’elefante o piccolo
•Come il topolino?
•Qual è l’animale più grande che conosci?
Didattica laboratoriale:
Racconti e competenze matematiche
•Qual è l’animale più piccolo che conosci?
•Adesso ripetiamo prima tutti gli animali grandi che avete appena
detto. Cosa hanno in comune tutti questi animali?
•Adesso ripetiamo prima tutti gli animali piccoli che avete appena
detto. Cosa hanno in comune tutti questi animali?
•Sapete cosa avete fatto?
•Che vuol dire allora classificare?
•Come decidiamo quali animali mettere assieme?
•Come facciamo a stabilire tra due oggetti simili chi è più grande o
più piccolo?
•Secondo voi si può misurare solo con il metro?
•Secondo voi è possibile misurare l’altezza di Giulia e Alida con il
libro di Lupo Sabbioso?
Didattica laboratoriale:
Racconti e competenze matematiche
•Secondo voi chi è più alta tra le due?
•Quanti libri di Lupo Sabbioso misurano Giulia e Alida?
•Adesso siamo sicuri che Giulia è più alta?
•Come facciamo a stabile tra due oggetti simili o tra due persone
chi è più grande o più piccolo?
•Adesso faremo un gioco: dobbiamo classificare gli oggetti.
•Vi ricordate cosa significa classificare?
Dalla SdI … un percorso verticale per la SP
Dai racconti di Lupo Sabbioso, un approccio metodologico
giocoso e incisivo per il pensiero logico-matematico.
O. Frangiamore, Tesi di Laurea, Scienze della Formazione Primaria,
Università degli Studi di Palermo, 2012
Il framework della
mediazione
semiotica
Cfr. Bartolini Bussi, 2008
Il framework della
mediazione
semiotica
Riassumendo lo schema, si può dire che nella sperimentazione
precedentemente mostrata si è utilizzato l’artefatto come
strumento di mediazione semiotica per fare evolvere i segni
situati prodotti dagli alunni in segni matematici dotati di un
preciso significato matematico. In altre parole ciò che, attraverso
i vari racconti di Lupo Sabbioso, si è provato a favorire negli
alunni, è stata una riflessione sulla lingua Naturale (segni
situati) che ha generato in loro una scoperta di contenuti
matematici sottesi a termini e regole usate in precedenza in modo
spesso ingenuo e/scorretto. I segni matematici (numeri, regole,
connettivi, quantificatori, ecc.) dotati di un preciso significato
sono stati scoperti e istituzionalizzati attraverso una metodologia
ispirata alla didattica metacognitiva e laboratoriale
Il framework della
mediazione
semiotica
Cfr. Bartolini Bussi, 2008
Il bambino sa
organizzare
strategie
Chiunque abbia giocato con un bambino della SdI avrà notato la
facilità con la quale il bambino si approccia ai giochi di strategia
riuscendo a “spiegare” che cosa sta facendo.
Un altro esempio:
Bartolini Bussi, 2011
Il bambino sa
organizzare
strategie
Il sapere in gioco:
Bee-bot come artefatto “complesso” che fa riferimento a significati
diversi della Matematica (numero naturale, misura, forma,
localizzazione e orientamento spaziale) e dell’INFORMATICA
(istruzione, programma, memoria, input, output, feedback).
Bartolini Bussi, 2011
http://www.youtube.com/watch?v=yTUYiLPlEp8&feature=related
Artefatti e segni nell’insegnamento apprendimento della Matematica
R. Cocchiara, Tesi di Laurea, Scienze della Formazione
Primaria, Università di Palermo, 2013
Proposte di attività
nella SdI:
GEOEMTRIA
Angeli A., D’Amore B., Di Nunzio M.,
Fascinelli E. (2011). La matematica dalla
scuola dell’infanzia alla scuola primaria.
Bologna: Pitagora.
Proposte di attività
nella SdI:
GEOEMTRIA
Un altro Esempio:
Proposte di attività nella SdI
http://www.dm.unibo.it/rsddm/it/esper/esperienze.htm
Proposte di attività nella SdI:
GEOMETRIA, PROBABILITA’ E STATISTICA
Angeli A., D’Amore B., Di Nunzio M., Fascinelli E. (2011).
La matematica dalla scuola dell’infanzia alla scuola
primaria. Bologna: Pitagora.
