Insegnamento
di
Fondamenti di Infrastrutture viarie
Territorio ed infrastrutture di trasporto
La meccanica della locomozione: questioni generali
Il fenomeno dell’aderenza e l’equazione generale del moto
Dall’equazione generale del moto alle caratteristiche di moto
Sistemi di trazione e motori di trazione
Trazione ferroviaria: studio di una fase completa di moto
Trazione stradale: studio di una fase completa di moto
La frenatura in ferrovia e su strada
Legislazione e Normativa
Norme funzionali e geometriche per la costruzione delle strade
Andamento planimetrico di un tracciato stradale:
1) elementi del tracciato planimetrico, rettifili e curve circolari,
pendenza trasversale in curva, curve a raggio variabile
2) allargamento in curva e diagramma di velocità
Distanze di visibilità e andamento altimetrico di un tracciato stradale
Volume del solido stradale: metodi di calcolo
Fondamenti di Infrastrutture viarie
Volume del solido stradale
Generalità
Il quaderno delle sezioni
Il diagramma delle aree
Il diagramma dei volumi
Determinazione analitica del volume del solido stradale
Volume del solido stradale
Generalità
Il problema della determinazione (misura e distribuzione) dei volumi lungo il
tracciato stradale è di fondamentale importanza, sia per stabilire il costo dello
scavo o del riporto, sia per ricavare il costo del trasporto dei movimenti di terra
lungo l’asse stradale.
Per solido stradale s’intende il solido delimitato dal piano di campagna, dalla
piattaforma stradale, dalle scarpate del rilevato o della trincea e dalle due sezioni
terminali del tronco considerato.
Se assimiliamo il solido stradale ad un prismoide il suo volume è calcolabile con la
formula del Torricelli:
V = d/6 (F1 + F2 + 4Fm)
Dove: F1 e F2 sono le aree delle sezioni d’estremità (poste a distanza d) e Fm è
l’area della sezione a distanza d/2 dalle sezioni d’estremità.
In questo caso occorre conoscere non solo le aree delle sezioni d’estremità, ma
anche l’area della sezione Fm.
Volume del solido stradale
Il quaderno delle sezioni
Le sezioni trasversali sono ottenute con piani verticali normali all’asse stradale
posti in corrispondenza dei singoli picchetti individuati in planimetria e che
caratterizzano il modello del terreno (profilo longitudinale dell’asse stradale).
Nella figura 1 di due sezioni successive viene riportata la collocazione planimetrica
e le sezioni trasversali (entrambe in rilevato).
Per il progetto preliminare si utilizzano di solito le sezioni ricavate dalla carta a
curve di livello, mentre per quello definitivo è sempre opportuno che ci si serva
delle sezioni direttamente rilevate sul terreno.
Per un conteggio analitico delle diverse parti (sterro e riporto) che caratterizzano
una sezione trasversale occorre predisporre, oltre alla loro rappresentazione
grafica anche delle tabelle analitiche per il calcolo degli sterri e dei riporti.
Nelle sezioni trasversali, oltre all’asse verticale in corrispondenza del picchetto
dell’asse stradale, è bene indicare il cassonetto relativo alla sovrastruttura stradale
in quanto la sua area trasversale inciderà solo per la sua quota parte in trincea (e
non in per la quota parte in rilevato).
In figura 2 è riportato un esempio di sezione trasversale.
Diagrammi dei volumi
Esempio di due sezioni trasversali successive
Due sezioni successive: collocazione planimetrica e sezioni trasversali
trasversali (entrambe in rilevato).
Diagrammi dei volumi
Esempio di sezione trasversale
Volume del solido stradale
Il metodo delle sezioni ragguagliate
Se si ipotizza che Fm = (F1 + F2)/2 la formula del Torricelli diventa:
V = d/2 (F1 + F2)
Dove: F1 e F2 sono le aree delle sezioni d’estremità (poste a distanza d).
