MATEMATICA E MEDICINA DEL SONNO
M.L. Manca
Dipartimento di Neuroscienze
Il sonno è una funzione biologica basilare,
come alimentarsi e respirare
Il sonno esiste in tutti gli esseri viventi in forma più
o meno evoluta
Senza sonno si morirebbe
PROSPETTIVA STORICA
Upanishad (1000 a.C.) aveva diviso l’esistenza umana in 4 stadi: la
veglia, Il sogno, il sonno profondo senza sogno, il superconscio
Aristotele (300 a.C) riteneva che il cibo generasse calore e sonnolenza
Per Lucrezio (I sec. a.C.) il sonno era l’assenza di veglia
Per Omero (‘Iliade’) e Shakespeare (‘Amleto’) il sonno era ‘fratello’
della morte
PROSPETTIVA STORICA
Ippocrate disse che il sonno era causato dal ritiro del sangue e del calore
verso le regioni interne del corpo
Paracelso, XVI secolo, scrisse che il sonno ‘naturale’ durava circa 6 ore,
eliminava la stanchezza e rinvigoriva
Nel XIX secolo si riteneva che il sonno fosse provocato dalla mancanza
di ossigeno al cervello
Kohlschutter (XIX secolo), fisiologo tedesco, riteneva che il sonno fosse
più profondo nelle ore iniziali e divenisse più leggero col trascorrere del
tempo
Teoria istintiva (Moruzzi, 1972)
Sonno come spinta istintiva verso un comportamento gratificante
Teoria adattiva (McGinty, 1974)
Sonno come comportamento vantaggioso per la sopravvivenza
DEPRIVAZIONE DI SONNO
Primo esperimento: Patrick & Gilbert, 1896
3 soggetti non dormono per 90 h:
Sonnolenza vincibile solo con stimoli forti
Illusione visive
Tempi di reazione e memoria diminuiscono
Forza muscolare diminuisce
Acutezza visiva aumenta
Presenza di microsonni
Recupero rapido
Esperimento più lungo: Randy Gardner, 1964, non dormì per 11 giorni di
fila (Guinnes dei Primati)
POLISONNOGRAFIA
Intorno al 1950, Aserinsky e Kleitman scoprirono la fase REM del
sonno. Oggi sappiamo che esistono 2 fasi distinte del sonno:
non-REM e REM
Alcuni anni più tardi, 1968, Rechtschaffen e Kales inventarono la
polisonnografia
Il termine ‘polisonnografia’ fu introdotto da Holland e colleghi,
1974
POLISONNOGRAFIA
Si monitorizzano simultaneamente:
EEG (attività cerebrale)
ECG (attività cardiaca)
EMG (tono muscolare)
EOG (movimenti oculari)
Architettura del Sonno
Sonno non-REM
Il sonno non-REM costituisce circa il 75% del tempo totale di
sonno
Sulla base dell’EEG è suddiviso in 4 fasi:
-stadio I: riduzione delle onde a a valori inferiori al 50%
rispetto alla veglia, presenza di onde t
-stadio II: onde t e d
-stadi III e IV: onde ‘lente’
Architettura del Sonno
Sonno REM
Il sonno REM costituisce circa il 25% del tempo totale di
sonno
Sulla base dell’EEG è suddiviso in 2 stadi (tonico e fasico)
caratterizzati da onde a basso voltaggio frammiste a
onde t
Il sonno è costituito da 4-6 cicli di sonni non-REM e REM
Sonno e Sogno
Sembra che la maggior parte dei sogni si verifichi al risveglio dal sonno
REM (sogni carichi di emotività)
e la restante al risveglio dal sonno non-REM (sogni più realistici)
Forse il sonno REM e il sogno servono alla cancellazione e/o consolidamento
delle informazioni in memoria
(Teoria del consolidamento della memoria, McCough; 1975)
MACROSTRUTTURA DEL
SONNO
Principali processi regolanti i cicli di
sonno
MODELLI MATEMATICI
Il Modello di Lotka-Volterra
Può essere usato per descrivere 2 popolazioni che interagiscono
biologicamente (prede e predatori)
Per definizione è un modello dinamico nel quale il tasso del sopravvento di
ogni popolazione è una funzione della densità di entrambe le popolazioni
MODELLI MATEMATICI
Il Modello di Lotka-Volterra
McCarley e Hobson utilizzarono, 1975, il modello di Lotka-Volterra per descrivere l’alternarsi
degli stati di ‘Rem-On’ e ‘Rem-Off’ considerati come elementi alternativamente attivi.
