z
P (x ; y ; z)
y
zp = Qp = quota
xp
P ’ (x ; y)
o
yp
π
π
x
ALTIMETRIA
Introduzione
Definizioni
Quota
Dislivello
Pendenza
Sfericità e rifrazione atmosferica
Indice
Livellazioni
Livellazioni geometriche
Livellazione tacheometrica
Livellazione di alta precisione I.G.M.I.
Livelli
Rilievi plano - altimetrici
Cenni di rappresentazione plano – altimetrica del terreno
DEM Digital Elevation Model
z
P (x ; y ; z)
y
La Topografia permette di determinare,
zp = Qp = quota
mediante rilievo, la posizione dei punti
appartenenti
Introduzione
alla
superficie
fisica.
In
xp
particolare i metodi di rilievo planimetrico
individuano la posizione del punto proiezione
P ’ (x ; y)
o
P’ sulla superficie di riferimento, mentre i
metodi di rilievo altimetrico determinano la
yp
quota del punto P
π
x
B
C
A
QA
QB
QC
Quota (Q)
π = 0.000 m
A’
B’
C’
Si definisce quota del punto A, QA, la distanza verticale condotta dal punto alla
superficie di riferimento adottata (campo topografico) assunta di quota zero
metri
B
distanza reale
A
QB
QA
Quota (Q)
B’ (xB;yB)
A’ (xA;yA)
Distanza orizzontale
AB = √ [(XB - XA)2 + (YB – YA)2]
π
B
A
Qr(A) = 28.500 m
Quota relativa
di un punto
Q A = 58.500 m
π’ = 30.000 m
π = 0.000 m
Si definisce quota relativa di un punto, la distanza verticale del punto da una
superficie di riferimento avente quota diversa da zero metri.
Dati due punti A e B di quota nota si definisce dislivello ΔAB la differenza di
quota tra il punto B e il punto A (osservatore in A)
 ΔAB = QB – QA
Dislivello (Δ) tra
due punti
La differenza di quota tra il punto A e il punto B è invece definita dislivello
ΔBA (osservatore in B)
 ΔBA = QA – QB
I due dislivelli hanno ovviamente stesso valore ma segno diverso
B
ΔBA = QA – QB = - 7 m
A
ΔAB = QB – QA = + 7 m
D
x
Dislivello (Δ) tra
due punti
QA = 25 m
QB = 32 m
π = 0.000 m
A’
D
B’
Si definisce pendenza pAB il rapporto tra il dislivello ΔAB e la distanza orizzontale D
pAB
ΔAB
=
D
La pendenza esprime la tangente dell’angolo α e moltiplicata per cento, la pendenza in
Pendenza (p) tra
due punti
percentuale (%). La pendenza è un numero puro. Si definisce pendenza pBA il rapporto
tra dislivello ΔBA e la distanza orizzontale D.
pAB
ΔAB
=
D
Il segno della pendenza (+/-) dipende da quello del dislivello
α = ang. di depressione
ΔAB = QB – QA = + 7 m
α = ang. di elevazione
A
D = 132 m
QA = 25 m
x
QB = 32 m
Pendenza (p) tra
due punti
π = 0.000 m
A’
D = 132 m
B’
Se QA = 25 m, QB = 32 m e la distanza orizzontale D = 132 m si ottiene:
pAB = ΔAB/D = (QB – QA)/D = (32 – 25)/132 = 0.053030 = tang α.
Moltiplicando per 100 tang α si ottiene la pendenza percentuale (p %)
0.053030 x 100 = 5.30 %
Dalla formula che esprime la pendenza tra due punti di quota nota:
pAB = ΔAB/D
è possibile ricavare, noto il dislivello e la pendenza, la distanza orizzontale tra i
due punti
 D = ΔAB/ pAB
e, nota la distanza e la pendenza, il dislivello tra i due punti
Pendenza (p) tra
due punti.
