TEORIA DELLA RELATIVITÀ
Fondamenta della teoria e meccanica relativistica.
Ad uso del corso di Fisica2 del
Dipartimento di Fisica ed Astronomia dell’Università di Firenze.
Versione preliminare
M.Calvetti
Anno accademico 2012-13
2
Contents
1 Introduzione
13
2 Il Principio di Relatività di Galilei
15
2.1 Le Trasformazioni di Galilei per osservatori in moto relativo uniforme . . . . . . . . . . . 24
2.2 Composizione galileiana delle velocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Proprietà di propagazione delle onde
3.1 Definizione delle variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Legge di Hooke e Modulo di Young . . . . . . . . . . . .
3.3 Dinamica e deformazione del mezzo . . . . . . . . . . . .
3.4 Le soluzioni dell’equazione delle onde . . . . . . . . . . .
3.5 Onde sonore nei gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Calcolo della velocità del suono in aria e nei metalli . . .
3.7 Effetto Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Osservatore fermo - Sorgente in moto . . . . . . . . . . .
3.9 Osservatore in moto - Sorgente ferma . . . . . . . . . .
3.10 L’esperimento di Michelson-Morley e la ricerca dell’etere
4 La velocità della luce
4.1 La teoria di Maxwell . . . . . .
4.2 Roemer e i satelliti di Giove . .
4.3 Bradley e l’aberrazione stellare
4.4 L’etere e la velocità della luce .
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5 A proposito dello spazio e del tempo
5.1 Distanze e sincronizzazione degli orologi . . . . . . .
5.2 Aste parallele al moto . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Aste ortogonali al moto . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Imbianchini relativistici . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Il Principio di Relatività e la propagazione di un’onda
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sferica
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luminosa
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79
6 Le Trasformazioni di Lorentz
83
6.1 Le basi della Teoria della Relatività . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.2 Derivazione delle Trasformazioni di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3
4
CONTENTS
6.3
6.4
Spostamenti infinitesimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Composizione relativistica delle velocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7 Lo spazio tempo di Minkowski
7.1 Quadrivettori . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Tensore della metrica, componenti covarianti e
7.3 Prodotto scalare e Norma di un quadrivettore
7.4 Invarianza del prodotto scalare . . . . . . . .
7.5 Il tempo proprio di una particella in moto . .
7.6 Dilatazione del tempo . . . . . . . . . . . . .
7.7 Effetto Doppler relativistico . . . . . . . . . .
7.8 Contrazione delle lunghezze . . . . . . . . . .
7.9 Linee d’universo e cono luce . . . . . . . . . .
7.10 Forma grafica delle trasformazioni di Lorentz .
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controvarianti
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8 Dinamica relativistica
8.1 Cinematica nello spazio tempo . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Velocità ed impulso nello spaziotempo . . . . . . . . . .
8.3 La quadriforza e l’equazione della dinamica . . . . . . . .
8.4 Energia di una particella . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5 L’equazione di Newton in forma relativistica . . . . . . .
8.6 Revisione del concetto di massa . . . . . . . . . . . . . .
8.7 Relazioni relativistiche notevoli . . . . . . . . . . . . . .
8.8 Energia ed impulso per particelle di massa a riposo nulla,
8.9 Conservazione del quadrimpulso per sistemi isolati . . . .
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i fotoni
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9 Esercizi
9.1 Combinazione relativistica delle velocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 L’aberrazione stellare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Moto di una carica elettrica in campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Moto di una particella soggetta a forza costante parallela alla velocità . . . . . . . .
9.5 Moto di una particella soggetta a forza costante perpendicolare alla velocità iniziale
9.6 Effetto Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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. 127
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List of Figures
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
4.1
La scoperta dei satelliti di Giove nel 1610. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I disegni di Galilei negli affreschi dell’ingresso al dipartimento di Fisica dell’Università di
Firenze di Arcetri. Al centro le macchie solari, in alto a sinistra i disegni dei satelliti di
Giove e, in senso orario, gli anelli di Saturno, le fasi di venere e la superfice lunare. . . .
Effetto delle correnti marine nei rilevamenti topografici dal mare. . . . . . . . . . . . .
John Harrison- L’inventore dell’orologio a bilancere. Risolse il problema di misurare la
longitudine delle navi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Moto relativo e punto di vista di Francesco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Moto relativo e punto di vista di Chiara. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le Trasformazioni di Galilei. Relazione algebrica tra le coordinate dello stesso punto P
misurate da due osservatori in moto relativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le Trasformazioni di Galilei. Punto di vista di Chiara. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La propagazione di un onda elastica in una dimensione. Definizione delle variabili. . . .
Legge di Hooke. Relazione algebrica tra l’allungamento del materiale, le dimensioni della
sbarra e la forza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Calcolo delle forze esterne agenti sul segmento di sbarra S∆x. . . . . . . . . . . . . . .
Le soluzioni dell’equazione delle onde sono combinazioni lineari di funzioni che ”viaggiano
rigidamente” con velocità ±c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Forze esterne agenti sul volume di gas S∆x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L’Effetto Doppler prodotto dallo spostamento dell’anatra. Il moto dell’anatra concentra
in uno spazio minore le onde prodotte in avanti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L’ effetto Doppler sonoro nel caso di sorgente in moto ed osservatore fermo. L’aria costituisce un sistema di riferimento privilegiato per il suono, perché è in aria che il suono si
propaga con velocità data. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sorgente ferma ed osservatore in moto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esperimento di Michelson e Morley. Si misura del tempo di andata e ritorno della luce
in direzioni perpendicolari orientate a piacimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 17
. 18
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. 21
. 24
. 25
. 25
. 27
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. 36
. 38
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. 45
. 46
. 48
. 50
nel 1865, Maxwell calcola la velocità della luce dalle equazioni che descrivono i risultati
degli esperimenti di Faraday e di Ampere. Le proprietà dei campi elettrici e magnetici
stazionari, espresse tramite il valore della costante dielettrica 0 e della permeabilità
magnetica µ0 del vuoto, sono legate alla velocità della perturbazione elettromagnetica
dalla relazione c = √10 µ0 ' 3108 m/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5
6
LIST OF FIGURES
4.2
I tempi delle eclissi di Io, il satellite più interno di Giove, presentano delle modulazioni che
dipendono dalla distanza Terra-Giove. Roemer, seguendo un’idea di Cassini, interpretò
questo fatto come dovuto al tempo necessario alla luce per attraversare la distanza TerraGiove che cambia nel corso dell’anno. Questa fu la prima evidenza sperimentale della
velocità finita della luce. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3
Bradley e l’aberrazione stellare. La posizione delle stelle nel cielo cambia nel corso
dell’anno, descrivendo delle piccole ellissi. Il fenomeno è dovuto alla combinazione del
moto della terra attorno al sole con la velocità finita della luce. La scoperta dell’aberrazione
stellare confermò definitivamente la velocità finita della luce. . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.4
Aberrazione stellare. Il puntamento del telescopio cambia nel corso dell’anno. . . . . . . . 58
4.5
La non osservazione delle stelle doppie di De Sitter dimostra che la velocità della luce non
dipende da quella della sorgente (De Sitter 1913). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.1
Combinazione delle velocità di oggetti in movimento. Le Trasformazioni di Galilei non
sono verificate sperimentalmente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.2
Costruzione di un riferimento spaziotemporale. Gli assi cartesiani sono graduati e gli
orologi sono messi nella loro posizione e non si spostano. Il tempo di un evento si legge
nell’orologio posto nella posizione in cui l’evento avviene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.3
Simultaneità e lunghezza nella direzione del moto. Confronto delle lunghezze di oggetti
in moto relativo. Chiara, in movimento, supera Francesco fermo nel proprio riferimento. . 72
5.4
Simultaneità e lunghezza nella direzione del moto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.5
Aste ortogonali alla direzione del moto. Interpretazione dell’esperimento da parte dell’osservatore
O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.6
Aste ortogonali alla direzione del moto. Interpretazione dell’esperimento da parte dell’osservatore
O’. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.7
Le lunghezze ortogonali al moto non cambiano quando si cambia il sistema di riferimento. 78
5.8
Onda luminosa sferica uscente dall’origine. Punto vista di Francesco (O). . . . . . . . . . 79
5.9
Onda luminosa sferica uscente dall’origine. Punto di vista di Chiara (O’). . . . . . . . . . 80
6.1
Linvarianza delle dimensioni trasverse permette di collegare lo scorrere del tempo dei due
osservatori tramite il Teorema di Pitagora: (ct)2 − (V t)2 = (ct0 )2 . . . . . . . . . . . . . . 86
6.2
Variazione della funzione gamma al variare di beta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.3
Composizione relativistica delle velocità. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.4
Sebbene la velocità relativa di P ed O’ sia, per O, maggiore di c, tuttavia la velocità
di P nel riferimento di O’ risulta minore di c. La velocit relativa di P ed O’ non è la
trasmissione di un segnale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.1
Hermann Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.2
Effetto Doppler relativistico. La frequenza percepita dall’osservatore è determinata dalla
geometria del moto e dalla dilatazione temporale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.3
Un asta in movimento è più corta di quando sta ferma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.4
Passato e futuro nel cono luce dell’evento A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
LIST OF FIGURES
7.5
7
7.6
Quando la distanza tra gli eventi B ed A è di tipo temporale, la relazione di causa effetto
è conservata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Se la distanza tra gli eventi A e D è di tipo spaziale, l’evento D è fuori del cono luce di A.
In questo caso la relazione temporale prima-dopo tra gli eventi A e D può essere invertita
cambiando sistema di riferimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
9.1
9.2
9.3
Moto di una massa m sottoposta ad una forza costante parallela alla velocità. . . . . . . 128
Moto di una carica elettrica in un campo di forza costante, caso del condensatore carico. 129
Effetto Compton. Diffusione di un fotone da parte di un elettrone libero. . . . . . . . . . 131
8
LIST OF FIGURES
Chapter 1
Introduzione
Nel terzo capitolo di questo libretto si parla della propagazione delle onde sonore nei metalli e nei gas.
Vedremo che la velocità delle onde dipende dalle proprietà del mezzo nel quale il segnale si propaga e non
dalla velocità della sorgente che lo emette. Cambia, invece, la frequenza dell’onda quando la sorgente si
muove rispetto all’osservatore.
Nella seconda metà dell’800, analogamente, si pensava che dovesse esistere un mezzo nel quale l’onda
luminosa potesse propagarsi, l’etere, un mezzo impalpabile e contemporaneamente capace di propagare
l’onda luminosa ad altissima velocità. L’insuccesso di qualunque tentativo di rivelare sperimentalmente
l’etere indusse Einstein ad ipotizzare la sua assenza. La non esistenza dell’etere, ed insieme le proprietà
di propagazione delle onde elettromagnetiche, convinsero Einstein a rivedere la concezione dello spazio
e del tempo che fino ad allora si era radicata nella mente umana.
La pubblicazione della teoria della relatività ristretta, nel 1905, aprı̀ una finestra su un mondo meraviglioso, quello vero, una visione universale che ha cambiato la nostra idea dello spazio, del tempo e,
quindi, tutta la fisica.
Questo libretto è scritto con l’intento di accompagnare gli studenti del secondo anno di fisica sul
sentiero logico della teoria relativistica. Le sezioni nelle quali sono divisi i capitoli corrispondono agli
argomenti svolti durante le lezioni in aula, l’indice è il programma del corso.
La difficoltà della relatività speciale non è nella matematica, bastano infatti le quattro operazioni e
le radici quadrate, ma concettuale.
E’ esperienza personale che all’inizio dello studio di questa materia la nostra mente ”resiste”, non
vuole cambiare il modo in cui ha immaginato lo spazio ed il tempo fino a quel momento. Sappiamo
che la teoria relativistica è verificata sperimentalmente e quindi da accettare ”per forza”, ma facciamo
fatica a pensare in modo relativistico.
Dobbiamo abbandonare le nostre sicurezze spaziotemporali.
Siamo convinti di conoscere lo spazio ed il tempo, che sono il mezzo nel quale viviamo. Sappiamo
che possiamo muoverci liberamente nelle tre direzioni dello spazio mentre nel tempo non possiamo farlo,
perchè il tempo scorre inesorabile in avanti. Siamo convinti che lo spazio ed il tempo sono diversi e,
soprattutto, separati. Lo spazio è una cosa, il tempo un’altra, non c’è possibilità di influenza reciproca
tra loro, questo pensiamo.
Se un oggetto ha una certa lunghezza, quella è. Se un orologio segna un intervallo di tempo tra due
eventi, quello è. Se due eventi avvengono simultaneamente in posti diversi, sono simultanei per tutti.
Questo pensiamo prima di imbatterci nello studio della teoria relativistica.
9
10
CHAPTER 1. INTRODUZIONE
Man mano che il ragionamento logico avanza siamo costretti a lasciare queste sicurezze ed a pensare
che la lunghezza di un oggetto dipende dalla sua velocità, che il ritmo di un orologio dipende dalla
sua velocità, che eventi simultanei per un osservatore possono non esserlo per un altro osservatore in
movimento.
Grazie alla fatica fatta per andare attraverso questa rivoluzione mentale diventiamo intellettualmente
più ricchi e più vicini a comprendere come vanno le cose intorno a noi.
Chapter 2
Il Principio di Relatività di Galilei
E’ difficile dire quale sia il più grande dei contributi dati da Galilei al pensiero scientifico moderno. Per
cominciare, vi lascio dire da Lui che ” ... questo grandissimo libro (della natura) che continuamente ci
sta aperto innanzi agli occhi (io dico l’universo), non si può intendere se prima non s’impara a intender
la lingua, e conoscer i caratteri né quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son
triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intendere umanamente
parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto... , ”
La matematica è la lingua che dobbiamo usare per formulare leggi che sono rigorosamente osservate
dalla natura e che perciò la rendono riproducibile. Queste devono essere riconosciute attraverso la
pratica della sperimentazione. Non è possibile inventare le leggi della natura, dobbiamo leggerla come
un libro, solo cosı̀ possiamo scoprire come funziona. I grandi scienziati sono quelli che riescono a leggere
questo libro per primi ed a raccontarcelo.
Galilei ha inventato il metodo scientifico e lo ha usato dando inizio ad una serie di scoperte che hanno
cambiato il nostro modo di pensare per portarlo sempre di più nella profondità e nella bellezza che sta
dentro ed intorno a noi. La prima scoperta è che le leggi naturali NON SONO nella nostra mente, non
sono innate ma devono ESSERE MESSE nella nostra mente, attraverso lo studio e l’interpretazione dei
risultati sperimentali, questo ci ha detto Galilei.
Per capire la teoria della relatività dobbiamo modificare il nostro modo di pensare lo spazio ed il
tempo, saremo costretti a farlo perché la natura ce lo dice. Lo spazio ed il tempo NON SONO quello
che la nostra esperienza quotidiana ci ha insegnato.
La prima volta che Galilei ha cambiato il nostro modo di pensare è stato con la scoperta del principio
d’inerzia: un corpo rimane nel suo stato di moto uniforme (per sempre) finchè una forza non ne modifica
lo stato. Eppure tutto sembra indicare il contrario: i corpi lasciati a se stessi, prima o poi si fermano,
non possono restare sempre in movimento.
Galilei fu capace di immaginare un mondo senza attriti, lo capı̀ e lo disse. Sono incredibili la sua
grandezza ed il suo coraggio.
Che ne dite poi dell’osservazione che tutti i corpi lasciati cadere nel campo gravitazionale hanno la
stessa accelerazione? È esperienza quotidiana che se si lasciano cadere contemporaneamente una piuma
ed un mattone di piombo, il piombo arriva per primo a terra. Galilei fece una serie di esperimenti con
il piano inclinato, che rallentava la caduta, e finalmente capı̀ che sono gli attriti che fanno la differenza.
Se non ci fosse l’aria, la piuma ed il piombo cadrebbero nello stesso tempo.
Voglio ricordare altri importanti contributi dati da Galilei al progresso scientifico: il perfezionamento
11
12
CHAPTER 2. IL PRINCIPIO DI RELATIVITÀ DI GALILEI
e la costruzione di telescopi sempre più potenti, la scoperta dei satelliti di Giove, vedi Fig.2.1 e della
complessità della superfice lunare, con monti e valli, la scoperta delle macchie solari, degli anelli di
Saturno, vedi Fig.2.2, ed il suo sostegno al sistema copernicano, per il quale fu processato e condannato
dal pensiero scientifico dominante.
Figure 2.1: La scoperta dei satelliti di Giove nel 1610.
Galilei ha praticato il metodo scientifico, ci ha detto che il linguaggio della natura è la matematica,
che per capirla dobbiamo pensarla senza attrito e senza campo gravitazionale. Galilei ci ha detto che
dobbiamo stare attenti a non lasciarci ingannare DAI NOSTRI PREGIUDIZI.
Ora, sebbene tutto questo sia sufficiente a mettere Galilei nella storia del pensiero scientifico moderno,
tuttavia un’altra sua scoperta deve essere ricordata: la scoperta del Principio di Relatività.
Secondo me, questa è la scoperta più importante di Galilei perché essendo alla base della teoria
relativistica, non solo è stata ma rimane il fondamento di tutta la fisica.
Per comprendere il profondo significato del Principio di Relatività conviene descrivere come Galilei
arrivò a capirlo.
A cavallo tra il ’500 ed il ’600, due problemi relativi alla navigazione non erano ancora stati risolti
con sufficiente precisione: la determinazione della longitudine e la misura della velocità di una nave in
mare aperto.
Per misurare la velocità della nave si gettava in mare una corda con dei nodi a distanza fissa ed una
tavoletta all’estremità. L’attrito dell’acqua sulla tavoletta faceve srotolare la corda. La velocità della
nave si misurava contanto i nodi che scorrevano in un dato intervallo di tempo, misurato con la clessidra.
Le unità di misura della velocità delle navi, ancora oggi, sono i ”nodi”.
Sebbene con questo metodo si possa misurare la velocità istantanea della nave rispetto all’acqua del
mare, tuttavia non possiamo conoscere con certezza lo spazio percorso dalla nave rispetto alla terraferma.
Questo metodo di misura della velocità della nave, infatti, non tiene conto delle correnti marine.
13
Figure 2.2: I disegni di Galilei negli affreschi dell’ingresso al dipartimento di Fisica dell’Università di Firenze di Arcetri.
Al centro le macchie solari, in alto a sinistra i disegni dei satelliti di Giove e, in senso orario, gli anelli di Saturno, le fasi
di venere e la superfice lunare.
14
CHAPTER 2. IL PRINCIPIO DI RELATIVITÀ DI GALILEI
Osservando alcune carte geografiche del ’500 si nota che la forma dei continenti non corrisponde a
quella oggi conosciuta. Questo è dovuto al fatto che le rilevazioni topografiche spesso venivano effettuate
dal mare, calcolando la distanza percorsa usando la velocità misurata della nave, senza tener conto delle
correnti marine. Non si sapeva come fare diversamente, vedi Fig.2.3.
Figure 2.3: Effetto delle correnti marine nei rilevamenti topografici dal mare.
Se ci si muoveva col favore della corrente, senza saperlo, la lunghezza di un isola risultava più corta
