Capitolo 4
STATICA del PUNTO
4.1
Equazioni della statica
4.1.1
Condizioni di equilibrio
Ponendo uguali a zero velocità ed accelerazione nelle equazioni della
dinamica si ottengono, come caso particolare, le equazioni della statica,
ossia le condizioni di equilibrio per un punto soggetto ad un campo di
forze esterne.
Un punto p libero soggetto ad un campo di forza F = F (P, v) soddisfa la seconda equazione di Newton ma = F . Quindi p è in quiete in
una posizione di equilibrio Po se
0 = F (Po , 0)
Un punto materiale p soggetto ad un campo di forza F = F (P, v) e
ad un vincolo esterno soddisfa all seconda legge di Newton nella forma
a = F +Φ.
(4.1)
Tale punto p è in quiete nella sua posizione di equilibrio Po se il
vincolo, in tale posizione, è in grado di esplicare una reazione vincolare
direttamente opposta alla forza effettiva valutata per valore nullo di v:
Φ = −F (Po , 0)
4.1.2
Problemi sulle condizioni di equilibrio
Problema 4.1.1 Qual’è la posizione di equilibrio di un punto pesante attratto
da un punto fisso con una forza elastica?
CAPITOLO 4. STATICA DEL PUNTO
52
Soluzione
Sul punto p agisce il peso mg e la forza elastica F = hP O, h > 0, che
lo attrae verso il punto fisso O. La posizione di equilibrio è quella tale
che F + mg = 0 ; quindi OP = mg /h .
Il punto si trova in equilibrio sulla verticale discendente per O, a
distanza mg/h da O.
Problema 4.1.2 Trovare le posizioni di equilibrio di un punto soggetto ad n
forze elastiche che lo attraggono verso centri fissi.
Soluzione
Su p agiscono le n forze elastiche Fi = hi P Oi , hi > 0. Quindi per
l’equilibrio si deve avere
n
X
hi Oi P = 0
i=1
Sia ora O un punto prefissato; dalla precedente si deduce
n
X
i=1
n
X
i=1
da cui
hi Oi O + OP = 0
hi Oi O +
n
X
i=1
hi OP = 0
Pn
i=1 hi OOi
OP = P
n
i=1 hi
L’unica posizione di equilibrio è il centro di n vettori paralleli equiversi
di lunghezze proporzionali a h1 , h2 , . . . , hn applicati nei punti O1 , O2 , . . . , On .
4.1. EQUAZIONI DELLA STATICA
53
Problema 4.1.3 Trovare le posizioni di equilibrio di un punto pesante vincolato
su una linea liscia di un piano verticale. Discutere poi il problema per ogni
giacitura del piano.
Soluzione
Sul punto agiscono il peso e la reazione vincolare, quest’ultima normale
alla linea sul piano. Quindi è di equilibrio ogni posizione in cui la reazione è verticale come il peso, ossia ove la linea ha tangente orizzontale.
Problema 4.1.4 Trovare le posizioni di equilibrio di un punto vincolato su una
linea liscia di un dato piano o su una superficie liscia e sia soggetto ad un campo
di forza attiva F = F (P, v).
Soluzione
Questo problema evidentemente generalizza quello precedente.
Le posizioni di equilibrio sono quelle appartenenti al vincolo in cui la
retta o il piano tangenti sono perpendicolari alla forza F (P, 0), valutata
per valore nullo della velocità.
CAPITOLO 6. CINEMATICA DEI MOTI RIGIDI
68
6.2
6.2.1
Problemi
Moti rigidi particolari
Problema 6.2.1 Un moto rigido è traslatorio se due rette solidali r1 , r2 non
parallele si mantengono di direzione fissa (nello spazio).
Soluzione
Denotando con ω la velocità angolare, e con ri i versori delle rette
solidali aventi direzione fissa, per le formule di Poisson (Sezione (6.1.3))
risulta
dri
= ω ∧ ri
dt
onde ω = 0 se i due versori ri sono linearmente indipendenti. In tal caso
il moto è quindi traslatorio.
Osservazione 6.2.1 Quanto sopra si riferisce ad un intervallo di tempo e quindi si deduce che il moto è traslatorio. Nel caso invece le ipotesi siano istantanee
(ossia si riferiscano ad un istante temporale isolato), la deduzione deve riferirsi
all’atto di moto, che risulterebbe traslatorio.