Proposte di attività
nella SdI:
GEOMETRIA,
PROBABILITA’ E STATISTICA
Proposte di attività
nella SdI:
GEOMETRIA,
PROBABILITA’ E STATISTICA
Proposte di attività nella SdI:
GEOMETRIA, PROBABILITA’ E STATISTICA
Didattica laboratoriale:
solidi … per giocare
Altri esempi di
situazioni didattiche
per la SdI
Angeli A., D’Amore B., Di Nunzio M., Fascinelli E. (2011). La matematica dalla
scuola dell’infanzia alla scuola primaria. Bologna: Pitagora.
Didattica laboratoriale:
La Matematica del probabile
una storia , tante storie …
La Matematica del probabile è sicuramente la meno
conosciuta nella SdI perché spesso si crede che i
bambini dai 3 ai 6 anno siano troppo coinvolti a livello
emotivo per comprendere pienamente concetti come
certo, impossibile o possibile.
Si tratta certamente di una disciplina più complessa
di altre ma la proposta di una riflessione sulla
casualità degli eventi può essere significativa.
(Angeli, D’Amore et al., 2011)
Didattica laboratoriale:
La Matematica del probabile
una storia , tante storie …
La proposta didattica della storia con le scelte
multiple ha lo scopo di far riflettere il bambino sulle
conseguenze di una scelta.
Molto spesso i bambini scelgono un oggetto o un
evento guidati solamente da fattori emotivi o da
convinzioni stereotipate. Proporre al bambino
l’esistenza di una componente di casualità può farlo
riflettere.
Il rapporto tra le componenti affettive e le altre
componenti che possono intervenire sulla scelta può
essere un tema molto importante da analizzare in
profondità.
Didattica laboratoriale:
La Matematica del probabile
una storia , tante storie …
Descrizione dell’attività …
Angeli A., D’Amore B., Di Nunzio M., Fascinelli E. (2011). La matematica dalla
scuola dell’infanzia alla scuola primaria. Bologna: Pitagora.
Didattica laboratoriale:
La Matematica del probabile
una storia , tante storie …
Didattica laboratoriale:
La Matematica del probabile
una storia , tante storie …
Rappresentando
con
delle
immagini tutte le possibili scelte
che i bambini possono compiere
nel seguire la storia e riportando
sul retro di ciascuna la diversa
evoluzione della storia … si può
continuare
la
lettura
per
permettere
ai
bambini
di
effettuare le scelte durante la
narrazione:
Didattica laboratoriale:
La Matematica del probabile
una storia , tante storie …
Possibili
scelte …
Possibili
scelte …
Didattica laboratoriale:
La Matematica del probabile
una storia , tante storie …
Didattica laboratoriale:
La Matematica del probabile
una storia , tante storie …
La lettura della storia deve chiaramente essere
ripresa più volte per permettere ai bambini di
ottenere risultati diversi.
Successivamente si potrebbe poi riproporre la storia
con il folletto Zippo visualizzando su un grande
foglio la struttura del
racconto attraverso un
digramma ad albero.
Didattica laboratoriale:
La Matematica del probabile
una storia , tante storie …
Diventa “evidente” il percorso corretto che
porta alla conclusione
del gioco – storia …
Angeli A., D’Amore B., Di Nunzio M., Fascinelli E. (2011). La matematica dalla
scuola dell’infanzia alla scuola primaria. Bologna: Pitagora.
La Matematica come fatto culturale,
la SdI in Cina
Cfr. Bartolini Bussi,
I servizi per l’infanzia cinesi, Idee e Questioni , 2011
La Matematica come fatto culturale,
la SdI in Cina
La Matematica come fatto culturale,
la SdI in Cina
USA - standard NCTM (2000)
Cina - programmi MOE (2004)
Attività prevalentemente individuali o di
piccolo gruppo
Attività prevalentemente individuali o di
grande gruppo (classe)
Apprendimento per scoperta
Apprendimento per imitazione
(insegnamento diretto)
Uso continuo dei materiali
(anche nelle scuole secondarie)
Uso dei materiali solo nei primi anni della
scuola primaria come accesso all'astrazione
Importanza limitata del calcolo mentale
Grande importanza del calcolo mentale
Importanza limitata di schemi e formule
Enfasi sull'insegnamento di schemi
risolutivi di situazioni problematiche
La Matematica come fatto culturale,
la SdI in Cina
Cfr. Bartolini Bussi,
I servizi per l’infanzia cinesi, Idee e Questioni , 2011
La Matematica come fatto culturale,
la SdI in Cina
http://www.erickson.it/erickson/product.do?id=2450
M. G. Bartolini Bussi
Culture lontane come risorsa:
La Cina
Di Paola B. (2012), Processi cognitivi e soluzioni
di problemi matematici con studenti italiani e cinesi .
