ALETTE DI RAFFREDDAMENTO
IPOTESI DI LAVORO
T
Ts
x
• Regime stazionario
• Materiale omogeneo ed isotropo
• Assenza di generazione interna di calore
• Coefficiente convettivo costante sulla superficie
• Temperatura T del fluido circostante uniforme
• Temperatura Ts della parete uniforme e costante
•
T 
T
x
flusso termico solo lungo la direzione x
ANALISI
Ts
P: perimetro della sezione dell'aletta
A: sezione trasversale dell’aletta
x
q x + dx  q x +
dT

qx
kA
dx
dqconv  h( dAl )(T - T )
dq x
dx
dx
dove dAl è la superficie laterale del concio
Bilancio di flussi: q x  q x + dx + dq conv
dq x
 qx +
dx + hdAl (T - T )
dx
d2T
- kA 2 dx + hP(T - T )dx  0
dx
ANALISI
2
d T
kA 2  hPT - T 
dx
separaz. variab.
d 2T
hP
2



m
T
T
con
m


kA
dx 2
L’integrale generale si può esprimere nella forma:
T - T  C1e
mx
+ C2 e
- mx
La prima condizione al contorno per la determinazione delle costanti è
data dalla temperatura nella sezione di attacco: T(0) =TS
Ts - T  C1 + C 2
La seconda condizione al contorno si ricava in corrispondenza di differenti
casi semplificativi.
ALETTA INFINITAMENTE LUNGA
E’ l’applicazione più semplice, ma anche la più lontana dalla realtà.


lim C1e mx + C2 e -mx  0
lim T(x) = T
x 
x 
C1 = 0
La soluzione particolare risulta dunque:
T - T  Ts - T e
- mx
CALCOLO DEL FLUSSO TERMICO DISSIPATO DALL’ALETTA
dT
q  -kA
dx
La derivata è più semplice:

x 0
  hPT - T dx
0
q  hPkATs - T 
ALETTA ISOLATA ALL’ESTREMITA’
L
Tale condizioni si esprime
annullando
il
flusso
termico all’ascissa x=L:
dT
q  -kA
dx
0
x L
mC1e ml - mC2 e - ml  0  C2  C1e 2 ml
Insieme alla prima condizione si ottengono i seguenti valori delle costanti:
Ts - T
C1 
1+ e 2 ml
Ts - T
C2 
1 + e -2 ml
Con l’introduzione del seno e coseno iperbolico:
e x - e-x
sinh x 
2
la soluzione particolare, in forma compatta, diventa:
Il flusso dissipato è pari a:
dT
q  -kA
dx
cosh x 
e x + e-x
2
T - T cosh mL - x 

Ts - T
cosh mL
 hPkATs - T  tanh mL
x 0
ALETTA NEL CASO REALE
Si impone un flusso convettivo
all’estremità con coefficiente hL, ossia:
h
hL
h
dT
q  -kA
dx
 hL AT L  - T 
xL
L
Insieme alla prima condizione si ricava la soluzione particolare:
h 
cosh mL - x  +  L  sinh mL - x 
T - T
 mk 

Ts - T
h 
cosh mL +  L  sinh mL
 mk 
Da notare che, ponendo hL= 0, si ricava la soluzione del caso precedente
Il flusso dissipato è pari a:
h 
sinh( mL) +  L  cosh mL
 mk 
q  hPkATs - T 
h 
cosh mL +  L  sinh mL
 mk 
CONDIZIONE LIMITE DI IMPIEGO
Dall’espressione della potenza dissipata, dividendo per cosh (mL) si ottiene:
q  hPkATs - T 
tanh mL +
hL
mk
h 
1 +  L  tanh mL
 mk 
Si cercano le condizioni per la convenienza dell’installazione dell’aletta.
L’assenza di aletta si può anche definire ponendo L = 0
q L 0  hPkATs - T 
hL = h
hL
 hATs - T 
mk
La funzione q = q(L) è monotona (composizione di funzioni monotone), saranno
dunque da ricercare le condizioni per le quali tale funzione è crescente:
q L 0  q L  q L 
qL 0  qL  
hPkATs - T   hATs - T  
ossia
hA
hl
hA
 1  Bi 

1
kP
k
kP
RENDIMENTO DELLE ALETTE 1/4
T(x) = Ts
(conduttività termica infinita)
T(x) < Ts
Ts
Ts
x
calore dissipato q
SITUAZIONE REALE

q
qmax
x calore dissipato qmax
SITUAZIONE IDEALE
q

 q  hST Ts - T 
hST Ts - T 
Superficie totale
RENDIMENTO DELLE ALETTE 2/4
Aletta diritta con estremità isolata
estremità
isolata
hPkA tanh mLTs - T 

hPL Ts - T


ponendo
A  Wt e P  2W  m 
si ottiene
tanh mL

mL
2h
kt
RENDIMENTO DELLE ALETTE 3/4
Aletta diritta con estremità scambiante
Estremità con
scambio convettivo
 h 
tanh mL + 

mk


hPkATs - T 
 h 
1+ 
 tanh mL
 mk 

hPL Ts - T

hP
m
kA
ponendo
si ottiene





tanh mL + 
h 

 mk 
 hL 
mL +   tanh mL
 k 
RENDIMENTO DELLE ALETTE 4/4
Altri esempi
SERIE DI ALETTE CON PROFILO RETTANGOLARE 1/2
Sia W la lunghezza e t lo spessore dell’aletta; si ha:
s
A  Wt e P  2W  m 
Ab
2h
kt
l’area totale che scambia calore con il fluido esterno è:
Ti
Aest  Aa + Ab
Te
Aa
Ai
Si utilizza
l’analogia
elettrica:
dove: R1 = resistenza termica per adduzione interna
R2 = resistenza spessore parete di base
R3 = resistenza superficie delle alette Ae
R4 = resistenza superficie residua fra alette Ab
SERIE DI ALETTE CON PROFILO RETTANGOLARE 2/2
s
Ab
Ti
Te
Aa
Ai
1
R1 
hi Ai
s
R2 
kAi
Ti - Te
Ti - Te
R3 

qmax Aa hTi - Te 
La resistenza globale è data da:
La conduttanza globale risulta:
RTOT
H TOT 
1
R4 
hAb
 1
1 

 R1 + R2 + 
+
 R3 R4 
1
RTOT

-1
1
1
s
1
+
+
hi Ai kAi h Ab + Aa 
SERIE DI ALETTE CON PROFILO RETTANGOLARE 2/2
s
T’i
T’’i
Ab
Te
Aa
Ai
1
R1 
hi Ai
s
R2 
kAi
T ' 'i -Te
T ' 'i -Te
R3 

qmax Aa hT ' 'i -Te 
La resistenza globale è data da:
La conduttanza globale risulta:
RTOT
H TOT 
1
R4 
hAb
 1
1 

 R1 + R2 + 
+
 R3 R4 
1
RTOT

-1
1
1
s
1
+
+
hi Ai kAi h Ab + Aa 