Istituto Comprensivo Statale
“G.Gamerra”
Via Ximenes 56014 PISA
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Codice Istituto: PIIC 81800R
Un percorso accidentato
tra numeri, operazioni
e strumenti di calcolo
L’insegnante prepara una serie di cartellini contenenti le
cifre da 0 a 9 e i segni delle 4 operazioni (nella scuola
media possono essere aggiunte l’elevazione a potenza e
l’estrazione di radice)
Viene estratto un numero-bersaglio di 3 cifre, estraendo
per tre volte un cartellino-cifra e rimettendo ogni volta
nel mazzo il cartellino estratto
Si estraggono, ancora casualmente, ma questa volta senza
rimettere il cartellino nel mazzo, tre cifre e due
operazioni (possono diventare tre nella scuola media)
Arrivare nel tempo stabilito di 5 minuti,
più vicino possibile al numero bersaglio,
combinando a piacere cifre e operazioni
Cifre e operazioni possono
essere utilizzate più volte
Un numero può contenere le
stesse cifre
Dalla terza classe della scuola elementare
Con gruppi di lavoro omogenei
Calcolando alternativamente a mano e con la calcolatrice
Assegnazione del punteggio
•Per ogni sequenza corretta (il calcolo deve essere corretto) 1
punto
•Per ogni sequenza sbagliata –1 ( 0 nella scuola elementare)
•Per il mancato svolgimento –2
•La risposta più vicina al numero-bersaglio, in mancanza del
centro, vale 3 punti
•Al gruppo che centra il bersaglio vengono assegnati 5 punti
•Viene assegnato un bonus di 2 punti a chi usa tutte le cifre
estratte e tutti i simboli di operazione
•Viene assegnato un bonus di 2 punti a chi individua la strada più
breve
Il punteggio massimo che può essere conseguito è di 10 punti.
Un esempio
Numero bersaglio: 543
Cifre: 2, 6, 9
Simboli di operazione: - x
Sequenza operativa che centra il bersaglio
6 x 2 = 12
12 x 6 = 72
72 x 9 = 648
648 – 96 = 552
552 – 9 = 543
Il seguente numerando è stato effettuato in una 5^
elementare ed ha offerto spunti interessanti sulla
divisibilità e sul calcolo mentale.
Numero bersaglio: 233
Cifre: 2, 4, 8
operazione
: e x
Il sei gruppi di alunni hanno fornito le seguenti soluzioni
Gruppo 1
28 x 4 = 112
Gruppo 4
112 x 2 = 224
Gruppo 2
192: 4 = 48
48 x 4 =192
42 x 8 = 336
336 : 2 =168
24 x 8 = 192
Gruppo 5
28 x 4 = 112
112 x 2 = 224
Gruppo 3
44 x 4 = 176
176 x 4 =704
704 : 8 = 88
88 x 4 = 352
352 : 2 = 186
Gruppo 5
842 : 8 = 105
105 x 2 = 210
Numero bersaglio: 233
Cifre: 2, 4, 8
operazione
: e x
Poiché non c’è stato tempo di esaminare i risultati con i bambini di 5^,
ho provato a sottoporre il loro lavoro agli alunni della classe 1^E,
suddivisi a loro volta in 6 gruppi di 3 alunni ciascuno, però questa volta
secondo un criterio di omogeneità interna ( 2 gruppi di livello alto, 2 di
livello intermedio e 2 di livello basso)
La consegna è stata la seguente:
Esaminate i risultati del seguente numerando effettuato in una
5^ elementare.
Se foste l’insegnante che cosa fareste osservare agli alunni?
Quali indicazioni dareste per aiutarli a fare meglio?
