Il meccanismo di Higgs
Lezione 12
riferimento capitolo 8 Kane
Le masse delle particelle nel
Modello Standard





come assegnare una massa ai bosoni di gauge
come assegnare una massa ai fermioni
la matematica connessa
l’idea di simmetria nascosta o rottura spontanea
di simmetria
solo cenni qualitativi sul problema degli infiniti
della teoria e la sua rinormalizzazione
rottura spontanea di simmetria





Quando si parla di rottura di simmetria di una Lagrangiana,di solito
si pensa ad una Lagrangiana che è la somma di due Lagrangiane.
Una L0 che è invariante per un certo gruppo di trasformazioni ed una
L1 che non lo è.Se L1 è piccola rispetto ad L0 e può essere trattata
come una perturbazione, le conseguenze della simmetria L0 sono
poco violate e continuano ad essere importanti (vedi spin isotopico)
Questa è una simmetria rotta esplicitamente, o ”broken”
Una rottura spontanea è una cosa del tutto diversa. In
caso di rottura spontanea, la Lagrangiana continua ad
essere simmetrica, ma si scopre che le variabili adatte a
descrivere il sistema non lo sono!
Se si usano tali variabili,anche la Lagrangiana diventa asimmetrica
ma è simmetrica nelle varibili “originali”
Come può essere che abbiamo una Lagrangiana simmetrica,in
funzione di certe variabili, ma che si scopre che le variabili adatte a
descrivere il sistema non lo sono?
un esempio : il ferromagnetismo

un blocco di
materiale
ferromagnetico a
T=0 (stato
quantistico puro)









le forze tra gli spin sono invarianti per rotazione,
quindi lo è L.
il ferromagnete sarà però magnetizzato in una certa
direzione, anche se casuale, e dovuta ad una
fluttuazione statistica
se il magnete è finito, e per esempio fatto di pochi
spin,l’asse di magnetizzazione può ruotare facilmente
nello stato fondamentale il momento orbitale totale
L= 0 all’interno del sistema.
Per un sistema finirto non esiste una direzione
privilegiata = uguale ampiezza di probabilità di
trovare l’asse di magnetizzazione in ogni direzione
Ma se il magnete è costituito da  spin, il tempo di
riallineare gli spin è infinito
se il magnete è infinito,una volta che l’asse di
magnetizzazione ha una certa direzione non può
ruotare anche se l’energia di rotazione è nulla
In tali circostanze occorre un tempo infinito per una
rotazione comunque piccola
Se un piccolo ago magnetico si trova accanto ad un
ferromagnete infinito esso avrà una direzione di
equilibrio ben determinata e per descrivere le sue
oscillazioni converrà introdurre l’angolo  rispetto a
tale direzione
Lagrangiane e Particelle







Ricordiamo il ruolo delle Lagrangiane L nella fisica delle particelle
L definisce la teoria.É scritta nei termini delle particelle elementari
della teoria. Ogni oggetto composto deve apparire come uno stato
legato della teoria che emerge come una soluzione della teoria
Più precisamente è la parte di energia potenziale di L che rende
specifica la teoria. Le parti relative alla energia cinetica sono generali
e dipendono solo dallo spin delle particelle. L’energia potenziale
dipende dalle forze. È la Lagrangiana di interazione Lint
Perchè la fisica delle particelle è formulata con le Lagrangiane L ? L
è una unica funzione che determina la dinamica. Inoltre è uno scalare
in ogni spazio , e quindi invariante per trasformazioni.
In particolare , rendendo L invariante per trasformazioni di Lorentz,
ci garantiamo che tutte le previsioni della teoria siano Lorentz
invarianti
Nella teoria quantistica, minimizzando il potenziale, si determina lo
stato fondamentale, cioè il vuoto
Le particelle sono le eccitazioni del vuoto
il meccanismo di Higgs






