Le competenze
nella didattica
della matematica
… e le conoscenze?
1
Rapporto tra conoscenze e
competenze: alcune riflessioni
1
2
Alcune proposte didattiche
3
Il metodo Ocse -Pisa
2
MATEMATICA SENZA FRONTIERE
(prova di accoglienza)
Esercizio 13
(10 punti) Zorro è qui !
In un triangolo rettangolo i cui lati misurano 20 cm,
16 cm, 12 cm Don Diego de la Vega traccia una Z
con la punta della sua spada; scompone così il
triangolo in 4 triangoli equivalenti.
La sua Z è una linea spezzata formata da 3
segmenti le cui estremità sono situate sui lati o sui
vertici del triangolo rettangolo.
Presentare tre soluzioni per questa
partizione.
Per ogni soluzione precisare la posizione sui
lati del triangolo rettangolo dei
quattro punti formanti la Z.
3
Di cosa c’è bisogno?
- Conoscenze sulla similitudine
- Capacità di applicarle
- Una certa mentalità combinatoria
4
Definizioni QEQ 2007
Conoscenze: indicano il risultato
dell’assimilazione
di
informazioni
attraverso
l’apprendimento.
Le
conoscenze sono l’insieme di fatti,
principi, teorie e pratiche, relative a un
settore di studio o di lavoro. Le
conoscenze sono descritte come
teoriche o pratiche.
5
Definizioni QEQ 2007
Abilità: indicano la capacità di applicare
conoscenze e di usare know-how per
portare a termine compiti e risolvere
problemi. Le abilità sono descritte come
cognitive (uso del pensiero logico,
intuitivo o creativo), e pratiche (che
implicano l’abilità manuale e l’uso di
metodi, materiali, strumenti)
6
Definizioni QEQ 2007
Competenza: “comprovata capacità di
usare conoscenze, abilità e capacità
personali, sociali e/o metodologiche, in
situazioni di lavoro o di studio e nello
sviluppo professionale e/o personale; le
competenze sono descritte in termini di
responsabilità e autonomia.”
7
Per esemplificare
Saper usare spazzolone e detersivo per tenere pulito un
ambiente è un compito, un risultato atteso esito di
conoscenze (quale detersivo utilizzare per pulire il
pavimento) e abilità (saper usare lo spazzolone …);
garantire l’igiene e la pulizia di un ambiente è una
competenza, che implica un livello di responsabilità, la
capacità di giudicare il momento e il modo di
intervenire, un certo grado di sensibilità per l’ordine, in
cui abilità e conoscenze sono elementi necessari ma
non sufficienti.
8
Dalla scheda di presentazione del Corso:
Il corso ha come primo obiettivo una
doverosa introduzione ad esse
(competenze), ma non vorrebbe limitarsi a
questo; un’analisi ancora iniziale del
termine competenze suggerisce utili
riflessioni sull’esperienza di insegnamentoapprendimento: la competenza non come
ultima moda a cui adeguarsi controvoglia,
ma occasione per considerare con
attenzione il vissuto quotidiano in classe.
9
(Per questo)


Ci sono conoscenze morte,
meccaniche
E conoscenze attive (competenze)
S Ronchi
Un esempio: la somma di frazioni
Conoscenza
(sapere come si fa e
perché)
Abilità
(saper calcolare
agilmente)
Competenze
(utilizzare in contesti più
ampi: frazioni
algebriche)
11
Un esempio: la somma di frazioni
Ancora….
• Somme di coefficienti binomiali
 n   n  1  n  1 
 


k
k
k

1
  
 

n!
(n  1)!
(n  1)!


k !(n  k )! k !(n  1  k )! ( k  1)!( n  k )!
•Integrazione di funzioni razionali fratte:
Trovare due numeri A e B tali che:
2x  1
A
B


2
x  4x  3 x 1 x  3
12
Convegno di Frascati (marzo 1999):
“Definire le competenze per la
scuola dell’autonomia”
“Le competenze si esplicano come
utilizzazione e padroneggiamento delle
conoscenze. Si supera in tal modo la
tradizionale separazione tra sapere e saper
fare: ogni acquisizione teorica contiene e
stimola implicazioni pratiche e ogni abilità
pratica presume e sollecita implicazioni
teoriche.”
13
L’errore può essere una
opportunità!