6.2.2
Composizioni di moti e di atti di moto rigidi
Problema 6.2.2 Dimostrare che la composizione di due atti di moto rotatori
intorno ad assi concorrenti in un punto O è un atto di moto rotatorio intorno ad
un asse per O, con velocità angolare pari alla somma delle velocità angiolari dei
due atti di moto.
6.2. PROBLEMI
69
Soluzione
Denotiamo con ωi le velocità angolari di due atti di moto rotatori intorno ad assi concorrenti in un punto O. Componendo gli atti di moto
v1 P = ω1 ∧ OP ,
v2 P = ω2 ∧ OP ,
abbiamo
vP = v1 P + v2 P = ω1 ∧ OP + ω2 ∧ OP = (ω1 + ω2 ) ∧ OP
Dunque abbiamo
vP = ω ∧ OP
con
ω = ω1 + ω2
Ciò significa che l’atto di moto composto è rotatorio con asse di Mozzi
la retta a per O parallela al vettore ω = ω1 + ω2 , che ne è la velocità
angolare.
Problema 6.2.3 Dimostrare che la composizione di due atti di moto rotatori
intorno ad assi paralleli è un atto di moto rotatorio con velocità angolare pari
alla somma delle velocità angolari dei due atti di moto, nel caso questa somma
non sia nulla. L’asse di moto si trova a distanze inversamente proporzionali
alle grandezze delle velocità angolari, dalla parte della maggiore se esse sono
discordi, o internamente ad esse se concordi.
Se invece la somma delle due velocità angolari è nulla, l’atto di moto composto è traslatorio.
76
6.2.5
CAPITOLO 6. CINEMATICA DEI MOTI RIGIDI
Disco rigido
Problema 6.2.6 Un disco rigido di raggio R rotola senza strisciare su una guida rettilinea x. Sia C il punto di contatto disco-guida e G il centro del disco.
Note velocità vG = vc1 e accelerazione aG = ac1 di G, determinare velocità
e accelerazione di C e dei punti A, D, B disposti agli estremi dei diametri del
disco paralleli agli assi x e y.
Soluzione
Poiché non c’è strisciamento, vC = 0. Per calcolare le velocità usiamo
la formula fondamentale della cinematica dei moti rigidi
vP = vQ + ω ∧ QP
(6.23)
ove P e Q sono le posizioni di due arbitrari punti del corpo rigido in
moto e la velocità angolare ω = ωc3 è normale al piano del moto, dato
che questo è piano.
Prima determiniamo ω e la sua derivata temporale ω̇ = ω̇c3 da velocità e accelerazione di G che sono date: da (6.23) per P = G e Q = C
segue
vG = ωc3 ∧ GC ,
aG = ω̇c3 ∧ GC
(6.24)
Per l’ortogonalità di c3 e GC e per il senso orario di θ segue
ω=−
v
,
R
ω = ωc3 ,
a
R
(6.25)
ω̇ = ωc3
(6.26)
ω̇ = −
6.2. PROBLEMI
77
Quindi risulta
v
c3 ∧ (−Rc1 ) = v(c1 + c2 )
R
(6.27)
a
c3 ∧ (−Rc1 ) + ω 2 Rc1 = a(c1 + c2 ) + ω 2 Rc1
R
(6.28)
vA = vG + ωc3 ∧ GA = vc1 −
e per la (6.7) abbiamo
aA = aG −
Per il punto C abbiamo
vC = 0
(6.29)
a
aC = aG + ω̇ ∧GC −ω 2 GC = ac1 − c3 ∧(−Rc2 )+ω 2 Rc2 = ω 2 Rc2 (6.30)
R
Inmodo analogo si procede per B e D.
Osservazione: la velocità angolare e i calcoli vettoriali sopra vanno
riferiti ad una terna solidale; invece i versori ci non sono solidali al disco;
i calcoli sopra si interpretano pensando i ci come i vettori solidali al disco
GB/R, GD/R e k che istantaneamente si trovano ad essere paralleli ai
versori ci della terna di riferimento.
Problema 6.2.7 Due ruote dentate di raggi r1 e r2 si trasmettono il moto di
rotazione. Trovare la relazione tra le rispettive velocità angolari.
Soluzione
La condizione di rotolamento puro, o di mancanza di strisciamento, assicurata dagli ingranaggi, è che i punti D1 , D2 dei dischi che si trovano
a contatto, ossia che occupano la posizione C del contatto fra i dischi,
devono avere la stessa velocità:
ω1 ∧ O1 C = ω2 ∧ O2 C .