0.3
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0
0.25
0.2
0.15
0.1
0
1
1
2
0.05
3 v
z 3
4
4
-4
-2
0
2
u
5 5
4
2
Corso di
Probabilità e Inferenza 1
Corso di Laurea Specialistica in
ECONOMIA APPLICATA
Docente Sabrina Giordano
• Orario di ricevimento:
martedì dalle 17 alle 19
Dipartimento di Economia e Statistica
Cubo 0C terzo piano
• I lucidi ed il materiale didattico saranno
disponibili sul sito:
www.economia.unical.it/ecoapp/index.php
Corso di Probabilità e Inferenza 1
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2
Prova, Evento e Probabilità
Concetti Primitivi: nozioni originarie ed intuitive.
Prova (o esperimento): è qualsiasi attività sviluppata in condizioni di
incertezza. Gli esperimenti di cui si occupa il C.P. sono quelli nei quali
i risultati non sono certi perché non univoci.
Evento: è uno dei possibili risultati della prova.
Probabilità: è un numero associato al presentarsi di un certo evento
e soddisfa alcune proprietà fondamentali detti assiomi del C.P.
Def.1. Spazio dei Campioni.
E’ la totalità di tutti i possibili risultati di un esperimento
concettuale. Verrà indicato con Ω.
Def.2. Evento Certo. Evento Impossibile.
L’evento certo è quello che si verifica sempre, Ω.
L’evento impossibile è quello che non si verifica mai,

Def.3. Spazio degli Eventi ( o Algebra di Boole).
E’ l’insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di Ω
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4
Unione
AB
Intersezione
AB
Negazione
Ā
Eventi incompatibili
Eventi necessari
Se si verifica A, o B, o entrambi
Se si verificano contemporaneamente A e B
Se non si verifica A
A∩B=Φ
AUB=Ω
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Unione
Proprietà
Intersezione
Commutativa
A B  BA
Idempotenza
AA  A
AA  A
(A  B)  C  A  (B  C)
(A  B)  C  A  (B  C)
Associativa
Distributiva
A B  BA
A  (B  C)  (A  B)  (A  C)
A  (B  C)  (A  B)  (A  C)
Inoltre, si ha:
A  A
A  
A  
A  A
A A  
AA  
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6
Diagrammi di Venn
A
B
B
A
Ω
EVENTO CERTO
UNIONE
INTERSEZIONE
Ā
A
NEGAZIONE
A
B
EVENTI
INCOMPATIBILI
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EVENTI
NECESSARI
7
Leggi di De Morgan

AB  AB
(1)

AB  AB
(2)

 AB  AB

 AB  AB
Partizione dello Spazio Campionario
Si dice che gli eventi A1,…,Ak appartenenti ad  formano una partizione
dello spazio campionario se:
(1)
A i  A j    i  j  1,..., k
k
(2)
A
i

i 1
cioè se sono a due a due incompatibili e necessari.
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8
Esercizio 1
Siano A,B e C tre eventi che si identificano nei sottoinsiemi A={1,2,3,8},
B={2,3,5,7,8} e C={3,6,7,9,10} di un generico spazio ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.
Determinare i seguenti sottoinsiemi:
E1  A  (B  C)