essenzialmente, si fa l’ipotesi che tutto l’universo sia
riempito da un campo scalare (spin 0),chiamato campo di
Higgs.
il campo di Higgs è un doppietto in SU(2) ed ha una
ipercarica in U(1),ma è un singoletto di colore
fermioni e gauge-bosoni possono interagire con questo
campo, ed in sua presenza acquistano massa
stati con bosoni di Higgs sono non- ortogonali al “vuoto”,
(stato fondamentale del sistema) anche se questi stati
hanno numeri quantici di U(1) e SU(2) diversi da 0.
Il “vuoto” ha quindi numeri quantici di U(1) e SU(2) diversi
da 0; le simmetrie di U(1) e SU(2) sono rotte
la simmetria è valida per la Lagrangiana ma è rotta per lo
stato fondamentale del sistema (cioè per il vuoto); : è una
rottura spontanea di simmetria
vari esempi di rottura
spontanea di simmetria
Un campo scalare reale - una simmetria per
riflessione
Il campo scalare complesso-una simmetria
globale. Il bosone di Goldstone
Sommario delle Lagrangiane
 J  A
(elettromagnetismo)
1
L   F F 
4
Real Scalar or
Pseudoscalar field
Campo reale di
massa m e spin=0
1
L      m 2 2
2
Vector field, mass=0
Complex scalar or
pseudoscalar field of
mass m

     m2  0

*
1
* 
2 *






i

/
2
;

 1  i2  / 2
1
2
L       m  
2
     m2  0;     *  m2 *  0
massive abelian vector field
termine di massa
non abelian vector field


1 2 
m B B
2
Wa   Wa   Wa  gf abcWbWc
1  a 1 2  a
L   Wa W  m Wa W
4
2
Teoria dei campi e tecniche
perturbative





Lo stato fondamentale del sistema si trova
minimizzando l’energia potenziale ( o il
potenziale)
Convenzionalmente questo stato si chiama il
vuoto
Si trovano tutti gli altri stati eccitati espandendo
le funzioni di campo ( o potenziale) attorno al
minimo
Convenzionalmente gli stati eccitati
corrispondono alle particelle
L’insieme degli stati eccitati è lo spettro
rottura spontanea di simmetria: un esempio
simmetria per
riflessione
1
1 2 2 1 4

 


LL  T  V             4 rappresenta una
2
4
2
 interazione di forza 
per cominciare
consideriamo 
e  come
semplici
parametri
matematici;
poniamo >0
(limite inf.
potenziale per
)
per 2 < 0, il minimo
del potenziale si trova
minimizzando V().
=0 non è un minimo
il minimo
dell’energia si
ha quando sono
minime sia
l’energia
potenziale che
la cinetica.
V
 0;

(x) è un
per 2 > 0, il vuoto
corrisponde a =0,
che minimizza il
potenziale. 2 è il
termine di massa
valore di
aspettazio
ne del
2
2
    0 vuoto
per minimizzare
l’energia
cinetica,
(x)=cost


campo di
Higgs   xmin   


questa L è più generale di quello che potrebbe sembrare,perchè è possibile
dimostrare che potenze >4 introdurrebbero degli infiniti negli osservabili
2

Lrif
1
1 2 2 1 4


LL  T  V           
2
4
2

1 2 2 1 4
V
V       
2
4
 xmin   
 2




Lrif
 x      x 
espandiamo la funzione
attorno a =0
1
1 2
1

2
4

L
L           x       x  
2
4
2



1
1 2 2
1

4

2
LL          2        x  
2
4
2



1
1 2 2
1

4

2
LL        v  2v     v   x  
2
4
2

LL 


1
1
      2 v 2  2v   2
2
2
1

  v 4  4v 3  6v 2 2  4v 3   4 
4


L

22

v
1
 22 1 22 

        v   v  2  v 2
raccogliamo L 
2
2

2
i fattori

L
delle
potenze di


2
2

2
 3v
2

1
4
 v   
4

3
ricordando
che

v2 
 2

scompare il termine
lineare in 
1
1 4
 2 2

3
L
L       v   v     kost
2

4

1
1 4
 2 2

3
LL        v   v     kost
2
4


interpretazione di questo risultato

La Lagrangiana
m2=2v2=-22,
L()
rappresenta una particella di massa
e con due interazioni: una cubica di forza v, ed una
quartica, di forza /4.