Quali conoscenze sono attive?
A quale livello è posseduta la
competenza richiesta?
14
Esempio: determinare il dominio della
y  ( x 2  4)( x 2  x  1)
funzione
Tutto bene: studio dei segni dei fattori,
grafico riassuntivo corretto.
Conclusione: la quantità sotto radice è
positiva o nulla per x  , 2   2, ,
“ma essendo la funzione sotto radice si
devono escludere i valori negativi” quindi
x   2, 
la soluzione è:
15
Altro esempio:
IL PROBLEMA DELLO ZERO
Dagli errori degli studenti si capisce
quale è la “conoscenza attiva” dello zero
 Es.1 : ax2+bx=0
Δ=b2-4a ( c non c’è!)
 Es.2 : nella divisione tra polinomi o
nella regola di Ruffini, il problema dei
termini mancanti
16
Provo a interpretare
La “conoscenza attiva” dello zero in
questi errori è quella di un numero che
indica che “non c’è niente”.
Deve evolvere la consapevolezza dello 0
come operatore, come elemento
assorbente, consapevolezza necessaria
per la risoluzione delle equazioni, per
l’uso critico delle semplificazioni
17
Convegno di Frascati (marzo 1999):
“Definire le competenze per la scuola
dell’autonomia”
Le competenze si configurano altresì come strutture
mentali capaci di trasferire la loro valenza in diversi
campi, generando così dinamicamente anche una
spirale di altre conoscenze e competenze. Una
specifica competenza disciplinare comporta infatti
anche l’acquisizione di una forma mentis (ad
esempio "saper risolvere un problema") utilizzabile
nelle più diverse situazioni. In quanto tali, le
competenze favoriscono la connessione in termini
dialetticamente calibrati della propria duplice
dimensione disciplinare e trasversale.
18
ESEMPIO: il concetto di
funzione
L’ utilizzo della matematica nella fisica rivela
che spesso le conoscenze sono “morte”
Quando si studiano i moti e le loro leggi orarie
emerge con chiarezza il problema relativo al
concetto di funzione; ad esempio c’è difficoltà
ad utilizzare s=vt+s0 senza sostituire a t un
valore: l’espressione matematica deve dare un
risultato!
COSA DEVE MATURARE?
19
Si potrebbe dire:
L’esperienza del
concetto di funzione
20
 Fare
esperienza in
matematica
 Fare
esperienza della
matematica
21
Hans Freudenthal
LA MATEMATICA COME
REINVENZIONE GUIDATA
22
«Il valore che si attribuisce ai
discenti come esseri umani
determina il modo in cui ci si
aspetta che essi imparino la
loro matematica: con libertà
oppure da schiavi, guidati
oppure imbrigliati.
(Da
«Ripensando l’educazione matematica » di Hans
Freudenthal
)
23
«Il fare matematica è essenzialmente
una
attività.
Il
discente
deve
reinventare il fare matematica piuttosto
che la matematica; l’azione di astrarre
piuttosto
che
le
astrazioni;
il
formalizzare piuttosto che costruire
delle formule; il costruire algoritmi
piuttosto che gli algoritmi; il parlare
piuttosto che il linguaggio…… »
(Da «Ripensando l’educazione matematica » di Hans
Freudenthal )
24
UN TENTATIVO
L’introduzione delle
funzioni goniometriche
25
Dalla similitudine
dei triangoli
alle
funzioni goniometriche
26
A' B' A' C B' C


AB
AC
BC
A'
A
AB A' B '

AC
A' C
,
C
B
BC B' C

AC A' C
B'
VAI A CABRI
27
Diamo i nomi
A'
A
C
B
B'
AB
sin( ) 
AC
BC
cos( ) 
AC
VAI A CABRI
28
E se l’angolo è ottuso? Come fare per generalizzare?
Quale “ambiente” permette una maggiore libertà?
Si possono IMMAGINARE
dell’angolo giro, angoli negativi?
angoli
maggiori
PIANO CARTESIANO
29
1
P
1
O
VAI A CABRI
Q