In questo caso occorre tener presente che il metodo delle sezioni ragguagliate
fornisce un volume maggiore rispetto a quello del Torricelli.
Tale metodo è utilizzato per costruire il diagramma delle aree: in ascissa vengono
riportate le distanze (tra sezioni stradali), in ordinata vengono riportate le aree
delle sezioni stradali. La congiungente delle ordinate relative alle sezioni di diversa
area ha un andamento lineare (tra due sezioni) riducendosi quindi ad una
spezzata.
Per convenzione le aree di sterro si riportano nell’ordinata positiva (verso l’alto),
le aree di riporto nell’ordinata negativa (verso il basso).
L’area sottesa al diagramma delle aree tra due sezioni rappresenta il volume del
solido stradale tra le due sezioni stesse.
Metodo delle sezioni ragguagliate
Costruzione del diagramma delle aree 1
Occorre distinguere tra sezioni omogenee (entrambe di riporto o di sterro), sezioni
non omogenee (una di sterro e l’altra di riporto) e sezioni parzializzate (mezza
costa).
Sezioni omogenee:
Con riferimento alla figura 3 (3 sezioni in sterro: F0, F1, F2) il diagramma delle
aree è dato dalla spezzata congiungente le trae ordinate (aree) relative alle tre
sezioni in sterro considerate (distanti rispettivamente d1 e d2). Il volume di sterro,
graficamente rappresentato dall’area sottesa alla spezzata congiungente gli
estremi superiori delle 3 ordinate (gli estremi inferiori appoggiano sull’ascissa), è
dato dall’espressione: V = d1 (F0 + F1)/2 + d1 (F1 +F2)/2.
Sezioni non omogenee:
Con riferimento alla figura 4 (un sezione di sterro e l’altra di riporto) il
diagramma delle aree, che in questo caso individua due distinti volumi (aree): uno
di sterro e l’altro di riporto, interseca l’ascissa in un punto P di passaggio (in
corrispondenza del quale V = 0). In questo caso: Vs = d1 F1/2 e Vr = d1 F2/2.
Metodo delle sezioni ragguagliate
Sezioni omogenee e non omogenee
Diagramma delle aree: sezioni omogenee.
Diagramma delle aree: sezioni non omogenee.
Metodo delle sezioni ragguagliate
Costruzione del diagramma delle aree 2
Sezioni parzializzate (vedi figura 5):
Nel caso in cui una sezione (la 1) è omogenea (riporto) mentre l’altra (la 2) è
parzializzata (a mezza costa), la costruzione del diagramma delle aree avviene per
passi successivi (figura 3):
a) Poste le sezioni una (la 2) sotto l’altra (la 1) (rispetto la congiungente dei
rispettivi assi stradali), rispetto al punto T si traccia la verticale y-y che divide la
sezione 1 in due parti A1 e A2 (entrambe aree di riporto) cui corrispondono nella
sezione 2 rispettivamente le due parti B1 (area di sterro) e B2 (area di riporto).
b) Poste le due sezioni 1 e 2 alla distanza d lungo una retta orizzontale, prima si
riportano in ordinata le due aree A1 e B1 e se ne congiungono le estremità per
determinare il punto di passaggio P (in quanto le due aree non sono omogenee),
poi si riportano in ordinata le due aree omogenee A2 e B2 congiungendone le
estremità. (Vedi casi precedenti, ma rappresentati sovrapponendone i diagrammi).
c) Abbassata da P la verticale sino in P’, resta da sommare nella sezione 1 all’area
A2 l’area A1 e congiungere il nuovo estremo con P’.
Metodo delle sezioni ragguagliate
Sezioni parzializzate
Determinazione del volume del solido
stradale tra una sezione in rilevato e la
successiva a mezza costa.
Costruzione del diagramma delle aree nel
caso di sezioni parzializzate.
Metodo delle sezioni ragguagliate
Costruzione del diagramma delle aree 3
Sezioni parzializzate:
In figura 6 è rappresentato un caso più complesso:
Successione di tre sezioni: 1) in trincea 2)
e 3) a mezza costa.