Convegno Castel San Pietro Terme (BO),
Convegno Nazionale Incontri con la Matematica
La Didattica della Matematica:
insegnamento e apprendimento a confronto
La Matematica come fatto culturale,
la SdI in Cina
3-6 year
La Matematica come fatto culturale,
la SdI in Cina
Titolo: “L’orso Baobao e le
dita della mano”Esercizio
di Ripasso
1 - Conta quante dita ci sono
in ogni figura.
2 - Disegna in ogni quadrato
lo stesso numero di cerchi.
Da: “You’er qimeng shuxue 幼儿启蒙数
学 (Introduzione allo studio della
Matematica per bambini), “Haha
xiang xue shuxue” (2 sui) 哈哈象学数学
(2 岁) (L’elefantino Haha impara la
matematica - 2 anni), 1998, p.119
Cfr. www.crocusproject.net
La Matematica come fatto culturale,
la SdI in Cina
Titolo: “Il libro del drago Dudu” Esercizio di allineamento
1- Il drago Dudu non ha finito il
disegno e si è addormentato.
2- Per favore, aiutalo. Unisci i
numeri secondo la sequenza, potrai
vedere quale figura voleva
disegnare.
Questo esercizio sottintende che già a 3 anni i
bambini cinesi conoscano l’ordine dei numeri
dall’uno al cinque e che li sappiano “leggere”.
You’er qimeng shuxue 幼儿启蒙数学, “Youyou
shu xue shuxue” (3 sui) 幼幼鼠学数学 (3岁) (Il
topo Youyou impara la matematica - 3
anni), 1998, p.19
Cfr. www.crocusproject.net
La Matematica come fatto culturale,
la SdI in Cina
Titolo: “L’orso Baobao cuoce
le uova”  esercizio di
sottrazione
1 - L’orso Baobao ha 5 uova, ne
cucina 3, quante gliene
rimangono?
2 - Disegna quelle rimanenti
nella casella vuota.
You’er qimeng shuxue 幼儿启蒙数学,
“Dudu long xue shuxue” (4 sui) 嘟嘟
龙学数学 (4 岁) (Il drago Dudu
impara la matematica - 4 anni),
1998, p.129
Cfr. www.crocusproject.net
La Matematica come fatto culturale,
la SdI in Cina
“Il drago Dudu sa contare”
 Esercizio di ripasso
1-In accordo con la
sequenza numerica da 1 a
40, riempi le caselle
vuote con i numeri giusti.
Esercizi proposti già all’ultimo anno della scuola materna
You’er qimeng shuxue幼儿启蒙数学,
“Baobao xiong xue shuxue” (5 sui) 宝宝
熊学数学 (5岁) (L’orso Baobao impara
la matematica - 5 anni), 1998,pp.129
Cfr. www.crocusproject.net
La Matematica come fatto culturale,
la SdI in Cina
• Titolo: “Il piccolo vaso con i
fiori”

Esercizio
di
combinazione/addizione
• 1Quanti fiori hanno il gatto
Mi e il topo Youyou?
• 2E facendo la somma dei
fiori dei due personaggi, in
tutto quanti fiori ci sono?
• Tenendo conto dei numeri
corretti, riempi le caselle vuote.
Esercizi proposti già all’ultimo anno della scuola materna
You’er
qimeng
shuxue幼儿启蒙数学,
“Baobao xiong xue shuxue” (5 sui) 宝宝熊学
数学 (5岁) ( L’orso Baobao impara la
matematica-5 anni), 1998, p. 139
Cfr. www.crocusproject.net
La Matematica come fatto culturale,
la SdI in Cina
Scuola dell’ infanzia: 5 anni
Cfr. www.crocusproject.net
La Matematica come fatto culturale,
la SdI in Cina
Scuola dell’ infanzia: 5 anni
Cfr. www.crocusproject.net
La Matematica come fatto culturale,
la SdI in Cina
Problemi
con variazione!
Scuola
dell’ infanzia: 5 anni
Cfr. www.crocusproject.net
La Matematica come fatto culturale,
la SdI in Cina
IO + MATEMATICA =
INTELLIGENTE
(libro di testo di
matematica per la
prima elementare
primo quadrimestre)
Cfr. www.crocusproject.net
La Matematica come fatto culturale,
la SdI in Cina
La variazione cinese in contesti diversi!
I libri di testo della SP cinese
La Matematica come fatto culturale,
la SdI in Cina
I problemi con variazione!
Lo schema come rappresentazione
sintetica della tripletta!
La Matematica come fatto culturale,
la SdI in Cina
Perché la Cina?
This is not about comparative philosophy,
about paralleling different conceptions, but
about a philosophical dialogue in which
every thought, when coming towards the
other, questions itself about its own
unthought.