QP
sin(  ) 
 yP
OP
30
…… E pian piano cresce
l’esperienza dell’ “oggetto
mentale”funzione.
……. E al momento opportuno,
preparato con altre
“esperienze” il passaggio alle
funzioni inverse è meno
traumatico.
31
Dall’ Allegato A
“Il profilo culturale, educativo e
professionale dei Licei”
“… Essere consapevoli della diversità dei
metodi utilizzati dai vari ambiti
disciplinari ed essere in grado valutare i
criteri di affidabilità dei risultati in essi
raggiunti. “
E’ una competenza da sviluppare
all’interno della stessa matematica
32
Esempio: luoghi
geometrici (Lavoro di
gruppo)
Data una circonferenza e un suo
punto A, determinare il luogo dei
punti medi delle corde della
circonferenza che hanno un
estremo in A
Vai a Cabri
33
Un esempio di
didattica
laboratoriale
34
Dal piano [email protected]
A una donna ricoverata in ospedale, viene fatta
un’iniezione di 300 milligrammi (300mg) di
penicillina alle 8.00 del mattino. L’organismo della
donna smaltisce gradualmente la penicillina in
modo che, un’ora dopo l’iniezione, solo il 60%
della penicillina è ancora presente nel suo corpo.
Questo processo continua: al termine di ogni ora
è ancora presente solo il 60% della penicillina che
si trovava nel corpo alla fine dell’ora precedente.
35
Si chiede di analizzare la quantità di medicinale
presente nel corpo della donna al passare del tempo
con due attività complementari
a)
Completare
manualmente una
tabella
ora
Penicillina presente
nel corpo (mg.)
8.00
300
9.00
180
10.00
108
11.00
12.00
13.00
14.00
15.00
16.00
b)
Costruire un foglio
Excel e all’interno di
esso un grafico
17.00
18.00
19.00
20.00
21.00
22.00
23.00
24.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
36
Da qui ……
•Progressioni aritmetiche e
geometriche
•Forme ricorsive (Pascal)
•Funzione esponenziale
•…….
37
Una studentessa si è prodotta una distorsione al
ginocchio e il suo dottore le ha prescritto un farmaco
anti - infiammatorio per ridurre il gonfiore. Deve
prendere due pastiglie da 220 mg ogni 8 ore per 10
giorni. Il suo corpo, ogni 8 ore, riesce a smaltire il 60%
di questo farmaco.
a) Qual è il valore massimo del farmaco presente nel corpo
della studentessa dopo 3 giorni? E dopo 4 giorni? E dopo 10
giorni?
b) Cercate di studiare l’evoluzione della quantità massima di
farmaco presente nel corpo al variare del tempo; in
particolare, cercate di capire che cosa accadrebbe se la
studentessa continuasse a prendere il farmaco per molto
tempo, supponendo che la sua capacità di smaltirlo rimanga
invariata. Pensate che la quantità del farmaco nel suo
38
organismo aumenterebbe sempre? Oppure no?
L’INDAGINE
OCSE-PISA
39
METODO DI
OCSE-PISA
COMPETENZA
MATEMATICA
ELENCO DELLE
COMPETENZE
Connessione
Riproduzione
LIVELLI
Riflessione
40
COMPETENZE : INDAGINI OCSE PISA
Competenza matematica
è la capacità di un individuo di
identificare e comprendere il ruolo che
la matematica gioca nel mondo reale, di
operare valutazioni fondate e di
utilizzare la matematica e confrontarsi
con essa in modi che rispondono alle
esigenze della vita di quell’individuo in
quanto cittadino che esercita un ruolo
costruttivo, impegnato e basato sulla
riflessione
41
LE COMPETENZE








Pensiero e ragionamento
Argomentazione
Comunicazione
Modellizzazione
Formulazione e risoluzione di
problemi
Rappresentazione
Uso del linguaggio simbolico,
formale e tecnico delle
operazioni
Uso di sussidi e strumenti
42
Queste competenze possono essere
possedute
a
diversi
livelli
di
padronanza e non possono essere
valutate separatamente una dall’altra
in quanto, quando si utilizza la
matematica, è necessario attingere
contemporaneamente a più di una
competenza per volta.
43
Per questo motivo, il Quadro di
riferimento
distingue
tre
diversi
raggruppamenti di competenze:
•Riproduzione
•Connessione
•Riflessione
44
Il raggruppamento della Riproduzione:
le competenze di tale raggruppamento
consistono nella riproduzione di
conoscenze note, nell’applicazione di
algoritmi standard, nell’esecuzione di
procedure di routine, sempre all’interno
di ambiti familiari.
45
Il raggruppamento delle Connessioni:
le competenze di tale
raggruppamento richiedono di saper
integrare e mettere in connessione
elementi che fanno parte di diverse
aree di contenuto, saper collegare
diverse rappresentazioni di un
problema, all’interno di situazioni che
non sono più di semplice routine.
46
Il raggruppamento della Riflessione:
le competenze di tale raggruppamento si
basano su elementi di riflessione da parte
degli studenti sui procedimenti utilizzati per
risolvere un problema, sulla capacità di saper
sviluppare strategie, utilizzando abilità
logiche e di ragionamento e sull’applicazione
di tali strategie in ambiti problematici più
complessi e meno familiari rispetto ai
raggruppamenti precedenti.
47
CONFRONTI: ESEMPIO 1
RIPRODUZIONE