Diagramma delle aree delle tre sezioni.
Diagramma delle aree
Diagramma delle aree con e senza aree di paleggio
Una volta costruito il diagramma delle aree, prima di procedere al compenso
trasversale, occorre aumentare le ordinate positive (di sterro) della differenza
percentuale tra il volume dopo lo scavo e quello nel rilevato (figura 7).
Semprechè i terreni provenienti dagli scavi risultino idonei per costruire i rilevati,
si procede ad individuare quelle zone del diagramma delle aree che presentano
contemporaneamente ordinate in sterro (trincea) e in riporto (rilevato).
Per la ricerca del volume compensato trasversalmente (aree di paleggio) è
sufficiente ribaltare i contorni del diagramma delle aree intorno all’asse delle
ascisse.
L’area priva di tratteggio rappresenta il volume compensato trasversalmente e
l’area tratteggiata rappresenta invece il volume depurato dai paleggi (figura 8).
Nel caso che la strada sia interrotta da un ponte, il diagramma delle aree sarà
anch’esso interrotto tra le sezioni in corrispondenza delle due spalle.
Diagramma delle aree
Aumenti (per scavo) e diminuzioni (per riporto) di volume per diversi tipi di terreno
Diagramma delle aree
Diagramma delle aree con compensi trasversali e depurato
Volume del solido stradale
Diagramma dei volumi o profilo di Brukner
Integrando graficamente il diagramma delle aree depurato (dei paleggi) si ottiene
il diagramma dei volumi (Brukner) che ha per ascisse le distanze fra le successive
sezioni e per ordinate la somma algebrica dei volumi di terra dall’origine alla
sezione considerata.
Tale diagramma (volumi) è di fondamentale importanza per lo studio di un
progetto stradale. Infatti indica come si alternano i volumi di sterro e di riporto
lungo la strada, così da poter stabilire il posizionamento dei cantieri di lavoro e le
modalità di esecuzione dei compensi longitudinali (delle terre dalle zone di scavo
verso le zone di riporto).
In figura 9 sono rappresentati due esempi di diagramma dei volumi:
a) con esubero di sterro (occorre quindi un luogo di deposito)
b) con esubero di riporto (occorre quindi una cava di prestito).
Il diagramma dei volumi corrisponde alla curva integrale del diagramma delle
aree in cui i rami ascendenti corrispondono a tratti in trincea (sterri) ed i rami
discendenti corrispondono a tratti in rilevato (riporti).
Diagrammi dei volumi
Esempi
a) con esubero di sterro (occorre quindi
un luogo di deposito).
b) con esubero di riporto (occorre quindi
una cava di prestito).
Diagramma dei volumi
Cantiere di compenso e distanza media del trasporto
In figura 10 si mostra che si ha un cantiere di compenso quando il volume di sterro
risulta uguale al volume di riporto e se ne illustra il tipico andamento del
diagramma dei volumi.
In presenza di un cantiere di compenso l’area A (racchiusa tra la curva dei volumi
e limitata dalla fondamentale) rappresenta il momento di trasporto (prodotto del
volume per la distanza).
Il rapporto tra l’area A e l’ordinata Ymax (volume massimo di sterro che è
utilizzato nel riporto) si chiama distanza media del trasporto ed è rappresentata in
figura 11 dal segmento dm.
La determinazione della distanza media esemplifica il calcolo del costo dei
movimenti di materiale. Il costo complessivo di trasporto per tale cantiere di
compenso è dato da:
C = c γ dm Ymax
Dove: c = costo unitario della tkm, γ = peso specifico del materiale, dm = distanza
media del trasporto, Ymax = massimo volume di sterro utilizzato nel riporto.