Formule inverse
 ΔAB = pAB x D
Ricordando inoltre che: ΔAB = QB – QA possiamo scrivere:
QB – QA = pAB x D
e quindi ottenere:
 QB = QA + pAB x D
Nota quindi la quota di un punto A, la distanza orizzontale D e la pendenza p è
possibile calcolare la quota del punto B
 ESEMPIO 1
Noti D = 87 m QA = 82.420 m e QB = 69.170 m, determinare la
pendenza pAB
pAB = (QB – QA)/D = (69.170 – 82.420)/87 = - 0.1522 = - 15.22 %
 ESEMPIO 2
Pendenza (p) tra
due punti.
Formule inverse
Noti pAB = - 3%, QA = 85.350 m e QB = 81.400 m, determinare la
distanza orizzontale D
D = ΔAB/pAB = (QB – QA)/pAB = (81.400 – 85.350)/-0.03 = 131.666 m
 ESEMPIO 3
Noti QA = 80.450 m, D = 150.850 m e pAB = + 2.5 %, determinare la
quota del punto B
QB = QA + pAB x D = 80.450 + 0.025 x 150.850 = 84.221 m
B
C
A
Calcolo della quota
di un punto posto
su un segmento a
pendenza costante
α
QA = 25 m
π = 0.000 m
ΔAB = QB - QA
QC = 29.545 m
QB = 37 m
d = 50 m
A’
C’
D = 132 m
B’
La pendenza pAB = (QB – QA)/D = 0.0909 coincide con la pendenza pAC. Possiamo quindi
scrivere:
pAC = (QC – QA)/d
(QC – QA) = pAC x d -----> QC = QA + pAC x d = 25 + 0.0909 x 50 = 29.545 m
Nei rilievi topografici la superficie di riferimento è rappresentata dal campo
topografico, piano tangente alla sfera locale in un punto. Ciò significa che tutte le
misure eseguite non sono riferite
ai punti della superficie fisica ma alla loro
proiezione sul piano. L’errore che si commette nelle misure passando dalla sfera
Sfericità e
rifrazione
atmosferica
locale al piano topografico, risulta trascurabile nella misura della distanza, ma non
nella misura della quota. Per quest’ultima, l’adozione di una superficie di
riferimento piana, comporta errori non trascurabili, dovuti principalmente a due
fattori:
 Sfericità della terra
 Rifrazione atmosferica
L’errore di sfericità è quello che si commette nella determinazione della quota tra
due punti, quando si trascura la sfericità della terra. L’errore è di pochi millimetri
per distanze intorno ai 100 metri; dopo i 300 metri è già superiore al centimetro,
per arrivare a più di 1 metro per distanze di circa 4000 metri
L’errore può essere calcolato con la
Errore di sfericità
seguente formula:
A
(es)
B
 es = d2/2R
QA
piano tangente
A’
d
es
B’
R
QB
in cui: - d è distanza tra i due punti;
-
R = 6377 km = 6377000 m è il
raggio terrestre. Tale errore dovrà
essere sempre sommato alla quota
calcolata
L’errore di rifrazione è dovuto alla diversa densità degli strati
dell’atmosfera terrestre. Il valore, che deve essere sottratto alla quota
misurata, si ottiene dalla formula:
 er = K x d2/(2 x R)
Errore di rifrazione
(er)
con K = 0.14 è il coefficiente di rifrazione atmosferica, d è la distanza
tra i punti considerati e R = 6377 km = 6377000 m è raggio terrestre.
L’espressione dell’errore totale di sfericità e rifrazione et = es + er, si
ottiene dalla formula:
 et = d2/(2 x R) x (1 – K)
Nella tecnica topografica, per determinare le quote dei punti, non si
misurano direttamente le quote stesse, ma i dislivelli. L’operazione di
determinazione del dislivello tra due punti si chiama livellazione. Le
Livellazioni
livellazioni possono essere divise in
 Livellazioni a visuale orizzontale (geometriche)
 Livellazioni a visuale inclinata (tacheometriche e trigonometriche)
 Livellazioni senza visuale (GPS)
Le livellazioni a visuale orizzontale, note come livellazioni geometriche,
vengono effettuate utilizzando livelli, strumenti medianti i quali è possibile
realizzare linee di mira orizzontali. Si tratta di strumenti
dotati di solo
cerchio orizzontale in grado di ruotare attorno all’asse verticale e adatti ad
operare su terreni pianeggianti.