di quanto fosse perchè, rispetto ad essa, la nave si muoveva con velocità maggiore di quanto creduto.
Una nave ferma in mezzo al mare, trasportata dalla corrente marina, avrebbe avuto una velocita in
nodi nulla, ma se da quella nave si fosse osservata un’isola, la si sarebbe vista scorrere comunque e la sua
lunghezza, misurata usando la velocita della nave in nodi, sarebbe stata nulla: paradossalmente l’isola
non avrebbe avuto dimensioni.
Non era possibile conoscere con certezza la posizione di una nave in mezzo al mare. Si poteva misurare
la Latitudine misurando l’altezza del Sole sull’orizzonte a mezzogiorno, oppure misurando l’altezza della
stella Polare di notte, ma non si sapeva misurare la Longitudine. Il problema era complicato dalla
rotazione terrestre. Per trovare un isola in mezzo al mare le navi dovevano veleggiare Est-Ovest e
viceversa finché l’isola veniva avvistata. La navigazione era piuttosto approssimata e quindi pericolosa.
La misura, da bordo della nave, della longitudine e della distanza percorsa dal porto di partenza,
sono due problemi ai quali anche Galilei dedicò la sua attenzione.
L’ammiragliato britannico offrı̀ dei premi in denaro a chi avesse trovato un modo pratico di misurare
la longitudine con sufficiente precisione, tanto era l’interesse di origine militare e commerciale.
Galilei, Eulero ed altri proposero di determinare la longitudine per mezzo delle osservazioni astronomiche ma il metodo proposto era troppo complicato. Richiedeva lunghe osservazioni notturne, con
misure di precisione sulla posizione di molti oggetti celesti, fatte da una nave in continuo movimento,
non era pratico.
Il problema della misura della longitudine da una nave fu risolto brillantemente un secolo dopo,
dall’inglese John Harrison nella prima metà del ’700, con l’invenzione dell’orologio a bilanciere.
15
Figure 2.4: John Harrison- L’inventore dell’orologio a bilancere. Risolse il problema di misurare la longitudine delle navi.
Si rimetteva l’orologio a mezzogiorno nel porto di partenza, quindi, man mano che la nave avanzava
verso ovest, o verso est, si leggeva l’ora nel momento in cui il sole si trovava alla massima altezza,
il mezzogiorno locale. La distanza in tempo tra l’istante del mezzogiorno locale ed il mezzogiorno
dell’orologio, indicava di quanti fusi orari la nave si era spostata, stabilendo la longitudine.
Galilei aveva lavorato al perfezionamento dell’orologio a pendolo ma sapeva che questo non era adatto
ad essere usato in navigazione. Immaginate cosa succede ad un orologio a pendolo in caso di mare molto
mosso.
Il secondo problema, invece, come misurare la velocità assoluta di una nave che si muove di moto
uniforme in mare aperto, non è stato risolto, da nessuno, nemmeno oggi. Notate bene, non sto parlando
della velocità della nave rispetto alla terra ferma ma della velocità assoluta della nave.
Galilei si accorse che un osservatore chiuso all’interno di una nave non può capire se la nave sta
veleggiando. Certo percepisce il moto della nave, le oscillazioni causate dal moto delle onde e dalla spinta
del vento. Può dire se la nave subisce accelerazioni, o se la sua struttura è soggetta a sollecitazioni,
magari sente lo scricchiolio del fasciame, ma non può dire se la nave, nel suo complesso, si sta muovendo.
Nel caso di moto uniforme, poi, rettilineo e senza scosse, non si può dire assolutamente nulla, potremmo
muoverci a velocità elevatissime senza averne il minimo indizio.
Tutti noi abbiamo verificato questo. Quando di due treni fermi alla stazione su binari adiacenti, uno
comincia a muoversi, se la partenza è dolce, nessuno dei viaggiatori è capace di dire qual’è il treno in
partenza. Per alcuni istanti pensiamo che sia l’altro treno a partire mentre, invece, è il nostro.
Chi lo direbbe, per esempio, quando al mattino presto, al calduccio sotto le coperte, stiamo belli
tranquilli, che la nostra stanza e noi compresi, ci stiamo muovendo a velocità folli nello spazio galattico?
Eppure, tutta la fisica e la chimica del nostro corpo non riescono a dircelo. Galilei capı̀ che non esiste
un esperimento dai cui risultati si possa dedurre la velocità assoluta del proprio laboratorio.
Se due navicelle spaziali con motori spenti (due riferimenti inerziali) si incrociano nello spazio, per i
due equipaggi non è possibile dire quale delle due astronavi sia in movimento. Possono dire se le due
astronavi si stanno avvicinando, o allontanando, oppure, caso veramente difficile se ci pensate bene,
16
CHAPTER 2. IL PRINCIPIO DI RELATIVITÀ DI GALILEI
stanno ferme una rispetto all’altra.
Per ciascun equipaggio il proprio laboratorio è fermo, l’altro in moto. I due laboratori sono perfettamente equivalenti.
Proviamo ora, seguendo l’esempio di Galilei che immaginò l’assenza di attrito, ad immaginare un
universo vuoto al di fuori della nostra astronave.
Bene, in questo caso, non si può parlare di velocità dell’astronave perchè non sapremmo come misurarla, visto che non c’è nessun altro oggetto rispetto al quale misurare la sua distanza. Se esiste solo
la nostra astronave, tutte le posizioni dello spazio sono equivalenti.
Nel caso in cui siano presenti più astronavi, invece, gli astronauti possono misurare le velocità relative
tra loro ma, di nuovo, la velocità assoluta dell’insieme delle astronavi non ha significato, tutte le posizioni
nello spazio sono equivalenti.
Il Principio di Relatività dice che le leggi della fisica sono le stesse su tutte le astronavi. In altre parole,
non esiste un esperimento che effettuato in un’astronave dia risultati diversi quando viene ripetuto in
un’altra, le astronavi sono indistinguibili, perfettamente equivalenti.
Credo sia meglio farvelo dire da Galilei:
”Rinserratevi con qualche amico nella maggior stanza che sia sotto coverta di alcun gran naviglio, e
quivi fate di aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti, siavi anco un gran vaso dacqua, e dentrovi
de pascetti, sospendasi anco in alto qualche secchiello, che a goccia a goccia vadia versando dellacqua in
un altro vaso di angusta bocca, che sia posto a basso: e stando ferma la nave, osservate diligentemente
come quegli animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della stanza; i pesci si vedranno
andar notando indifferentemente per tutti i versi, le stille cadenti entreranno tutte nel vaso sottoposto;
e voi, gettando allamico alcuna cosa, non più gagliardamente la dovrete gettare verso quella parte che
verso questa, quando le lontananza sieno uguali, e saltando voi, come si dice, a piè giunti, uguali spazi
passerete verso tutte le parti. Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose, benché niun dubbio
ci sia che mentre il vassello sta fermo non debbano succeder cosı̀, fate muover la nave con quanta si voglia
velocità; ché (purché il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e là) voi non riconoscerete una minima
mutazione in tutti li nominati effetti, né da alcuno di quelli potrete comprendere se la nave cammina o
pure sta ferma...”
Consideriamo un libro di fisica, per esempio di meccanica o di elettromagnetismo, ma anche di
medicina, di chimica o di un qualunque altro argomento scientifico. Ebbene, se il contenuto di questo
libro descrive correttamente le leggi della natura in una astronave, allora la descrive correttamente
anche IN TUTTE LE ALTRE. La fisica è la stessa in tutte le astronavi che si muovono di moto relativo
uniforme. Possiamo tranquillamente stampare il libro in tante copie e distribuirlo a tutti gli equipaggi.
Fate attenzione, adesso viene il punto: se tutto questo è vero, allora le leggi della fisica DEVONO
essere scritte in una forma matematica tale da GARANTIRE la validità del PRINCIPIO DI RELATIVITÀ, altrimenti non possono essere giuste.
Nasce spontanea la domanda: come si fa a scriverle le leggi della fisica nel modo giusto?
Lo vediamo nei prossimi paragrafi.
2.1. LE TRASFORMAZIONI DI GALILEI PER OSSERVATORI IN MOTO RELATIVO UNIFORME
Figure 2.5: Moto relativo e punto di vista di Francesco.
Figure 2.6: Moto relativo e punto di vista di Chiara.
17
18
2.1
CHAPTER 2. IL PRINCIPIO DI RELATIVITÀ DI GALILEI
Le Trasformazioni di Galilei per osservatori in moto relativo uniforme
Per osservatore intendiamo un laboratorio perfettamente equipaggiato di strumenti scientifici, dove
squadre di ricercatori o singoli pensatori come voi, possano disegnare, costruire e realizzare esperimenti
di fisica, biologia, ingegneria, chimica ecc, in pratica ogni tipo di esperimento. Il risultato della vostra
ricerca scientifica sono le leggi della Natura. Nel caso particolare della meccanica, che studia il moto dei
corpi e le sue cause, il risultato della ricerca sono le equazioni di Newton, F=ma, per esempio.
Figure 2.7: Le Trasformazioni di Galilei. Relazione algebrica tra le coordinate dello stesso punto P misurate da due
osservatori in moto relativo.
Supponiamo di avere due osservatori, Francesco (O) e Chiara (O’) in moto relativo uniforme. Francesco(O)
→
−
vede Chiara(O’) muoversi di moto uniforme con velocità V , vedi Fig.2.5. Chiara(O’) vede Francesco(O)
→
−
muoversi con velocità − V , vedi Fig.2.6. Per ogni osservatore sono gli altri che si muovono.
Francesco e Chiara posseggono ciascuno un metro ed un orologio, in modo da poter misurare le
distanze tra gli oggetti e gli intervalli di tempo tra gli eventi.
Le coordinate spaziali di un evento, come la posizione di un aereo in un certo istante, se misurate
dalle due astronavi sono diverse.
Una precisa relazione deve però esistere tra le coordinate (x,y,z,t) e (x’,y’,z’,t’) dello stesso evento, una
relazione che dipende dalla distanza e dall’orientamento relativo degli assi cartesiani dei due osservatori.
Per semplicità, consideriamo il caso in cui gli assi cartesiani sono paralleli con gli assi x e x’ sulla
stessa retta e che gli orologi vengano azzerati nell’istante in cui i due sistemi sono sovrapposti al tempo
t=t’=0, vedi Fig. 2.7. I due orologi sono uguali, segnano la stessa ora ed avanzano sincronizzati, t=t’
sempre.
−
Supponiamo che Francesco (O) , fermo in autostrada, veda un aereo nel cielo nella posizione →
r (t) =
[x(t), y(t), z(t)]. Chiara (O’) osserva lo stesso aereo da un auto in corsa (il riferimento O’).
Per Trasformazioni di Galilei s’intendono quelle relazioni matematiche che collegano le coordinate
spazio temporali dell’aereo, misurate da Francesco, a quelle dello stesso aereo misurate da Chiara, vedi
Fig.2.8.
−
Per Francesco, la posizione dell’aereo →
r (t) è data dalla somma vettoriale
2.1. LE TRASFORMAZIONI DI GALILEI PER OSSERVATORI IN MOTO RELATIVO UNIFORME
19
Figure 2.8: Le Trasformazioni di Galilei. Punto di vista di Chiara.
→
−
→
−
r (t) = V t + −
r→
F (t)
(2.1)
dove, vedi Fig.2.7:
→
−
r (t) è la posizione dell’aereo MISURATA DA FRANCESCO nel suo riferimento al tempo t,
→
−
V t è la posizione di Chiara MISURATA DA FRANCESCO nel suo riferimento al tempo t,
−
→
rF (t) è la distanza dell’aereo da Chiara misurata da Francesco al tempo t.
Per Chiara, invece, la posizione dell’aereo è data dal vettore −
r→
C (t), vedi Fig.2.8
Nella teoria newtoniana si assume che la distanza Chiara-aereo, il vettore −
r→
C (t), misurata da Chiara
−
→
(O’) nel suo riferimento, sia uguale alla distanza Chiara-aereo rF (t), misurata da Francesco (O) nel suo
riferimento
Dalla 2.1 si ottiene
−
−
→
r→
C (t) = rF (t)
(2.2)
→
−
−
→
−
r→
C (t) = r (t) − V t
(2.3)
che possiamo esprimere anche in coordinate cartesiane
t0 = t
x0 (t) = x(t) − Vx t
y 0 (t) = y(t) − Vy t
(2.4)
z 0 (t) = x(t) − Vz t
Le coordinate spaziotemporali dell’aereo, osservato dai due osservatori in moto relativo, sono legate
da queste trasformazioni, conosciute come le Trasformazioni di Galilei.
20
CHAPTER 2. IL PRINCIPIO DI RELATIVITÀ DI GALILEI
2.2
Composizione galileiana delle velocità
Le relazioni tra le velocità e le accelerazioni del punto P misurate dai due osservatori si ottengono
facendo la derivata prima e la derivata seconda, rispetto al tempo, delle trasformazioni 2.3. Tenendo
presente che dt0 = dt, si ottiene che le velocità sono legate dalla relazione
→
−
→
−
→
−
−
→
−0
→
−
d(→
r (t) − V t) →
d r0 (t0 )
d r0 (t0 )
=
=−
v (t) − V
=
v (t) =
0
dt
dt
dt
mentre le accelerazioni dalla relazione
→
−0
−
a (t) = →
a (t)
(2.5)
(2.6)
Si noti che nel caso di moto relativo uniforme le due accelerazioni sono uguali.
Facciamo ora la seguente importante considerazione: secondo la legge di composizione delle velocità
2.5
→
−
→
−
v (t) = v 0 (t) + V
(2.7)
se Chiara (O’) accende una lampada tascabile ed emette un fascio di luce che si propaga con velocità
c nella direzione delle x’ crescenti, nel suo riferimento, allora, per Francesco, la luce deve muoversi con
velocità MAGGIORE di c, pari a c+V. La velocità della luce e quella di Chiara devono sommarsi come
dicono le Trasformazioni di Galilei per cui la velocità della luce misurata da Francesco deve essere diversa
da quella misurata da Chiara.
Vedremo che per le onde elettromagnetiche questo NON SUCCEDE. La velocità della luce, quando
viene misurata, è SEMPRE uguale a c ' 31̇05 Km/s. Nel caso dei fenomeni elettromagnetici le trasformazioni di Galilei non possono essere applicate.
La difficoltà concettuale della Teoria della Relatività, quella che dobbiamo superare, consiste proprio nel rinunciare alle trasformazioni di Galilei, cioè alle ipotesi che sono state usate per ricavarle:
l’invarianza delle distanze e degli intervalli di tempo.
Chapter 3
Proprietà di propagazione delle onde
3.1
Definizione delle variabili
Consideriamo una sbarra metallica molto lunga di sezione trasversale S. Per semplicità, trattiamo della
propagazione delle onde elastiche in una dimensione.
Sappiamo che i legami atomici tendono a mantenere gli atomi adiacenti a distanze fisse tra loro e
che, per piccoli spostamenti, i legami sono di tipo elastico. In pratica, è come se gli atomi del metallo
fossero legati tra loro da piccole molle.
Colpendo gli atomi ad una estremità della sbarra, le forze di legame spingono gli atomi adiacenti e
danno origine ad un fenomeno collettivo di oscillazione che si propaga lungo tutta la sbarra. Come per
le onde del mare, gli atomi oscillano attorno alla posizione di equilibrio mentre l’energia si diffonde a
grandi distanze, l’energia passa da un atomo all’altro.
Vogliamo calcolare la velocità di propagazione dell’energia.
Sia x la posizione di equilibrio di un certo atomo. All’arrivo della perturbazione l’atomo si sposta e
la sua distanza dalla posizione di equilibrio cambia col tempo. Indichiamo con f (x, t) lo spostamento
dalla posizione di equilibrio x nell’istante t.
Figure 3.1: La propagazione di un onda elastica in una dimensione. Definizione delle variabili.
21
22
CHAPTER 3. PROPRIETÀ DI PROPAGAZIONE DELLE ONDE
La posizione occupata da quel particolare atomo al tempo t è quindi data dall’equazione
x + f (x, t)
(3.1)
In assenza di deformazione si ha che f (x, t) = 0.
Consideriamo le due sezioni SA ed SB della sbarra che in condizioni di equilibrio si trovano nelle
posizioni xA e xB = xA + ∆x, vedi Fig.3.1.
Con l’arrivo della perturbazione sonora gli atomi delle due sezioni si spostano nelle nuove posizioni
xA + f (xA , t)
(3.2)
xB + f (xB , t) = xA + ∆x + f (xA + ∆x, t)
(3.3)
dipendenti dal tempo.
Richiamo la vostra attenzione sul fatto che se f (xA , t) 6= f (xB , t), il volume occupato dagli atomi
compresi tra le due superfici cambia e con esso la densità del materiale, rimanendo il numero di atomi
costante. Questo succede perché il materiale è sottoposto a trazione o compressione a causa dell’arrivo
dell’onda d’urto.
Per il nostro scopo, è utile calcolare la variazione relativa del volume compreso tra le due superfici.
Il volume iniziale essendo V0 = S∆x, mentre il volume compreso tra le due superfici al tempo t è
dato dall’equazione
V (t) = S[xB + f (xB , t) − xA − f (xA , t)]
(3.4)
per cui
∆V (t) = V (t) − V0
(3.5)
∆V (t) = S[xA + ∆x + f (xA + ∆x, t) − xA − f (xA , t)] − S∆x
(3.6)
∆V (t) = S[f (xA + ∆x, t) − f (xA , t)]
(3.7)
∆V
S[f (xA + ∆x, t) − f (xA , t)]
∂f (xA , t)
= lim
=
(3.8)
∆x→0 V
∆x→0
S∆x
∂x
Si trova quindi che la derivata parziale della funzione spostamento f (x, t), calcolata nel punto x al
tempo t, è uguale alla variazione relativa di volume nello stesso punto e nello stesso istante.
Si noti che questa espressione è del tutto generale, perché è pura geometria, diretta conseguenza di
come è stata definita la funzione f.
La 3.8 si applica anche nello studio della propagazione delle onde sonore nei gas, come vedremo in
seguito, perché, anche in questo caso, useremo la funzione spostamento f per descrivere come si muovono
gli atomi.
lim
3.2
Legge di Hooke e Modulo di Young
La variazione del volume compreso tra SA ed SB dipende dalle forze esterne applicate dal resto della
sbarra sulle superfici che lo delimitano. Nel caso dei metalli, la relazione tra allungamento, forza esterna
e proprietà del materiale è data dalla legge di Hooke.
Consideriamo una sbarra metallica di sezione trasversale S, lunghezza L, sottoposta ad una forza F
di trazione o compressione. La forza viene applicata ad entrambe le estremità, come mostrato in figura
3.2. LEGGE DI HOOKE E MODULO DI YOUNG
23
Table 3.1: Moduo di Young e tensione massima per alcuni materiali
Materiale
Modulo di Young (N/m2 )
Tensione massima (N/m2 )
Alluminio
Ottone
Rame
Acciaio
61010
91010
121010
201010
2108
4108
5108
5108
3.2. Il centro di massa della sbarra è fermo, la risultante delle forze esterne è nulla ma il materiale,
sottoposto ad uno sforzo interno, si allunga (o si scorcia) come farebbe una molla.
La legge di Hooke dice che per piccole deformazioni l’allungamento ∆L della sbarra è proporzionale
alla forza agente sulla sbarra e dipende dalle proprietà del materiale secondo la relazione
Figure 3.2: Legge di Hooke. Relazione algebrica tra l’allungamento del materiale, le dimensioni della sbarra e la forza.
FL
SY
(3.9)
∆L
F
=
L
SY
(3.10)
∆L =
L’allungamento relativo è dato da
dove Y è il modulo di Young, che tiene conto delle proprietà meccaniche del materiale, vedi Tabella 3.1.
Più Y è grande, più il materiale è rigido e minore la variazione di lunghezza. Per avere una deformazione elastica reversibile occorre che l’allungamento relativo sia < 1%. La tensione massima
accettabile per restare in regime elastico è riportata in tabella 3.1 per alcuni materiali.
24
CHAPTER 3. PROPRIETÀ DI PROPAGAZIONE DELLE ONDE
3.3
Dinamica e deformazione del mezzo
La sezione trasversale della sbarra non cambia per piccole deformazioni elastiche, perché le distanze tra
gli atomi cambiano solo nella direzione della forza. In questo caso, la variazione relativa del volume
compreso tra le due sezioni considerate, uguaglia la variazione relativa della distanza ∆L/L
dV
∂f (x, t)
dL
=
=
L
V
∂x
(3.11)
legata, a sua volta, alle proprietà del materiale dalle legge di Hooke 3.10
F = SY
∂f (x, t)
∂x
(3.12)
dove F è la forza di trazione, o compressione, nel punto x.
Si può usare la 3.12 per calcolare le forze esterne agenti sul segmento ∆x di sbarra. Si considerino le
due sezioni SA e SA0 , distandi dx, come mostrato in Fig. 3.3. FA è la forza che la parte sinistra della
sbarra esercita sulla superfice SA e FA0 è la forza che la parte destra della sbarra esercita sulla superfice
SA0 . Sebbene le due forze FA e FA0 siano in generale diverse, perchè la massa compresa tra A e A’ deve
essere accelerata per perpettere la propagazione delle onde, tuttavia devono diventare uguali quando dx
tende a zero.
In questo caso, quando le due superfici coincidono, la massa compresa tra A e A’ tende a zero e la
forza che la parte destra della sbarra esercita sulla parte sinistra ha lo stesso modulo di quella che la
parte sinistra esercita sulla parte destra, per il principio di azione e reazione.
Lo stesso vale per l’estremità B.
Possiamo ora calcolare le forze di tensione applicate alle estremità del segmento di sbarra ∆x.
Figure 3.3: Calcolo delle forze esterne agenti sul segmento di sbarra S∆x.
Si applica la legge di Hooke 3.12 al segmento dx, per dx tendente a zero.
In questo caso, le forze esterne agenti sul segmento di sbarra S∆x sono date dalle seguenti espressioni
FA = −SY
∂f (xA , t)
∂x
(3.13)
3.4. LE SOLUZIONI DELL’EQUAZIONE DELLE ONDE
25
in SA e
FB = SY
∂f (xA + ∆x, t)
∂x
(3.14)
in SB .
Si noti che quando
∂f (x, t)
>0
∂x
FB è diretta verso le x positive ed FA verso le x negative.
La somma vettoriale delle due forze, la risultante,
∂f (xA + ∆x, t) ∂f (xA , t)
−
)
∂x
∂x
accelera la massa compresa tra le due superfici.
La seconda equazione di Newton dice che
FB − FA = SY (
(3.15)
(3.16)
∂ 2 f (x, t)
FB − FA = ρS∆x
∂t2
(3.17)
∂ 2 f (x, t)
∂t2
(3.18)
dove ρ è la densità di massa e
l’accelerazione del segmento ∆x.
Uguagliando il secondo membro delle 3.16 e 3.17 si ottiene, nel limite per ∆x → 0, l’equazione di secondo
grado alle derivate parziali
∂ 2 f (x, t)
ρ ∂ 2 f (x, t)
=
Y
∂t2
∂ 2x
∂ 2 f (x, t)
1 ∂ 2 f (x, t)
−
=0
∂ 2x
c2 ∂t2
(3.19)
(3.20)
che è l’equazione delle onde, dove
s
c=
Y
ρ
(3.21)
è la velocità di propagazione della perturbazione sonora nel mezzo elastico.
3.4
Le soluzioni dell’equazione delle onde
Qualunque funzione del tipo
F (x, t) = f (x − ct) + g(x + ct)
(3.22)
è soluzione dell’equazione delle onde, come si verifica semplicemente per sostituzione. Questo succede
perchè in queste funzioni lo spazio ed il tempo sono combinati SOLO nella forma x ± ct.