La consegna è risultata piuttosto oscura,
perché il primo impulso è stato quello di
cimentarsi con il gioco per cercare di fare
meglio (ma senza successo). In effetti, le
risposte date in questa prima fase hanno un
po’ disatteso le aspettative, ma sono state
comunque
l’attenzione
sufficienti
degli
alunni
per
sulle
spostare
relazioni
intercorrenti tra le cifre e tra le operazioni
Ecco una sintesi delle risposte
Consiglio di fare più tentativi in modo da avere più
possibilità
Se fossi l’insegnante osserverei le operazioni degli alunni: chi
c’è arrivato più vicino, chi ha usato il bonus e chi c’è andato
più lontano
Gli farei notare che nessuno ha centrato il bersaglio e quelli
che si sono avvicinati di più hanno usato un solo segno, il x ,
e le stesse operazioni.
Per centrare il bersaglio bisognerebbe arrivare al numero
466 e poi dividere per 2
E’ molto difficile raggiungere un bersaglio dispari con tutte le
cifre pari e i segni : e x
Si può arrivare a 224 con una sola operazione, invece che con
2 come hanno fatto G1 e G5; basta fare 28 x 8 = 224
Una volta rilevata l’inutilità delle prime osservazioni (tutti
sanno di non aver centrato il bersaglio e anche che consigliare
di fare più tentativi non aiuta) abbiamo concordato che i
suggerimenti dell’insegnante dovrebbero produrre qualcosa di
interessante, ad esempio potrebbero indirizzare verso una
scoperta significativa, come abbiamo sperimentato in altre
occasioni. A questo punto ho chiesto di spiegare l’ultima
osservazione, che è stata la più adeguata ed è stata data da uno
dei due gruppi di livello più basso. La cosa ha destato il
disappunto dei bravi, inorgoglito i ritardatari, ma, soprattutto,
motivato l’intera classe a guardare il compito con occhi diversi.
Come auspicato, dopo una discussione generale, sono arrivate
tutte insieme le risposte cercate:
Moltiplicare per 8 e poi dividere per 4 è lo stesso che
moltiplicare per 2 (v. G4)
Moltiplicare per 8 e poi dividere per 2 è come moltiplicare per
4, viene fuori da 8 : 2! (v.G2)
Dividere per 4 e poi moltiplicare per 4 fa rimanere al punto di
partenza, perché …(è stato necessario pensarci)
moltiplicazione e divisione sono una l’inverso dell’altra (v.G4)
Moltiplicare tre volte per 4 è come moltiplicare per 64 (4 ³ !)
e, dividere per 8 e poi per 2 è come dividere per 16; ma
allora moltiplicare per 64 e dividere per 16 è lo stesso che
moltiplicare per 4, lo dimostra il fatto che alla fine si ottiene
lo stesso risultato della prima operazione (v.G3)
2 è 2¹, 4 è 2² e 8 è 2³ una sta dentro l’altra
Dal Numerando alle espressioni
BERSAGLIO: 272
CIFRE:
2, 4, 9
OPERAZIONI: + x
Soluzione di un alunno:
94 x 2 = 188
188 + 42 = 230
230 + 42 = 272
La trasformazione di tale sequenza
espressione è stata immediata:
94 x 2 + 42 + 42 = 272
in
E’ possibile scrivere
l’espressione in modo diverso?
Arriva puntuale la risposta
attesa:
94 x 2 + 42 x 2 = 272
E’ possibile fare un’ ulteriore
trasformazione inserendo le
parentesi tonde?
Gabriele propone (94 + 42) x 4
Mattia corregge (94 + 42) x 2
Operazioni a confronto
Bersaglio 381
Cifre 6, 1, 4
Operazioni x :
Unica soluzione trovata
64 x 6= 384
384 : 1= 384
Ora che conoscete meglio le operazioni
aritmetiche e avete imparato a ricavare
informazioni su un numero dalla sua
fattorizzazione, provate a spiegare
perché risulta difficile centrare questo
Numerando
Se provassimo a lasciare
invariati bersaglio e cifre
e cambiassimo la
combinazione delle
operazioni? Sarebbe
ugualmente difficile
centrare il bersaglio?
+ - 661 – 441 +161 = 381
+ x 61 x 6 +14 +1 = 381
+ : 1164 : 4 + 64 +16 + 6 + 4 = 381
- x 66 x 6 –14 –1 = 381
- : 461 – 66 –14 : 1 = 381
E se partissimo da lontano?