E4  A  B
Esercizio 2
E2  A  B  C

E5  A  B
E3  B  C
E6  C  C
Un esperimento casuale consiste nell’estrarre contemporaneamente due palline
da un’urna contenente 1 pallina rossa, 3 palline bianche e 2 nere. Descrivere lo
spazio dei campioni relativo all’esperimento e costruire i sottoinsiemi in cui si
identificano i seguenti eventi:
1. Le due palline estratte sono di colore differente;
2. Le due palline estratte sono dello stesso colore;
3. Le due palline estratte sono entrambe rosse.
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9
Esercizio 3
Un esperimento casuale consiste nel lancio contemporaneo di due dadi da
gioco; posto che le facce di ciascun dado siano state contraddistinte con
gli interi dall’1 al 6, costruire lo spazio dei campioni e i sottoinsiemi che
rappresentano i seguenti eventi:
1. I numeri sulle facce superiori dei due dadi sono uguali;
2. La somma dei due numeri sulle facce superiori dei due dadi è 5;
3. Il numero riportato dalla faccia superiore di un dado è doppio di quello
riportato sulla faccia superiore dell’altro.
Esercizio 4
Un esperimento casuale consiste nel lancio contemporaneo di una moneta e
di un dado da gioco. Si costruiscano lo spazio campionario relativo
all’esperimento ed i sottoinsiemi con cui si identificano i seguenti eventi:
1. “Testa” per la moneta e “numero pari” per il dado;
2. “Croce” per la moneta e “numero inferiore a 5” per il dado.
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10
Esercizio 5
Da una raccolta di tre volumi contrassegnati con A,B e C ne vengono scelti a
caso due. Costruire lo spazio degli eventi associato allo spazio campionario in
questione.
Esercizio 6
Un esperimento casuale consiste nel rilevare il numero di “teste” e di“croci”
che si possono presentare nel lancio contemporaneo di tre monete. Costruire
lo spazio campionario e lo spazio degli eventi ad esso associato.
Esercizio 7
Nel lancio di un dado da gioco, le facce siano numerate dall’1 al 6, sia A l’evento
“la faccia superiore mostra il numero 3” e B l’evento “la faccia superiore riporta un
numero dispari”. A e B sono eventi disgiunti?
Esercizio 8
Si lancia due volte una moneta; sia A l’evento “testa al primo lancio” e B l’evento
“nei due lanci non appare la stessa faccia”. A e B sono disgiunti?
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11
Definizione di probabilità.
Def. 4. Classica
La probabilità di un evento A è il rapporto tra il numero di casi
favorevoli di A e il numero di casi possibili, ammesso che questi siano
equiprobabili.
Def. 5. Frequentista (o legge empirica del caso)
In una serie di prove di un dato esperimento, ripetuto un gran numero
di volte in circostanze più o meno simili, ciascuno degli eventi possibili
si manifesta con una frequenza relativa che è circa uguale alla sua
probabilità. L’approssimazione si riduce al crescere del numero di
prove.
Def. 6. Soggettivista
La probabilità è la valutazione che il singolo individuo può
coerentemente formulare, in base alle proprie conoscenze, del grado
di avverabilità di un evento.
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12
Assiomi del Calcolo delle Probabilità.
Ricordando che un assioma (o postulato) è una proposizione che è
considerata vera e non viene dimostrata nel contesto in cui è svolta la
teoria in questione, Il C.P. presenta i seguenti assiomi:
1.
Pr A  0  A 
2.
Pr   1
3.
Siano A e B due eventi incompatibili
allora
A B  
Pr A  B  Pr A  Pr B
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13
Teoremi fondamentali del C.P.
Teo.1.
Pr   0
Teo.2.
Pr A  1  Pr A
Teo.3.
Pr A  Pr A  B  Pr A  B 
Teo.4.
Pr A  B  Pr A  Pr B  Pr A  B
 
Le dimostrazioni dei teoremi sono lasciate per esercizio.
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14
Esercizio 9
Dato un esperimento tale che:
Pr (A)  0.5
Pr (B)  13
Pr (A  B) 
1
4
Calcolare:
Esercizio 10
Pr A  B
Pr A  B
Pr A  B
Pr A  B
Pr A  B
Siano A e B due eventi tali che:
Pr (A)  0.8 Pr (B)  0.7 Pr (A  B)  0.6
Calcolare:
Pr A  B
Pr A  B
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Pr A  B
15
Dipendenza. Assiomi e Teoremi fondamentali.
Quando si ha motivo di credere che il verificarsi di uno o più eventi
influenzino il verificarsi di altri eventi, allora si parlerà di eventi
dipendenti (condizionati). Così, la probabilità dell’evento A dato che si è
già verificato l’evento B (ovvero l’evento B condiziona l’evento A), è:
Pr A  B 
Pr A / B  
Pr B 
per
Pr B  0
In tal caso, B diventa il nostro “nuovo” spazio dei campioni; cioè si assume
che la prova abbia dato luogo a qualche risultato in B.
N.B. Un esperimento che consiste in più prove senza riposizione dà luogo ad
eventi dipendenti
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16
Si può verificare che valgono gli assiomi del C.P.
1.
Pr A / B  0
2.
Pr  / B  1
3.
Se A1 e A2 sono incompatibili allora
Pr  A1  A2  / B  Pr A1 / B  Pr A2 / B
Le verifiche di (1), (2) e (3) sono lasciate per esercizio.
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17
Valgono anche i teoremi fondamentali del C.P. nel caso in cui esiste un
evento condizionante
Teo.5.
Pr  / B  0
Teo.6.
Pr A / B  1  Pr A / B
Teo.7.