Il significato fisico di questa combinazione è che le funzioni f (x ± ct) descrivono perturbazioni che si
propagano lungo l’asse delle x con velocità ∓c.
Consideriamo per esempio la funzione f (x − ct). Il valore che questa funzione assume nel punto x
al tempo t è lo stesso che assume ad un tempo successivo t + dt nel punto in avanti x + cdt, perché
(x + ct) − c(t + dt) è uguale a x − ct.
26
CHAPTER 3. PROPRIETÀ DI PROPAGAZIONE DELLE ONDE
Figure 3.4: Le soluzioni dell’equazione delle onde sono combinazioni lineari di funzioni che ”viaggiano rigidamente” con
velocità ±c.
Ciò significa che la funzione f si sta spostando in avanti con velocità c.
Se si osserva la sbarra da un sistema di riferimento che si muove con velocità +c parallela alla
sbarra, la perturbazione risulta essere stazionaria. Infatti, supponiamo che in questo riferimento la
perturbazione sia descritta dalla funzione f 0 (x0 , t0 ). Essendo l’ampiezza dell’onda uno spostamento, in
quanto la funzione f(x-ct) che rappresenta gli spostamenti dalla posizione di equilibrio, è un vettore
spostamento in una dimensione, possiamo scrivere che
f 0 (x0 , t0 ) = f (x, t)
(3.23)
dove le coppie (x0 , t0 ) e (x, t) sono legate dalle trasformazioni di Galilei di traslazione.
x0 = x − ct
(3.24)
t0 = t
(3.25)
f 0 (x0 , t0 ) = f (x − ct) = f (x0 )
(3.26)
Se la funzione f(x,t) è del tipo f(x-ct), allora
Si scopre cosı̀ che, per un osservatore in moto con velocità +c, la f 0 (x0 , t0 ) non dipende esplicitamente
dal tempo t’, cioè la perturbazione è per lui ferma.
Analogamente la funzione g(x+ct) descrive una perturbazione che si propaga nella direzione delle x
negative.
La soluzione generale è data dalla combinazione lineare di onde progressive e regressive.
S(x, t) = f (x − ct) + g(x + ct)
(3.27)
3.5. ONDE SONORE NEI GAS
3.5
27
Onde sonore nei gas
L’equazione delle onde sonore nei gas si ottiene in modo analogo. Anche qui consideriamo una colonna di
gas e studiamo il fenomeno in una dimensione. Per calcolare le forze agenti sul volume di gas compreso
tra le superfici SA e SB , vedi Fig.3.5, si usano le proprietà delle trasformazioni termodinamiche dei gas
perfetti.
Figure 3.5: Forze esterne agenti sul volume di gas S∆x.
Anche in questo caso la variazione relativa del volume nel punto x è data da
dL
dV
∂f (x, t)
=
=
L
V
∂x
(3.28)
Al passaggio dell’onda sonora il gas viene compresso e rarefatto in un tempo pari al periodo dell’onda
stessa. Le onde sonore udibili hanno frequenze comprese tra 20Hz e 20KHz, per cui il periodo di
oscillazione più lungo di un onda sonora è ≈ 50ms. Questo intervallo di tempo è piccolo rispetto ai tempi
che sono necessari per avere un consistente scambio di calore tra le molecole del volume considerato e
il resto del volume di gas. Il trasporto del calore per convezione, per esempio, è dell’ordine di secondi,
come il tempo di diffusione del fumo di sigaretta in una stanza (si prega di non fumare). Anche il calore
scambiato per irraggiamento non può essere grande a temperatura ambiente e nel tempo di un periodo,
per la legge di StefanBoltzmann. Il gas subisce una trasformazione termodinamica talmente rapida che
può essere considerare adiabatica.
Per essa vale la relazione
pV γ = costante
(3.29)
dove γ è il rapporto tra il calore specifico a pressione costante ed il calore specifico a volume costante
γ=
5
3
(3.30)
28
CHAPTER 3. PROPRIETÀ DI PROPAGAZIONE DELLE ONDE
Dalla 3.29
dpV γ + pγV γ−1 = 0
(3.31)
dV
∂f (x, t)
dp
= −γ
= −γ
(3.32)
p
V
∂x
Per piccole variazioni di pressione dp, la pressione p si può considerare praticamente uguale alla
pressione atmosferica p0 , quindi
∂f (xA , t)
dpA = −γp0
(3.33)
∂x
∂f (xB , t)
dpB = −γp0
(3.34)
∂x
Con ragionamento analogo a quanto discusso nel caso della sbarra metallica, si ricava la forza risultante esterna che agisce sulla massa di gas compresa tra SA ed SB
∂f (xA + ∆x, t) ∂f (xA , t)
−
)
∂x
∂x
(3.35)
∂ 2 f (x, t)
∆x
∂x2
(3.36)
∆F = S(dpA − dpB ) = Sγp0 (
∆F = Sγp0
Di nuovo, si applica la seconda legge di Newton
ρS∆x
∂ 2 f (x, t)
∂ 2 f (x, t)
=
∆F
=
Sγp
∆x
0
∂t2
∂x2
(3.37)
dove ρ è la densità e ∆m = ρS∆x la massa di gas considerata.
Si ottiene cosı̀ l’equazione delle onde nei gas
∂ 2 f (x, t)
∂ 2 f (x, t)
=
γp
0
∂t2
∂x2
(3.38)
∂ 2 f (x, t)
ρ ∂ 2 f (x, t)
−
=0
∂x2
γp0 ∂t2
(3.39)
ρ
∂ 2 f (x, t)
1 ∂ 2 f (x, t)
− 2
=0
∂x2
c
∂t2
r
γp0
c=
ρ
dove
(3.40)
(3.41)
è la velocità del suono.
3.6
Calcolo della velocità del suono in aria e nei metalli
Proviamo a calcolare la velocità del suono in azoto (quasi aria). Siano:
PA = 14 il peso atomico del gas
PM = 28 il peso molecolare del gas
N = 6.0221023 moli−1 , il numero di Avogadro
ρ = la densità del gas
n =il numero di moli di gas nel volume considerato, si ricorda che per mole si intende una quantità in
grammi pari al peso molecolare della sostanza.
3.6. CALCOLO DELLA VELOCITÀ DEL SUONO IN ARIA E NEI METALLI
29
K = 1.38110−23 JK −1 la costante di Boltzmann
R = 8.315Jmol−1 K −1 costante universale dei gas
γ = 53 rapporto dei calori specifici a pressione e volume costanti
T = la temperatura in gradi Kelvin
Dalla legge di Boyle si ottiene
pV = nRT
(3.42)
pV PM = nPM RT
(3.43)
pPM =
pPM
nPM RT
V
= ρRT
p
RT
p0
=
∼
ρ
PM
ρ
(3.44)
(3.45)
(3.46)
Sostituendo nella 3.41
r
c=
γp0
=
ρ
r
γRT
PM
(3.47)
Nel caso dell’azoto, che ha una molecola biatomica, PM = 2PA = 28, si ottiene alla temperatura ambiente
T=300K
r
γRT
m
≈ 300
(3.48)
c=
PM
s
che è circa la velocità del suono in aria.
È interessante osservare che nella teoria cinetica dei gas, l’energia cinetica media delle molecole è
data dalla relazione
3KT
m < v2 >
E=
=
(3.49)
2
2
dove < v 2 > è il valore medio del quadrato delle velocità delle molecole, la velocità quadratica media, e
K è la costante di Boltzman. Sostituendo R=NK nella 3.47 ed usando la 3.49 si ottiene
s
r
r
γRT
γN KT
γN m < v 2 > p
=
=
= γ < v 2 >3 ≈ v
(3.50)
c=
PM
PM
3PM
La velocità del suono è circa uguale alla velocità microscopica delle molecole e dipende solo dalla temperatura, dato il gas.
Le molecole urtano tra loro come sfere di uguale massa. Nel caso d’urto centrale, il proiettile si ferma
ed il bersaglio parte con la velocità che aveva il proiettile: risultato, l’energia si propaga con la velocità
microscopica della molecole.
Nella tabella 3.2 sono confrontate le velocità calcolate e misurate del suono, per alcuni materiali.
Aluni commenti:
Se la radiazione luminosa ha bisogno dell’etere per propagarsi, allora l’etere deve pervadere tutto
l’universo, altrimenti non potremmo vedere le stelle. È un fatto sperimentale che la radiazione luminosa
si propaga nel vuoto, che il vuoto interstellare si trova ad una tempertura di circa 4 K e che il vuoto
non è un mezzo tangibile.
30
CHAPTER 3. PROPRIETÀ DI PROPAGAZIONE DELLE ONDE
Materiale
Table 3.2: Velocità di propagazione del suono
q
N
Y m
Modulo di Young ( m
Densità ( Kg
)
velocità misurata ( m
2)
3
m
ρ( s )
s )
Alluminio
Granito
Piombo
Argento
Pyrex
Nickel
Acqua
6.01010
5.01010
1.61010
7.51010
6.11010
21.41010
2.2109
2.7103
2.7103
11.4103
10.4103
2.25103
8.9103
103
4700
4300
1190
2680
5200
4900
1500
5100
5000
1320
2680
5500
4970
0
Le caratteristiche dell’etere devono essere veramente speciali per poter propagare il segnale alla
velocità di 300.000 Km/s. L’etere deve essere o estremamente rigido, molto più dei metalli, o stare
ad elevatissima temperatura, se fosse simile ad un gas, veramente molto strano.
La verifica sperimentale dell’esistenza dell’etere non ha mai avuto successo ed è per questo che Einstein
escluse la sua esistenza. Per lui la luce si propaga nel vuoto e non ha bisogno di un supporto materiale
per sostenerla.
Ma, se le onde elettromagnetiche trasportano energia, infatti sentiamo il calore del sole su di noi
quando siamo al mare, allora abbiamo un problema.
Infatti, se le onde luminose trasportano energia e non hanno un supporto materiale per propagarsi,
come l’aria per il suono, allora la legge galileiana di composizione delle velocità deve essere applicabile
anche a loro.
Sperimentalmente, si osserva che non è cosı̀, la velocità della luce non dipende dallo stato di moto
della sorgente o dell’osservatore. Questo fatto, molto strano per la meccanica classica, ci conduce
inesorabilmente a rimettere in discussione i nostri concetti di spazio e di tempo.
3.7
Effetto Doppler
L’effetto Doppler consiste nel fatto che la frequenza f0 di un fenomeno fisico periodico, per esempio la
frequenza sonora della sirena di un’ambulanza, il colore della luce emessa da una stella, o la frequenza
di rivoluzione di un satellite attorno ad un pianeta, viene percepita diversa da f0 se la sorgente e
l’osservatore sono in moto relativo, vedi Fig.3.6
3.8
Osservatore fermo - Sorgente in moto
Sia V la velocità della sorgente, f0 la sua frequenza, b il parametro d’impatto e c la velocità del suono.
Consideriamo l’istante t in cui la sorgente si trova distante ed in avvicinamento, come mostrato in
Fig.3.7. Nell’intervallo di tempo successivo, compreso tra t e t + dt, la sorgente si sposta della quantità
ds = V dt lungo la sua traiettoria, emette il numero di fronti d’onda dn = f0 dt, mentre il fronte d’onda
emesso nell’istante t percorre la distanza cdt.
A causa del moto della sorgente, quindi, i fronti d’onda emessi nell’intervallo di tempo dt sono
compressi nel segmento dl = cdt − V dt cos θ. Perciò, per l’osservatore fermo, la distanza λ tra due
3.8. OSSERVATORE FERMO - SORGENTE IN MOTO
31
Figure 3.6: L’Effetto Doppler prodotto dallo spostamento dell’anatra. Il moto dell’anatra concentra in uno spazio minore
le onde prodotte in avanti.
32
CHAPTER 3. PROPRIETÀ DI PROPAGAZIONE DELLE ONDE
Figure 3.7: L’ effetto Doppler sonoro nel caso di sorgente in moto ed osservatore fermo. L’aria costituisce un sistema di
riferimento privilegiato per il suono, perché è in aria che il suono si propaga con velocità data.
successivi fronti d’onda risulta essere
cdt − V dt cos θ
c − V cos θ
c
λ=
=
=
f0 dt
f0
f
(3.51)
mentre la velocità dell’onda è ancora c. Di conseguenza, la frequenza percepita , data dall’espressione
f=
f0
1 − cos θ
V
c
(3.52)
risulta maggiore in avvicinamento e minore in allontanamento.
f0 ed f sono uguali nell’istante in cui la sorgente si trova alla distanza minima, quando θ = π2 . Si
usa dire che l’effetto Doppler trasverso è nullo. Questo succede perchè in quella posizione la variazione
istantanea della distanza sorgente-osservatore è nulla.
La formula che lega f a f0 è diversa nel caso relativistico. In questo caso, infatti, oltre all’effetto
geometrico dovuto al moto della sorgente, si deve tener conto della diversa velocità di avanzamento
degli orologi, quello della sorgente e quello dell’osservatore. Per questo, l’effetto Doppler relativistico
trasverso non è nullo, discuteremo questo fenomeno più avanti nel corso.
3.9
Osservatore in moto - Sorgente ferma
Nel caso di sorgente ferma e osservatore in moto, invece, il ragionamento da seguire per calcolare la
frequenza percepita dall’osservatore è diverso.
Consideriamo l’istante t in cui l’osservatore è in avvicinamento alla sorgente, vedi Fig.3.8. Sappiamo
che nell’intervallo di tempo successivo, compreso tra t e t + dt, la sorgente emette il numero di fronti
d’onda dn = f0 dt.
3.10. L’ESPERIMENTO DI MICHELSON-MORLEY E LA RICERCA DELL’ETERE
33
Figure 3.8: Sorgente ferma ed osservatore in moto.
Se l’osservatore fosse fermo rispetto alla sorgente sarebbe raggiunto nello stesso intervallo di tempo
dallo stesso numero di fronti d’onda ma, essendosi avvicinato alla sorgente della quantità ds = v cos θdt,
allora il numero di fronti d’onda che lo raggiunge è maggiore. Possiamo scrivere che
f0
dt cos θ
(3.53)
c
dove dN è il numero di fronti d’onda che raggiungono l’osservatore nel tempo dt. La frequenza percepita
è quindi
dN
v
f=
= f0 (1 + cos θ)
(3.54)
dt
c
Come si vede la frequenza percepita è diversa nei due casi pur essendo la velocità relativa osservatoresorgente la stessa.
Nel caso delle onde sonore, si può distinguere il caso in cui la sorgente è in moto rispetto all’aria
mentre l’osservatore è fermo, da quello in cui l’osservatore è in moto, sempre rispetto all’aria, e la
sorgente ferma. Nei due casi l’effetto è diverso per cui si può dire chi è in moto e chi no, esiste cioè il
moto assoluto, contrariamente a quanto affermato dal principio di relatività. Questo succede perché la
presenza dell’aria stabilisce un sistema di riferimento privilegiato, quello in cui l’aria è ferma. Questo
sistema, però, non è un sistema di riferimento inerziale, un corpo in moto in aria, prima o poi si ferma a
causa dell’attrito. In questo riferimento non vale il principio d’inerzia. Il principio di relatività vale solo
nei riferimenti inerziali. Lasciatemelo dire: quelli, non dell’aria, ma dello spazio tempo in cui siamo.
dN = f0 dt + v
3.10
L’esperimento di Michelson-Morley e la ricerca dell’etere
Due fasci di luce coerente sono inviati verso due specchi riflettenti posti all’estremità di due bracci
ortogonali di uguale lunghezza. Con metodi interferometrici si misurano i tempi di andata e ritorno dei
34
CHAPTER 3. PROPRIETÀ DI PROPAGAZIONE DELLE ONDE
due fasci. Se la luce si propaga nell’etere e la terra si muove rispetto all’etere, allora i due tempi di
percorrenza devono essere diversi.
Michelson e Morley pensarono che se la luce si propaga nell’etere, e l’etere pervade tutto lo spazio,
allora doveva esserci un vento dell’etere rispetto alla terra. La terra non poteva essere sempre ferma
rispetto all’etere, se non altro a causa del moto orbitale attorno al sole. La velocità della terra rispetto
all’etere doveva cambiare nel corso dell’anno, il vento dell’etere non poteva essere sempre nullo.
Per capire il principio di funzionamento dell’esperimento, immaginiamo di ripeterlo usando le onde
sonore invece della luce e l’aria invece dell’etere.
Per simulare il moto della terra rispetto all’etere supponiamo di essere in presenza di un forte vento
con velocità V diretta lungo l’asse delle x positive, quelle del laboratorio, vedi Fig.3.9.
Due onde sonore sono emesse simultaneamente dal punto A in direzioni ortogonali verso i due schermi
posti a distanza d, dove vengono riflesse per tornare in A. Il braccio A-B è disposto parallelo alla direzione
del vento.
Figure 3.9: Esperimento di Michelson e Morley. Si misura del tempo di andata e ritorno della luce in direzioni perpendicolari orientate a piacimento.
Vogliamo calcolare i tempi di andata e ritorno delle due onde sonore.
Siano: c la velocità del suono rispetto all’ aria e V la velocità del vento nel laboratorio, siamo nel
caso in cui c > V .
Nella fase di andata del tragitto A-B-A, quando il vento soffia a favore, la velocità del vento si somma
a quella del suono perché, mentre il suono si propaga in aria, l’aria stessa si muove alla velocità del
vento. Nel tratto di ritorno B-A, invece, le velocità si sottraggono.
Il tempo totale, di andata e ritorno, è dato dalla somma dei due tempi
t(A → B → A) =
d
d
2c
2d 1
+
=d 2
=
2
c+V
c−V
c −V
c 1 − Vc22
(3.55)
3.10. L’ESPERIMENTO DI MICHELSON-MORLEY E LA RICERCA DELL’ETERE
35
Nel caso del tragitto A-C-A, invece, il suono viene emesso dalla sorgente in A in modo che la somma
vettoriale della velocità del suono e del vento sia diretta verso lo schermo C. Lo schermo C è opportunamente inclinato per rimandare l’onda riflessa in A, nonostante il vento. Il modulo della velocità
risultante nella direzione A-C è dato dal Teorema di Pitagora
√
VAC = c2 − V 2
(3.56)
ed è lo stesso per il tragitto di ritorno.
Quindi, il tempo totale di andata e ritorno per il tragitto A-C-A è
t(A → C → A) = √
1
2d
2d
q
=
c 1−
c2 − V 2
(3.57)
V2
c2
Come si vede, i tempi aspettati di andata e ritorno sui due bracci non sono uguali.
Michelson e Morley, usando la luce e pensando di essere in presenza di un vento dell’etere, misurarono i
tempi di percorrenza per tutti i possibili orientamenti dei due bracci ortogonali ed in qualunque momento
dell’anno. MAI, MICHELSON E MORLEY, TROVARONO UNA DIFFERENZA TRA I DUE TEMPI
DI PERCORRENZA.
In base a questi risultati, Einstein assume che l’etere non esiste e che la velocità della luce è
UNA COSTANTE UNIVERSALE, sempre la stessa, qualunque sia lo stato di moto della sorgente
e dell’osservatore. In questo modo spiega i risultati dell’esperimento perché, se questa ipotesi è vera,
la velocità della luce è la stessa in tutte le direzioni ed il vento dell’etere non c’è semplicemente perché
l’etere non esiste.
Però, se l’etere non esiste, viene a mancare il supporto materiale del segnale luminoso, come lo è l’aria
per il suono. In questo caso, allora, la combinazione della velocità della luce con quella della sorgente
dovrebbe avvenire in modo analogo a come si combina la velocità di un sasso lanciato da un treno in
corsa con la velocità del treno.
Sperimentalmente si osserva che la velocità della luce è sempre la stessa, una costante universale,
qualunque sia lo stato di moto relativo sorgente-osservatore. Nel caso della luce sono violate le trasformazioni di Galileo.
36
CHAPTER 3. PROPRIETÀ DI PROPAGAZIONE DELLE ONDE
Chapter 4
La velocità della luce
4.1
La teoria di Maxwell
Figure 4.1: nel 1865, Maxwell calcola la velocità della luce dalle equazioni che descrivono i risultati degli esperimenti di
Faraday e di Ampere. Le proprietà dei campi elettrici e magnetici stazionari, espresse tramite il valore della costante
dielettrica 0 e della permeabilità magnetica µ0 del vuoto, sono legate alla velocità della perturbazione elettromagnetica
dalla relazione c = √10 µ0 ' 3108 m/s.
Quando Maxwell completò la teoria dell’elettromagnetismo scrivendo in forma finale le sue famose
equazioni, non sapeva dell’esistenza degli elettroni e dei protoni. I campi elettrici e magnetici delle onde
erano pensati come perturbazioni in un mezzo elastico, l’etere. Le proprietà dell’etere determinavano la
velocità della luce, esattamente come le proprietà dell’aria determinano la velocità del suono. Questa
volta, tuttavia, si doveva ottenere una velocità molto elevata, ≈ 300000Km/s.
In base alla sua teoria, l’etere doveva pervadere tutto l’universo, essere presente anche in quello che
noi chiamiamo il vuoto pneumatico, la mancanza di aria, visto che la luce si propaga nel vuoto.
37
38
CHAPTER 4. LA VELOCITÀ DELLA LUCE
Le onde elettromagnetiche previste da Maxwell furono poi generate artificialmente e presto la radio
fu inventata.
Si racconta che Maxwell stesso, dopo aver calcolato la velocità delle onde elettromagnetiche dai valori
della costante dielettrica e magnetica del vuoto, vedi Fig. 4.1, corse al capezzale di Faraday per dirgli
che, finalmente, s’ era capito cosa fosse la luce, un fenomeno elettromagnetico.
Sembra incredibile ma fino alla metà dell’800 non si sapeva che cosa fosse la luce.
4.2
Roemer e i satelliti di Giove
Naturalmente, pur non sapendo quale fosse la sua natura, si è cercato, da sempre, di misurarne la
velocità. Anche Galilei ci provò, senza riuscirci. La velocità della luce era troppo alta per essere
misurata con gli strumenti medioevali, era considerata infinita. Fu nella seconda metà del 1600 che Ole
Roemer(1644-1710), un astronomo danese che lavorarava nell’osservatorio di Parigi, vedi Fig.4.2, dopo
aver osservato per vari anni i satelliti di Giove si accorse che il loro periodo di rivoluzione attorno a
Giove cambiava nel tempo.
L’interesse dell’osservazione dei satelliti di Giove risiedeva nel fatto che questi erano praticamente
degli orologi nello spazio, osservabili contemporaneamente dalla terra da posti diversi. Potevano essere
usati per sincronizzarsi e, per esempio, ricavare la longitudine, come anche Galileo aveva suggerito. Io,
il satellite visibile più interno di Giove scoperto da Galileo nel 1610, ha un periodo di rivoluzione di
circa 42 ore e 27 minuti , quindi è un orologio siderale abbastanza veloce. Essendo facilmente visibile si
possono registrare gli istanti in cui scompare dietro Giove, le sue eclissi.
Roemer si accorse che quando la terra era vicina a Giove le eclissi di Io avvenivano in anticipo di
circa 11 minuti rispetto al valore medio aspettato mentre, se era lontana, con circa 11 minuti di ritardo,
vedi Fig.4.2.
La distanza Terra-Giove cambia nel corso dell’anno perché la Terra si sposta dalla parte opposta della
sua orbita in sei mesi mentre Giove si muove poco, essendo il suo periodo orbitale di circa 12 anni. Va
detto anche che le orbite della Terra e di Giove, avendo una eccentricità dell’ 1%, sono praticamente dei
cerchi.
Roemer attribuı̀ questo ritardo al fatto che quando la Terra era nel punto più lontano da Giove,
la luce doveva attraversare una distanza maggiore per raggiungere la Terra, pari al diametro della sua
orbita solare, una intuizione geniale.
Roemer stimò che la luce impiegava 22 minuti a percorrere il diametro dell’orbita terrestre ( oggi
sappiamo che in realtà sono 16 minuti). La velocità della luce poteva essere ottenuta dividendo il
diametro dell’orbita terrestre per la differenza di tempo massima osservata.
Christiaan Huygens, famoso scenziato Olandese che dette notevoli contributi anche alla teoria ondulatoria della luce, usando i dati di Roemer, calcolò che la velocità della luce era di circa 210.000 Km/s
invece di 300.000 Km/s , non male per gli strumenti e le conoscenze dell’epoca.
In ogni caso la scoperta era fatta, la luce non aveva una velocià infinita.
4.3. BRADLEY E L’ABERRAZIONE STELLARE