Quando il primo neurone (cellula del sistema nervoso) è attivo, il secondo è inibito dall’attività
di questo, e rimane in uno stato di inibizione, poi si attiva e inibisce il primo neurone
MODELLO MATEMATICO DELLA MACROSTRUTTURA DEL SONNO
(Borbely, 1982)
Il modello considera i 3 principali processi che regolano il sonno come
rappresentati da un insieme di funzioni matematiche che descrivono la ciclicità
del sonno nel tempo (nelle 24h)
Ritmo circadiano
Un orologio biologico è presente in tutti i viventi
Il ritmo circadiano organizza il ciclo sonno-veglia nelle 24 h
MODELLO MATEMATICO DELLA MACROSTRUTTURA DEL SONNO
(Borbely, 1982)
Ritmo omeostatico
E’ la propensione all’addormentamento
Ha andamento non lineare che dalle 7 alle 23 sale lentamente
e dalle 23 alle 7 scende velocemente
MODELLO MATEMATICO DELLA MACROSTRUTTURA DEL SONNO
(Borbely, 1982)
Ritmo ultradiano
Descrive l’alternarsi delle fasi REM e non-Rem
Si osserva una progressiva diminuzione dell’intensità dei cicli
non-REM e il corrispondente aumento dei cicli REM
MODELLO MATEMATICO DELLA MACROSTRUTTURA DEL SONNO
(Borbely, 1982)
SWA – Slow Wave Activity
Sperimentalmente si osserva che la grandezza fisica più significativa è la SWA,
definita come la potenza totale delle onde prodotte dall’attività cerebrale
nelle 24 h
Il modello di Borbely (e successivi) descrivono le interazioni tra la SWA e
i processi circadiano, omeostatico e ultradiano
MICROSTRUTTURA DEL
SONNO
Il sonno è un processo complesso
regolato da diversi gruppi di neuroni
(cellule del sistema nervoso centrale)
SONNO ED EEG
L’ETA’ D’ORO DELLA MEDICINA DEL SONNO
Iniziò dopo le scoperte delle onde EEG nell’animale (Caton, 1875)
Il primo studioso a registrare l’EEG nell’uomo fu il tedesco Hans Berger,
che iniziò ad interessarsi all’attività elettrica del cervello nel lontano 1902
Anche l’italiano Mario Gozzano, nel 1935, scrisse un’importante lavoro
sulle registrazioni EEG sulla corteccia del cane
Nel 1937 Loomis e colleghi scoprirono che le differenti fasi del sonno
provocano modificazioni dell’EEG
SONNO ED EEG
Un segnale può essere definito come una funzione
che contiene informazione, in generale riguardo allo stato o al
comportamento di un sistema fisico.
Anche se i segnali possono essere rappresentati in molti modi,
l'informazione è sempre contenuta nelle variazioni di una o più
grandezze in qualche dominio (tempo, spazio, ...)
