ABACHI DA TAVOLO A GETTONI
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Abachi da tavolo a gettoni
La più antica attestazione di
abaco da tavolo, incisa su lastra
di pietra:
la “Stele di Salamina”
(VI-V sec. a.C.)
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2
Abachista greco
(pittura su vaso)
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Introduzione della decima cifra: lo ZERO.
Dall’India alla cultura araba medievale e da questa all’Europa.
Liber abbaci (1202), opera di Leonardo Pisano, detto Fibonacci.
Oltre che come cifra (fondamentale per la notazione posizionale),
lo zero comincia ad essere considerato come un numero a tutti gli
effetti (seppure con proprietà un po’ particolari, come del resto
anche il numero uno).
Nuovi algoritmi di calcolo (algorismi) “con carta e matita” molto
più semplici di quelli in uso fino ad allora (vedi per esempio, più
avanti, lo scacchiere di Gerberto).
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4
Cifre indo-arabe senza lo ZERO
(manoscritto spagnolo datato 976)
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5
La contesa tra algoristi (dopo l’introduzione dello zero) e
abachisti, illustrata in alcune edizioni cinquecentine.
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Varie forme di abachi da tavolo a gettoni di epoca rinascimentale.
Da un abaco di questo genere, usato fin dal tardo medioevo per il calcolo dei tributi dovuti alla
Corona, deriva la denominazione ancora attuale del ministro delle finanze inglese: Chancellor
of the Exchequer (Cancelliere dello Scacchiere)
Gettoni per abaco “personalizzati”
(colonie francesi in America; 18° sec.)
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Rappresentazione delle cifre nell’abaco a gettoni
(variante biquinaria)
}
}
}
}
200.000
80.000
7.000
287.452
400
}
50
}
2
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8
5.000
1.000
500
100
50
10
5
1
7.897 - 3.676 = 4.221
Fino a tutto il XVIII secolo, i manuali di aritmetica “commerciale”
dedicavano ampio spazio all’uso dell’abaco a gettoni.
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9
ABACHI ATIPICI
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Calcolare senza lo zero:
scacchiere di Gerberto(*) a gettoni numerali
(*)
Gérbrèrt d’Aurillac (Papa Silvestro II; intorno all’anno Mille)
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Calcolare senza lo zero:
scacchiere di Gerberto a gettoni numerali
In tutti i tipi di abaco da tavolo il
valore dei gettoni dipende
esclusivamente dalla loro
posizione sul piano di calcolo;
questo di Gerberto è l’unico in
cui i gettoni (apices) recano
impresso un valore numerico (da
moltiplicare per il rango, che è
impresso in simboli romani in
testa alla rispettiva colonna).
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Tavolo di calcolo cinese (scacchiere “algebrico” a bastoncelli)
Notazione numerica
a bastoncelli
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Rappresentazione di un
sistema di tre equazioni
lineari in tre incognite
sull’abaco algebrico.
(Trattato cinese del II sec.)
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Rappresentazione di un
sistema di tre equazioni
lineari in tre incognite
sull’abaco algebrico. (Da
un testo cinese del II sec.)
I coefficienti delle incognite nel sistema

2x - 3y + 8z = 32
6x - 2y - z = 62
3x + 21y - 3z = 0
sono iscritti nelle prime tre righe dello
scacchiere; i termini noti nella quarta.
Si noti l’uso esplicito dei numeri negativi.
L’autore cinese arriva alla soluzione esatta
x = 3574/355; y = - 92/71; z = 354/355
eseguendo sullo scacchiere un algoritmo (metodo di eliminazione)
che, in occidente, siamo soliti attribuire a Gauss (inizio XIX sec.).
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Abaco frazionario
Un espediente “moderno”, di scarso successo.
Le illustrazioni lasciano
intuire il principio di base
in quanto i “manicotti”
scorrevoli rappresentano
l’unità (in alto) e,
procedendo verso il
basso, l’unità suddivisa in
2, 3, 4, … 10 parti uguali,
corrispondenti ciascuna
alle frazioni
1/2, 1/3, 1/4, … 1/10.
L’esemplare fotografato(*)
manca di alcuni elementi.
(*)
Mateureka - Museo del Calcolo (Pennabilli -PU)
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RICHIAMO SULL’ALGORITMO DI ELIMINAZIONE, DETTO DI GAUSS - UN ESEMPIO
Sia da risolvere il sistema descritto nella slide precedente (tre equazioni lineari in tre incognite)
{ {
EQ1
2x - 3y + 8z = 32
EQ2
6x - 2y - z = 62
EQ3
3x + 21y - 3z = 0
EQ1
calcoliamo
calcoliamo
calcoliamo
2x - 3y + 8z = 32
+ 8  EQ2
ovvero
48x - 16y - 8z = 496
= EQ4
50x - 19y
3  EQ2
18x - 6y - 3z = 186
- EQ3
ovvero
= 528
- 3x - 21y + 3z = 0
= EQ5
15x - 27y
27  EQ4
1350x - 513y = 14256
- 19  EQ5
ovvero
= EQ6
= 186
- 285x + 513y = -3534
1065x
= 10722
Il sistema è ora trasformato in
{{
EQ6
EQ4
EQ3
1065x = 10722
50x - 19y = 528
3x + 21y - 3z = 0
da cui:
x = 3574 / 355
50  3574 / 355 - 19y = 528; y = - 92 / 71
3  3574 / 355 -21  92 / 71 -3z = 0; z = 354 / 355
La regola sottostante è la sostituzione di un’equazione con una combinazione lineare di equazioni comprese nel sistema.
Le combinazioni lineari utili alla soluzione sono costruite in modo da eliminare progressivamente la z (EQ4 e EQ5) e la y (EQ6).
Una volta ricavato il valore di x da EQ6, si procede a ritroso risolvendo per sostituzione: da EQ4 si ricava il valore di y e da EQ1
quello di z.
È evidente che l’algoritmo si può generalizzare per la soluzione di un sistema di n equazioni lineari in n incognite.
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BIBLIOGRAFIA SPECIFICA
Ifrah G. Enciclopedia universale dei numeri; Arnoldo Mondadori Editore, 2008.
George Gheverghese Joseph C’era una volta un numero; Il Saggiatore, 2000.
Vari articoli di Bagni G.T., Bitto D., Bonfanti C., Giangrandi P., Mirolo C. pubblicati in:
L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate; Vol.28 A-B N.6 - Nov.-Dic. 2005.
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