Pensiero e ragionamento.
Questa competenza consiste:
nel formulare domande di base
(Quanti sono?”, “Quanto
fa…?”) e nel comprendere le
rispettive risposte (“Sono
tanti…” “Fa tot…”); nel
distinguere tra definizioni ed
asserzioni; nel comprendere e
manipolare concetti matematici
nel tipo di contesto in cui sono
stati originariamente introdotti
o in cui sono stati
successivamente esercitati
CONNESSIONE

. Pensiero e ragionamento.
Questa competenza consiste nel
formulare domande (“Come
trovo?”, “A quale matematica devo
ricorrere per…?”) e nel
comprendere le relative risposte
(che sono fornite per mezzo di
tabelle, grafici, espressioni
algebriche, figure ecc.), nel
distinguere tra definizioni ed
asserzioni e fra diversi tipi di
asserzione, nel comprendere e
manipolare concetti matematici in
contesti un po’ diversi da quelli in
cui sono stati originariamente
introdotti o nei quali sono stati
successivamente esercitati.
48
CONFRONTI: ESEMPIO 2
CONNESSIONE

Argomentazione. Questa
competenza consiste nel formulare
semplici ragionamenti a carattere
matematico senza distinguere fra
dimostrazioni e forme più
articolate di argomentazione o di
ragionamento, nel seguire catene
di ragionamenti matematici di
diverso tipo e nel valutarne la
validità; nell’avere un’idea
dell’euristica (“Che cosa può o non
può accadere? E perché?”, “Che
cosa sappiamo e che cosa
vogliamo ottenere?”).
RIFLESSIONE

Argomentazione. Questa
competenza consiste nel formulare
semplici ragionamenti di carattere
matematico distinguendo fra
dimostrazioni e forme più articolate di
argomentazione o di ragionamento,
nel creare catene di ragionamenti
matematici di diverso tipo e nel
valutarne la validità; nel far ricorso
all’euristica (“Che cosa può o non può
accadere?”, “Quale può essere il caso?
E perché?”, “Che cosa sappiamo e che
cosa vogliamo ottenere?”, “Quali fra le
proprietà sono essenziali?”, “In che
relazione si pongono gli oggetti?”).
49
Diagramma dei raggruppamenti di competenze
Raggruppamento
della
riproduzione
Raggruppamento delle
connessioni
Raggruppamento
della
riflessione
•Rappresentazioni e
definizioni standard
•Calcoli di routine
•Procedure di routine
•Analisi e soluzione di
•problemi di routine
•Modellizzazione
•Analisi e soluzione di
problemi standard,
traduzione
e interpretazione
•Uso di molteplici metodi
ben definiti
•Formulazione, analisi
e soluzione di problemi
complessi
•Riflessione e
intuizione
•Approccio
matematico
creativo
•Uso di molteplici
metodi complessi
•Generalizzazione
50
La scala di competenza
matematica
Le competenze possono essere
possedute a diversi livelli di
padronanza per cui i quesiti del PISA
sono costruiti in modo tale da
permettere di rilevare le differenti
prestazioni richieste nei vari livelli.
(Tabella ).
51
PROPOSTA DI LAVORO
Completare, in itinere, la
seguente tabella: la riflessione
“in corso d’opera” diventa un
patrimonio da giocare anno
dopo anno
52
competenze
Pensiero e
ragionamento
Argomentazione
Comunicazione
Modellizzazione
Formulazione e
risoluzione di
problemi
Rappresentazione
Uso del linguaggio
simbolico, formale
e tecnico delle
operazioni
Uso di sussidi e
strumenti
Geometria
analitica
Disequazioni
algebriche
Goniometria
(Funzioni,
equazioni,
disequazioni)
Trigonometria
(problemi)
Matrici e sistemi
lineari
Probabilità e
statistica
Insiemi numerici
Geometria solida
Logaritmi ed
esponenziali
Analisi
matematica
Analisi numerica
Geometrie non
Euclidee
53