Livellazioni
geometriche
Le livellazioni geometriche possono essere:
 semplici, quando il dislivello tra due punti si ottiene con un’unica misura
 composte, quando un dislivello si ottiene dalla somma di dislivelli parziali
e possono eseguirsi da
 un estremo
 dal mezzo
ε
x
x
lB
hA
B
ΔAB
Livellazione
geometrica
semplice da un
estremo
x
A
hA = lB + ΔAB
x B’
ΔAB = hA - lB
La misura del dislivello può essere affetta dall’errore ε (non
perfetta orizzontalità della linea di mira), commessa durante la
rettifica e la messa in stazione dello strumento
Prof. Dagore Ristorini
x
x
lB
B
lA
S
Livellazione
geometrica
semplice dal
mezzo
A
ΔAB
x B’
Con questo tipo di livellazione, il livello è posto in una posizione intermedia, possibilmente alla
stessa distanza, tra i due punti estremi A e B. Si collima per primo il segnale in A effettuando la
lettura lA e successivamente, ruotando il cannocchiale si collima B effettuando la lettura lB. Il
dislivello si ottiene dalla
ΔAB = lA – lB
Con questo metodo l’errore di non perfetta orizzontalità dell’asse di collimazione viene eliminato
ΔAB = lA + ε – (lB + ε) = lA – lB
e inoltre: - viene eliminato l’errore dovuto alla necessità di determinare l’altezza strumentale; -
aumenta il dislivello che è possibile misurare; - raddoppia la distanza tra i due punti
x
x
lB
hM
x
x
lM
hA
Livellazione
geometrica
composta da un
estremo
x
B
x
ΔMB
M
x
ΔAB
ΔAM
x
A
x
Il dislivello totale ΔAB si ottiene sommando i due dislivelli parziali ΔAM e ΔMB
ΔAB = ΔAM + ΔMB = hA – lM + hM – lB = (hA + hM) – (lM + lB) = ∑h - ∑l
in cui: - h = altezze strumentali; - l = altezze mira
x
lM’ x
x lB
B
lA
x
x lM
S2
Livellazione
geometrica
composta dal
mezzo
S1
ΔAM = lA - lM
ΔMB = lM’ - lB
ΔAB = ΔAM + ΔMB
A
Il dislivello totale ΔAB si ottiene sommando i due dislivelli parziali ΔAM e ΔMB
ΔAB = ΔAM + ΔMB = lA – lM + lM’ – lB = (lA + lM’) – (lM + lB) = ∑c - ∑b
in cui: - c = controbattute; - b = battute
x
X
φ
x
lB
hA
B
ΔAB
Livellazione
tacheometrica
x
A
x B’
Nella livellazione tacheometrica il cannocchiale dello strumento può essere inclinato. Per
determinare il dislivello è necessario misurare la distanza D tra strumento e mira, l’altezza
strumentale hA, l’altezza della mira da terra lB e l’angolo verticale φ. Dalla figura risulta:
ha + X = ΔAB + lB
ΔAB = ha + X - lB
X può essere calcolata con la funzione coseno nel triangolo rettangolo di cui sono noti D e φ.
X = D x cos φ
La formula che permette di calcolare il dislivello diviene
ΔAB = D x cos φ + hA - lB
x
X
φ
x
lB
hA
B
ΔAB
x
Livellazione
tacheometrica
Attenzione
A
x B’
Nel caso in cui il cannocchiale è posto in posizione orizzontale (angolo verticale φ = 100c) risulta
cos φ = 0 e quindi D x cos φ = 0, la formula che permette di calcolare il dislivello diviene
ΔAB = ha – lB
che equivale ad una livellazione geometrica semplice da un estremo
Nel caso in cui la distanza D tra i due punti supera i 400 – 500 m, è necessario aggiungere al
dislivello una correzione equivalente all’errore di sfericità e rifrazione. La formula diviene
quindi
ΔAB = (D x cos φ + ha – lB) + d2/(2 x R) x (1 – K)
Per il calcolo delle quote dei punti, ci si può riferire a punti di quota nota,
costituenti la livellazione di alta precisione dell’IGMI – Istituto Geografico
Militare Italiano, la cui costruzione è iniziata nel 1950 ed è in continuo
aggiornamento. Al momento della sua realizzazione la rete era costituita da
circa 13000 punti (allo stato attuale sono più di 20000) detti capisaldi,
materializzati lungo le più importanti linee di comunicazione. Di ogni caposaldo
Livellazione di
alta precisione
IGMI
è stata redatta una apposita monografia.