BERSAGLIO: 343
CIFRE:
3, 6, 9
OPERAZIONI: - :
Cifre: 3, 6, 9
Alcune soluzioni
369 – 9 = 360
360 – 9 = 351
351 –9 = 342
Operazioni - :
696 –333 =373
373 – 33 = 340
36663 : 33 = 1111
1111 – 699 = 412
369 – 9 = 360
360 – 6 = 354
354 – 6 = 348
348 – 3 = 345
345 – 3 = 342
412 – 69 = 343
3699 : 9 = 411
411 – 69 = 352
352 – 9 = 343
INDAGINE SUL COMPORTAMENTO DEI NUMERI
PARI E DEI DISPARI
La classe sta cercando la soluzione a
un “Numerando” che due mesi prima
era risultato piuttosto difficile: 4
gruppi su 6 non erano riusciti neanche
ad avvicinarsi al bersaglio, nonostante
avessero a disposizione la calcolatrice.
BERSAGLIO: 582
CIFRE:
9, 1, 3
OPERAZIONI: - x
Gli alunni non si sono resi conto di averlo già affrontato e pensano che
provenga da un’altra classe; sospettano che nasconda qualche insidia e, durante
la dettatura, Andrea commenta sottovoce: “ Questo è difficile, non può tornare,
le cifre sono tutte dispari e il bersaglio è pari”.
Non raccolgo sul momento la frase, ma la pongo all’attenzione della classe la
lezione seguente. Tutti i gruppi, questa volta, hanno centrato il bersaglio (ciò
significa che due mesi di pratica, hanno prodotto qualche risultato positivo) ed è
a tutti evidente che l’affermazione di Andrea è falsa. Qualcuno, però, obietta
che se, tra le operazioni, ci fosse stata la divisione, l’affermazione di Andrea
sarebbe stata vera. Diventa, quindi, necessaria un’indagine approfondita sul
comportamento dei numeri pari e dispari nelle operazioni aritmetiche.
Forse tale comportamento era già conosciuto nel caso delle due operazioni
dirette ( + e x ), perché è stato facile arrivare alle seguenti tabelle, ma è stato più
difficile ragionare sulle operazioni inverse.
+
P
D
X
P
D
P
P
D
P
P
P
D
D
P
D
P
D
Si nota che, se si fa una sottrazione tra due numeri
dispari, si ottiene un numero pari ( 913-319 = 594
931 – 333 = 598 ) e che la tabella dell’addizione
può valere anche per la sottrazione, nei casi in cui
questa (in N) è possibile. L’analisi della seguente
sequenza, che si ottiene togliendo in successione
numeri dispari (ma si osserva la medesima
situazione anche aggiungendo…..) aiuta i ragazzi a
capire:
931 – 333 = 598
598 – 9 = 589
589 – 3 = 586
586 – 3 = 583
583 – 1 = 582
“Ottenere un risultato P o D dipende dal numero di volte che si
toglie il numero dispari:
• se sottraggo da P un numero pari di volte un numero dispari
ottengo un numero P
• se sottraggo da P un numero dispari di volte un numero dispari
ottengo un numero D
E con la divisione che cosa accade?
Interviene Gabriele: “ Con le cifre pari non si può arrivare a un bersaglio
dispari” e poiché Gabriele ha più credibilità di Andrea, sono tutti propensi a
sottoscrivere la sua affermazione. Ma basta chiedere di dare qualche esempio,
per accorgersi che le cose non vanno proprio così:
“La divisione tra due numeri uguali, pari o dispari che siano, dà sempre 1”
(nessuno fa riferimento a 0 : 0)
6:2=3
36 : 4 = 9
36 : 6 = 6
L’operazione P : P , purché il dividendo sia multiplo del divisore, può dare P o
D a seconda dei casi!
P: D = x con D•x = P, quindi , se x esiste, è pari; mentre non esiste alcun
numero che, moltiplicato per un pari dia come risultato un dispari.