Università degli Studi di Pisa
Facoltà di Scienze matematiche fisiche e naturali
Anno Accademico 2011-12
Biostatistica
(SECS-S/02 )
STATISTICA PER LA RICERCA
SPERIMENTALE E
TECNOLOGICA
Incontro 14
24 Novembre 2011
Confronti multipli non prestabiliti
• La definizione a priori dei contrasti ortogonali consente
grandi vantaggi di semplicità e correttezza nei test
statistici relativi , ma nella pratica sperimentale non è
sempre possibile pianificare a priori i confronti
,soprattutto se questi sono equivalenti o suggeriti dai
risultati dell’esperimento.
• Esempio:In agronomia un esperimento di confronto
tra varietà non permette di pianificare in anticipo dei
contrasti tra le medie campionarie:è più conveniente
basarsi su quanto suggeriscono i dati sperimentali e
verificare se la varietà che risulta più produttiva è
significativamente migliore di quella che la segue
nella scala di produttività. In altri casi può essere
opportuno effettuare tutti i confronti possibili tra i livelli
del fattore sperimentale .
Test di Tukey (Metodo T)
Confronti a coppie
• I contrasti vengono scelti sulla base dei
risultati dell’esperimento(non sono quindi
prestabiliti).
• Si escludono i contrasti complessi.
• Si utilizzano i valori critici della
distribuzione q (‘Intervallo di variazione
studentizzato’ o ‘studentized range’): in
realtà la distribuzione q è una famiglia di
distribuzioni identificate dal numero dei
trattamenti(p) e dai gradi di libertà(nT-p)
della devianza dell’errore.
Test di Tukey (Metodo T)
Confronti a coppie
Intervallo di Confidenza
• Sia p il numero di trattamenti ,l’intervallo di confidenza tra
2 medie sulla base della distribuzione q è definito come :
1
k  lk  q ; p ,( nT  p ) s
n
dove
s  QM (e) con GL(QM (e))  nT  p
Test di Tukey (Metodo T)-Confronti a coppie
Test d’ipotesi
• Si definisce una DMS(Differenza Minima Significativa)
protetta (se il test ANOVA è risultato significativo)T che
dipende dal livello di significatività prescelto α e si
dichiarano significative le differenze tra medie che
superano tale soglia in valore assoluto:
1
T  q ; p ,( nT  p ) s
n
Se p  2
q ; 2,( nT  2 )  t / 2;( nT  2 )  T  DMS
Esperimento
non
bilanciato
ni  ni '
T  q ; p ,( nT  p ) s
2ni ni '
:
Approssima zione
Esempio:Test di Tukey
• Un’esperimento bilanciato di confronto tra 5 diete ha
fornito i seguenti risultati espressi come incrementi del
peso dei conigli(n=5 ripetizioni per dieta vengono omesse
per brevità):
Medie:6.49 ,6.07 , 6.02 , 6.17 , 5.62
QM(a)=0.5806 con GL(QM(a))=4
QM(e)=0.1468 con GL(QM(e))=20.
• L’ipotesi complessiva
H0:μ1=μ2=μ3=μ4=μ5
viene respinta sulla base dei test
F4,20=0.5806/0.1468=3.96
che risulta significativo al livello di α=0.05.
• Naturalmente è lecito chiedersi quale differenza tra i valori
medi delle singole varietà sia responsabile del rifiuto
dell’ipotesi complessiva.
Esempio:Test di Tukey
• Le differenze tra le medie campionarie possono essere
riportate nella seguente tabella:
Dieta 1
Dieta 2
Dieta 3
Dieta 4
Dieta 5
Media:
6.49
6.07
6.02
6.17
5.62
Dieta 2
0.42
…….
Dieta 3
0.47
0.05
……..
Dieta 4
0.32
-0.10
-0.15
……….
Dieta 5
0.87
0.45
0.40
0.55
 5  5! 5 * 4
  