kost può essere ignorato, ridifinendo il livello 0 della potenziale
Le Lagrangiane L() e L() devono essere equivalenti, se il problema è
risolto in modo consistente.
Se vogliamo una descrizione perturbativa, dobbiamo perturbare attorno ad
un minimo, per avere convergenza.
La particella definita dalla teoria con 2<0 è un campo scalare reale,con
una massa ottenuta dall sua self-interaction con altri scalari, perchè al
minimo della sua energia potenziale,c’è un valore di aspettazione del vuoto
v≠0
Non c’è traccia della simmetria di riflessione   -. É stata rotta la
simmetria quando si è scelto un vuoto specifico ( =+v, piuttosto
che  =-v)
Lrif
Un secondo esempio
Il campo scalare complesso
Una simmetria globale
  1  i2 
invariante per
trasformazione
di gauge
L
L
campo scalare complesso
2
   '  ei
LL          2 *   * 
*
1
 1 2  1  2 2  1  2 12  22   12  22
2
2
2
4

2>0 L ha chiaramente
un minimo nell’origine
del piano 1, 2


2< 0 L ha minimi sul
cerchio di raggio
12  22 
 2

 v2
scegliendo un punto sul cerchio,si
rompe la simmetria!
scegliamo
arbitrariamente
due particelle , 
1  v; 2  0
v    x   i  x 

2

2
La
lagrangiana
L ha una
simmetria
globale
U(1)
LL  1    2  1   2   2 2  v 2   3 
2
2


2
 2 2 

4
4 

 4  kost questo è il termine
4
(x) non ha massa: è il
bosone di GOLDSTONE.
il termine
in 2 è
scomparso
di massa di una
particella (x) con
massa m2=2|2|.
lungo il cerchio il potenziale è un minimo;
una eccitazione radiale spinge in sù il
potenziale ed una massa è associata con
la curvatura del potenziale.
lungo il cerchio non c’è resistenza al
moto, e questo è il senso
dell’eccitazione (particella) senza massa
E’ emerso un bosone senza
massa , diverso dal fotone, che
nessuno ha mai osservato
?
Applichiamo adesso questo
metodo matematico alla
lagrangiana della QED
Local gauge Abelian symmetry
Che cosa succede?
The Abelian Higgs Mechanism
Local Gauge Symmetry
introduciamo
ora una
invarianza di
gauge locale
abbiamo
considerato
invarianze di
gauge globali
campo vettoriale privo
di massa e derivata
covariante
1
A  A  A     x 
g
'
   D     igA
 è invariante per
 x    x   e
'
 x 
i  x 
The Abelian Higgs Mechanism
LL  D  
*






Local Gauge Symmetry
termini di energia cinetica del
campo e.m. che è privo di
massa
* 2

   
1
D           F F
4

2
*
La Lagrangiana per 2 > 0 rappresenta l’interazione di
una particella di massa  con il campo
elettromagnetico A.  è uno scalare carico con g=e.
questa lagrangiana contiene 4 campi indipendenti:
i due scalari reali 1 e 2
e i due stati di polarizzazione trasversa del bosone di
gauge
Vediamo cosa succede per 2 < 0
sappiamo
che  è
invariante
per
usando il
formalismo
già visto
 x    x   e  x 
i  x 
'
, sono reali
sapendo che possiamo sempre
utilizzare questa trasformazione e ci
sarà comunque un  che rende
possibile questa trsformazione


   
possiamo
scrivere,con h
reale
1
L  D  D           F F 
4
1
L     igA  v  h     igA v  h 
2
*