Matematicamente un segnale è rappresentato come funzione di una
o più variabili indipendenti
• Segnali deterministici:
– si ripetono sempre “uguali” in osservazioni ripetute
• forma tipica che li caratterizza
• “prevedibili”
descritti in termini matematici
• Segnali casuali (o aleatori):
– variabili in maniera imprevedibile
• non hanno forma tipica
• descritti in termini statistici
I segnali casuali sono stazionari se i parametri statistici che li descrivono (media, varianza etc.)
sono invarianti nel tempo
SEGNALI BIOMEDICI
SPONTANEI: EMESSI DAL TESSUTO DURANTE IL SUO NORMALE
FUNZIONAMENTO
ES: EEG
INDOTTI: OTTENUTI INVIANDO ENERGIA ESTERNA AL TESSUTO IN
ESAME
ES: TC
SEGNALE EEG
potenziale elettrico dell’attività del cervello
registrato sullo scalpo con elettrodi di superficie
4 frequenze base
le caratteristiche dell’EEG dipendono dallo stato di vigilanza
casuale
banda 0.1 Hz - 50 Hz, ampiezza 5 μV - 100 μV
stazionario per brevi tratti
non periodico ma spesso con un ritmo prevalente
Serie di piccoli elettrodi (19 nel SI
10/20) di metallo nobile da
posizionare sullo scalpo
Si usa il collodio per favorire la
conduzione e ridurre l’impedenza
Ciascun elettrodo è connesso
all’input di un amplificatore
differenziale (un amplificatore per
ogni coppia di elettrodi) che
amplifica notevolmente il
voltaggio di per sé modesto
Le oscillazioni di tensione sono
registrate con un registratore
multicanale
Campionamento a 128 o 256 Hz
Gli studiosi
dell’EEG hanno
diviso l’asse delle
frequenze
in bande
EEG E
STADI DEL SONNO
EEG E SISTEMI DIGITALI
L’analisi visiva dell’EEG non è molto utile. Quantificare in tal modo le frequenze
è pressoché impossibile perché quanto vediamo nel tracciato EEG è il risultato di
una combinazione di frequenze
Dopo il 1980, l’avvento del computer ha provocato una vera e propria rivoluzione
nell’analisi dell’EEG e nella medicina del sonno
L’applicazione dell’analisi di Fourier all’EEG ha consentito la separazione dei vari ritmi
e la stima delle loro frequenze, indipendentemente l’una dall’altra
Che cosa fa in sostanza l’analisi di Fourier all’EEG?
È simile a ciò che accade alla luce quando passa attraverso un prisma di vetro
Il raggio di luce si decompone nelle principali componenti e si ottiene così lo spettro
METODI DI ANALISI DELL’EEG
Metodi ‘tradizionali’
Trasformata di Fourier
Metodi ‘avanzati’
Modelli parametrici
Modelli autoregressivi (AR)
ANALISI DI FOURIER
Trasformata di Fourier, 1811
L’analisi spettrale è quella più utilizzata tra le analisi computerizzate
dell’EEG. Si basa sull’analisi di Fourier, secondo cui qualsiasi onda
può essere scomposta in una somma di onde sinusoidali, che
sommate ‘ricostruiscono’ l’onda originale
I coefficienti di Fourier rappresentano l’ampiezza e la fase per ciascuna delle
frequenze delle onde componenti. La somma dei quadrati dei coefficienti
a una data frequenza forniscono la potenza a quella frequenza
Il diagramma delle frequenze fornisce lo spettro di frequenza dell’EEG, che permette di
determinare il contributo relativo che le varie frequenze danno all’onda nella finestra di
tempo analizzata
Ampiezza: ampiezza del picco in una
data banda di frequenza
Potenza: somma di tutte le ampiezze
di una data banda di frequenza
Spettro o densità spettrale:
distribuzione della potenza del
segnale in funzione della frequenza f
TRASFORMATA DI FOURIER
QUESTE FORMULE MOSTRANO IL PASSAGGIO DAL DOMINIO DEL TEMPO x(t) AL DOMINIO DELLA
FREQUENZA X(f) E VICEVERSA
UN SEGNALE EEG DESCRITTO OGNI ISTANTE DA UNA FORMA D’ONDA x(t), GRAZIE ALLA TRASFORMATA
DI FOURIER PUO’ ESSERE SCOMPOSTO IN UNA SOMMA DI COMPONENTI
DETTE ARMONICHE.