Diagramma dei volumi
Diagramma dei volumi del cantiere di compenso
Cantiere di compenso e distanza media del trasporto
Diagramma dei volumi
Ricerca della fondamentale di minima spesa
Per quanto detto in precedenza, risulta evidente che le aree racchiuse dal diagramma dei
volumi sono proporzionali alle entità dei trasporti. Quindi se il costo del trasporto è
proporzionale al momento del trasporto, la distanza più economica è quella che rende
minimo tale momento. Inoltre lo spostamento verticale dell’orizzontale di riferimento
produce una variazione del momento di trasporto nei singoli cantieri.
Il problema quindi si riduce a ricercare la posizione dell’orizzontale predetta che rende
minimo il momento.
In figura 13 si mostra come un abbassamento ∆z provochi una variazione del costo di
trasporto: in corrispondenza dei segmenti v1, v2, … (valli) si avrà una riduzione, mentre in
corrispondenza dei segmenti m1, m2, … (monti) si avrà un aumento.
La variazione di costo complessiva è quindi data da:
∆S = (c1 m1 + c2 m2 – c’1 v1 – c’2 v2) ∆z
Perchè il costo S sia minimo, occorre che ∆S = 0 e quindi:
c1 m1 + c2 m2 = c’1 v1 + c’2 v2
Se il sistema di trasporto ed il relativo costo unitario sono uguali (c1=c2=c’1=c’2), si ha:
m1 + m2 = v1 + v2
In generale il minimo della funzione momento di trasporto corrisponderà con il minimo di ∑
vi - ∑mi, cioè quando ∑ vi = ∑mi.
La fondamentale di minima spesa sarà quella per cui la somma dei segmenti vi (valli) sia
eguale alla somma dei segmenti mi (monti).
In figura 14 si riporta un esempio di diagramma dei volumi con secondarie di compenso.
Diagramma dei volumi
Fondamentale di minima spesa
Diagramma dei volumi
Diagramma dei volumi con secondarie di compenso
Diagramma dei volumi
Metodo grafico per la costruzione del diagramma dei volumi
Il diagramma delle aree (depurato) è costituito da una spezzata, per cui l’area racchiusa fra
essa e la fondamentale è, in ogni caso, scomponibile in rettangoli, in triangoli e in trapezi. Il
diagramma dei volumi è un diagramma ottenuto per integrazione e quindi sarà costituito da
una serie di archi di parabole. Nelle figure: 15, 16, e 17 sono rispettivamente le costruzioni
dei diagrammi dei volumi nel caso di sezioni di area:
rettangolare
triangolare
trapezoidale
In figura 18 è illustrata la costruzione del diagramma dei volumi relativo ad un generico
diagramma delle aree.
Diagramma dei volumi
Esempio di costruzione del diagramma dei volumi
Volume del solido stradale
Determinazione analitica del volume del solido stradale
Per impostare il computo dei volumi di scavo e di riporto ci si serve di appositi stampati
(vedere figura 19) nei quali il volume si determina applicando il metodo delle sezioni
ragguagliate.
Nella compilazione quindi della tabella occorrerà tenere conto delle tre diverse tipologie di
sezioni a due a due considerate:
1) se le sezioni sono omogenee: V = d (A1 + A2)/2 (sterro o riporto);
2) se le sezioni sono non omogenee: Vs = ds As / 2 (sterro), Vr = dr Ar / 2 (riporto) e
tali sezioni determinano un punto di passaggio P tale per cui: ds + dr = d;
3) se le sezioni sono parzializzate (una sola delle due od entrambe): occorre tenere conto
delle aree parzializzate corrispondenti.
Una volta calcolati i volumi tra due sezioni, occorrerà determinare i volumi compensati là
dove esiste la possibilità di compenso trasversale.
La somma algebrica dei volumi compensati sarà positiva sin tanto che i volumi di scavo sono
maggiori di quelli di riporto e diventerà negativa quando i volumi di riporto supereranno
quelli di scavo. Tali valori, quindi, non sono altro che le successive ordinate del diagramma
dei volumi.
Volume del solido stradale
Tabella per il calcolo analitico dei volumi