2

2
 x    x ei  x 
*
*
2

v  hx 
 x  
2
sostituiamo nella
Lagrangiana


1
v  h   v  h   F F 

2
4
4
2
 
4
1
1 2 2
1 4


2 2
3
L    h   h  g v A A  v h  vh  h
2
2
4
1 2 2
2

 g vhA A  g h A A  F F 
2
 
1 2 2
1
1 44


2 2
3
L    h   h  g v A A  v h  vh  h
2
2
4
1 22 22
22

 g vhA A  g h A A  F F 
2
termine di massa del
bosone di Gauge
M A  gv
il termine di massa del
bosone di gauge è
diverso da zero solo
quando la simmetria è
rotta spontaneamente dal
bosone di Higgs che
acquista il valore di
aspettazione del vuoto
termine di massa del
bosone di Higgs
M h  v 2
lo spettro
contiene solo
h, il bosone di
Higgs, che ha
varie selfinteractions
h ha anche
interazioni
cubiche e
quartiche con
il bosone di
gauge
il bosone di
goldstone  della
simmetria U(1) è
diventato la
polarizzazione
longitudinale del
bosone di gauge
A
la Lagrangiana è gauge-invariante, ma il vuoto non lo è; per minimizzare il potenziale
abbiamo dovuto scegliere una particolare direzione nello spazio 12
Lo spettro è adesso
un singolo bosone di Higgs h, con massa 2v2
, con varie self-interactions, più interazioni
cubiche e quartiche con il bosone di gauge A
piu un bosone di gauge massivo A, con 3 stati
di spin .
Si hanno quindi sempre 4 “stati” indipendenti
Questo è il meccanismo di Higgs
The Higgs mechanism and the
STANDARD MODEL
il bosone di Higgs  deve essere
assegnato ad un doppietto di
SU(2)
       1  i2
 
2
  
 0  0 3  i4
   
2
il campo
di Higgs
deve
essere un
doppietto
di SU(2)
in uno spazio SU(2) i due campi di Higgs
+ 0 sono legati da una rotazione
la Lagrangiana di 
 
L               

2 

2





* 0*

      0    *    0* 0
  2
2
2
2







2
3
4
    * *   0* 0  1
2


studiamo il
potenziale


2 
 2
'
i  x  2
V        
 x  x  e
x
è invariante per
rotazione
1  0
scegliamo un
0
il potenziale V() ha un minimo per 2 < 0
 
 
punto di
2
2

v
molti
2 v 
minimo,
  

punti
3  v; 4  3  1  0
rompendo la
2
2
soddisfano
simmetria
si studia lo
0 è il
questa
spettro di
2
2
2
2
condizione
vuoto
la simmetria
originale era 1        inv
Higgs (),
2
3
4
espandendo
scegliendo una direzione abbiamo 3 simmetrie globali rotte: abbiamo
attorno al
gauged way 3 campi ( 3 bosoni privi di massa)

vuoto,
1  0
Possiamo farlo, per l’invarinza per rotazione  


 
 x  
2  v  H x 
e si cercano le equazioni
soddisfatte da H.


possiamo fare una
“gauge -trasformation”

   '  ei  v
e ruotare  nella forma
la simmetria originale era una simmetria
O(4):
        inv
2
1
2
2
2
3
2
4
scegliendo una direzione abbiamo tre
simmetrie globali rotte
abbiamo “gauged way” tre bosoni di gauge
con massa 0 e tre campi
abbiamo eliminato i bosoni di Goldstone
il fotone
il bosone di Higgs ha due componenti, + (carica elettrica 1), e 0, (carica elettrica nulla)
Q carica elettrica
T3 autovalore di isospin debole
YH ipercarica di U(1)
Q  T3  YH 2
  
   0 
 
l’assegnazione
della carica
elettrica al
doppietto di
Higgs equivale
a porre
YH  1
soltanto la componente neutra 0 può avere un valore di aspettazione del
vuoto + non può, altrimenti non si conserverebbe la carica elettrica
questo rompe la si mmetria di SU(2)
YH  0 rompe U(1)
Però, se operiamo sul vuoto con l’operatore carica Q0 
elettrica
'
i  x Q
0  0
così il vuoto è invariante per 0   0  e
il vuoto è invariante per un
particolare U’(1), i cui generatori
sono una particolare
combinazione lineare dei
generatori originali di SU(2) e
U(1)
questo U’(1) è
l’U(1)
dell’elettromagneti
smo, ed il bosone
che resta senza
massa è il fotone.
T3  YH 20  0
conseguenza necessaria
della conservazione della
carica elettrica che ci ha
costretto a scegliere un
vuoto neutro
elettricamente
il meccanismo di Higgs all’opera

Y
 
D     ig1 B  ig 2 W
2
2
solita derivta covariante
si trasformano come U(1) e
SU(2)