Pr A1 / B  Pr  A1  A2  / B  Pr A1  A2 / B

Teo.8.
Pr  A1  A2  / B  Pr A1 / B  Pr A2 / B  Pr  A1  A2  / B
Le dimostrazioni dei teoremi sono lasciate per esercizio.
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18
Definizione di Indipendenza.
Se il verificarsi di un evento non modifica la probabilità del verificarsi
di un altro evento allora è lecito pensare che i due eventi siano
indipendenti; questo può essere formalizzato con la seguente:
Def. 7. Dati due eventi A e B, si dice che sono indipendenti se e solo
se si verifica una delle seguenti condizioni:
1.
Pr A  B  Pr A Pr B
2.
Pr A / B  Pr A
3.
Pr B / A  Pr B
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19
Teo. 9
Se A e B sono indipendenti allora
1.
2.
3.


Pr A  B  Pr A Pr B
  
P A  B P A P B
Pr A  B  Pr A  Pr B
r
r
r
La dimostrazione del teorema è lasciata per esercizio.
N.B. Un esperimento che consiste in più prove con riposizione dà luogo ad eventi
indipendenti
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20
Il teorema di Bayes
Per illustrare il teorema, consideriamo il seguente esempio:
supponiamo di avere due urne, la prima, U1, contiene 4 palline bianche e
6 nere, la seconda, U2, contiene 3 palline bianche e 5 nere. Si estrae a
caso un’urna e, successivamente, da questa si estrae una pallina.
Ammesso che la pallina estratta sia bianca, ci si chiede qual è la
probabilità che essa provenga dall’urna U1, se la probabilità di
selezionare ciascuna delle urne è di 0.5 ?
Simili problemi si presentano ogni volta che un evento A può essere
visto come il risultato - EFFETTO - di uno tra K possibili eventi CAUSE - C1, C2, …,CK incompatibili e tali che uno di essi deve verificarsi
necessariamente, e interessa valutare la probabilità che, avveratosi A,
sia Cj la causa che lo ha prodotto.
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21
Supponiamo che gli eventi C1,…,CK formino una partizione di Ω, cioè

K
C
i 1
i
e
Ci  C j    i  j
L’evento A può essere scritto nel seguente modo
K
 K
A  A    A    Ci     A  Ci 
 i 1  i 1
Osservando che
 K

 A  Ci   A    Ci   

i 1
 i 1 
K
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si ha:
K
K

Pr A   Pr  A  Ci    Pr A  Ci 
 i 1
 i 1
Ricordando che
Pr A  Ci 
Pr A / Ci  
 Pr A  Ci   Pr Ci  Pr A / Ci 
Pr Ci 
Si può scrivere:
K
K
i 1
i 1
Pr A    Pr A  Ci    Pr Ci  Pr A / Ci 
Corso di Probabilità e Inferenza 1
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23
La domanda iniziale era la seguente: noto l’effetto A, qual è la
probabilità che tale effetto sia dovuto alla causa Cj ?


Pr C j / A 

Pr C j  A
Pr A 

 

Pr C j  Pr A / C j

K
 P C  P A / C 
i 1
r
i
r
i
L’ultima parte è il teorema di Bayes, dove P[Cj/A] è chiamata
probabilità a posteriori, cioè la probabilità che l’evento A, già
verificatosi, sia dovuto alla causa Cj; mentre, la probabilità P[Cj] è
chiamata probabilità a priori della causa Cj (nel nostro esempio è la
probabilità di estrarre l’urna U1). Infine, P[A/Cj] sono dette
probabilità probative o verosimiglianze, rappresentano la probabilità
con cui le singole cause C1, …, CK generano l’evento A. Esse sono
determinate empiricamente dall’esperimento.
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24
Ritornando all’esempio iniziale, se indichiamo con P[Ui]=0.5 per i=1,2 le
probabilità a priori, la probabilità a posteriori è:
Pr B / U1  Pr U1 
Pr U1 / B 