I capisaldi sono divisi in:
 Prima categoria o nodali posti sulle intersezioni di più linee di livellazione
 Seconda categoria o fondamentali posti ogni 25 km
 Terza categoria o principali posti ogni 2 km
 Quarta categoria o di linea posti ad 1 km
Livellazione di
alta precisione
IGMI
Livello ottico meccanico LEICA
Livello ottico meccanico TOPCON
Livello laser GEOMAX
Livello GEOMAX con GPS integrato
Livelli
L’appezzamento ABCD viene rilevato dal punto di stazione A, da cui risultano visibili gli
altri punti. Orientato lo zero del cerchio orizzontale si misurano distanze, azimut e
dislivelli. Fissato l’orientamento del sistema cartesiano è possibile calcolare le coordinate
planoaltimetriche dei vertici
0c
B
Rilievo
planoaltimetrico
per coordinate
polari
A
(20)
C
(AC)
(AD)
Libretto delle Misure
Staz.
A
(20)
D
Punti
Angoli
Distanze
Dislivelli
B
0c.0000
32.150
+ 3.250
C
30c.1580
48.160
- 1.820
D
108c.6250
52.130
+1.510
XA = 0 m
Y
YA = 0 m
QA = 20 m
B
XB = 0 m
YB = AB = 39.780 m
ΔAB = QB – QA ----> QB = QA + ΔAB = 20 + 3.250 = 23.250 m
XC = AC x sen (AC) = 45.160 x sen
32c.1610
= 21.970 m
O = A
(20)
C
YC = AC x cos (AC) = 45.160 x cos 32c.1610 = 42.856 m
Rilievo
planoaltimetrico
per coordinate
polari
Esempio di calcolo
ΔAC = QC – QA ----> QC = QA + ΔAC = 20 – 1.820 = 18.180 m
XD = AD x sen (AD) = 52.130x sen 103c.6250 = 52.045 m
YD = AD x cos (AD) = 52.130 x cos 103c.6250 = - 2.966 m
ΔAD = QD – QA ----> QD = QA + ΔAD = 20 – 1.510 = 18.490 m
--- --- ---
Libretto delle Misure
Staz.
A
(20)
Punti
Angoli
Distanze
Dislivelli
B
0c.0000
32.150
+ 3.250
C
30c.1580
48.160
- 1.820
D
108c.6250
52.130
+1.510
D
X
Le poligonali aperte sono costituite da
E
una spezzata di cui si misurano tutte
ΔDE
le distanze e gli angoli nei vertici. Se
D̂
il rilievo è planoaltimetrico dai punti di
Ĉ
stazione dovranno essere misurati i
C
dislivelli sul punto precedente e quello
Rilievo
planoaltimetrico
per poligonazione
ΔCD
ΔBC
successivo
B̂
A
ΔBA
B (25)
STAZ.
PUNTI
C.O.
DISTANZE
DISLIVELLI
B
(25)
A
0c.0000
59.620
+ 3.250
C
122c.3650
42.130
+1.810
B
0c.0000
------
-----
D
239c.1830
40.900
- 2.840
C
0c.0000
------
-----
E
67c.1550
51.250
+3.790
C
D
D
 azimut
(AB) =
Y
100c
(BC) = (AB) + B ± 200c = 22c.3650
Xe
(CD) = (BC) + C ± 200c = 61c.5480
E
ΔDE
(DE) = (CD) + D ± 200c = 328c.7030
 coordinate dei punti
XA = 0 m
YA = 0 m
(CD)
Ye
(DE)
XB = AB = 59.620 m
C
YB = 0 m
ΔBC
XC = XB + BC x sen (BC) = 74.118 m
Rilievo
planoaltimetrico
per poligonazione
Esempio di calcolo
D
(AB) =
YC = YB + BC x cos (BC) = 39.556 m
O=A
100c
X
B
(25)
ΔBA
XD = XC + CD x sen (CD) = 107.781 m
(BC)
YD = YC + CD x cos (CD) = 62.784 m
XE = XD + DE x sen (DE) = 61.652 m
YE = YD + DE x cos (DE) = 85.115 m
 Quote
QA =QB + ΔBA = 25 + 3.250 = 28.250 m
QC = QB + ΔBC = 25 + 1.810 = 26.810 m
St.