39
Figure 4.2: I tempi delle eclissi di Io, il satellite più interno di Giove, presentano delle modulazioni che dipendono dalla
distanza Terra-Giove. Roemer, seguendo un’idea di Cassini, interpretò questo fatto come dovuto al tempo necessario alla
luce per attraversare la distanza Terra-Giove che cambia nel corso dell’anno. Questa fu la prima evidenza sperimentale
della velocità finita della luce.
4.3
Bradley e l’aberrazione stellare
L’aberrazione stellare è quel fenomeno per cui la posizione apparente delle stelle nel corso dell’anno
cambia. È dovuto alla combinazione della velocità della luce con la velocità della terra nel suo moto
orbitale intorno al sole. Fu scoperto da Bradley nel 1728. vedi Fig.4.3.
Bradley, osservando la stella gamma del Dragone in differenti periodi dell’anno, notò strane ed inspiegabili variazioni nella posizione dell’astro. Successivamente indirizzò la sua attenzione su altre stelle e
sempre poté osservare variazioni di posizione della stessa stella in differenti periodi dell’anno; qualunque
stella si osservasse, soprattutto se in posizione sensibilmente perpendicolare al piano dell’eclittica, sembrava descrivere sulla volta celeste una specie di piccola ellissi.
Il fenomeno è analogo all’effetto dell’inclinazione della pioggia osservata da un treno in corsa. Secondo
la fisica classica, una pioggia verticale viene vista da un treno in corsa inclinata all’indietro con un angolo
α tale che tg(α) = Vc , dove V e c sono la velocità del treno e della pioggia rispetto a terra.
Nell’osservare le stelle avviene un fenomeno simile. La combinazione della velocità del segnale luminoso con quella della terra inclina i segnali luminosi all’indietro rispetto al moto della terra sull’orbita
solare.
Per vedere una stella che sta sullo zenith dell’eclittica si deve inclinare il telescopio rispetto alla
verticale. Dopo sei mesi il telescopio dovrà essere inclinato dalla parte opposta, sempre rispetto alla
verticale, perché la terra ha invertito la sua velocità a causa del moto attorno al sole, vedi Fig. 4.4.
L’angolo α d’inclinazione del telescopio è tale che
40
CHAPTER 4. LA VELOCITÀ DELLA LUCE
tan α =
velocità della terra
30
'
' 10−4
velocità della luce
300000
(4.1)
Figure 4.3: Bradley e l’aberrazione stellare. La posizione delle stelle nel cielo cambia nel corso dell’anno, descrivendo delle
piccole ellissi. Il fenomeno è dovuto alla combinazione del moto della terra attorno al sole con la velocità finita della luce.
La scoperta dell’aberrazione stellare confermò definitivamente la velocità finita della luce.
La velocità della luce è stata misurata con precisione sempre maggiore e con metodi diversi, usando la luce delle stelle e la luce prodotta in laboratorio. Il valore della velocità oggi quotato è
c ' 299.792.458m/s .
4.4
L’etere e la velocità della luce
Abbiamo visto che la velocità del suono non dipende dallo stato di moto della sorgente che lo emette.
Il suono si comporta come i paracadutisti che si lanciamno dall’aereo. La velocità di discesa dei paracadutisti non dipende dalla velocità dell’aereo ma dalla densità dell’aria e dalla forma del paracadute.
Quindi, se un osservatore che misura la velocità del suono trova sempre lo stesso valore di 340 m/s,
allora vuol dire che l’osservatore è fermo rispetto all’aria.
Analogamente, se la velocità misurata della luce è sempre la stessa, come la velocità del suono in
aria, allora è come se la Terra fosse ferma rispetto all’etere. Questa sarebbe la spiegazione del fatto che
misuriamo sempre lo stesso valore c. La terra deve essere ferma nell’etere per spiegare il risultato nullo
dell’esperimento di Michelson-Morley.
Vedete..., di nuovo la terra sarebbe in un sistema di riferimento privilegiato nell’universo. Vi sembra
probabile?
Per Einstein l’etere non esiste, la luce si propaga nel vuoto e la sua velocità è una costante universale.
4.4. L’ETERE E LA VELOCITÀ DELLA LUCE
41
Figure 4.4: Aberrazione stellare. Il puntamento del telescopio cambia nel corso dell’anno.
Se l’etere non esiste, però, la velocità della luce dovrebbe combinarsi con la velocità della sorgente
che la emette per dare la velocità risultante per un osservatore fermo. Esattamente come succede alla
velocità di un sasso lanciato da un treno in corsa.
La velocità con la quale il sasso viene lanciato sul treno si somma a quella del treno per raggiungere
il povero capostazione fermo sulla banchina, secondo quanto prescritto dalle trasformazioni di Galilei.
Bene, con la luce questo non succede. Se il capotreno accende una lampada tascabile e misura
la velocità della luce emessa, ottiene lo stesso risultato del capostazione che misura la velocità della
STESSA luce, ma da terra. La velocità misurata sul treno è uguale a quella misurata da terra, è sempre
c, in qualunque situazione la si misuri e qualunque sia la velocità del treno, se si allontana o se si
avvicina.
Questo fatto è stato verificato sperimentalmente in laboratorio ma anche con osservazioni astronomiche, la prima volta nel 1913.
L’astronomo olandese Willem De Sitter osservò che se si osservano sistemi binari di stelle, una delle
quali in rapida rotazione attorno all’altra molto più grande, si dovrebbero osservare nello spazio sistemi
con due piccole stelle ruotanti, non una, le stelle doppie di De Sitter.
Per capire il ragionamento di De Sitter guardate la Fig.4.5.
Essendo un sistema in cui una stella ruota attorno all’altra, ci sono casi in cui la stella si avvicina
alla terra (punto B), oppure si allontana (punto A). Se la velocità della luce che ci porta l’immagine
del sistema dipende dalla velocità della sorgente, i raggi luminosi provenienti dalle due posizioni devono
avere velocità diverse, minore se la stella si allontana maggiore se si avvicina. Sia d la distanza tra la
Terra ed il sistema di stelle. La differenza dei tempi di volo della luce emessa nei punti A e B, nel suo
viaggio verso la Terra, è data dalla relazione
TA − TB =
d
+2V
d
−
=d 2
c−V
c+V
c −V2
(4.2)
42
CHAPTER 4. LA VELOCITÀ DELLA LUCE
Figure 4.5: La non osservazione delle stelle doppie di De Sitter dimostra che la velocità della luce non dipende da quella
della sorgente (De Sitter 1913).
Se questa differenza di tempo eguaglia il tempo T di ritardo nell’emissione del raggio B, dovuto al fatto
che la stella piccola deve percorrere mezza orbita, i due raggi arrivano contemporaneamente e, quindi,
si devono vedere due stelle piccole, non una. Ebbene, non è cosı̀. Nonostante i sistemi binari di stelle
siano molto comuni nell’Universo, non si osservano stelle doppie.
Quello che cambia è il colore della stella, per l’effetto Doppler, ma non la velocità della luce che ci
porta le immagini.
La velocità della luce non si combina con la velocità della sorgente come vorrebbero le trasformazioni
di Galilei.
Questa EVIDENZA SPERIMENTALE è particolarmente imbarazzante perchè la meccanica classica
è basata sulle trasformazioni di Galilei che, a loro volta, sono basate sull’invarianza delle distanze e sulla
sincronizzazione degli orologi.
Chapter 5
A proposito dello spazio e del tempo
La velocità media di un oggetto è definita come lo spazio percorso diviso per l’intervallo di tempo
impiegato a percorrerlo, si misura in metri al secondo. Per misurare una velocità, quindi, occorre avere
un metro per misurare la distanze ed un orologio per misurare gli intervalli di tempo.
Se per errore di costruzione il metro usato è più corto di quanto dovrebbe essere, il risultato numerico
della velocità misurata risulta più grande di quanto in realtà sia. Infatti, se il metro usato è corto, entra
più volte nella distanza percorsa e quindi la velocità misurata risulta maggiore di quanto in realtà sia
stata.
Lo stesso dicasi per il ritmo dell’orologio. Se l’orologio è più veloce di quanto dovrebbe essere, la
velocità misurata risulta minore perché l’intervallo di tempo indicato dall’orologio, tra la partenza e
l’arrivo, è maggiore di quello reale.
In altre parole, il risultato della misura della velocità di un oggetto è fortemente legato alle proprietà
del metro e dell’orologio usati. Se due osservatori misurano la velocità dello stesso oggetto, i loro metri
ed i loro orologi devono essere uguali, altrimenti ottengono dei risultati diversi.
Facciamo allora il seguente esperimento. Francesco osserva che un asteroide si sta avvicinando alla
terra con la velocità di 200 Km/s, vedi Fig. 5.1. Sua cugina Chiara, che si trova su un aereo in volo alla
velocità di 100 Km/s, vede lo stesso asteroide. Sia Francesco che Chiara hanno con sè un orologio per
la misura del tempo, ed un metro per la misura delle distanze. I due possono anche comunicare tra loro
tramite un telefono.
L’esperimento consiste nella misura della velocità dell’asteroide da parte sia di Francesco che di
Chiara per poi confrontare i risultati.
Francesco sa che la velocità dell’asteroide misurata da Chiara dovrebbe essere di 300Km/s, perchè
l’areo e l’asteroide si stanno andando incontro. La distanza relativa asteroide-Chiara diminuisce più
rapidamente perchè le due velocità si sommano, come dicono le trasformazioni di Galilei.
Francesco telefona a Chiara e gli chiede: Scusa Chiara, qual’è per te la velocità dell’asteroide?
Se Chiara risponde 300Km/s, allora Francesco e Chiara sono contenti perché questo vuol dire che i
loro metri e gli orologi sono uguali e che le velocità sono state misurate correttamente (o hanno sbagliato
nello stesso modo, ma questo caso non lo consideriamo).
Però, se Chiara risponde 299Km/s invece di 300Km/s, come possono, Francesco e Chiara, interpretare
questo risultato?
Riflettete bene sulle possibili risposte a questa domanda, perchè la spiegazione di questo strano
risultato è alla base della teoria della relatività.
43
44
CHAPTER 5. A PROPOSITO DELLO SPAZIO E DEL TEMPO
Figure 5.1: Combinazione delle velocità di oggetti in movimento. Le Trasformazioni di Galilei non sono verificate sperimentalmente.
Ognuno di loro è sicuro di aver misurato bene la velocità dell’asteroide, anzi l’ha misurata più volte
per essere sicuro di non aver fatto errori.
Discutono per telefono delle loro misure e del metodo usato. Sebbene abbiano seguito esattamente
le stesse procedure, tuttavia i risultati sono diversi da quanto si aspettavano, perchè?
Una possibile spiegazione di questa incomprensibile situazione potrebbe essere che il metro o l’orologio
di uno dei due non sia preciso. Se il metro di Chiara è più lungo di quello di Francesco, oppure il suo
orologio va più veloce, allora Chiara misura una velocità più piccola, e viceversa per Francesco.
Per verificare questa ipotesi, Chiara torna indietro, atterra e raggiunge Francesco. I due confrontano
i metri ed gli orologi ma non trovano differenze tra di loro, i due metri ed i due orologi sono uguali.
Quindi, sebbene i risultati delle due misure debbano essere considerati corretti, tuttavia questi non
confermano la legge galileiana di composizione delle velocità. È esattamente quello che succede in
laboratorio, quando si misurano le velocità dei prodotti di decadimento delle particelle elementari o
quando si misura la velocità della luce emessa da sorgenti in moto.
Essendo la fisica una scienza sperimentale e riprodicubile, Einstein pensò che le Trasformazioni di
Galilei non erano valide.
Due capisaldi del pensiero scientifico newtoniano, l’invarianza delle lunghezze nel passaggio da un
sistema inerziale ad un altro e l’esistenza di un tempo t assoluto, con la sua velocità di scorrimento
uguale per tutti, erano messi in dubbio. La concezione newtoniana dello spazio tempo, che tutti noi
abbiamo radicata nella nostra mente fin dalla nostra infanzia, non reggeva alla prova dei fatti.
Francesco e Chiara spiegano il risultato del loro esperimento con la scoperta di un nuovo effetto: la
lunghezza di un metro ed il ritmo di un orologio cambiano, quando sono messi in moto, per questo le
trasformazioni di Galileo non spiegano i risultati ottenuti.
La Teoria della Relatività è difficile, perchè dobbiamo abbandonare queste nostre convinzioni pro-
5.1. DISTANZE E SINCRONIZZAZIONE DEGLI OROLOGI
45
fonde. Una volta accettato di farlo, ci si rende conto che la natura è più bella di quanto avevamo
immaginato e si comincia a pensare in modo relativistico. Si comincia a riflettere seriamente sulla possibilità che la lunghezza di un asta e/o la frequenza di un orologio possano cambiare quando sono in
movimento, anche di moto uniforme.
Solo se questo accade Francesco e Chiara possono avere entrambi ragione.
Si potrebbe pensare che la Relatività sia una cosa lontana dalla vita di tutti i giorni, una curiosità
scientifica avente effetti pratici solo quando sono in gioco alte velocità, non è cosı̀. Vedremo che il
funzionamento del trapano elettrico è dovuto ad un effetto relativistico.
Nella relatività ci siamo totalmente immersi perchè la natura È RELATIVISTICA.
5.1
Distanze e sincronizzazione degli orologi
Una volta ammesso che la lunghezza di un metro ed il ritmo di un orologio possono cambiare se messi
in movimento, occorre riflettere su come si costruisce il sistema di riferimento, su come si scrivono le
coordinate in metri sugli assi coordinati e su come si possa deteminare l’intervallo di tempo tra due
eventi che accadono anche molto lontani tra loro.
Ammettere questa possibilità è il primo passo per cominciare a pensare in modo relativistico.
Immaginate un videogioco in cui la lunghezza degli oggetti e la velocità di avanzamento degli orologi
cambia se sono in movimento, come si presenta la realtà in questo villaggio relativistico? Vedremo che
non è un gioco ma proprio quello che succede se guardiamo con sufficiente attenzione.
Sappiamo che gli assi cartesiani di un sistema di riferimento vanno all’infinito. Due eventi possono
quindi accadere a grande distanza tra loro con un grande intervallo di tempo. Come facciamo a misurare
la distanza delle posizioni dei due eventi e l’intervallo di tempo trascorso tra un evento e l’altro se, quando
il metro e l’orologio sono in movimento, questi cambiamo?
Si costruisce la griglia delle coordinate spaziali usando il metro, vedi Fig 5.2, nel modo seguente: si
prende il metro, si appoggia sull’asse x ponendo un’estremità nell’origine poi, TENENDOLO FERMO,
si segna una tacca sull’asse x in corrispondenza dell’altra estremità.
Durante questa operazione il metro deve restare fermo altrimenti la sua lunghezza sarebbe diversa
da quella del metro campione. Si ripete l’operazione mettendo l’altra estremità sulla prima tacca, e
cosı̀ via. Durante lo spostamento il metro cambia ma riassume la lunghezza giusta quando si ferma, si
assume che la lunghezza del metro dipenda solo dalla velocità istantanea.
In questo modo si può costruire un sistema di assi cartesiani graduati, gli assi x, y e z, facendo bene
attenzione a tenere il metro fermo ogni volta che si aggiunge una lunghezza. La posizione degli oggetti
nello spazio è data dalle coordinate cartesiane cosı̀ costruite, ad ogni punto dello spazio corrisponde la
terna di numeri x,y,z.
Niente di particolarmente nuovo finora, solo l’accortezza di tenere i regoli fermi quando si misurano
le posizioni.
La sincronizzazione degli orologi è cosa più delicata. Immaginiamo che Francesco sia nell’origine con
il suo orologio e che Chiara si trovi molto lontana da lui. Ciascuno ha il proprio orologio ma nessuno
può vedere quello dell’altro. Come fanno a sincronizzare gli orologi?
Il metodo tradizionale è il seguente: Francesco e Chiara si ritrovano insieme, nell’origine del sistema
di riferimento di Francesco, sincronizzano i due orologi, dopodichè Chiara torna nella sua posizione,
46
CHAPTER 5. A PROPOSITO DELLO SPAZIO E DEL TEMPO
Figure 5.2: Costruzione di un riferimento spaziotemporale. Gli assi cartesiani sono graduati e gli orologi sono messi nella
loro posizione e non si spostano. Il tempo di un evento si legge nell’orologio posto nella posizione in cui l’evento avviene.
lontana da Francesco.
Sebbene questo sembri un buon modo per sincronizzare gli orologi, tuttavia non lo è.
L’orologio di Chiara perde la sincronizzazione con quello di Francesco, se durante lo spostamento il
ritmo dell’orologio di Chiara dipende dalla sua velocità.
Questo metodo di sincronizzazione non va bene. Dobbiamo sincronizzare gli orologi nel punto in cui
sono, senza metterli successivamente in movimento, altrimenti l’ora giusta viene persa.
Come fare? Fortunatamente viene in nostro soccorso la possibilità di usare segnali luminosi.
Abbiamo visto che la velocità della luce è una costante universale e non c’è niente di meglio per
sincronizzare gli orologi lontani.
Chiara raggiunge casa sua della quale conosce la distanza dall’origine, perchè può leggere le sue
coordinate cartesiane sulla griglia spaziale precedentemente costruita. Una volta raggiunta casa telefona
a Francesco e gli dice di essere pronta. Francesco accende un faro che emette un segnale luminoso in
ogni direzione, un onda sferica luminosa e, contemporaneamente, fa partire il suo orologio che segnava
l’ora 00:00 in punto. Chiara, che conosce la sua distanza d da Francesco, calcola il tempo d/c che il
segnale impiega per raggiungerla e fa partire il suo orologio proprio al tempo d/c, nell’istante in cui
viene raggiunta dal segnale.
Da quel momento in poi i due orologi sono sincronizzati.
Dobbiamo immaginare che in ogni punto dello spazio sia presente un orologio sincronizzato in questo
modo. Gli orologi del sistema di riferimento non si spostano da un punto all’altro, stanno nel posto dove
sono stati messi e restano sincronizzati.
Dicendo che un evento A avviene nel punto (x, y, z) al tempo t, si intende che t è quello letto
nell’orologio che si trova nel punto x,y,z, uguale a quello che segnano tutti gli altri orologi, ognuno nel
5.2. ASTE PARALLELE AL MOTO
47
suo posto.
Chiamare un punto dello spazio tempo un evento fa parte del gergo relativistico. Non ha importanza che tipo di evento sia, potrebbe essere l’urto tra due oggetti, la riflessione di un fascio luminoso,
l’esplosione di un petardo, se avviene nel punto (x,y,z) al tempo t, diremo semplicemente che si tratta
dell’evento
A = (ct, x, y, z)
(5.1)
La coordinata temporale t viene moltiplicata per c per rendere omogenee le quattro componenti, che
sono delle lunghezze. Gli intervalli di tempo sono misurati in metri, equivalgono all’intervallo di tempo
che la luce impiega a percorrere la distanza data.
Per osservatore intenderemo, d’ora in poi, una squadra di ricercatori che hanno costruito una terna
graduata di assi cartesiani e posto in ogni punto del loro spazio un orologio sincronizzato.
Se ci sono più osservatori in moto relativo, ogni osservatore ha il suo spazio ed i suoi orologi sincronizzati.
Se ci pensate bene, è quello che succede quando si fanno esperimenti di fisica. Immaginate di inviare
una E-mail ad un vostro amico a Londra. Il tempo impiegato dalla E-mail per raggiungere Londra si
determina usando due orologi diversi, quello del computer di partenza e quello dell’arrivo. I due orologi,
però, devono essere stati sincronizzati precedentemente, per esempio con un raggio luminoso, altrimenti
la differenza tra i due tempi non corrisponde al tempo realmente impiegato.
5.2
Aste parallele al moto
Supponiamo ora che Francesco e Chiara si trovino insieme ed abbiano a disposizione due macchine da
corsa biturbo monoposto, non necessariamente dello stesso modello. Vogliamo sapere se le due auto
hanno la stessa lunghezza quando una è ferma e l’altra si muove a tutto gas di moto rettilineo uniforme.
Nel caso in cui le due auto sono ferme si possono mettere una accanto all’altra, leggere le coordinate
cartesiane dei paraurti delle due auto e, se sono uguali, le due auto hanno la stessa lunghezza. La lettura
delle coordinate dei paraurti anteriori e posteriori delle due auto si può fare anche a tempi diversi perché
le auto sono ferme.
Ma, come si fa a confrontare la lunghezza delle due macchina da corsa se una delle due è ferma e
l’altra si muove a tutta velocità?
L’esperimento, immaginario come faceva Einstein, consiste nel confrontare la lunghezza delle due
auto NELL’ISTANTE in cui la macchina in movimento supera quella ferma.
Francesco e Chiara si mettono allora d’accordo e decidono di procedere nel modo seguente: si mettono
ciascuno al centro della propria auto, poi l’auto di Chiara si allontana da quella di Francesco e comincia
a muoversi con velocità V, per esempio 700Km/h, passando accanto a Francesco, che rimane fermo a
motore spento.
Se le estremità anteriori e posteriori delle due auto sono nello stesso posto, NELLO STESSO ISTANTE, allora le due auto hanno la stessa lunghezza.
Riepiloghiamo: Francesco si trova nel centro della propria auto A-B, mentre Chiara è nel centro della
sua auto A’-B’ e si muove con velocità V verso Francesco, vedi Fig.5.3.
I due osservatori sanno di essere nel mezzo dei rispettivi regoli perchè leggono la propria posizione
sugli assi cartesiani costruiti precedentemente sulla macchina da corsa.
48
CHAPTER 5. A PROPOSITO DELLO SPAZIO E DEL TEMPO
Figure 5.3: Simultaneità e lunghezza nella direzione del moto. Confronto delle lunghezze di oggetti in moto relativo.
Chiara, in movimento, supera Francesco fermo nel proprio riferimento.
Per fare l’esperimento, inoltre, chiediamo a due collaboratori di Francesco di porsi fermi alle estremità A e B della sua auto, ciascuno con il compito di emettere un onda sferica luminosa quando il