Pr B / U1  Pr U1   Pr B / U 2  Pr U 2 
4 1
0.4
10
2


 0.516129
4 1 3 1 0.775

10 2 8 2
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25
Osservazione:
Il teorema di Bayes può essere visto come un meccanismo che
permette di correggere le informazioni a priori P[Cj] sulla base delle
osservazioni sperimentali P[A/Cj] fornendo per l’appunto la probabilità
a posteriori. In questa formula, infatti, si combinano informazioni a
priori e verosimiglianze, e quanto più la probabilità a posteriori P[Cj/A]
è diversa dalla probabilità a priori P[Cj], tanto più la verosimiglianza ha
modificato le informazioni a priori sulle cause Cj.
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26
Esercizio 11
Supponiamo di avere un’urna che contiene 8 palline rosse (R),
9 palline bianche (B), 13 palline nere (N) e 3 palline gialle (G).
Effettuiamo la seguente prova:
“estrazione di due palline con riposizione”.
Calcolare la probabilità che:
a) entrambe le palline siano rosse;
b) la prima sia rossa e la seconda bianca;
c) la prima gialla e la seconda non-rossa;
d) la prima sia nera e la seconda non-bianca;
e) che almeno una sia rossa.
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Esercizio 12
Supponiamo di avere un’urna che contiene 5 palline rosse (R), 4
bianche (B), 3 nere (N) e 6 gialle (G). Effettuiamo la seguente
prova:
“ estrazione di due palline senza riposizione”.
Calcolare la probabilità dei seguenti eventi:
a) la prima rossa e la seconda rossa;
b) la prima bianca e la seconda rossa;
c) la prima gialla e la seconda non-rossa;
d) la prima non-nera e la seconda bianca;
e) la prima gialla e la seconda rossa o bianca;
f) la prova generi almeno una pallina rossa.
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28
Esercizio 13
Si è fatto uno studio per determinare l’effetto dei programmi televisivi
sui bambini. Ad un gruppo di bambini composto da un numero uguale
di maschi e femmine è stato chiesto se sono mai stati spaventati da un
programma televisivo. Il 25% dei bambini e il 44% delle bambine
rispondono di si. Scegliendone uno a caso nel gruppo, determinare
la probabilità che:
1. il bambino sia stato spaventato;
2. venga scelta una bambina, sapendo che il selezionato/a è
stato/a spaventato/a;
3. sia scelta una bambina, sapendo che il bambino/a scelta/o
non è stata/o spaventato/a;
4. sia scelto un bambino sapendo che il bambino scelto
non è stato spaventato.
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Esercizio 14
Un costruttore viene rifornito per gli stessi tipi di pezzi
sia dalla ditta A che dalla ditta B.
Tali pezzi vengono poi depositati assieme nello stesso magazzino.
Per il passato si è osservato che i prodotti di A erano per il 5%
difettosi, mentre quelli di B lo erano nella misura del 9%.
La ditta A fornisce 4 volte più pezzi della ditta B.
Avendo scelto un pezzo a caso dal magazzino ed avendo
riscontrato che non è difettoso, qual è la probabilità che
sia stato fornito da A?
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30
Esercizio 15
Siano A e B due eventi dello spazio campionario tali che:
Pr A  0.7
Pr A  B  0.8
Determinare P[B] se:
a) A e B sono disgiunti ;
b) A e B sono indipendenti ;
c) Pr[A/B]=0.6
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Esercizio16
La probabilità di essere malato di cancro in uno stadio
iniziale è 0.1 per una persona in una certa classe d’età.
Il test A risulta positivo nel 99% dei casi in una persona malata
e nel 5% dei casi in una persona sana.
a) Qual è la probabilità di una corretta diagnosi con il test A
nella data classe di età?
b) Qual è la probabilità che una persona sia malata
se il test A è negativo?
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Riferimenti bibliografici
1. G. Cicchitelli (1984), “Probabilità e Statistica”. Maggioli Editore. Rimini.
Pag. 1-23.
2. A.M.Mood, F. Graybill e D.C. Boes (1988), “Introduzione alla Statistica”,
McGraw-Hill, Milano. Pag. 1-53.
3. D. Piccolo (2000), “Statistica”, il Mulino, Bologna. Pag. 215-291.
4. D. Piccolo (2004) “Statistica per le decisioni”, il Mulino, Bologna, cap. 8.
5. R. Orsi (1995), “Probabilità ed Inferenza Statistica”, il Mulino, Bologna,
Pag. 15-55.
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