Punti
C.O.
Dist.
Disliv.
B
(25)
A
0c.0000
59.620
+ 3.250
C
122c.3650
42.130
+1.810
B
0c.0000
------
-----
D
239c.1830
40.900
- 2.840
C
0c.0000
------
-----
E
67c.1550
51.250
- 1.790
QD = QC +ΔCD = 26.810 – 2.840 = 23.970 m
QE = QD + ΔDE = 23.970 – 1.790 = 22.180 m
C
 Pendenza segmento AE
AE = √ (XE2 + YE2) = 105.097 m
ΔAE = (QE – QA) = 22.180 – 28.250 = - 6.070 m
pAE = ΔAE/AE = - 0.057 x 100 = - 5.77%
D
La rappresentazione plano - altimetrica del terreno può
essere effettuata utilizzando le proiezioni quotate,
proiettando ortogonalmente i punti della superficie fisica
Cenni di
rappresentazione
plano-altimetrica
del terreno
sul piano orizzontale.
sono:
 piani quotati
 piani a curve di livello
Le proiezioni quotate utilizzate
Un piano quotato è una planimetria sulla quale vengono riportati i punti
caratteristici del terreno rilevati planoaltimetricamente, la cui quota viene
indicata tra parentesi accanto al punto stesso.
I punti sono collegati tra loro in modo tale da formare una rete di triangoli
piani ognuno dei quali si sovrappone il più possibile alla parte di terreno che
Piani quotati
rappresenta. Ogni lato del piano quotato costituisce un tratto a pendenza
costante.
I piani quotati non permettono una immediata comprensione dell’andamento del
terreno se non dopo un’attenta lettura delle quote; per questo motivo si
utilizzano per zone di limitata estensione
A (37.15)
L (22.81)
B (39.12)
I (29.27)
G (41.88)
Piani quotati
C (38.76)
H (35.11)
F (42.34)
D (44.02)
E (41.22)
Tagliando la superficie del terreno mediante un piano orizzontale si ottiene una
superficie piana in cui contorno è rappresentato da una linea curva detta curva di
livello.
Una curva di livello o isoipsa è una linea chiusa o aperta generalmente ad andamento
curvilineo che unisce punti di stessa quota
Curve di livello
La proiezione su di un piano orizzontale di tutte le curve di livello che possono essere
generate dall’intersezione di piani orizzontali posti a distanza costante origina una
rappresentazione a curve di livello.
La differenza di quota costante, dislivello, tra due isoipse adiacenti è definita
equidistanza (e). L’equidistanza si assume pari alla millesima parte del denominatore
della scala planimetrica
26,880
23,720
22
20
16
Curve di livello




18
60
55
50
scala 1:2000
distanza 1 cm = 20 m
e=2m
direttrici ogni 10 m
45
40
56,120
66,310




scala 1:5000
distanza 1 cm = 50 m
e=5m
direttrici ogni 25 m
Rappresentazione
a curve di livello
in scala 1:1000
Il profilo longitudinale rappresenta su di un piano verticale
l’andamento altimetrico del terreno lungo una direzione
assegnata.