corrispondente paraurti dell’altra auto in moto si trova nella loro posizione, A con A’ e B con B’.
Facciamo l’esperimento: Francesco vede Chiara arrivare, passargli accanto per superarlo e poi allontanarsi in avanti.
Nel corso di questo esperimento ciascuno dei collaboratori fa sicuramente partire un’onda sferica
luminosa, perchè i paraurti prima o poi devono essere nella STESSA POSIZIONE.
Durante il sorpasso vengono sicuramente emesse due onde sferiche, indipendentemente una dall’altra.
Inoltre, se le due auto non hanno la stessa lunghezza, i segnali sono emessi a tempi diversi perché i
paraurti, anteriore con anteriore e posteriore con posteriorie, non possono coincidere nello spazio nello
stesso istante.
Sia Francesco che Chiara vengono raggiunti, sebbene con un certo ritardo, dai due segnali luminosi
(gli stessi) e possono verificare se arrivano su di loro contemporaneamente.
Vediamo come Francesco e Chiara interpretano i risultati dell’esperimento.
Supponiamo che Francesco veda arrivare simultaneamente i due segnali al tempo t.
Francesco interpreta questo fatto dicendo che i segnali sono stati emessi simultaneamente al tempo
precedente t − 2cl , dove l è la lunghezza dell’auto e c la velocità della luce, che è LA STESSA DAI DUE
LATI.
Non solo, se i segnali sono stati emessi simultaneamente, le estremità dei regoli, A-A’ e B-B’ erano NELLO STESSO PUNTO NELLO STESSO ISTANTE, quindi le due auto SONO DI UGUALE
LUNGHEZZA.
Se i segnali non arrivassero simultaneamente su Francesco, allora si chiede a Chiara il favore di
5.2. ASTE PARALLELE AL MOTO
49
cambiare auto, di prenderne una più lunga o più corta e di ripetere l’esperimento finchè i segnali non
arrivano simultaneamente su Francesco, cioè finchè le due auto, UNA FERMA E L’ALTRA IN MOTO,
hanno la stessa lunghezza PER FRANCESCO.
Per ora va tutto bene, non abbiamo detto niente che vı̀oli la meccanica newtoniana.
Però, guardate di nuovo la Fig.5.3 : siccome Chiara sta andando incontro al fronte emesso in BB’, viene raggiunta da questo PRIMA di quello emesso in A-A’, dal quale si sta allontanando. Come
interpreta Chiara questo fatto?
Vi ricordo che per Chiara, Francesco arriva in retromarcia alla velocità di 700 Km/h con i suoi due
amici all’estremità dell’auto mentre lei è ferma nel suo riferimento.
Figure 5.4: Simultaneità e lunghezza nella direzione del moto.
Per lei, che si trova nel centro della propria auto ferma, i due segnali NON SONO STATI EMESSI
SIMULTANEAMENTE perché arrivano uno dopo l’altro: vedi Fig.5.4 che illustra il punto di vista di
Chiara.
Anche per Chiara la velocità della luce è LA STESSA DAI DUE LATI ed uguale a c.
Questo è il punto cruciale, non si stanno usando le trasformazioni di Galilei per i segnali luminosi.
La velocità della luce emessa dalle due sorgenti in moto non si somma alla velocità dell’auto di
Francesco.
Il fatto che il segnale da B-B’ arrivi a Chiara prima di quello emesso in A-A’, è la dimostrazione che
l’auto di Francesco è PIÙ CORTA della sua. Infatti, deve passare del tempo prima che anche il segnale
proveniente dagli estremi A-A’ arrivi. In questo intervallo di tempo l’auto di Francesco continua la sua
corsa affinché anche A e A’ coincidano nello spazio ed il segnale venga emesso.
Possiamo riassumere il risultato dell’esperimento dicendo che:
1) Le due auto sono di uguale lunghezza per Francesco ma non per Chiara.
2) Le emissioni luminose sono simultanee per Francesco ma non per Chiara.
50
CHAPTER 5. A PROPOSITO DELLO SPAZIO E DEL TEMPO
Questa ”strana” conclusione è quanto si verifica in laboratorio quando si fanno esperimenti di fisica.
È un fatto sperimentale che la velocità della luce non si combina con la velocità della sorgente e
dell’osservatore come prescrivono le trasformazioni di Galilei.
Affinché la velocità della luce sia la stessa per Francesco e Chiara, occorre che il metro e l’orologio
di Chiara cambino rispetto a quelli di Francesco, che li vede passare ad alta velocità. Altrimenti, la
velocità della luce non potrebbe essere la stessa per i due. Chiara interpreta i risultati dell’esperimento
nello stesso modo. Per lei è lo spazio tempo di Francesco a cambiare ed hanno ragione entrambi, perché
la fisica deve essere la stessa per tutti gli osservatori inerziali.
La conclusione: la lunghezza degli oggetti e l’intervallo di tempo tra due eventi, dipendono dal loro
stato di moto nel sistema di riferimento dell’osservatore. Eventi simultanei per un osservatore possono
non esserlo per un altro. La lunghezza di un oggetto fermo non è uguale alla lunghezza dello stesso
oggetto in moto.
5.3
Aste ortogonali al moto
Ripetiamo ora l’esperimento ma con le aste ortogonali alla direzione del moto, vedi Fig. 5.5 e Fig. 5.6.
D’ora in poi useremo le aste (regoli) al posto delle macchine da corsa. Un’onda sferica viene emessa
quando, e se, le corrispondenti estremità dei due regoli coincidono nello spazio.
Si noti che quando i due regoli si sovrappongono, se questi sono di lunghezza diversa, non possono
essere emessi due fronti d’onda ma, al massimo, uno quello dalla parte dove le estremità coincidono nello
spazio, per un istante.
Anche in questo caso chiediamo all’osservatore O’ di ripetere l’esperimento cambiando la lunghezza
del suo regolo finchè vengono emesse due onde.
Se vengono emessi due segnali i regoli hanno necessariamente la stessa lunghezza per tutti.
Infatti, essendo i due regoli ortogonali alla direzione del moto, la sovrapposizione delle due coppie di
estremi, se c’è, può essere SOLO SIMULTANEA.
Due segnali significa uguale lunghezza per tutti gli osservatori perché tutti gli osservatori saranno
raggiunti dai due fronti d’onda.
Per Francesco (O), i fotoni raggiungono prima lui e poi Chiara(O’), perchè O’ si sta spostando, vedi
in Fig.5.5 il punto di vista di Francesco. Per Chiara, invece, succede la stessa cosa, prima i segnali
raggiungono lei e dopo Francesco, vedi in Fig.5.6 il punto di vista di Chiara, perché Francesco si sta
spostando.
Non si vı̀ola il principio di relatività perché entrambi dicono la stessa cosa: è l’altro che riceve i segnali
dopo.
Quindi: LE LUNGHEZZE NON CAMBIANO NELLA DIREZIONE TRASVERSA AL MOTO mentre la relazione prima-dopo è invertita.
L’invarianza delle dimensione trasversa è una conseguenza del principio di relatività, non della
costanza della velocità della luce.
Se la luce avesse velocità diversa per i due osservatori la conclusione precedente non cambierebbe, i
due regoli avrebbero ancora la stessa lunghezza per entrambi, perchè è il numero dei fronti d’onda che
determina l’uguaglianza o meno delle due lunghezze.
Se i segnali emessi sono due per un osservatore, lo sono anche per l’altro.
5.3. ASTE ORTOGONALI AL MOTO
Figure 5.5: Aste ortogonali alla direzione del moto. Interpretazione dell’esperimento da parte dell’osservatore O.
Figure 5.6: Aste ortogonali alla direzione del moto. Interpretazione dell’esperimento da parte dell’osservatore O’.
51
52
CHAPTER 5. A PROPOSITO DELLO SPAZIO E DEL TEMPO
Non solo, i segnali arrivano simultaneamente su Francesco e su Chiara a causa della simmetria creata
dall’orientamento perpendicolare delle aste rispetto alla direzione del moto, anche se a tempi diversi.
Francesco e Chiara sono d’accordo sul fatto che le due aste sono di uguale lunghezza.
5.4
Imbianchini relativistici
La cosa può essere considerata anche da un altro punto di vista.
Immaginiamo di mettere due regoli uguali nell’origine di ciascun osservatore, parallelo all’asse y,
con nell’altra estremità un pennello imbevuto di vernice. Chiediamo quindi a Chiara di mettersi in
movimento. A causa del moto di Chiara ciascun pennello traccia una segno colorato sul piano x-y
dell’altro osservatore.
I due osservatori possono confrontare la posizione del loro pennello rispetto alla linea tracciata
dall’altro in movimento, vedi Fig.5.7.
Figure 5.7: Le lunghezze ortogonali al moto non cambiano quando si cambia il sistema di riferimento.
Se i tracciati disegnati coincidono i regoli hanno la stessa lunghezza.
Se non coincidono, si ha una differenza tra i due osservatori, uno dei due deve avere il pennello più
vicino all’origine, differenza sulla quale Francesco e Chiara concordano. Questo non è possibile perché
vı̀ola il principio di relatività. Non deve essere possibile distinguere lo stato di moto degli osservatori
sulla base dei risultati di un esperimento.
Si potrebbe dire, per esempio, che l’osservatore in moto è quello con il tracciato della pittura più
lontano dall’origine mentre quello fermo ha il tracciato più vicino. Sarebbero tutti d’accordo ma il
principio di relatività sarebbe vı̀olato.
Nel caso in cui i regoli sono paralleli al moto, come discusso prima, i due tracciati coincidono, non si
creano asimmetrie tra i due osservatori e le lunghezze possono cambiare.
5.5. IL PRINCIPIO DI RELATIVITÀ E LA PROPAGAZIONE DI UN’ONDA SFERICA LUMINOSA
5.5
53
Il Principio di Relatività e la propagazione di un’onda sferica luminosa
Supponiamo che Francesco(O) e Chiara(O’) siano in moto relativo uniforme. Si mettono d’accordo
nell’avere gli assi coordinati paralleli e a far partire i propri orologi nell’istante in cui i loro sistemi di
riferimento sono coincidenti, al tempo t=t’=0.
→
−
Dal punto di vista di Francesco (O), Chiara (O’) si muove con velocità V = (V, 0, 0) nella direzione
→
−
delle x crescenti mentre, per Chiara (O’), è Francesco (O) che si sta muovendo con velocità − V =
(−V, 0, 0) nella direzione delle x’ negative, vedi Fig.5.8 e Fig.5.9
Figure 5.8: Onda luminosa sferica uscente dall’origine. Punto vista di Francesco (O).
Nell’istante t = t0 = 0, quando i due sistemi di riferimento coincidono nello spazio, Francesco e Chiara
sono nello stesso posto. Esattamente in quell’istante Francesco fa scoccare una scintilla nell’origine, in
modo che parta un segnale luminoso simile a quello che abbiamo usato per sincronizzare gli orologi.
Quale sarà, per Francesco, la forma del fronte d’onda al tempo t?
Ebbene, per Francesco, la forma del fronte d’onda è una superfice sferica di raggio R = ct, perchè la
luce si propaga con la stessa velocità in tutte le direzioni. Il centro della sfera è nell’origine, dove lui si
trova. Nello stesso istante t, Chiara si trova nella posizione x = V t, vedi Fig.5.8.
Per Chiara succede la stessa cosa, vedi Fig.5.9. Questa volta però è lei ad essere nel centro della
sfera, mentre Francesco si è spostato nella posizione x’= -Vt’.
Per ciascuno dei due osservatori è l’altro che si è spostato mentre loro sono e rimangono fermi nel
centro dell’onda sferica.
Viene spontanea una domanda: com’è possibile che entrambi siano nel centro dell’unico fronte d’onda
sferico, se si trovano in posizioni diverse?
Capire questo significa capire le trasformazioni dello spazio tempo e cominciare a pensare in modo
relativistico
54
CHAPTER 5. A PROPOSITO DELLO SPAZIO E DEL TEMPO
Figure 5.9: Onda luminosa sferica uscente dall’origine. Punto di vista di Chiara (O’).
La spiegazione che la teoria relativistica da, di questa apparente assurdità, è la seguente: sappiamo
che l’insieme degli eventi del fronte d’onda sferico di Francesco, (ct, x, y, z), devono soddisfare l’equazione
di una sfera di raggio R=ct
x2 + y 2 + z 2 − (ct)2 = 0
(5.2)
Questi eventi sono per lui simultanei al tempo t, perché SOLO GLI EVENTI SIMULTANEI SONO
SULLA SFERA.
Lo stesso fronte d’onda è osservato anche da Chiara, la quale usa le proprie coordinate (ct0 , x0 , y 0 , z 0 ).
Anche per lei deve essere
x02 + y 02 + z 02 − (ct0 )2 = 0
(5.3)
Prima di procedere oltre, occorre fare la considerazione seguente: se due oggetti si allontanano o si
avvicinano per un osservatore, lo fanno anche per tutti gli altri osservatori. Per esempio, se un’auto va
contro un muro per un osservatore, deve farlo anche per tutti gli altri.
Detto questo, consideriamo gli eventi A e B che appartengono al fronte d’onda di O aventi coordinate
A = (ct, xA = −ct, 0, 0) e B = (+ct, xB = +ct, 0, 0), mostrati in Fig. 5.8.
Dato che l’evento B è più vicino a Chiara dell’evento A, perché nel riferimento di Francesco Chiara
si muove nella stessa direzione di B, allora l’evento B deve essere più vicino a Chiara, di quanto lo sia
l’evento A, anche nel riferimento di Chiara.
Ma, se A e B sono per Chiara a distanze diverse, allora per lei i due eventi NON POSSONO ESSERE
SIMULTANEI, trattandosi di segnali luminosi emessi dal centro dove lei si trova, vedi Fig.5.9.
Per Chiara, che è al centro della propria sfera, deve essere t0B < t0A perché B è più vicino.
Succede che gli eventi dell’onda sferica che sono simultanei per Francesco, non lo sono per Chiara.
5.5. IL PRINCIPIO DI RELATIVITÀ E LA PROPAGAZIONE DI UN’ONDA SFERICA LUMINOSA
55
Gli eventi che per Chiara accadono al tempo t0B , quelli sulla sua sfera di raggio ct0B , sono accaduti
per Francesco ad un tempo precedente t < tB .
Mentre lo spaziotempo di Francesco è percorso dall’onda sferica uscente, i suoi eventi (ct, x, y, z)
accadono per Chiara a tempi e posizioni tali che quelli per lei simultanei stanno su una sfera.
(x0 )2 + (y 0 )2 + (z 0 )2 − c(t0 )2 = 0
(5.4)
Vediamo di capire come le coordinate di un evento (ct, x, y, z) di Francesco devono essere trasformate
nelle coordinate (ct0 , x0 , y 0 , z 0 ) di Chiara in modo che tutto ciò accada.
56
CHAPTER 5. A PROPOSITO DELLO SPAZIO E DEL TEMPO
Chapter 6
Le Trasformazioni di Lorentz
6.1
Le basi della Teoria della Relatività
Le fondamenta della teoria della relatività sono due fatti sperimentali assunti a principio del pensiero
scientifico
1) Il Principio di Relatività
2) La velocità della luce è una costante universale.
Vedremo come queste due condizioni ci guideranno nella costruzione della teoria.
6.2
Derivazione delle Trasformazioni di Lorentz
Abbiamo visto che un onda luminosa sferica per un osservatore, lo deve essere anche per l’altro. Gli
eventi del fronte d’onda soddisfano entrambe l’equazioni
x2 + y 2 + z 2 − c2 t2 = 0
(6.1)
(x0 )2 + (y 0 )2 + (z 0 )2 − c2 (t0 )2 = 0
(6.2)
Essendo le lughezze trasverse al moto invarianti, si può scrivere semplicemente che
x2 − c2 t2 = x02 − c2 (t0 )2 = 0
(6.3)
Cerchiamo una trasformazione lineare del tipo
x0 = α 1 x + α 2 t
(6.4)
t0 = α3 x + α4 t
(6.5)
Le costanti della trasformazione si ottengono imponendo le quattro condizioni:
1) gli eventi (t,Vt,0,0) di (O), che descrivono il moto dell’origine del sistema O’, devono avere coordinata spaziale nulla in O’,
2) la luce che si propaga con velocità +c lungo l’asse x di Francesco deve farlo anche lungo l’asse x’
per Chiara,
3) la luce che si propaga con velocità −c lungo l’asse x di Francesco deve farlo anche lungo l’asse x’
per Chiara,
4) le distanze trasverse al moto sono invarianti.
57
58
CHAPTER 6. LE TRASFORMAZIONI DI LORENTZ
Cominciamo con imporre la prima condizione nella 6.4.
→
−
Sia V la velocità relativa di O’ rispetto ad O. Le coordinate di O’, gli eventi (t, x=Vt) , devono avere
coordinata x0 sempre nulla. Sostituendo x=Vt nella 6.4 si ottiene
x0 = α1 x + α2 t = α1 V t + α2 t = 0
(6.6)
dalla quale si ottiene la prima relazione tra le costanti della trasformazione cercata
α2 = −α1 V
(6.7)
Imponiamo ora le condizioni 2) e 3).
Si chiede che il fronte d’onda luminoso che si muove con velocità ±c lungo l’asse x, lo faccia anche in
O’ lungo l’asse x’.
Gli eventi (t,+ct) hanno in O’ le coordinate
x0 = α1 (x − V t) = α1 (ct − V t) = α1 (c − V )t
(6.8)
t0 = α3 x + α4 t = α3 ct + α4 t = (α3 c + α4 )t
(6.9)
Dovendo essere x0 = ct0 , perchè si tratta di luce, si ottiene che
x0
α1 (c − V )
=c=
0
t
α3 c + α4
(6.10)
V
)
(6.11)
c
Analogamente, considerando il fronte d’onda che si propaga nella direzione opposta, cioè gli eventi
(t,-ct), si ottiene la relazione
α3 c + α4 = α1 (1 −
−α3 c + α4 = α1 (1 +
V
)
c
(6.12)
Sommando la 6.11 con la 6.12 si ottengono le relazioni
α4 = α1
(6.13)
e
V
(6.14)
c2
Possiamo ora sostituire i valori delle costanti α2 , α3 e α4 trovate, in funzione di α1 , nelle trasformazioni
cercate
α3 = −α1
x0 = α1 (x − V t)
(6.15)
V
t0 = α1 (t − 2 x)
(6.16)
c
Dobbiamo ancora determinare α1 , lo facciamo imponendo la quarta condizione, l’invarianza delle
dimensioni trasverse.
Consideriamo l’evento C del fronte d’onda che si trova sull’asse y’, vedi Fig.6.1. Se t’ è il tempo di
p
questo evento in O’, allora yC = (ct)2 − (V t)2 = yC0 = ct0 .
Succede che l’invarianza delle dimensioni trasverse permette di legare i tempi t e t’ dei due osservatori
attraverso il teorema di Pitagora, ovvero
6.2. DERIVAZIONE DELLE TRASFORMAZIONI DI LORENTZ
59
Figure 6.1: Linvarianza delle dimensioni trasverse permette di collegare lo scorrere del tempo dei due osservatori tramite
il Teorema di Pitagora: (ct)2 − (V t)2 = (ct0 )2 .
(ct)2 − (V t)2 = (ct0 )2
da cui
r
0
t=t
1−
(6.17)
V2
c2
(6.18)
r
V2
t
=
1
−
(6.19)
t0
c2
Applicando la 6.16 all’evento C = (t, V t, yC , 0) e combinando il risultato con la 6.18 si ottiene α1
α1 =
t0 1
1
2 = q
V
t 1 − c2
1−
(6.20)
V2
c2
Le trasformazioni cercate sono quindi le seguenti:
1
x0 = q
1−
t0 = q
(x − V t)
(6.21)
V2
c2
y0 = y
(6.22)
z0 = z
(6.23)
1
1−
(t −
V2
c2
Vx
)
c2
(6.24)
Sono dette le Trasformazioni di Lorentz e sono la versione relativistica delle trasformazioni di Galilei.
Indicando con, vedi Fig.6.2
60
CHAPTER 6. LE TRASFORMAZIONI DI LORENTZ
Figure 6.2: Variazione della funzione gamma al variare di beta.
β=
V
c
e γ=p
1
1 − β2
(6.25)
si scrivono nella forma
x0 = γ(x − βct)
(6.26)
y0 = y
(6.27)
z0 = z
(6.28)
x
t0 = γ(t − β )
(6.29)
c
Le Trasformazioni di Lorentz sono relazioni algebriche tra le coordinate spazio temporali degli stessi
eventi visti da osservatori diversi.
Sono state derivate imponendo la costanza della velocità della luce lungo gli assi coordinati e l’invarianza
delle dimensioni trasverse al moto.
È facile verificare che
x2 + y 2 + z 2 − (ct)2 = x02 + y 02 + z 02 − (ct0 )2
(6.30)
per ogni evento.
Nel caso particolare degli eventi di un fronte d’onda luminoso si ha
x2 + y 2 + z 2 − (ct)2 = x02 + y 02 + z 02 − (ct0 )2 = 0
(6.31)
per tutti gli osservatori.
Le trasformazioni di Lorentz inverse si ottengono scambiando (x,t) con (x’,t’) e cambiando di segno
aV
6.3. SPOSTAMENTI INFINITESIMI
61
1
t= q
1−
1
x= q
1−
6.3
V x0
)
c2
(6.32)
(x0 + V t0 )
(6.33)
(t0 +
V2
c2
V2
c2
Spostamenti infinitesimi
Consideriamo le variazioni infinitesime degli spostamenti, cioè i differenziali delle coordinate. Si può
scrivere
1
dx0 = q
(dx − V dt)
(6.34)
V2
1 − c2
1
dt0 = q
1−
(dt −
V2
c2
V dx
)
c2
dx0 = γ(dx − V dt)
cdt0 = γ(cdt −
essendo β =
V dx
)
c
(6.35)
(6.36)
(6.37)
V
c
dx0 = γ(dx − V dt)
(6.38)
dy 0 = dy
(6.39)
dz 0 = dz
(6.40)
cdt0 = γ(cdt − βdx)
(6.41)
Si verifica facilmente che anche per i differenziali delle coordinate vale la relazione
(cdt)2 − (dx)2 − (dy)2 − (dz)2 = (cdt0 )2 − (dx0 )2 − (dy 0 )2 − (dz 0 )2
6.4
(6.42)
Composizione relativistica delle velocità
−−→
Sia P un oggetto che si muove con velocità v(t) rispetto ad O, come mostrato in Fig. 6.3, qual’è la
velocità di P nel riferimento O’ ?
Consideriamo i differenziali delle Trasformazioni di Lorentz:
1
dx0 = q
1−
(dx − V dt)
(6.43)
V2
c2
dy 0 = dy
(6.44)
dz 0 = dz
1
V dx
dt0 = q
(dt − 2 )
2
c
1 − Vc2
(6.45)
(6.46)
62
CHAPTER 6. LE TRASFORMAZIONI DI LORENTZ
Dividento le prime tre per dt0 , si ottiene la risposta
vx − V
1 − Vcv2x
q
2
vy 1 − Vc2
vx0 =
vy0 =
vz0 =
1 − Vcv2x
q
2
vz 1 − Vc2
1−
V vx
c2
(6.47)
(6.48)
(6.49)
Figure 6.3: Composizione relativistica delle velocità.
−
Consideriamo, per esempio, il caso di un oggetto che si muove con velocità →
v = (−0.9c, 0, 0) rispetto
→
−
ad O, incontro ad un osservatore O’ che, a sua volta, si muove con velocità V = (0.8c, 0, 0), sempre
rispetto ad O, come mostrato in Fig.6.4.
Sebbene la combinazione galileiana delle velocità dica che per O’ l’oggetto si muove con velocità -1.7c,
tuttavia questo non succede nel caso relativistico.
Infatti, combinando le velocità secondo le trasformazioni di Lorentz si ottiene che
vx0 =
vx − V
−0.9c − 0.8c
=
= −0.988c
V vx
1 + 0.90.8
1 − c2
(6.50)
La velocità della luce non può essere superata.
Nella teoria della relatività, la velocità della luce è la massima possibile.
Supponiamo, per assurdo, che un osservatore O’ possa muoversi con velocità maggiore di c e ripetiamo
l’esperimento di far scoccare una scintilla nell’origine quando i due osservatori coincidono.
In questo caso, al passare del tempo, l’osservatore O’ si sposta in avanti lungo l’asse x più di quanto
faccia il fronte luminoso. Se questo succede, l’onda sferica di O non può essere sferica anche per O’,
6.4. COMPOSIZIONE RELATIVISTICA DELLE VELOCITÀ
63
Figure 6.4: Sebbene la velocità relativa di P ed O’ sia, per O, maggiore di c, tuttavia la velocità di P nel riferimento di
O’ risulta minore di c. La velocit relativa di P ed O’ non è la trasmissione di un segnale.
perché per O’ la luce resta tutta indietro, vı̀olando cosı̀ il secondo principio della relatività, la costanza
di c in tutte le direzioni e per tutti gli osseratori.
64
CHAPTER 6. LE TRASFORMAZIONI DI LORENTZ
Chapter 7
Lo spazio tempo di Minkowski
7.1
Quadrivettori
Possiamo scrivere le trasformazioni di Lorentz in forma compatta usando il formalismo del calcolo
matriciale.
Sia P = (ct, x, y, z) un evento nello spazio tempo dell’osservatore O. Per O’, in moto lungo l’asse x,
le coordinate dello stesso evento sono date dal prodotto righe per colonne





