Anteprima Estratta dall' Appunto di
Geometria
Università : Università degli studi di Salerno
Facoltà : Ingegneria
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L' Appunto
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6 Geometria - Esercizi di ricapitolazione
Prof. G. Albano
Esercizio 1 Si considerino i seguenti sottospazi di R4
W = {(x, y, z, t) ∈ R4 |x + y − 3z + 2t = 0}
e V generato da
Scrivere un sistema lineare omogeneo che rappresenti V.
Calcolare la dimensione e una base di V⊥ .
Calcolare la dim(V ∩W) e una base di V∩W.
Calcolare la dim(V+W) e una base di (V+W).
m
a)
b)
c)
d)
(1, −2, 3, 0), (0, 2, 1, −1)
co
Svolgimento.
e.
punti a), b)
rib
Metodo I
AB
Ct
La dimensione di V è 2, perché i vettori generatori assegnati sono linearmente
indipendenti (possono essere visti come righe di una matrice in forma a scalini).
Si riduca a scalini la matrice A che ha come prime due righe i vettori generatori
dello spazio V e come terza riga (x, y, z, t)




1 −2 3 0
1
−2
3
0
2
1
−1 
A =  0 2 1 −1  r3 → r3 − xr1  0
−−−−−−−−−−→
x y z
t
0 y + 2x z − 3x t


1 −2
3
0
1

1
−1
r3 → r3 − (y + 2x)r2  0 2
−−−−−−−−−2−−−−−−−→
0 0 z − 3x − 21 (y + 2x) t + 12 (y + 2x)
Imponendo nulli gli elementi dell’ultima riga di A si ottengono le equazioni del
sistema rappresentativodi V
z − 4x − 12 y = 0
t + 12 y + x = 0
Dalla relazione R4 = V ⊕ V ⊥ , applicando la relazione di Grassman si ottiene
che la dimensione di V ⊥ è 2. Una base di questo sottospazio vettoriale è data
dai vettori le cui componenti sono i coefficienti delle equazioni del sistema rappresentativo di V
1
1
−4, − , 1, 0 , 1, , 0, 1
BV ⊥ =
2
2
1
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Metodo II
La dimensione di V è 2, perché i vettori generatori assegnati sono linearmente
indipendenti (possono essere visti come righe di una matrice in forma a scalini).
Dalla relazione R4 = V ⊕ V ⊥ , applicando la relazione di Grassman si ottiene
che la dimensione di V ⊥ è 2.
Si costruisca il sistema rappresentativo dello spazio V ⊥ imponendo la condizione
di ortogonalità tra il generico vettore (x, y, z, t) ∈ R4 e i vettori della base di V
assegnati
(1, −2, 3, 0) · (x, y, z, t) = 0
x − 2y + 3z = 0
,
,
(0, 2, 1, −1) · (x, y, z, t) = 0
2y + z − t = 0
m
Si ottenga una base dello spazio V ⊥ risolvendo il sistema. Scegliendo z e t come
parametrri liberi si ha
x = −4z + t
y = − 12 z + 21 t
e.
co
Dunque fissando i parametri (z, t) uguali a (1,0) e (0,1) si ottiene una base dello
spazio
1
1
−4, − , 1, 0 , 1, , 0, 1
BV ⊥ =
2
2
Punto c)
AB
Ct
rib
Il sistema rappresentativo di V si ottiene scrivendo due equazioni omogenee nelle
incognite x,y,z,t, con coefficienti dati dai vettori della base di V ⊥
−4x − 12 y + z = 0
x + 21 y + t = 0
Si sostituisca il generico vettore di V - ottenuto come combinazione lineare
dei vettori della base a(1, −2, 3, 0) + b(0, 2, 1, −1) = (a, −2a + 2b, 3a + b, −b)
nel sistema rappresentativo di W
a + (−2a + 2b) − 3 (3a + b) + 2 (−b) = 0;
−10a − 3b = 0;
10
b=− a
3
1
10
dunque la rappresentazione parametrica dello spazio intersezione è a, − 26
3 a, − 3 a, 3 a
con a parametro a valori reali. Quindi
BV ∩W
dim V ∩ W = 1
26 1 10
=
1, − , − ,
3
3 3
2
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Punto d)
La dimensione dello spazio somma si ricava applicando la relazione di Grassman. La dimensione di V è già stata calcolata ed è uguale a 2; la dimensione
di W è 3, perché tale spazio è rappresentato da una sola equazione nello spazio
ambiente; la dimensione dello spazio intersezione è uguale a 1, quindi
dim V + W = 2 + 3 − 1 = 4
Dunque lo spazio somma ha dimensione 4 pari alla dimensione dello spazio
AB
Ct
rib
e.
co
m
ambiente, ossia coincide con R4 , quindi una sua base è la base canonica.
3
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Esercizio 2 Sia ϕ :R3 →R3 l’omomorfismo con matrice rappresentativa rispetto
alla base canonica


−1 −5 −4
 0 −6 0 
−5 5 −2
a) Trovare la dimensione e una base di Kerϕ e di Imϕ.
b) Dire se ϕ è diagonalizzabile e/o ortogonalmente diagonalizzabile motivando la risposta; in caso di risposta affermativa calcolare la matrice P di diagonalizzazione.
Svolgimento.
a) La matrice

−1 −5 −4
 0 −6 0 
−5 5 −2
m

rib
e.
co
definisce la trasformazione



x
−1 −5 −4
ϕ(x, y, z) =  0 −6 0   y  = (−x − 5y − 4z, −6y, −5x + 5y − 2z)
z
−5 5 −2
AB
Ct
I vettori che appartengono al ker ϕ sono tutti quelli che si trasformano attraverso l’omomorfismo ϕ nel vettore nullo. Trovare una base per il ker ϕ equivale
quindi ad individuare una base per lo spazio delle soluzioni del seguente sistema:

 −x − 5y − 4z = 0
−6y = 0

−5x + 5y − 2z = 0
considerando la matrice dei coefficienti A di tale sistema, cioè la matrice rappresentativa dell’omomorfismo, si può notare che calcolando il determinante
rispetto alla seconda riga si ottiene che
detA 6= 0
e quindi il sistema omogeneo ammette come unica soluzione quella banale, pertanto si può concludere che il ker ϕ è costituito dal solo vettore nullo, non è
dotato di alcuna base ed ha dimensione 0.
Inoltre notando che l’omomorfismo è definito in R3 e ricordando il teorema
della dimensione si ha che:
dim R3 = dim ker ϕ + dim Imϕ
da cui segue
4
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1. In un triangolo rettangolo un cateto misura 42 cm e la sua proiezio
Risposta:
Pitagora:
altezza = sqrt(cateto^2 * proiezione cateto^2) = 33.6cm
Euclide:
proie
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2. Calcola perimetro e area di un triangolo rettangolo sapendo che l'ipoten
Risposta:
Proiezione : cateto = cateto : ipotenusa
=> cateto = sqrt(ipo
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