F. Jullien, 2006
E’ possibile una “trasposizione” dell’approccio alla variazione cinese nelle nostre classi, sin dalla SdI?
Cfr. Ramploud & Di Paola, 2012
Aspetti della Didattica della Matematica
Molto spesso, durante il corso, abbiamo fatto
riferimento ai termini problema e situazioneproblema interpretando questi nell’accezione tipica
data nella SdI.
E’ allora interessante soffermarsi ancora una volta
sull’ “oggetto” didattico problema così diffuso e
chiedersi:
Che cos’è, dunque, un problema?
Che cosa significa risolvere un problema nella SdI?
Una bella risposta è data da una frase di G. Polya,
che è opportuno riportare integralmente:
Aspetti della Didattica della Matematica
«Risolvere problemi significa trovare una strada
per uscire da una difficoltà, una strada per
aggirare un ostacolo, per raggiungere uno scopo
che non sia immediatamente raggiungibile.
Risolvere
problemi
è
un’impresa
specifica
dell’intelligenza e l’intelligenza è il dono specifico
del genere umano: si può considerare il risolvere
problemi come l’attività più caratteristica del
genere umano» (Polya, 1983).
Le situazioni didattiche sulle quali abbiamo riflettuto
durante il corso richiedono ai bambini di risolvere
problemi, di trovare soluzioni, di discuterle …
Aspetti della Didattica della Matematica
Un’espressione, in particolare, che compare in
moltissimi studi è il problem solving.
L’attività di risoluzione di problemi è di
fondamentale importanza nella didattica della
Matematica (e vale in tutti i livelli scolastici).
Per riflettere ancora un volta sull’importanza del
problem solving in una moderna didattica della
Matematica
facciamo
riferimento
(seppur
brevemente) agli studi di Vigotskij (1987).
Aspetti della Didattica della Matematica
Nella valutazione dei livelli dello sviluppo mentale
dei un allievo è possibile distinguere tra:
-Livello di sviluppo effettivo: con tale termine indicheremo il livello di
sviluppo delle funzioni mentali ottenuto da cicli evolutivi già
completati.
A questo proposito dobbiamo riflettere su cosa significa tutto ciò nella
SdI …
- Livello di sviluppo potenziale: è il livello di sviluppo che potrà essere
raggiunto in un futuro più o meno prossimo, evidenziabile dalla
proposta di un problema che, pur superando il livello di sviluppo
effettivo, può però essere affrontato con un aiuto esterno (ad esempio
il suggerimento dell’insegnante).
Aspetti della Didattica della Matematica
Dunque, oltre al livello di sviluppo effettivo c’è una
zona, ancora non “posseduta” dall’allievo, il cui
controllo non è però del tutto impossibile, del tutto
irraggiungibile: un problema concepito nell’ambito
di questa zona, entro il livello che denominiamo di
sviluppo prossimale, può essere affrontato (a volte
con successo) grazie ad una … piccola spinta.
Spesso è sufficiente un’indicazione, un suggerimento per
“mettere in moto” alcuni allievi di fronte a situazioni
problematiche che, inizialmente, sembrano provocare un vero
e proprio blocco nell’allievo, una situazione di incapacità ad
impostare la risoluzione (Bagni, 2008).
Aspetti della Didattica della Matematica
Proprio in questo si evidenzia il ruolo del problem
solving.
Esso ha dunque un campo d’azione ben definito, che
chiamiamo zona di sviluppo prossimale.
Secondo L.S. Vygotskij, la zona di sviluppo
prossimale «è la distanza tra il livello di sviluppo
così com’è determinato dal problem solving
autonomo e il livello di sviluppo potenziale così
com’è determinato attraverso il problem solving
sotto la guida di un adulto o in collaborazione con i
propri pari più capaci» (Vigotskij, 1987).
Aspetti della Didattica della Matematica
Possiamo dunque riassumere la
situazione nella figura seguente:
Il problem solving genera quindi apprendimento.
Grazie a delle attività di problem solving come quelle proposte
in
queste
slide,
infatti,
l’allievo
può
superare
significativamente il livello di sviluppo effettivo per
addentrarsi nella zona di sviluppo prossimale: quindi,
debitamente consolidato, questo processo porta ad innalzare il
livello di sviluppo effettivo.
Aspetti della Didattica della Matematica
La risoluzione di una situazione problema (nonché i tentativi,
anche parziali o errati di risoluzione) per un bambino della SdI
(ma vale in generale) si basa su attività intuitive e tali attività
non sempre possono essere chiare, razionalmente motivate,
sia per l’insegnante che per il bambino stesso.
