Testo consigliato
Antonio Leonelli
MATEMATICA
PER LE SCIENZE
SPERIMENTALI
Editore JAPADRE
Spazi euclidei
e funzioni
Q (2,3)
P (3,2)
Se A e B sono due insiemi, si
chiama Prodotto Cartesiano di
A per B l’insieme, indicato
con A x B , i cui elementi sono
le coppie ordinate (x,y) dove il
primo termine x viene scelto in
A e il secondo termine y viene
scelto in B .
A=B ,
invece di AxA
Se
si usa scrivere:
2
A
RxR
2
R
R
2
z
4
P
(3,2,4)
3
R
2
3
x
y
-2
-1
0
1
2
3
R
spazio euclideo di dimensione 1
R
2
spazio euclideo
di dimensione 2
3
R
spazio euclideo
di dimensione 3
R
n
spazio euclideo n-dimensionale
( x1 , x2 , x3 ,..., x n )
ennuple
n-uple ordinate di numeri reali
analisi su un campione sperimentale:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
unità campionarie
• risultati analisi del colesterolo: (a 1
,a 2 ,...,a 10 )
• risultati analisi della glicemia:
(b1 , b 2 ,..., b10 )
• risultati analisi dell’azotemia:
(c1 ,c 2 ,...,c10 )
Correlazione Peso-Altezza
x (peso in Kg.) 70 66 74 72 76 72 76 73
y (altezza in cm.) 168 167 172 175 177 169 176 175
160
165
170
altezza
175
180
y
x
60
65
70
peso
75
80
m = tg 
yy
 tgm
x
coefficiente
angolare
y=mx
A
0

x
y
x
m>0 :
y
CRESCENTE
A
0

x
y
0
m<0:
DECRESCENTE

A
x
y
m
mx+q
coefficiente
q

y=mx+q
angolare
q
intercetta
Q
q
0
mx

x
x
y
y = m x+q
m
mx+q
coefficiente angolare
q
Q
q
intercetta
q
mx
0
x
x
180
indipendente
variabile
175
170
165
m 1
q 100
equazione
y = x + 100
x
160
altezza
y
60
65
70
peso
75
80
variabile dipendente
peso
y
equazione
y = x - 100
x
160
165
170
altezza
175
180
variabile dipendente
peso
y
y
varia in funzione di
x
parabola
y
equazione
y = ax2 + bx + c
x
x
altezza
A
valore di
f
f
su
x
B
argomento
x
f(x)
DOMINIO
immagine di
CODOMINIO
x mediante f
A
f
B
f (A)
immagine di
f
A
z
0
y
x
z
0
y
x
z
0
y
x
z
0
y
x
z
0
y
x
z
0
y
x
z
0
y
x
z
0
y
x
z
0
y
x
z
0
y
x
z
0
y
x
t
z
f :R R
0
f (t)
3
x(t), y(t), z(t)
y
posizione dell’aereo
nell’istante
x
t
T :R R
4
Temperatura in °C
(x, y, z)
nell’istante t
nel punto
T ( x, y, z, t )
(x, y, z)
OPERAZIONI ALGEBRICHE
addizione :
2
R
add
R
add (x , y) = x + y
moltiplicazione :
2
R
molt
R
molt ( x, y)  x  y
IDENTITA’ di
A
x
A
id A
id A (x) = x
A
x
*
N
f
SUCCESSIONE
R
1
f(1) = a1
2