ct0
x0
y0
z0


 
 
=
 
γ
−βγ 0 0
−βγ
γ
0 0
0
0
1 0
0
0
0 1





ct
x
y
z



c0 = ΓX
b
⇒X

Dove Γ è la matrice 4x4 rappresentazione della trasformazione di Lorenz.
Gli oggetti a quattro componenti, che nel passaggio da un riferimento all’altro si trasformano secondo le trasformazioni di Lorentz, sono detti quadrivettori. I quadrivettori posizione (ct,x,y,z) sono gli
elementi dello spazio tempo di Minkowski, vedi Fig 7.1.
La trasformazione inversa Γ−1 si ottiene cambiando segno al β perchè, per O’, O si muove con velocità
→
−
−V .


γ
+βγ 0 0
 +βγ
γ
0 0 


Γ−1 = 

 0
0
1 0 
0
0
0 1
Si verifica facilmente che il prodotto ΓΓ−1 = 1 è la matrice identità.
7.2
Tensore della metrica, componenti covarianti e controvarianti
Il formalismo quadridimensionale non introduce nuova informazione fisica ma è uno strumento potente
che ci permette, aldilà dell’apparente complessità, di semplificare i calcoli.
Per fare i conti si usano le seguenti convenzioni:
1) le contrazioni degli indici, cioè la somma sugli indici ripetuti, si può fare solo con un indice in alto
ed uno in basso
65
66
CHAPTER 7. LO SPAZIO TEMPO DI MINKOWSKI
Figure 7.1: Hermann Minkowski
2) le componenti dei quadrivettori (ct, x, y, z), scritte come xµ con l’indice in alto, si chiamano componenti controvarianti
Si definisce Tensore metrico la matrice 4x4 cosı̀ definita



