0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
a cura di
Francesco
Biancofiore
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• Spurie
• Pure
• Complete
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È detta spuria quella equazione
nella quale manca il termine
noto.
Ammette sempre due soluzioni.
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• Si consideri l’equazione spuria:
2+bx=0
ax
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Per trovarne le radici si raccoglie l’incognita tra i due termini a
primo membro e si riscrive:
x(ax+b)=0
Applicando la legge di annullamento del prodotto si ricavano
le due equazioni:
x=0 ; ax+b=0
Che risolte danno le soluzioni dell’equazione;
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x1=0 ; x2=-b / a
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Sia da risolvere l’equazione: (3x-2)(2x-4)=8
Eseguendo le operazioni indicate e trasportando tutti i
termini nel primo membro, si giunge all’equazione
spuria:
6x2-16x=0
cioè
2x(3x-8)=0
2x=0 V 3x-8=0
da cui si ottengono le soluzioni:
x=0 ; x=8 / 3
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È detta pura quella equazione nella
quale manca il termine di primo
grado.
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Si consideri l’equazione pura: ax 2+c=0
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Per trovarne le soluzioni si isola l’incognita
a primo membro e si scrive:
x2=-c/a
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Si possono verificare tre casi al variare del
valore che assume -c/a.
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•Se -c/a>0 , è possibile estrarre la radice
quadrata, ottenendo due soluzioni distinte:
x1=-
-c/a
e
x2=+
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-c/a
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•Se -c/a=0, poiché per definizione a è sempre
diverso da zero, si ha c=0, e quindi
l’equazione ammette due soluzioni
coincidenti:
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X1= x2=0
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•Se -c/a<0, l’equazione non ammette
soluzioni reali dato che non esiste nessun
numero reale il cui quadrato è negativo.
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• Sia da risolvere l’equazione: 4x 2-1=0
Si risolve nel seguente modo, dopo aver
osservato che il primo membro rappresenta la
differenza di due quadrati:
(2x+1)(2x-1)=0 2x+1=0 V 2x-1=0
x1=-1/2
x2=-1/2
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È detta completa quella equazione nella
quale sono presenti sia il termine di primo
grado che il termine noto.
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Sia da risolvere l’equazione completa: ax2+bx+c=0
0011 0010
1010 1101 0001
0100
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Moltiplicando
i due
membri
per 4a avremo:
4a2x2+4abx+4ac=0
Aggiungiamo ora b2 ad entrambi i membri ottenendo:
4a2x2+4abx+b2=b2-4ac
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Il primo membro corrisponde al quadrato di 2ax+b ,
perciò potremo anche scrivere:
(2ax+b)2=b2-4ac
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La quantità b2-4ac è detta discriminante e si indica con
D.
Proseguendo nel procedimento, l’equazione può essere
discussa e risolta seguendo tre casi particolari.
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• Se D>0, l’equazione ammette due soluzioni reali e
distinte.
b D
x1 
2a
1
b D
x2 
2a
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• Se D=0, l’equazione ammette due soluzioni reali e
coincidenti:
b
x1  x2  
2a
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• Se D<0, l’equazione non ammette soluzioni reali.
infatti non esiste alcun numero reale che elevato al
quadrato
Fornisce un risultato negativo.
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• Risolvere l’equazione: 4x2-5x+1=0
Calcoliamo il discriminante: D =(-5)2-4*4*1=9>0
L’equazione pertanto ha due radici distinte. Applicando
la formula risolutiva, si trova:
x1/ 2
5 9
cioè

8
53 1
x1 
 ;
8
4
1
53
x2 
1
8
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