f(2) = a2
n
f(n) = an



*
N
f
SUCCESSIONE
R
Esempio :
f(1) = 1
f(2) = 2
f(3) = 3
f(4) = 5
f(5) = 8
f(6) = 13
definizione ricorsiva :
f(n+2) = f(n) + f(n+1)
successione di Fibonacci
f
N
SUCCESSIONE
R
Esempio :
f(n) = a2 n + b3
f(0) = 3
f(1) = 5
f(2) = 7
f(3) = 9
f(4) = 11
f(5) = 13
progressione aritmetica
y
R
N
f
17
15
y=ax+b
13
R
11
f( xn ) = a xn + b
funzione
9
7
lineare
5
3
0
1
2
3 4
5
6
7
x
y
y = f(x) lineare
y
y - yo
f(xyoo)
x - xo
0
xo
y - yo = m (x-xo)
x
y - yo
m
x - xo
x
coefficiente angolare
(rapidità di crescita)
y
y = f(x) lineare
f(xo+ h)
mf (h )
f ( xo+ h ) = f ( xo) + m h
f(xyoyo)o
0
h
xo
y-f y(ho ) = m (x-x
h o)
y - yo
m
x - xo
xo+ h
x
coefficiente angolare
(rapidità di crescita)
y = f(x) non lineare
y
f(xo)
m
e perciò si indica con
0
x
f ' (x)
varia in funzione di
xo
x1
DERIVATA di
x
f
y = f(x) non lineare
y
f ' (x o )
f(xo+ h)
?
f(xo+h) - f(xo)
f(xo)
f (x o + h) - f (x o )
h
rapporto incrementale
0
h
xo
xo+ h
x
f (x o + h) - f (x o )
h
f(xo+ h) - f(xo)
h
f (x o + h) - f (x o )
h
f(xo+ h) - f(xo)
h
f (x o + h) - f (x o )
h
f(xo+ h) - f(xo)
h
f (x o + h) - f (x o )
h
f(xo+ h) - f(xo)
h
f (x o + h) - f (x o )
 f ' (x o )
lim
h
h 0
Esempio
funzioni lineari
f (x)  a x + b
f (x + h) - f (x)
f ' ( x )  lim

h
h 0
a (x + h) + b - a x - b
lim

h
h 0
ax +ah -ax
lim

h 0
h
lim a  a
h 0
f ' (x)  a
y=ax+b
ah
lim

h
h 0
coefficiente
angolare
Esempio
funzione
f (x)  x
2
f (x + h) - f (x)
f ' ( x )  lim
h
h 0
(x + h) - x
lim
h
h 0
2
2

x + 2xh + h - x
lim
h
h 0
(2x + h ) h
lim
 2x
h
h 0
2
2
2

D x  2x
2
più in generale:
Dx  nx
n
n -1
y = f(x) non lineare
y
0
f ' (x) > 0
x1
x2
f ' (x)  0
x
1
-1
sin t
-1
t R
t
1
1
-1
t R
1
-1
1
-1
t R
1
-1
1
-1
t R
1
-1
1
-1
t R
1
-1
1
-1
t R
1
-1
1
-1
t R
1
-1
1
-1
t R
1
-1
1
-1
t R
1
-1
1
-1
t R
1
-1
1
-1
t R
1
-1
1
-1
t R
1
-1
1
-1
t R
1
-1
1
-1
t R
1
-1
1
-1
t R
1
-1
1
-1
t R
1
-1
1
-1
t R
1
-1
1
-1
t R
1
-1
1
-1
t R
1
-1
1
-1
t R
1
-1
1
-1
t R
1
-1
1
-1
t R
1
-1
y = sin x
y = cos x
Grafico della funzione tangente
decrescente
crescente
f ' (x o )  0
xo
?
f ' (x o ) > 0
NON E’ UNA FUNZIONE !
xo
la funzione
seno
non è invertibile
FUNZIONE NON INVERTIBILE
x1  x 2
però
f (x1 )  f (x 2 )
y=b
b
perché
f
sia invertibile occorre che :
x1  x 2  f (x1 )  f (x 2 )
FUNZIONE INIETTIVA
x1
x2
A
f
INIETTIVA
B
A
f
INIETTIVA
B
A
f
-1
inversa di
?
f
B
f(A)
FUNZIONE NON INVERTIBILE
y=b
b
?
A
f
INIETTIVA
BIETTIVA
SURIETTIVA
B
f(A)
f (A) = B
f
SURIETTIVA
A
f
-1
B