gµν = 

1 0
0
0
0 −1 0
0
0 0 −1 0
0 0
0 −1



 = g µν = gµν

3) da un vettore controvariante si ottiene il corrispondente covariante, scritto con gli indici in basso,
moltiplicandolo per il tensore metrico
xµ = gµν xν = (ct, −x, −y, −z)
7.3
(7.1)
Prodotto scalare e Norma di un quadrivettore
b e Yb due quadrivettori.
Siano X
Si definisce prodotto scalare di due quadrivettori il numero reale
b Yb = gµν xµ y ν
X
(7.2)
dove xµ e y ν sono le componenti controvarianti.
La norma quadrata di un quadrivettore è definita come il prodotto scalare del vettore per sè stesso
b
|X|2 = gµν xµ xν .
7.4. INVARIANZA DEL PRODOTTO SCALARE
67
b = (ct, x, y, z) si ha
Nel caso in cui X
b 2 = gµν xµ xν = (ct)2 − x2 − y 2 − z 2
|X|
(7.3)
Se la norma quadrata di un quadrivettore è > 0 il quadrivettore si dice di tipo temporale, perchè
predomina la componente temporale, se è = 0 si dice di tipo luce, perchè cosı̀ fanno gli eventi di un
fronte luminoso, se è < 0 si dice di tipo spaziale.
7.4
Invarianza del prodotto scalare
Il prodotto scalare di due quadrivettori è un invariante per trasformazioni di Lorentz.
Dimostrazione:
b e Yb due quadrivettori e Γ la trasformazione di Lorentz tale che
Siano X
c0 = ΓX
b → x0µ = Γµ xm
X
m
(7.4)
c0 = ΓYb → y 0ν = Γν y l
Y
l
(7.5)
c0 Y
c0 :
Sviluppiamo il prodotto scalare X
c0 Y
c0 = gµν x0µ y 0ν = gµν Γµm xm Γνl y l = gml xm y l = X
b Yb
X
(7.6)
Infatti, si dimostra facilmente che
gml = gµν Γνm Γνl
(7.7)
come lo studente può calcolare esplicitamente. Ne segue che anche la norma di un quadrivettore è
un invariante.
Si definisce distanza d tra due eventi, la norma del quadrivettore differenza
p
d = | c2 (∆t)2 − (∆x)2 − (∆y)2 − (∆z)2 |
(7.8)
Le Trasformazioni di Lorentz lasciano invariate le distanze che, a loro volta, sono definite dalla forma
del tensore metrico. Per questo si chiama tensore metrico. Dato che il Principio di Relatività insieme
alla forma delle Trasformazioni di Lorentz determinano la forma delle leggi fisiche, ne segue che molta
della fisica è contenuta negli elementi del tensore metrico, cioè le leggi della fisica sono fortemente legate
alla struttura metrica dello spaziotempo in cui viviamo, che non è euclideo.
Alcune riflessioni filosofiche.
Sembra che lo spazio ed il tempo non possano esistere separatamente. In effetti, lo spazio senza il
tempo non avrebbe senso. Senza il tempo non esiste il movimento, non può essere definita una velocità,
tutto resta immobile. Lo spazio senza tempo sarebbe un insieme di posizioni non comunicanti, inutile.
Lo stesso dicasi per il tempo. Che senso avrebbe il tempo se non esistessero posti diversi dove andare,
fenomeni che si evolvono nello spazio. Lo spazio ed il tempo costituiscono una entità unica, nella quale
siamo immersi, ne facciamo parte. Certamente il tempo è diverso dallo spazio, ma non ne è disgiunto,
lo spazio ed il tempo sono fortemente legati.
La struttura metrica di questa essenza primordiale determina le leggi della fisica.
68
CHAPTER 7. LO SPAZIO TEMPO DI MINKOWSKI
Sebbene le Trasformazioni di Lorentz ci dicano che ogni osservatore ha il proprio spazio tempo, che
non esistono il tempo e lo spazio assoluti uguali per tutti, tuttavia lo spazio ed il tempo di ciascun
osservatore sono tali da mantenere uguale per tutti la distanza NON EUCLIDEA tra gli eventi.
7.5
Il tempo proprio di una particella in moto
−
−
Sia →
v (t) la velocità di una particella al tempo t nel riferimento O. La velocità istantanea →
v (t) si può
considerare costante nell’intervallo di tempo compreso tra t e t + dt, dove dt è un intervallo di tempo
infinitesimo.
Consideriamo il sistema di riferimento O’ comovente con la particella, nel quale, per definizione, la
particella è ferma nell’origine. Abbiamo visto che le Trasformazioni di Lorentz mantengono invariate le
distanze tra gli eventi quindi, se lasciamo passare un tempo dt, deve succedere che
c2 dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 = c2 dt02 − dx02 − dy 02 − dz 02
(7.9)
dove dx0 ,dy 0 e dz 0 sono nulli perchè O’ è comovente. In questo caso, possiamo scrivere
c2 dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 = c2 dt02 = c2 dτ 2
(7.10)
dove dτ è detto l’intervallo di tempo proprio.
7.6
Dilatazione del tempo
L’intervallo di tempo proprio dτ è il tempo che passa per la particella nel suo riferimento, quello che
regola la sua dinamica interna. A questo intervallo di tempo corrisponde il tempo dt dell’osservatore.
Dalla relazione
c2 dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 = c2 dτ 2
(7.11)
(dx2 + dy 2 + dz 2 ) 2
c dt −
dt = c2 dτ 2
2
dt
(7.12)
(dx2 + dy 2 + dz 2 )
−
= |→
v (t)|2 = v(t)2
dt2
(7.13)
si ottiene
2
2
dt2 (1 −
v(t)2
) = dτ 2
c2
(7.14)
r
v(t)2
= dτ
c2
1
γ=q
2
1 − v(t)
c2
dt 1 −
dτ =
dt
γ
(7.15)
(7.16)
(7.17)
7.7. EFFETTO DOPPLER RELATIVISTICO
69
L’intervallo di tempo proprio della particella, che corrispondente all’intervallo di tempo t2 − t1
dell’osservatore, è dato dall’integrale
Z t2 r
v(t)2
∆τ =
1 − 2 dt
(7.18)
c
t1
q
2
Essendo 1 − v(t)
< 1, l’intervallo di tempo proprio è sempre minore dell’intervallo di tempo passato
c2
per l’osservatore che la vede in moto, situazione conosciuta come il paradosso dei gemelli.
Sottolineo ancora una volta che l’intervallo di tempo proprio è un invariante relativistico, lo stesso
per tutti gli osservatori.
Il tempo proprio misura il tempo che passa per la particella nel suo riferimento.
L’orologio che abbiamo al polso segna il nostro tempo proprio.
Quando andrò in pensione all’età di 95 anni, il mio intervallo di tempo proprio, da quando sono nato
a quando sono andato in pensione, sarà di 95 anni.
Tutti gli osservatori che vedono la terra in movimento, con sopra il Calvetti, e che sono anche in moto
relativo tra di loro, potranno calcolare il mio tempo proprio usando la mia velocità nel loro riferimento
ed usando i loro orologi. Alla fine otterranno tutti lo stesso risultato, saranno d’accordo che ho vissuto
95 anni, prima di andare in pensione, alla barba delle dilatazioni temporali.
7.7
Effetto Doppler relativistico
Consideriamo una sorgente S che emette un segnale luminoso di frequenza f0 .
Calcoliamo l’effetto Doppler relativistico per l’osservatore che vede la sorgente in avvicinamento.
→
−
Sia V = (V, 0, 0) la velocità della sorgente, b il parametro d’urto ed f la frequenza percepita
dall’osservatore O, vedi Fig.7.2.
Nel caso relativistico l’effetto Doppler, cioè la variazione di frequenza percepita dall’osservatore, è
dovuto a due effetti. Il primo geometrico, dovuto alla combinazione del moto della sorgente e della
velocità di propagazione del segnale, esattamente uguale a quello classico,
f=
f0
1 − cos θ
V
c
(7.19)
Il secondo, prettamente relativistico, dovuto al diverso scorrere del tempo dei due orologi, quello della
sorgente e quello dell’osservatore. Dobbiamo modificare la formula 7.19 per includere questo secondo
effetto.
Se T0 è il periodo di tempo proprio dell’onda sonora emessa nel riferimento della sorgente, questo
corrisponde all’intervallo di tempo T0 γ passato per l’osservatore. Dobbiamo perciò sostituire al termine
p
f0 = T10 della 7.19, il termine T10 γ = 1 − β 2 f0
p
f0 1 − β 2
1
f= =
T
(1 − Vc cos θ)
Quando la sorgente è lontana ed in avvicinamento, per θ = 0, si ha
s
1+β
f = f0
1−β
(7.20)
(7.21)
70
CHAPTER 7. LO SPAZIO TEMPO DI MINKOWSKI
Figure 7.2: Effetto Doppler relativistico. La frequenza percepita dall’osservatore è determinata dalla geometria del moto
e dalla dilatazione temporale.
Quando la sorgente è lontana ed in allontanamento θ = π
s
1−β
f = f0
1+β
Per θ =
π
2
(7.22)
si ha l’effetto Doppler trasverso
f = f0
p
1 − β2
(7.23)
L’effetto Doppler trasverso NON NULLO è puramente relativistico, ed osservato sperimentalmente.
7.8
Contrazione delle lunghezze
Abbiamo visto che la lunghezza di un metro dipende dal suo stato di moto. Vediamo cosa ci dicono le
trasformazioni di Lorentz su questo argomento.
Consideriamo un’asta parallela all’asse x di lughezza a riposo l0 . Ci domandiamo quale sia la
lunghezza dell’asta se questa si muove con velocità V lungo l’asse x.
Sia O’ un osservatore comovente con l’asta. Nel suo riferimento l’asta è ferma e gli estremi A e B
hanno coordinate
A = (0, 0)
(7.24)
B = (0, l0 )
(7.25)
(7.26)
7.8. CONTRAZIONE DELLE LUNGHEZZE
71
Figure 7.3: Un asta in movimento è più corta di quando sta ferma.
La lunghezza di un asta in movimento è data dalla differenza delle posizioni occupate dagli estremi
nello stesso istante. Per calcolare la posizione degli estremi dell’asta, come registrate dall’osservatore
O che la vede passare con velocità +V, si usano le trasformazioni di Lorentz inverse, vedi Fig.7.3.
Consideriamo l’istante in cui i due riferimenti coincidono
1
t= q
1−
1
x= q
1−
V x0
)
c2
(7.27)
(x0 + V t0 )
(7.28)
(t0 +
V2
c2
V2
c2
per l’osservatore O, le coordinate dei due estremi al tempo t = t0 = 0 sono date dalle TL
A = (0, 0)
V
B = ( 2 γl0 , γl0 )
c
(7.29)
(7.30)
(7.31)
Come si può notare i due eventi A e B non sono simultanei per O. L’evento A avviene al tempo t=0
mentre l’evento B al tempo ritardato t = cV2 γl0 .
Per conoscere la lunghezza dell’asta dobbiamo calcolare dove si trovava B al tempo t=0.
Sapendo che l’asta si muove con velocità +V e B si trova nella posizione x = γl0 al tempo t = cV2 l0 ,
possiamo calcolare dove si trovava al tempo t=0. Possiamo scrivere
(0, xB ) = (0, γl0 − V
V
V2
l0
γl
)
=
(0,
γl
(1
−
))
=
(0,
)
0
0
c2
c2
γ
(7.32)
72
CHAPTER 7. LO SPAZIO TEMPO DI MINKOWSKI
Abbiamo trovato due punti simultanei sulle linee di esistenza di A e B nel riferimento di O. La
distanza spaziale tra le posizioni di A e B è la lunghezza dell’asta in movimento.
B − A = (0,
l = l0
l0
)
γ
p
1 − β2
(7.33)
(7.34)
Le aste in movimento sono più corte di quando sono ferme, si noti bene SONO, non sembrano, più corte.
Questo fatto è noto come la contrazione delle lunghezze.
Gli oggetti in movimento sono contratti nella direzione del moto mentre il loro orologio scorre più
lentamente.
Un altro metodo, per calcolare la contrazione delle lunghezze, è quello di partire con un’asta in moto
di lunghezza l rispetto ad O e di chiedersi quale sia la lunghezza dell’asta nel suo riferimento proprio,
quello in cui è in quiete. Consideriamo l’istante t=0 in cui l’estremo A si trova nell’origine, A=(0,0),
mentre B si trova in B=(0,l).
Dobbiamo usare le Trasformazioni di Lorentz dirette
t0 = q
1
1−
1
x0 = q
1−
Vx
)
c2
(7.35)
(x − V t)
(7.36)
(t −
V2
c2
V2
c2
per calcolare le coordinate degli eventi A e B in O’. Si ottiene che
A0 = (0, 0)
B 0 = (−γ
Vl
, lγ)
c2
(7.37)
(7.38)
Come si vede, gli eventi A’ e B’ non sono simultanei in O’. Questa volta, però la cosa non ha importanza
per la misura della lunghezza dell’asta, perché l’asta è ferma e quindi la posizione degli estremi si può
misurare anche a tempi diversi. La lunghezza in O’ è l0 = lγ, in accordo con quanto ricavato prima.
7.9
Linee d’universo e cono luce
Sappiamo che la velocità della luce è la massima possibile.
Questo rende impossibile l’azione a distanza. Tutti i segnali che portano informazione, compresi
quelli che trasmettono le forze, devono propagarsi a velocità finita.
La legge di gravitazione newtoniana, per esempio, non può essere corretta, come del resto Newton
stesso sapeva.
Il fatto che la velocità dei segnali sia limitata condiziona le possibili relazioni di causa effetto tra gli
eventi.
Le trasformazioni di Lorentz ci dicono che la relazione temporale tra gli eventi dipende dallo stato di
moto degli osservatori. La simultaneità non è assoluta e la relazione temporale prima-dopo può essere
invertita.
7.10. FORMA GRAFICA DELLE TRASFORMAZIONI DI LORENTZ
73
Supponiamo che l’evento B accada dopo l’evento A, perchè è causato da A. Per esempio, l’evento B,
la nascita di Francesco, è posteriore all’evento A, la nascita di suo padre. È possibile trovare un sistema
di riferimento per il quale B accade prima di A? La risposta è no, la relatività mantiene la relazione di
causa effetto tra gli eventi. Vediamo come si fa a dimostrarlo.
Si rappresenti lo spazio tempo come mostrato in Fig. 7.4.
Figure 7.4: Passato e futuro nel cono luce dell’evento A.
Sull’asse verticale poniamo la coordinata temporale ct e sul piano x-y le coordinate x-y degli eventi
(non si riesce a rappresentare in tre dimensioni uno spazio a quattro).
Dividiamo lo spazio tempo in tre parti:
1) gli eventi futuro di A. Sono quelli che possono essere raggiunti da un segnale luminoso emesso in
A prima che accadano; questi eventi possono essere stati causati dell’evento A.
2) gli eventi passato di A. Sono quelli che possono aver inviato un segnale luminoso che raggiunge la
posizione di A prima che A accada; questi eventi possono aver causato l’evento A.
3) gli eventi che non hanno potuto nè potranno essere in relazione di causa effetto con A; questi
eventi sono fuori del cono luce di A.
Se un evento B è causato da A, allora B è necessariamente nel cono luce futuro di A.
7.10
Forma grafica delle trasformazioni di Lorentz
Consideriamo di nuovo lo spazio tempo (ct,x), e ricordiamo le trasformazioni di Lorentz
x0 = γ(x − βct)
(7.39)
ct0 = γ(ct − βx)
(7.40)
74
CHAPTER 7. LO SPAZIO TEMPO DI MINKOWSKI
Dalla 7.39 vediamo che per x = βct x0 = 0. Questo implica che gli eventi della retta ct = βx stanno
sull’asse dei tempi ct0 di O’, vedi Fig.7.5.
Analogamente vediamo dalla 7.40 che i punti della retta ct = βx hanno ct0 è sempre nullo. Questi
eventi stanno sull’asse delle posizioni x0 di O’.
Figure 7.5: Quando la distanza tra gli eventi B ed A è di tipo temporale, la relazione di causa effetto è conservata.
Al variare della velocità relativa dei due osservatori, cambia la pendenza delle rette ct’ e x’, che si
avvicinano alla bisettrice del primo quadrante all’aumentare di β.
Consideriamo i due eventi B e C simultanei per O. Se si proiettano parallelamente all’asse x0 gli eventi
B e C sull’asse dei tempi ct0 , si osserva che l’evento C avviene prima dell’evento B. Eventi simultanei
per O non lo sono per O’.
Supponiamo ora che B sia causato da A e che A avvenga al tempo t = t0 = 0.
In questo caso B deve trovarsi necessariamente nel cono luce futuro di A, con tB > 0, come mostrato
in figura 7.5.
Sebbene cambiando la velocità del sistema di riferimento O’ cambi la pendenza delle rette x0 e ct0 ,
tuttavia l’angolo α non potrà mai diventare maggiore di π4 . L’evento B sarà sempre successivo all’evento
A, per qualunque osservatore, per cui la relazione di causa effetto è conservata.
Consideriamo ora l’evento D, fuori del cono luce di A, che avviene dopo l’evento A per l’osservatore
O. Per tutti gli osservatori con β > ctxDD , si osserva che l’evento D avviene prima di A, vedi Fig. 7.6.
Cioè, se due eventi sono fuori del cono luce l’uno dell’altro, la relazione temporale prima-dopo tra
di loro può essere invertita cambiando sistema di riferimento. La cosa non ha importanza perchè i due
eventi non possono essere in relazione di causa effetto. Appartengono ad universi diversi, non entreranno
mai in comunicazione.
7.10. FORMA GRAFICA DELLE TRASFORMAZIONI DI LORENTZ
75
Figure 7.6: Se la distanza tra gli eventi A e D è di tipo spaziale, l’evento D è fuori del cono luce di A. In questo caso la
relazione temporale prima-dopo tra gli eventi A e D può essere invertita cambiando sistema di riferimento.
76
CHAPTER 7. LO SPAZIO TEMPO DI MINKOWSKI
Chapter 8
Dinamica relativistica
Il principio di relatività per tutti i fenomeni fisici e la forma delle Trasformazioni di Lorentz, costringono
le leggi della meccanica ad avere una forma diversa da quella newtoniana, vediamo come.
Prima di procedere alla costruzione di una meccanica relativistica è istruttivo ricordare come la
meccanica newtoniana sia stata costruita coerentemente al Principio di Relatività ed alle Trasformazioni
di Galilei.
−
Nella meccanica newtoniana, la posizione →
x (t) di un oggetto è una grandezza vettoriale, nel senso
−
che rappresenta lo spostamento dell’oggetto dall’origine al punto →
x (t). Lo spostamento non dipende
−
dal sistema di riferimento usato. Ruotando gli assi cartesiani, il vettore →
x (t) viene rappresentato da
una diversa terna di numeri ma questa nuova terna descrive lo stesso spostamento.
Se si va da Firenza a Prato, per esempio, le infinite terne di numeri che possono descrivere questo
spostamento, che dipendono dall’orientamento del sistema di riferimento, sono diverse, ma sempre da
Firenze a Prato siamo andati.
−
Inoltre, se il nuovo sistema di riferimento è ruotato, poi traslato di una quantità →
x0 e quindi messo in
→
−
moto uniforme con velovità V , allora le componenti dello stesso spostamento cambieranno in modo più
complicato. In questo caso la relazione tra le terne di coordinate è data dalle trasformazioni generali di
Galilei
→
−0
→
−
−
−
x (t) = R→
x − V t−→
x
(8.1)
0
→
−
−
dove R è elemento del gruppo delle rotazioni, V la velocità relativa e →
x0 la distanza tra i due osservatori
al tempo t=t’=0.
Il gruppo delle trasformazioni suddetto è detto Gruppo di Galilei.
Consideriamo la seconda legge della dinamica newtoniana
−
→
−
d→
p
F =
dt
(8.2)
→
−
Questa relazione, valida per Francesco nel suo riferimento, dice che la forza F che agisce su un corpo
di massa m per un tempo dt, provoca una variazione del suo impulso, o momento lineare, pari a
→
−
−
d→
p = F dt
(8.3)
Questo fatto deve essere vero anche per Chiara, che si muove di moto uniforme rispetto a Francesco.
→
−
−
Per lei la forza F 0 agisce sullo stesso oggetto e ne provoca la variazione dell’impulso d→
p 0.
77
78
CHAPTER 8. DINAMICA RELATIVISTICA
Il principio di relatività dice che anche per Chiara deve valere la relazione
−
→
−
d→
p 0 = F 0 dt0
(8.4)
−
→
−
Le terne di numeri che descrivono i vettori d→
p 0 e a F 0 sono diverse da quelle di Francesco ma sono
legate a queste dalle trasformazioni di Galilei.
Se si scrivono le equazioni della fisica come uguaglianze tra grandezze vettoriali, del tipo
vettore = vettore.
(8.5)
allora queste sono le stese per tutti i riferimenti inerziali.
Cambiando riferimento, cambiano le componenti dei vettori sia a sinistra che a destra dell’equazione
ma RESTA VALIDO il segno di uguaglianza.
Dimostrazione: Sia
−
→
−
d→
p
F =
(8.6)
dt
un’equazione valida in un sistema di riferimento.
Applichiamo l’operatore G, elemento del gruppo di Galilei, all’equazione 8.6
−
−
→
−
d→
p
dG→
p
GF = G
=
dt
dt
−
→
− 0 d→
p0
F =
dt
e la fisica è la stessa, come volevamo dimostrare.
Vi ricordo che:
→
−0
→
−
−
−
−
x (t) = G(→
x)=R·→
x (t) − V t − →
x0
e
8.1
→
−0
→
−
−
−
p (t) = G(→
p)=R·→
p (t) − m V
(8.7)
(8.8)
(8.9)
(8.10)
Cinematica nello spazio tempo
−
Sia →
x (t) = (x(t), y(t), z(t)) la posizione di una particella puntiforme di massa m in moto arbitrario
rispetto all’osservatore O.
−
b
Il moto della particella è descritto dal quadrivettore X(t)
= (ct, x(t), y(t), z(t)) = (ct, →
x (t)). La
traiettoria in quattro dimensioni è detta linea di esistenza, o linea d’universo della particella.
Per costruire una cinematica relativistica dobbiamo lavorare nello spaziotempo.
Analogamente a quanto fece Newton, la prima cosa da fare è definire la velocità, quindi l’impulso e poi
la forza che provoca la variazione dell’impulso. La relazione che lega la forza alla variazione d’impulso
è la dinamica, quella che vogliamo ricavare.
Ricordiamo la definizione newtoniana della velocità
−
d→
x (t)
→
−
v (t) =
(8.11)
dt
Nella meccanica classica, come abbiamo detto tante volte, gli intervalli di tempo dt sono uguali per
−
tutti gli osservatori inerziali, il tempo è uno scalare. Quindi, dividendo il vettore d→
x (t) per lo scalare
8.2. VELOCITÀ ED IMPULSO NELLO SPAZIOTEMPO
79
dt, si ottiene ancora un vettore. L’operatore di derivata ripetto ad uno scalare mantiene la caratteristica
di ”vettorialità” del numeratore. Se la grandezza da derivare è una funzione scalare, la derivata resta
una funzione scalare, se è vettoriale, resta vettoriale, se è tensoriale resta tensoriale.
Per costruire una meccanica relativistica dobbiamo usare grandezze quadrivettoriali adatte a descrivere il moto e le sue cause e legarle nella forma
quadrivettore = quadrivettore
(8.12)
per garantire l’invarianza.
8.2
Velocità ed impulso nello spaziotempo
Per costruire la cinematica relativistica, usiamo il tempo proprio dell’oggetto, del quale vogliamo descrivere il moto, come unità di misura del tempo. Sappiamo che il tempo proprio è un invariante relativistico.
Definiamo la quadrivelocità Vb (t) come lo spostamento avvenuto nello spazio tempo nell’unità di tempo
proprio
b
b
dX(t)
dX(t)
d
−
−
Vb (t) =
=γ
= γ (ct, →
x (t)) = γ(c, →
v (t))
(8.13)
dτ
dt
dt
b
La quadrivelocità Vb (t) è un quadrivettore perchè è il rapporto tra il quadrivettore spostamento dX(t)
e lo scalare dτ .
Si noti che la norma quadrata della quadrivelocità |Vb |2 = γ 2 c2 − γ 2 v 2 = c2 è una costante.
In relatività il modulo della velocità è una costante del moto. Le componenti spaziali e temporali
cambiano lasciando la norma costante, qualunque sia la forza che agisce sulla particella.
Supponiamo che la particella abbia una massa m. Come in meccanica classica, si definisce il quadrimpulso della particella il quadrivettore
−
Pb = mVb = (mγc, mγ →
v (t))
(8.14)
la cui norma quadrata è |Pb|2 = m2 c2 .
Anche il modulo del quadrimpulso è una costante del moto.
Le forze che agiscono su una particella ne cambino lo stato di moto, ma il modulo di Vb e di Pb, col
tensore metrico precedentemente definito ed a massa costante, rimangono costanti.
8.3
La quadriforza e l’equazione della dinamica
Sebbene la dinamica relativistica si differenzi molto da quella classica quando si descrivono oggetti
che si muovono con velocità paragonabili a quella della luce, tuttavia essa deve coincidere con quella
newtoniana quando β << 1 perché, in questo caso, la meccanica newtoniana funziona bene. Questa
condizione è nota come il Principio di Corrispondenza.
Seguiamo lo stesso filo logico della meccanica newtoniana: ipotizziamo che la variazione per unità di
tempo proprio del quadrimpulso di una particella di massa m sia uguale alla quadriforza che agisce su
di essa. Scriviamo che
−
dPb
d(γc) d(mγ →
v)
dPb
=γ
= γ(
,
)
Fb =
dτ
dt
dt
dt
(8.15)
80
CHAPTER 8. DINAMICA RELATIVISTICA
dove Pb è il quadrimpulso ed Fb la quadriforza, che non sappiamo ancora come scrivere.
Nel definire le componenti della quadriforza Fb si determina la forma della dinamica, cioè l’effetto
della forza.
Il fatto di seguire la linea tracciata da Newton è il modo migliore per includere nella teoria la validità
del Principio di Corrispondenza.
→
−
Cominciamo col determinare le tre componenti spaziali F della quadriforza Fb sapendo che deve
essere
−
→
−
d(γc) d(mγ →
v)
Fb = (F0 , F ) = γ(
,
)
(8.16)
dt
dt
→
−
Le componenti spaziali della quadriforza, cioè F , devono essere tali da riprodurre la seconda legge
di Newton nel limite γ ∼ 1.
−
−
Abbiamo definito l’impulso relativistico di una particella di massa m come →
p = mγ →
v.
→
−
→
−
→
−
Se si definire la componente spaziale della quadriforza come F = γ F , dove F è la forza, quella dei
campi di forza tradizionali, che agisce sulla particella, si ottiene dalla 8.16 che
−
→
−
d(mγ →
v)
γF = γ
dt
(8.17)
e quindi
−
→
−
d(mγ →
v)
(8.18)
F =
dt
che diventa quella newtoniana quando γ ∼ 1, garantendo cosı̀ la validità del principio di corrispondenza.
Resta da determinare la componente temporale della quadriforza. Vedremo che le tre componenti
spaziali della quadriforza determinano la componente temporale.
Questa è una importante conseguenza delle proprietà di trasformazione del quadrimpulso e del principio di corrispondenza.
Sapendo che la norma quadrata del quadrimpulso |Pb|2 = PbPb = m2 c2 è una costante del moto,
possiamo scrivere che la sua derivata rispetto al tempo deve essere nulla
d(|Pb|2 )
dPb
= 2Pb
= 2PbFb = 0 =⇒ PbFb = 0
dτ
dτ
−
Dato che Fb = (F0 , γF ) e Pb = (γc, mγ →
v ) si ottiene
→
−−
PbFb = mγcF0 − mγ 2 F →
v =0
da cui
F0 =
−→
γ→
F−
v
c
(8.19)
(8.20)
(8.21)
e, finalmente
−
−− →
−
d(mγc) d(mγ →
γ→
v)
v , γ F ) = γ(
( F→
,
)
c
dt
dt
che è l’equazione della dinamica relativistica.
(8.22)
8.4. ENERGIA DI UNA PARTICELLA
8.4
81
Energia di una particella
Consideriamo la componente temporale della 8.22
−→
γ→
d(mγc)
F−
v =γ
c
dt
2
→
−→
d(mγc
)
F−
v =
dt
(8.23)
(8.24)
→
−−
Dato che F →
v è la potenza della forza che agisce sulla particella, l’energia data alla particella nell’unità
di tempo, possiamo definire l’energia totale come
E = mγc2
(8.25)
che è la famosa equazione di Einstein.
La relazione E = mγc2 stabilisce l’equivalenza tra massa ed energia.
Secondo questa relazione, un oggetto di massa m possiede l’energia E = mc2 anche quando è fermo.
Per esempio, 1gr di massa equivale a ∼ 1014 joule, un’energia enorme.
In questa dinamica, però, l’energia totale è definita a meno di una costante, perché l’equazione 8.24
è una condizione sulla variazione di E non sul suo valore.
Si potrebbe ridefinire E come E = mγc2 − mc2 ed avere, in questo modo, energia a riposo nulla come
nella meccanica newtoniana. Ebbene, questo non si può fare.
Se si aggiunge una costante diversa da zero all’energia relativistica, non viene riprodotta la legge di
composizione delle velocità galileiana nel limite non relativistico, si vı̀ola il Principio di Corrispondenza.
Dimostrazione: supponiamo che una particella di massa m si muova lungo l’asse x con velocità v, e
che l’osservatore O’ si muova, sempre lungo l’asse x, con velocità V . Il quadrimpulso della particella è
dato da
E
E
−
−
v ) = ( , mγvx , 0, 0)
(8.26)
Pb = (mγc, mγ →
v ) = ( , mγ →
c
c
Usiamo le trasformazioni di Lorentz per calcolare il quadrimpulso della stessa particella nel riferimento
O’,
 E 
 