1  0
 ;
2 v 
M W  vg2 2
massa Z
M Z  v 2 g12  g 22
M  0
massa 

  W

/
W    W 1  iW 2 / 2 ,
W
W W
0
1
 iW 2
2,
3
 g1  g 2 0 
 B  W 
2
2

Z  
2
2
g 2  g1
  
 
Y

Y


 

   ig1 B  ig 2 W   ig1 B  ig 2 W 
2
2
 2
  2

Y 1
massa W
si studia V()

3
1
2 
 g1 B  g 2W g 2 W  iW  0
 
1

1
2
3  
 


g
W

iW
g
B

g
W


1 
2   v 
8 2 





    18 v g B
1 2 2 12
v g 2 W  W2
8
termine di
massa
2
2
2
1

 g 2W3

1
   1 2
vg
 v g1 B  g 2W3

2  W W
8
2

2
2
2

2

2
1
    1
2
2 

 vg2  W W   v g 1  g 2  Z  Z
2

2

M W  vg2 2
M Z  v 2 g12  g 22
MW
vg2 2

M Z v 2 g12  g 22
il mixing di B e W3
garantisce che lo
stato neutro non
sia degenerato in
massa con il carico,
fino a che l’angolo
di Weinberg è
diverso da 0
misurare la
quantità
MW
 cos  w
MZ
MW

M Z cos  w
dovrebbe essere =1
qualsiasi deviazione è un segnale di
un discostamento dal Modello
Standard
le masse dei fermioni





dato che abbiamo il campo di Higgs come doppietto in
SU(2), possiamo scrivere un’interazione SU(2) invariante
con i fermioni e Higgs boson
al solito si definisce un doppietto,in cui ci sia il valore di
aspettazione del vuoto di Higgs v e la particella di Higgs
neutra H
sostituendo nella Lagrangiana per i leptoni si osserva che
resta un termine di massa per l’elettrone ed un termine
di vertice ( di interazione) elettrone-H, di cui si può
calcolare l’accoppiamento, che determina la probabilità
di un elettrone o positrone di radiare un Higgs, o per un
Higgs di decadere in e+e-.
si è supposto che i neutrini abbiano massa=0, il che
implica che non interagiscono con il bosone di Higgs
é possibile scrivere una Lagrangiana di interazione anche
per quark
Lagrangiana interazione leptoni,Higgs
 e 
  
L        
 0 
 e L
 
ge è un
termine
arbitrario
SU(2) invariante
moltiplicare
per il
singoletto eR
non cambia
l’invarianza
L    eL   eR 0
 0 


 vH 




2


valore di
aspettazione
del vuoto di
Higgs

LL  ge L eR    eR L



questo
termine è
ll’Hermitiano
coniugato del
primo


gev     ge    
L
eL eR  eR eL 
eL eR  eR eL H
2
2
particella
neutra di
Higgs
(fisica)
massa
elettrone
me  gev / 2
ge  2me / v
e
forza
diaccoppi
amento
eH
e
H
ge
 me / v
2
me
L  me e e 
e eH calcolo della probabilità di due
elettroni di annichilitrsi in H
v
o di un elettrone di emettere un H
Lagrangiana di interazione
elettrone-bosone di Higgs



me
LL  me e e 
e eH
v
Non c’è un termine di massa per il
neutrino  massa = 0
Formalmente, non possiamo scrivere
una L che contenga termini con il
neutrino destrorso,che per ipotesi non
esiste  non interagisce con H.
R, se esiste, è difficile da trovare . Ha
infatti T3=0,Q=0, e non si accoppia a
W ,Z0 o 
 R L
masse dei quark



Notare che se 
è un doppietto di
SU(2), allora lo è
anche c
Possiamo
scrivere la L di
interazione
usando c
L’ipercarica di ,
Y=1 per c
Y=-1 Q=T3+Y/2
  b* 
 c  i 2 *   * 
 a 
a
   
b 
 
c   
 
0*




 vH 


c   2 
 0 


LLint  g d QLd R  guQLcuR  H .C
md
mu
LLint  md d d  mu u u  d dH  u u
v
v