2
-

2
Grafico della funzione arcoseno

Grafico della funzione arcocoseno
y

2
y-

2
Grafico della funzione arcotangente
COMPOSIZIONE
B
f(x)
A
x
gf
g COMPOSTO f
C
g( f(x) )
Esempio :
f:R
R
f(x) = x + 1
g(x)
=
R
L’OPERAZIONE DI
g:R

2
x

COMPOSIZIONE
g  f ( x )NON
 g f ( x )  gx + 1 
È COMMUTATIVA
x + 1
2
f
 x + 2x + 1
2
 g ( x ) f g ( x )  f x 2   x 2 + 1
gf  f g
D(g  f )( x )  g ' (f ( x ))  f ' ( x )
regola della catena
Esempio
f ( x )  5x
g( x )  sin x
g  f ( x )  sin 5x
D(g  f )( x )  g ' (f ( x ))  f ' ( x ) 
cosf ( x )  f ' ( x ) 
cos5x  5
D sin 5x  5 cos5x
Esempio
f ( x )  sin x
g( x )  cos x
sin x
tg x 
cos x
sin x
D tg x  D

cos x
D
cos
sinx x cos
cos
cos
x xx--+
sin
sin
x x (x-Dsin
cosxx
)
sin
2
2
2
cos x
2
1

2
cos x
2
cos x
sin x

+
2
2
cos x
cos x
 1 + tg x
2
a 1
a R , a > 0
lim
h 0
a
x+h
-a
h
exp a ( x ) : a
x
funzione esponenziale
di base a
x
a (a - 1)
a -1
x l
 lim
 a lim
h 0
h 0 h
h
x
h
h
DD ea x l aex
x
numero di
Nepero
x
esponenziale naturale
1

ea  lim 1 + 
n
n
n
 l 1
e = 2.71828...
Esercizio
Studiare la funzione: f ( x )  e
Dominio:
R  ] - , + [
f ' (x)  e
x
x
> 0 , x  R
la funzione è sempre crescente
f "(x )  e
x
> 0 , x  R
Il grafico volge sempre la concavità verso l’alto
lim e
x - 
x
0
lim e  + 
x  +
x
base naturale
log
ln xexx
log
e
logaritmo naturale
1
D log x 
x
x R
+
y = log x
8
+
o
1
0<x<1
x>1
log x < 0
log x > 0
8
Pagina 308
Tabella 4.1
lim
 4x
x +
FORMA
3
- x + 3x - 2
2
INDETERMINATA
 =?
∞-∞
 3  4x 3 - x 2 + 3x - 2
lim  4x  
3
x  +
4
x



 


 3 
1
3
2 


lim  4x  1 +
2
3 
x  +
4x
4x
4x  


lim 4x  + 
3
x +
3 x - 4x + 2
2
5x + x - 6
2
lim
x  +
FORMA
INDETERMINATA
Teorema di De L’Hospital
f (x)
f ' (x)
lim
 lim
x  x g( x )
x  x g ' (x)
o
o
6x-4
3 x - 4x + 2
 lim
2
x  +  10 x +1
5x + x - 6
2
lim
x  +
6
6
3
 lim


x  +  10
10
5
∞
∞
sin x
lim
1
x 0
x
0
FORMA
INDETERMINATA
0
Teorema di De L’Hospital
sin x
cos x
lim
 lim
1
x 0
x 0
x
1
x
e
lim
x  + x 2
FORMA
INDETERMINATA
∞
∞
Teorema di De L’Hospital
x
x
x
e
e
e
lim
 lim
 lim
2
x  + x
x  + 2 x
x  + 2
+
per x  +  :
ex
infinito di ordine superiore rispetto ad ogni polinomio
Soluzioni degli
esercizi proposti
a pagina 326