Integrali Impropri - Funzioni continue a tratti
Le funzioni continue a tratti sono funzioni che presentano
nell’intervallo [a,b] un numero finito di punti di discontinuità
di prima specie.
f(x)
a

b
a
x0- x0 x0+
f (x)  dx  lim
0

x0 
a
b
f (x)  dx  lim
 0

x
b
x0 
f (x) dx
Integrali Impropri - 1° Tipo [a,+∞)
Consideriamo una funzione, di equazione y=f(x) integrabile in ogni
intervallo [a,t] con t>a ossia in ogni intervallo [a,t]  [a,+∞)
f(x)
a
t
x
Diremo che la funzione f è integrabile in sensot improprio
nell’intervallo [a,+∞) se esiste finito il lim a f (x) dx
t 
e scriveremo


a
t
f (x)  dx  lim f (x) dx
t 
a
In tal caso l’integrale improprio è convergente
Integrali Impropri - 1° Tipo
Se il limite esiste finito allora l’integrale improprio è convergente
Se il limite è infinito allora l’integrale improprio è divergente
Se il limite non esiste allora l’integrale improprio è indeterminato
Integrali Impropri - 1° Tipo [-∞,b)
Consideriamo una funzione, di equazione y=f(x) integrabile in ogni
intervallo [s,b] con s<b ossia in ogni intervallo [s,b]  (-∞,b]
f(x)
x
s
b
Diremo che la funzione f è integrabile in senso improprio
b
nell’intervallo (-∞,b] se esiste finito il lim s f (x) dx
s 
e scriveremo

b

b
f (x)  dx  lim f (x) dx
s 
s
Integrali Impropri - 1° Tipo (-∞,+∞)
Consideriamo una funzione, di equazione y=f(x) integrabile in ogni
intervallo [s,t] con s<t ossia in ogni intervallo [s,t]  (-∞,+∞)
f(x)
s
t
Diremo che la funzione f è integrabile in senso improprio
t
nell’intervallo (-∞,+∞) se esiste finito il
lim s f (x) dx
e scriveremo



t
f (x)  dx  lims f (x) dx
s 
t 
s 
t  
x
Integrali Impropri - 1° Tipo (Esercizi)



2

1
1
2  dx
x  1
1
 dx
2x 3

 sen x  dx
0
0
x
e
  dx
dx
 1  x 2

Integrali Impropri - 1° Tipo (1/x)
Determiniamo l’integrabilità della funzione
1
f (x)  
x
  R+
in un intorno di +∞ cioè in un intervallo del tipo [a,+∞) al
variare di . Ci sono 2 casi:
•Per 1 si ha
 1 t
 1
 1

1
x
t
a


 dx  lim
 lim

lim

a x
   1
t 
t    1 a
t    1
t
Si osserva che:
• per -+1<0 cioè >1
 1
t
lim  0
t 
 1
t
 
• per -+1>0 cioè <1 lim
t 
Integrali Impropri - 1° Tipo (1/x)
•Per =1 si ha
1
t

dx

logx


logt

loga



lim
lim
lim

a
ax
t 
t 
t  
t
Quindi


a
1
  dx
x
converge per >1
diverge per ≤1
Integrali Impropri - 2° Tipo
Consideriamo una funzione, di equazione y=f(x) continua
nell’intervallo [a,b-] con un punto di discontinuità di seconda
specie nel punto b
f(x)
a
b
x
Diremo che la funzione f è integrabile in senso improprio
b 
nell’intervallo [a,b ] se esiste finito il lim a f (x) dx
e scriveremo

b
a
b 
 0 
f (x)  dx  lim f (x) dx
  0
a
In tal caso l’integrale improprio è convergente
Integrali Impropri - 2° Tipo
Se il limite esiste finito allora l’integrale improprio è convergente
Se il limite è infinito allora l’integrale improprio è divergente
Se il limite non esiste allora l’integrale improprio è indeterminato
Integrali Impropri - 2° Tipo
Consideriamo una funzione, di equazione y=f(x) con qualche punto di
discontinuità di seconda specie nell’intervallo [a,b]
f(x)
a
d
x
c
b
Diremo che la funzione f è integrabile in senso improprio
nell’intervallo [a,b ] se esistono finiti i limiti
lim


0

c
a
lim


f (x) dx

0
 0 
e scriveremo

b
a
d 
c 
f (x)  dx
c 
lim


0

d
b
d 
b
f (x) dx
f (x)  dx  lima f (x) dx  lim c  f (x)  dx  lim d  f (x)  dx
  0
 0 
  0
 0 
Integrali Impropri - 2° Tipo - Esercizi

2
0
dx
2 x
dx
0 x  x
1
Integrali Impropri - 2° Tipo (1/(x-a))
Determiniamo l’integrabilità della funzione
1
f (x) 
(x  a)
  R+
in un intervallo del tipo [a,b] al variare di . Ci sono 2 casi:
•Per 1 si ha
 1 b
1
(x  a)

dx

lim
lim

a (x  a)

  1
 0
  0
b
Si osserva che:
• per -+1<0 cioè >1
a 
 1
  1

(b

a)


 lim

  1
  0     1
 1

 
lim
 0 
 1

0
• per -+1>0 cioè <1 lim
 0

Integrali Impropri - 2° Tipo (1/(x-a))
+∞
•Per =1 si ha
1
b
 dx  limln x  a a  limln b  a  ln    
lim

a (x  a)

 0
  0
  0
b
Quindi
1
a (x  a)  dx
b
converge per <1
diverge per 1
Integrali Impropri - 2° Tipo
Integrali Impropri - 2° Tipo