PROVA B: ESERCIZIO 1
Risolvere il sistema lineare (4 equazioni in 5
incognite):
 x1  x 2  3x3  x 4  2
x  2 x  5x  x  2
 2
3
4
5

x

2
x

x

4
x

x

4
1
2
3
4
5

2 x 2  4 x3  10 x 4  2 x5  4
PROVA B: ESERCIZIO 1
La matrice completa ed incompleta hanno
rango 2; infatti:
•La seconda e quarta riga sono proporzionali
•La terza riga è somma delle prime due righe
•Inoltre la sottomatrice :
1 1
0 1


Ha il determinante diverso da 0 (è uguale ad 1)
PROVA B: ESERCIZIO 1
Eliminando la terza e la quarta equazione si
ottiene il sistema:
 x1  x2  3x3  x4  2

 x2  2 x3  5 x4  x5  2
Portando a secondo membro le incognite x3, x4 e
 x1  x2  2  3x3  x4

 x2  2  2 x3  5 x4  x5
x5
PROVA B: ESERCIZIO 1
La matrice inversa della matrice dei coefficienti
del sistema ridotto è :
1
1  1
A 

0 1 

Che moltiplicata per il vettore dei termini noti del
sistema ridotto
 2  3x3  x4 
b

2  2 x3  5 x4  x5 

PROVA B: ESERCIZIO 1
Genera la soluzione del sistema ridotto:
 x1    5 x3  6 x4  x5 
x 

 x2  2  2 x3  5 x4  x5 

Per cui la soluzione del sistema iniziale è:
 x1    5 x3  6 x4  x5 
 x  2  2 x3  5 x4  x5 

 2 
x   x3    x3


x  x

 4  4
 x5   x5

PROVA A: ESERCIZIO 2
• Quanti numeri superiori a 10.000 si possono
costruire con le cifre del numero 214.653
(attenzione: non si possono ripetere le
cifre)? Quanti sono dispari?
I numeri superiori a 10.000 possono avere 5 o 6
cifre. Poiché non si possono ripetere le cifre e
l’ordine è importante (nel senso che è un
elemento di differenziazione dei gruppi) allora il
gruppo di riferimento è rappresentato dalle
Disposizioni semplici.
PROVA B: ESERCIZIO 2
La risposta alla domanda a) è quindi:
D6,5  D6,6  6  5  4  3  2  6  5  4  3  2 1  1440
Per quanto riguarda il calcolo del numero dei
numeri dispari, si deve tener e presente che
l’ultima cifra deve essere una delle 3 cifre dispari
presenti nel numero 214653. Si ha quindi:
D3,1  D5, 4  D3,1  D5,5  3  5  4  3  2  3  5! 720
PROVA B: ESERCIZIO 4
Un’azienda sostiene costi fissi pari a 30.000€
e costi variabili unitari pari a 100€ fino a 1000
unità prodotte. Il costo variabile unitario per
ogni unità prodotta oltre le 1000 è pari a 65€.
Il prezzo unitario di vendita è pari a 75€.
Determinare l’eventuale punto di pareggio tra
costi e ricavi.
PROVA B: ESERCIZIO 4
•La funzione dei Ricavi totali è:
•Ovvero:
RT  pu  Q
y  75  x
La funzione dei Costi totali è:
CT  CF  Cvu  Q
dove Cvu è uguale a 100 per le prime 1000 unità
per poi diminuire a 65 per ogni ulteriore unità
venduta.
PROVA A: ESERCIZIO 4
Per le prime 1000 unità la funzione dei cOSTi totali
assume quindi l’espressione:
y  100  x  30.000
Mentre da 1000 unità in poi assume l’espressione:
y  100 1000  30.000  ( x  1000)  65
PROVA A: ESERCIZIO 4
• L’andamento delle funzioni dei costi totali
e dei ricavi totali è:
E1
30.000
0
1000
PROVA A: ESERCIZIO 4
• I Costi totali in corrispondenza alla produzione
di 1000 unità sono pari a :
30.000 100 1.000  130.000
• Mentre Ricavi totali sono pari a:
75 1000  75.000
• Quindi non ci sono punti di pareggio prima di
1000 unità prodotte/vendute.
PROVA A: ESERCIZIO 4
Il punto di pareggio (la cui esistenza è garantita dal
fatto che, pur essendo i costi in 1000 maggiori dei
ricavi in 1000, la retta dei costi da 1000 unità in poi
ha un coefficiente angolare, 65, inferiore al
coefficiente angolare, 75, della retta dei ricavi totali)
si ottiene imponendo l’uguaglianza tra la funzione
dei ricavi
y  75  x
e quella dei costi
y  100 1000  30.000  ( x  1000)  65
PROVA A: ESERCIZIO 4
Il punto di pareggio ha dunque coordinate
x  5.500
e
y  412.500