SI OTTIENE COSI’ LA ‘TRASFORMATA’ DEL SEGNALE, OVVERO LA FUNZIONE X(f) CHE RAPPRESENTA LO
STESSO SEGNALE EEG DESCRITTO PERO’ NEL DOMINIO DELLE FREQUENZE
LA PRIMA ARMONICA HA FREQUENZA PARI ALL’INVERSO DELLA
DURATA DEL SEGNALE
Il segnale EEG è
‘equivalente’ ad una
somma di sinusoidi,
ognuna con una certa
ampiezza e frequenza
‘Equivalenza’ tra EEG e somma di sinusoidi
Se anziché Ai si considerano Ai2 si ottiene lo spettro di potenza del segnale s(t)
TRASFORMATA VELOCE DI FOURIER: FFT
L’algoritmo della FFT (Cooley & Tukey, 1965) è un metodo di calcolo della DFT
(Trasformata Discreta di Fourier), funzione che approssima la trasformata di
Fourier con un numero finito di operazioni
Consente di eseguire l’analisi spettrale in maniera semplice e veloce
Sono ormai commerciali software che consentono di visualizzare lo spettro delle
tradizionali bande di frequenza in una data frequenza
Questo permette al medico esperto di sonno di rilevare e quantificare
immediatamente frequenze non apprezzabili visivamente
PROBLEMI DELL’FFT
In realtà lo spettro di frequenza è una ‘buona’ rappresentazione del segnale originale solo se quest’ultimo è
stazionario, e il segnale EEG non è stazionario. Lo è ‘ragionevolmente’ per brevi periodi
In pratica la parte di tracciato selezionato non deve includere evidenti variazioni, non certamente le fasi
dell’addormentamento o del risveglio
L’analisi di Fourier di un ritmo non sinusoidale di una data frequenza mostra spesso un grande picco a
quella frequenza con picchi minori alle armoniche della frequenza stessa. Questi picchi minori possono far
concludere erroneamente che sia presente un’attività cerebrale
Altri problemi:
limite di risoluzione spettrale (si trascurano valori il cui contributo non è nullo)
qualità della stima dello spettro (rappresentazione sbilanciata a favore delle basse frequenze)
Modelli parametrici
Modelli Autoregressivi (AR)
Approssimano un segnale EEG con un funzione lineare
sommata ad un dato ‘rumore’
y(t) = - S a(k)*y(t-k) + u(t), k = 1,..,p p ordine del modello AR
u(t) ‘rumore’
In sostanza, le caratteristiche significative del segnale y(t) possono essere determinate
usando la regressione del segnale su se stesso,
Il segnale è ‘prevedibile’ combinando opportunamente le uscite passate, da cui il nome di
predizione lineare o ricorsività
Determinazione dei parametri del modello
Metodi dei minimi quadrati
Metodo più usato: la minimizzazione dell’errore quadratico medio equivale a risolvere il
sistema lineare di equazioni di Yule-Walker
Esistono diversi algoritmi per risolvere il sistema (per es.: algoritmo di Levinson)
Determinazione dell’ordine ottimale del modello
Algoritmo AIC (Akaike Information Criterion)
Si cerca l’ordine k del modello AR t.c.
minAIC(k)
AIC(k) = N * lnrk + 2k
dove N è la lunghezza dei dati e rk una stima della varianza
del ‘rumore’
Confronto fra i metodi
Tradizionali:
> sensibilità al ‘rumore’
< risoluzione di frequenza
Parametrici:
> risoluzione di frequenza
< sensibilità al rumore
+ EEG descritto con pochi parametri
- problema della stima dell’ordine del modello