Le situazioni didattiche mostrate con i video riportati su
questo ipertesto hanno in molti casi evidenziato questi aspetti !
Come detto, una fase di notevole importanza è proprio quella
in cui l’allievo viene portato a riflettere sulle proprie intuizioni
e dunque sulle caratteristiche della propria “risoluzione” del
compito/gioco proposto: la metacognizione può allora qui
identificarsi con la metarisoluzione intendendo, con tale
termine, una riflessione, autonoma o guidata, su come si è
risolto, completamente o parzialmente, un compito, un
problema, un gioco (Wittman, 1981).
Aspetti della Didattica della Matematica
Come detto, in un percorso didattico verticale, le attività
metacognitive sono fondamentali sia per dare corpo all’attività
didattica (a quella, cioè che ha per meta direttamente
l’apprendimento), sia nell’ambito della ricerca in didattica
della Matematica.
Grazie alla metacognizione è possibile, ad esempio, indagare
sulle scelte operate dall’allievo, sulle sue motivazioni, sui
tentativi solo immaginati e magari non effettivamente attuati
(Bagni, 2008).
Alcune strategie metacognitive, secondo M. Pellerey (1991), si
basano sulla considerazione (e sul potenziamento) delle
seguenti capacità (D’Amore, 1993, pp. 198-199 e 1999):
Aspetti della Didattica della Matematica
1. Capacità di inquadrare preliminarmente quanto necessario
per la risoluzione del compito, del problema, del gioco
(esigenze di tempo, di materiali etc.);
2. Capacità di pianificare l’attività risolutiva;
3. Capacità di monitoraggio (riflettere sul proprio
comportamento,
essere
eventualmente
in
grado
di
modificarlo);
4. Capacità di valutazione del lavoro svolto (sia con
riferimento a risultati parziali che con riferimento alla
conclusione).
L’abaco ed il pensiero
Aritmetico
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=s6-g3aAY4_Y
L’abaco ed il pensiero
Aritmetico
Nel Medioevo in Europa alla parola
abaco si attribuiva solitamente il
significato di aritmetica in senso
generale: a riprova di questo vi è il
titolo di un importantissimo libro di
Fibonacci: Liber abaci, pubblicato
nel 1202.
Anche presso i popoli orientali
erano in uso attrezzi simili: in Cina
sono stati ritrovati abachi risalenti
al VI secolo a.C., che utilizzavano
come calcoli bastoncini di bambù.
Proposte di attività nella SdI - SP
Modello di McKlosky
Cfr. Prog. Per Contare,
bambini che contano,
2012
Il geopiano ed
il pensiero
Geometrico
Il geopiano è uno strumento didattico ideato dal
matematico pedagogista inglese Caleb Gattegno.
Tale artefatto è costituito da una tavoletta di legno
sulla quale è disegnato un reticolato i cui nodi
sono messi in evidenza con dei chiodini
Esistono tanti tipi di geopiano in relazione al
numero dei chiodi:
- quello a 9: permette di creare tutti i tipi di
quadrilateri: quadrati, rombi, parallelogrammi;
------------ quello a 16 chiodi: qui possiamo illustrare il
teorema di Pitagora.
- quello a 25 chiodi: si costruiscono molti angoli,
introdurre i concetti di simmetria assiale e area
delle figure poligonali.
Esiste anche quello a 121 chiodi!
http://www.camillobortolato.it/
http://www.camillobortolato.it/
area_video.aspx
Bortolato C., Una proposta per l’apprendimento
non “concettuale” della matematica: il “metodo
analogico” (prima parte), Difficolta` in
matematica, Edizioni Erickson Trento, Vol. 1 n.1
101-107 (2004)
Bortolato C., La linea del 20 e il libro dei
numeri: due strumenti per l’apprendimento non
concettuale dei numeri (seconda parte),
Difficolta` in matematica, Edizioni Erickson
Trento, Vol. 1 n.2 91-99 (2005)
Modello di McKlosky
Aspetti della Didattica della Matematica
La complessità del quadro evidenziato e
delle relative scelte didattiche è
evidente.
La SdI “complica” ulteriormente il piano di azione e richiede quindi una
maggiore attenzione ai processi sottesi
al comportamento dei bambini,
finalizzata ad una didattica
metacognitiva!
Alcuni riferimenti bibliografici 1/6
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Il Progetto
Matematica nella scuola
primaria, percorsi per
apprendere.
Strumento pensato per la
formazione iniziale ed in servizio
degli insegnanti di primaria, come
strumento al servizio della scuola
militante.