Per il suo disegno è necessario riportare sull’asse delle X
Profilo
longitudinale
(ascissa fondamentale) le distanze tra i punti evidenziati sulla
rappresentazione a curve di livello e sull’asse delle Y le quote
dei punti
stessi. Le scale
di
rappresentazione
grafica
coincidono con quelle della carta. Si ricorda che la scala delle
quote (e) è pari ad 1/1000 di quella delle distanze
1
A
3
2
B
Q
Profilo
longitudinale
d1
A
1
D
d3
d2
2
3
B
Accanto ai tradizionali metodi di rappresentazione bidimensionale (carte topografiche,
tematiche, geologiche) si vanno diffondendo sempre più metodologie di rappresentazione
tridimensionale. Un modello tridimensionale (modello 3D) è infatti più facile da capire di
una rappresentazione codificata secondo le regole della cartografia tradizionale. Grazie
alla nascita ed allo sviluppo dei personal computer, si possono realizzare modelli digitali
tridimensionali sempre più complessi e realistici. Un rappresentazione della Terra
DEM
attraverso un modello matematico tridimensionale non è solamente utile per la
presentazione dei dati ma anche per tutte le operazioni di derivazione ed analisi che con
questa si possono realizzare.
Un Modello Digitale di Elevazione, anche noto come DEM, dall'inglese Digital
Elevation Model, è la rappresentazione tridimensionale di una superficie,
partendo dalle coordinate X, Y, Q di punti disposti sul terreno in maniera
irregolare. Occorre specificare quale sia la superficie rappresentata: ad
DEM e DTM
esempio DEM della superficie della vegetazione, DEM della superficie delle
acque ….
Nella gran parte delle applicazioni pratiche la superficie che interessa
modellare è la superficie del suolo terrestre. In questo caso si parla più
precisamente di Modello Digitale del Terreno o brevemente DTM, dall'inglese
Digital Terrain Model. Un DTM quindi è un tipo particolare di DEM.
Ad oggi, ci sono cinque fonti principali di dati che vengono utilizzate per
realizzare un DTM:
Fonte dati DTM
 Digitalizzazione cartografia esistente (a curve di livello)
 Rilievi topografici tradizionali o con GPS
 Restituzione fotogrammetrica da foto aeree
 Scansione laser aerotrasportato
 Scansione con radar aerotrasportato o da satellite
Un DEM può essere modellato e visualizzato, partendo da una apposita
banca
dati
contenente
le
coordinate
planoaltimetriche
utilizzando una delle seguenti strutture:
La creazione del
modello DTM
 Griglia a maglie quadrate (GRID)
 Rete di maglie triangolari irregolari (TIN)
dei
punti,
 GRID
L'insieme dei punti originali, irregolarmente distribuiti, viene trasformato in una griglia
regolare (a maglie quadrate uguali). Nel DEM risultante ciascuna tripletta (x, y, z)
rappresenta un quadrato della griglia chiamato anche cella. Un file DEM di questo tipo
si presta ad essere visualizzato in due dimensioni mediante un'immagine (ad es. bmp,
tif) assegnando a ciascun pixel dell'immagine un colore corrispondente all'elevazione
GRIN e TIN
della corrispondente cella del DEM.
 TIN (Triangulated Irregular Network)
È anche possibile produrre modelli costituiti da un insieme di punti quotati collegati da
segmenti a formare una rete continua di triangoli. La scelta dei punti può basarsi su
vari metodi, così come il collegamento dei punti può avvenire secondo vari criteri che
assicurino la continuità della superficie da rappresentare. La superficie di ogni
triangolo è definita dall’elevazione dei suoi tre vertici ed è piana.
TIN
GRIN e TIN
Il modello TIN consente di rappresentare la superficie vera con meno
punti rispetto al modello GRID. Infatti la densità dei punti può essere
adattata al livello di complessità locale della superficie: più punti per i
terreni accidentati, meno punti per i terreni con pendenze che variano
dolcemente. Il formato GRID non è adattabile, tende a semplificare
troppo le superfici montuose e a rappresentare con sovrabbondante
GRID o TIN ?
numero di punti quelle pianeggianti. I triangoli irregolari si prestano molto
meglio delle maglie quadrate uguali a rappresentare aree ove le pendenze
variano bruscamente (picchi, rotture nella pendenza come creste, strette
valli, salti, ...) o risultano particolarmente elevate (si pensi ad es. ad una
rupe rocciosa pressoché verticale o addirittura in contropendenza). In
aree come queste i lati del TIN possono allinearsi esattamente con le linee
che segnano discontinuità di pendenza.
DEM
DEM ottenuto da una cartografia a curve di livello in scala 1:5000 (e = 5 m) attraverso
modello TIN _ da SIT Ambiente Regione Campania