E
Γ
−BΓ 0 0
c
c
  mγv 
 mγ 0 v 0   −BΓ
Γ
0
0



x 
x 



=
 mγ 0 vy0   0
0
1 0  0 
mγ 0 vz0
0
0
0 1
0
e consideriamo la seconda componente di questa equazione, quella che dice come si trasforma la
componente x dell’impulso
E
mγ 0 vx0 = −BΓ + Γmγvx
(8.27)
c
Se si somma una costante Λ all’energia totale E, la 8.27 diventa
mγ 0 vx0
V
1
=− q
c 1−
che nel limite non relativistico, per
V
c
V2
c2
<< 1,
(mγc2 + Λ)
1
+q
c
1−
v
c
V2
c2
mγvx
(8.28)
<< 1, γ ∼ γ 0 ∼ Γ ∼ 1, al primo ordine in V/c
mvx0 = −mV − V
Λ
+ mvx
c2
(8.29)
82
CHAPTER 8. DINAMICA RELATIVISTICA
Λ
(8.30)
mc2
Dalla 8.30, se Λ 6= 0 la composizione galileiana delle velocità, vx0 = vx − V non viene riprodotta,
violando cosı̀ il principio di relatività.
Λ deve essere nulla, ed un oggetto a riposo possiede l’energia E = mc2 .
vx0 = vx − V − V
8.5
L’equazione di Newton in forma relativistica
Vogliamo scrivere l’equazione della dinamica relativistica
−
→
−
d(mγ →
v)
F =
(8.31)
dt
in una forma simile a quella di Newton, mettendo in evidenza la relazione tra forza, accelerazione e
velocità. Sappiamo che
mγ =
E
c2
(8.32)
per cui
−
−
d( cE2 →
v)
→
−
1 dE →
d→
v
−
F =
= 2
v + mγ
(8.33)
dt
c dt
dt
→
−−
−
1 →
(F →
v )→
→
−
−
m a = (F −
v)
(8.34)
2
γ
c
Come si vede nella 8.34, in meccanica relativistica l’accelerazione e la forza non hanno la stessa
direzione.
Da notare, il fatto che la componente dell’accelerazione opposta alla velocità sia proporzionale alla
potenza della forza, evita che la particella superi la velocità della luce. Lo vedremo meglio con gli
esercizi.
8.6
Revisione del concetto di massa
Abbiamo visto che l’accelerazione provocata dall’azione della forza dipende dall’orientamento relativo
tra la forza applicata e la velocità.
→
− −
−
−
Se una particella con carica elettrica q si muove in un campo magnetico B (→
x ) con velocità →
v (→
x ),
su di essa agisce la forza di Lorentz
→
−
→
− −
−
−
F = q→
v (→
x ) ∧ B (→
x)
In questo caso, la forza è sempre perpendicolare alla velocità istantanea e la 8.34 diventa
→
−
−
mγ →
a =F
(8.35)
(8.36)
Quando la forza è parallela alla velocità, invece, come nel caso di una particella con carica elettrica
→
−
q lasciata libera sotto l’azione di un campo elettrico costante E , la 8.34 diventa
→
−
→
−
−
mγ 3 →
a = F = qE
(8.37)
8.7. RELAZIONI RELATIVISTICHE NOTEVOLI
83
Nei due casi la relazione tra la forza e l’accelerazione è diversa.
Il concetto di massa intesa come il rapporto tra la forza applicata e l’accelerazione prodotta deve
essere abbandonato.
In relatività, la massa di una particella è solo la sua energia a riposo. Il modo in cui una particella
si comporta quando è sottoposta all’azione di una forza esterna dipende dall’orientamento ed intensità
della forza e della velocità, oltre che dal valore della sua massa.
8.7
Relazioni relativistiche notevoli
Le seguenti relazioni tra impulso, energia e massa di una particella devono essere ricordate:
β=
γ=p
v
c
1
(8.39)
1 − β2
→
−
−
p = mγ →
v
(8.40)
E = mγc2
(8.41)
−
Vb = (γc, γ →
v)
(8.42)
E −
p)
Pb = ( , →
c
(8.43)
E
−
Pb2 = m2 c2 = ( )2 − →
p2⇒E =
c
8.8
(8.38)
p
p2 c2 + m2 c4
(8.44)
→
−
→
−
pc= βE
(8.45)
→
−−
−
1 →
(F →
v )→
→
−
−
m a = (F −
v)
2
γ
c
(8.46)
Energia ed impulso per particelle di massa a riposo nulla, i fotoni
Per particelle di massa a riposo nulla, come i fotoni, o molto piccola, come i neutrini, la relazione tra
p
impulso ed energia si ricava dalla E = p2 c2 + m2 c4 con m = 0.
In questo caso, E = pc mentre il quadrimpulso è dato dal vettore
−
E E→
Pb = ( , k )
c c
(8.47)
→
−
dove k è il versore dell’impulso spaziale.
Pur avendo massa a riposo nulla, queste particelle hanno impulso meccanico perchè trasportano
energia.
84
8.9
CHAPTER 8. DINAMICA RELATIVISTICA
Conservazione del quadrimpulso per sistemi isolati
L’equazione cardinale della meccanica relativistica
b
dP
(8.48)
Fb =
dτ
dice che se una particella di massa m non è soggetta a forze esterne, il suo quadrimpulso si conserva.
L’energia totale ed il momento lineare sono costanti del moto.
Le particelle elementari come il protone, per esempio, soddisfano questa condizione. La costruzione
dei grandi acceleratori di particelle è basata sulla validità della dinamica relativistica, se usassimo la
meccanica classica per progettarli non funzionerebbero.
Tuttavia, dobbiamo considerare il fatto che il protone non è poi tanto elementare, anzi ha una
struttura interna molto complicata e non del tutto capita. Ci sono i quark, le forze nucleari ecc.
Nonostante questa complessità il quadrimpulso di un protone non soggetto a forze esterne si conserva.
Non ci sarebbe nulla di strano finora, perchè è quello che ci dice anche la meccanica classica. Per
sistemi di particelle interagenti non soggetti a forze esterne, il centro di massa si muove di moto uniforme.
Nella meccanica newtoniana questo è dovuto alla validità del principio di azione e reazione, per il
quale le forze interne si cancellano istante per istante. Questo non è vero in relatività.
In relatività, infatti, il principio di azione e reazione NON è applicabile istante per istante, perchè
non esiste l’azione a distanza istantanea. Nonostante questo il quadrimpulso di un protone libero si
conserva lo stesso.
La conservazione dell’energia totale e dell’impulso, anche per sistemi di particelle interagenti, è un
principio della natura.
La velocità finita della propagazione dei segnali complica la descrizione delle interazioni ma il tutto
deve avvenire in modo che, alla fine, il quadrimpulso totale venga conservato.
Sebbene nel mondo subnucleare le particelle possono essere distrutte e create, per cui le particelle
prima e dopo l’interazione sono diverse, tuttavia l’energia e l’impulso totale si devono conservare.
Il quadrimpulso totale prima dell’interazione è uguale al quadrimpulso totale dopo l’interazione.
Chapter 9
Esercizi
9.1
Combinazione relativistica delle velocità
ESERCIZIO
−
Sia →
v = (vx , vy , vz ) la velocità di una particella per l’osservatore O. Qual’è la velocità della stessa par→
−
ticella vista da un osservatore O’ che si muove rispetto ad O con velocità V = (V, 0, 0)? Si risolva il
problema usando le proprietà di trasformazione della quadrivelocità.
Soluzione:
Usiamo le TL in forma matriciale per trasformare il quadrivettore velocità da un riferimento all’altro



γ 

0
c
vx0
vy0
vz0


 
 
=
 
Γ
−BΓ 0 0
−BΓ
Γ
0 0
0
0
1 0
0
0
0 1
 
 
 
γ 
 
c
vx
vy
vz





q
2
dove Γ = 1 − Vc2 e B = Vc il beta di O’.
Per la prima componente si ha
γ 0 c = γΓc − γBΓvx = γΓc(1 −
V vx
)
c2
(9.1)
γ
1
Γ=
0
γ
1 − Vcv2x
(9.2)
γ 0 vx0 = −γBΓc + γΓvx = γΓ(vx − V )
(9.3)
Per la seconda componente
vx0 =
sostituendo
γ
Γ
γ0
γ
Γ(vx − V )
γ0
(9.4)
vx − V
1 − Vcv2x
(9.5)
dalla 9.2 si ottiene
vx0 =
uguale a quella ottenuta precedentemente differenziando le trasformazioni di Lorentz, cvd (come volevamo dimostrare).
85
86
CHAPTER 9. ESERCIZI
9.2
L’aberrazione stellare
Consideriamo una stella posta sullo zenith dell’eclittica, l’eclittica è il piano dell’orbita terrestre. Supponiamo di puntare il telescopio in modo da averla nel centro del mirino. Di quanto deve essere variata
l’inclinazione del telescopio per avere la stella di nuovo nel mirino sei mesi dopo?
−
−c = (0, −c, 0) la velocità della luce e →
Sia →
V = (V, 0, 0) la velocità orbitale terrestre, siamo nel riferimento del sistema solare. Nel caso dei fotoni, non possiamo usare il quadrivettore velocità perchè questo
non è definito. Il γ del fotone è infinito, per definizione. Possiamo usare, invece, il quadrimpulso del
fotone. Il fotone proveniente dalla stella trasporta l’energia E e l’impulso E/c quindi il suo quadrimpulso
è
E E
E
E
Pb = ( , b
k) = ( , 0, − , 0)
(9.6)
c c
c
c
Per l’osservatore terrestre O’





E0
c
Px0
Py0
Pz0


 
 
=
 
Γ
−BΓ 0 0
−BΓ
Γ
0 0
0
0
1 0
0
0
0 1

E
c

 0 


  −E 
 c 
0
dalla quale
BΓE
c
E
Py0 = −
c
V
1
tan θ = q
c 1−
Px0 = −
(9.7)
(9.8)
(9.9)
V2
c2
Si noti che la trattazione classica da come risultato tan θ = Vc .
Se il telescopio osserva la stella con inclinazione θ rispetto alla verticale, ad una certa data, sei
mesi dopo dovrà essere orientato, sempre rispetto alla verticale, dello stesso angolo ma dalla parte
opposta, perchè la terra ha invertito la sua velocità nell’orbita solare. Sei mesi dopo si deve cambiare la
declinazione del telescopio dell’angolo 2θ.
Se si misura con sufficiente precisione l’angolo 2θ, si verifica sperimentalmente che la combinazione
delle velocità è quella relativistica, non quella classica.
Si può anche calcolare come cambia l’energia del fotone visto dal laboratorio terrestre.
Per la componente temporale del quadrimpulso si ottiene che
E 0 = EΓ
(9.10)
L’energia di un fotone è legata alla sua frequenza dalla costante di Planck h, E = hν. Possiamo
perciò scrivere che hν 0 = hνΓ, nel qual caso
ν
ν0 = q
1−
(9.11)
V2
c2
La frequenza percepita da terra è diversa da quella emessa dalla stella, è l’effetto Doppler trasverso,
non previsto dalla fisica classica. La variazione di frequenza è dovuta al diverso scorrere del tempo, per
la stella e per l’osservatore, non dalla geometria del moto.
9.3. MOTO DI UNA CARICA ELETTRICA IN CAMPO MAGNETICO
9.3
87
Moto di una carica elettrica in campo magnetico
Si calcoli la traiettoria di una particella di impulso p, carica q e massa m in un campo magnetico B
costante.
Soluzione:
Sulla particella agisce la forza di Lorentz
→
−
→
−
−
F = q→
v ∧B
la quale è sempre perpendicolare alla velocità istantanea della particella e non compie lavoro.
Dall’equazione
→
−−
−
(F →
v )→
1 →
→
−
−
m a = (F −
v)
2
γ
c
essendo la potenza della forza nulla, si ottiene
(9.12)
(9.13)
→
−
→
−
−
−
mγ →
a = F = q→
v ∧B
(9.14)
→
−
−
−
mγ →
a = q→
v ∧B
(9.15)
L’accelerazione è sempre ortogonale alla velocità istantanea ed al campo magnetico, per cui la componente della velocità parallela al campo B è ed il modulo della velocità sono costanti del moto.
Consideriamo il caso del moto nel piano perpendicolare al campo magnetico. In questo caso la
particella si muove di moto circolare uniforme.
Il raggio di curvatura si ottiene dalla relazione
mγa = qvB
(9.16)
2
v
= qvB
R
v
mγ = qB
R
p
R=
qB
(9.18)
p = qBR
(9.20)
mγ
(9.17)
(9.19)
Lo studente provi a dimostrare che vale la relazione (da ricordare) p = 0.3BR dove p è espresso in
GeV/c, B in Tesla ed R in metri.
9.4
Moto di una particella soggetta a forza costante parallela alla velocità
Studiamo il moto di una particella carica, inizialmente ferma, soggetta ad una forza costante, vedi
Fig.9.1.
Dalla relazione
→
−−
−
1 →
(F →
v )→
−
→
−
m a = (F −
v)
(9.21)
2
γ
c
si deduce che, se inizialmente il corpo è fermo, l’accelerazione, la forza, la velocità, e quindi l’impulso,
restano paralleli durante tutto il moto.
88
CHAPTER 9. ESERCIZI
Figure 9.1: Moto di una massa m sottoposta ad una forza costante parallela alla velocità.
Sia x la direzione della forza, vedi Fig.9.1.
dp(t)
dt
p(t) = F t
F =
v(t)
mq
= Ft
v(t)2
1 − c2
(9.22)
(9.23)
(9.24)
dalla quale si ottiene la velocità in funzione del tempo,
Ft
v(t) = q m
Ft 2
1 + ( mc
)
La posizione in funzione del tempo è data dall’integrale della velocità
r
Ft
mc2
x(t) = x0 +
1 + ( )2
F
mc
9.5
(9.25)
(9.26)
Moto di una particella soggetta a forza costante perpendicolare alla
velocità iniziale
−
Una particella di massa m, carica elettrica q ed impulso iniziale →
p 0 entra tra le armature di un conden→
−
satore perpendicolarmente al campo elettrico costante E , come mostrato in Fig.9.2.
Calcolare la velocità e la posizione della particella in funzione del tempo.
9.5. MOTO DI UNA PARTICELLA SOGGETTA A FORZA COSTANTE PERPENDICOLARE ALLA VELOCITÀ INIZIALE89
Figure 9.2: Moto di una carica elettrica in un campo di forza costante, caso del condensatore carico.
Consideriamo l’equazione del moto
−
→
−
d→
p
F =
dt
dpx
=⇒ px = p0
dt
0=
qE =
dpy
dt
(9.27)
(9.28)
(9.29)
La componente x dell’impulso è costante
mγvx (t) = p0
(9.30)
Nella direzione y, invece
dpy
dt
py = qEt
qE =
(9.31)
(9.32)
(9.33)
Possiamo calcolare l’impulso totale
p=
q
p2x
+
p2y
q
= p20 + (qEt)2
(9.34)
e l’energia totale E
E=
q
q
p
p2 + m2 c4 = p20 + (qEt)2 + m2 c4 = E02 + (qEt)2
(9.35)
90
CHAPTER 9. ESERCIZI
dalla quale si ottiene
p
E02 + (qEt)2
E
γ=
=
mc2
mc2
Conoscendo γ in funzione del tempo si può calcolare la velocità dalla 9.30
(9.36)
p 0 c2
p0
p
=
vx (t) =
mγ
E02 + (qEct)2
(9.37)
qEt
qEc2 t
=p 2
mγ
E0 + (qEct)2
(9.38)
e dalla 9.33
vy (t) =
−
Le coordinate della particella in funzione del tempo si ottengono integrando la →
v (t)
r
E0
qEct 2
y(t) =
( 1+(
) − 1)
qE
E0
p0 c
cqEt
arcsin h
qE
E0
Eliminando t tra le due espressioni per x e y, si ottiene
x(t) =
y=
E0
qEx
(cosh
− 1)
qE
cp0
(9.39)
(9.40)
(9.41)
La traiettoria è una catenaria.
9.6
Effetto Compton
L’effetto Compton è quell’effetto per il quale un fotone, diffuso da un elettrone libero, cede parte della
sua energia e del suo impulso all’elettrone.
La perdita di energia del fotone, quindi l’aumento della sua lunghezza d’onda, dipende dall’angolo di
diffusione.
Calcolare la variazione di lunghezza d’onda del fotone in funzione dell’angolo di diffusione.
Soluzione:
Consideriamo un fotone di lunghezza d’onda λ che viene diffuso di un angolo θ da un elettrone libero
fermo, vedi Fig.9.3.
Nota bene che non ci domandiamo qual’è la probabilità di diffusione ad un certo angolo, che è
determinata dalla dinamica dell’interazione, ma solo qual’è la lunghezza d’onda del fotone se viene
diffuso ad un angolo θ, che è determinata dalla cinematica.
Questo è un tipico problema che si risolve applicando la conservazione del quadrimpulso prima e dopo
la diffusione.
Siano:
h la costante di Planck
E0 = hν0 = h λc0 l’energia del fotone iniziale,
→
−
p0 impulso del fotone incidente
→
−
p 1 impulso del fotone finale
E1 = hν = h λc l’energia del fotone finale
m la massa dell’elettrone
9.6. EFFETTO COMPTON
91
Figure 9.3: Effetto Compton. Diffusione di un fotone da parte di un elettrone libero.
→
−
p2 impulso dell’elettrone finale
p
E2 = p22 c2 + m2 c4 energia dell’elettrone finale
La conservazione del quadrimpulso dice che
(
E1 + E2 →
E0 + mc2 →
−
,−
p 0) = (
,−
p1+→
p2 )
c
c
(9.42)
da cui
E0 + mc2 = E1 + E2
→
−
−
−
p =→
p +→
p
(9.43)
E2 = E0 − E1 + mc2
(9.45)
→
−
−
−
p2 = →
p0−→
p1
(9.46)
E22 = p22 c2 + m2 c4
(9.47)
−
−
(E0 − E1 + mc2 )2 = (→
p0−→
p 1 ) 2 c2 + m 2 c4
(9.48)
0
1
2
(9.44)
da cui
Dovendo essere che
si ottiene
E02 + E12 + m2 c4 − 2E0 E1 + 2E0 mc2 − 2E1 mc2 = p20 c2 + p21 c2 − 2p0 p1 c2 cos θ + m2 c4
(9.49)
92
CHAPTER 9. ESERCIZI
Per i fotoni, particelle senza massa a riposo, E0 = p0 c e E1 = p1 c, per cui dalla 9.49
Si definisce λe =
h
mc
−2E0 E1 + 2E0 mc2 − 2E1 mc2 = −2E0 E1 cos θ
(9.50)
(E0 − E1 )mc2 = E0 E1 (1 − cos θ)
(9.51)
(ν0 − ν1 )mc2 = hν0 ν1 (1 − cos θ)
h
ν0 − ν1 = ν0 ν1 2 (1 − cos θ)
mc
c
c
c c h
−
=
(1 − cos θ)
λ0 λ1
λ0 λ1 mc2
h
(1 − cos θ)
λ1 − λ0 =
mc
(9.52)
(9.53)
(9.54)
(9.55)
la lungezza d’onda Compton dell’elettrone
∆λ = λe (1 − cos θ)
(9.56)
La diffusione a grande angolo aumenta la lunghezza d’onda diminuendo l’energia del fotone.
Questo è uno dei meccanismi attraverso i quali l’energia dei fotoni viene degradata, nella materia,
a lunghezze d’onda sempre più lunghe finchè non si trasforma in calore quando viene assorbita dalle
molecole aumentandone l’energia cinetica.