 10
2
 2  2!3!
……….
Numero dei contrasti a coppia possibili
Esempio:Test di Tukey
È opportuno formulare delle ipotesi nulle per il confronto tra le medie
dei trattamenti ,indicate generalmente come:
H0:λ(k)=0 ,
corrispondenti , alla formulazione:
H0:μi- μi’=0 con i,i’=1,2,….5.
Per α=0.05 la variabile q assume il valore:
q0.05;5,20 =4.24
da cui:
T  q0.05;5, 20
s2
n
 4.24 0.1468 / 5  0.723
Dalla tabella si può verificare che solo il confronto tra μ1 e μ5
risulta significativo.
Verifica delle assunzioni dell’ANOVA
1) Normalità degli Errori
2) Uguaglianza della varianza degli errori
(entro trattamento) o omogeneità delle
varianze.
3) Indipendenza statistica degli errori
Nella pratica sperimentale non sempre tutte le
assunzioni sono rispettate!
Non Normalità degli Errori
•
La non normalità degli errori rende approssimate le stime
delle componenti della varianza : se la curtosi è diversa
da zero le varianze degli effetti che nel modello ad effetti
random seguono una distribuzione χ 2 sono una cattiva
approssimazione.
Se l’esperimento è bilanciato le conseguenze della non
normalità degli errori sono meno gravi.
Non omogeneità delle varianze
• Le varianze campionarie stimano tutte la stessa
varianza,comune a tutte le popolazioni
• La non uguaglianza delle varianze entro gruppi fa in
modo che il vero valore di α superi il suo valore
nominale(anche per 2 soli trattamenti):tale effetto sul
livello di significatività si accentua quando l’esperimento
è sbilanciato .
Test di Cochran
• Se l’esperimento è bilanciato ,l’ipotesi di omogeneità tra
le varianze entro-trattamento
H0:σ1=σ2=σ3=….=σp
viene saggiata tramite la statistica-test :
2
max
2
3
s
Rn, p  2 2
2
s1  s2  s  .......  s p
Si utilizzano apposite tavole per confrontare il valore della
statistica-test con i valori critici,fissato il livello di significatività.
Se il valore è significativo(maggiore del valore della tabella)
rifiuto l’ipotesi di omogeneità tra le varianze.
Analisi della varianza non parametrica
• Se le assunzioni dell’analisi della varianza
vengono seriamente violate ,cioè quando i
campioni sono estratti da popolazioni non
normalmente distribuiti e con varianze
disuguali si può ricorrere a procedure
alternative non parametriche :
– Test sulla mediana per p campioni
– Test H di Kraskal-Wallis
Test sulla mediana per p campioni
• È un estensione del test sulla mediana e richiede la
determinazione della mediana di tutte le osservazioni dei
p campioni considerati congiuntamente .
• Si costruisce una tabella in cui per ogni campione sono
riportati il numero di osservazioni al di sopra della
mediana e il numero di quelle non al di sopra.
• L’ipotesi nulla che le popolazioni hanno la stessa
mediana ,può essere verificata con test χ2 ,applicato alla
tabella 2xp.
• Il test può essere applicato quando il valore atteso per
ogni gruppo è di almeno 5 .
Test H di Kruskal-Wallis
• Il test H richiede che le osservazioni siano trasformate in
ranghi , come indicato per il test U su due campioni ,e
può essere applicato nel caso di un esperimento
completamente randomizzato .
• L’ipotesi nulla non comprende relazioni riguardanti i
parametri delle popolazioni e non vengono utilizzate
statistiche campionarie per la verifica delle ipotesi
stesse.
• L’ipotesi nulla infatti comprende solo l’appartenenza dei
p campioni alla stessa popolazione ,mentre l’ipotesi
alternativa dice che almeno uno dei campioni non
appartiene a tale popolazione .
Test H di Kruskal-Wallis
• Una volta trasformati ,i dati in ranghi ,indipendentemente
dall’appartenenza ai singoli trattamenti , si calcola per
ogni trattamento la somma dei ranghi relativi :
ni
Ri   Rij
j 1
n(n  1)
Ri 

2
i 1
Statistica Test
p
Il rapporto SS(a)/QM(y) corrisponde ad H:
ciò può essere utile in esperimenti più
complessi (ANOVA a più criteri di
classificazione),per i quali sia opportuno
l’approccio non paramentrico.
p
Ri2
12
H
 3(nT  1)

nT (nT  1) i 1 ni
La statistica H segue la distribuzione di un χ2 con p-1 gradi di libertà ,a patto che
il numero di ripetizioni per gruppo sia almeno 5 .
Se l’adattamento alla distribuzione del χ2 non è valido,è possibile ricorrere ad
apposite tavole di valori critici di H .
Esempio
(ANOVA non parametrica)
• L’efficacia di 3 acaricidi viene saggiata contando il
numero di acari presenti su una foglia di 5 piante
diverse scelte a caso e trattate con ciascun acaricida .
Acaricida A Acaricida B Acaricida C
25(4)
110(15)
39(8)
21(2)
66(12)
43(9)
33(6)
91(14)
28(5)
36(7)
52(10)
11(1)
54(11)
72(13)
24(3)
R1=30
R2=64
R3=26
n1=5
n2=5
n3=5
nT=15
Esempio
(ANOVA non parametrica)
• L’ipotesi nulla può essere formulata come segue :
H0:il numero di acari per foglia è uguale
nelle piante trattate con i 3 acaricidi.
L’ipotesi è verificata con la statistica-test:
p
Ri2
12
H
 3(nT  1) 

nT (nT  1) i 1 ni
12  30  64  26 


  3(16)  8.72
15(16) 
5

Il valore critico di χ2 con 2 gradi di libertà per
α=0.05 è 5.99 :
l’ipotesi nulla può quindi essere rifiutata.
Esercizio(Anova)
• E' stato condotto un esperimento per confrontare il raccolto di 4
varietà di riso. Ognuno dei 16 appezzamenti della fattoria sottoposta
al test è stato trattato in modo simile per quanto concerne l'acqua e il
fertilizzante. Quattro appezzamenti sono stati assegnati casualmente
ad ognuna delle 4 varietà di riso. Il raccolto di ogni appezzamento è
stato annotato in libbre per acro nella seguente tabella:
Varietà
Raccolti
1
934
1041
1028
935
2
880
963
924
946
3
987
951
976
840
4
992
1143
1140
1191
I dati della tabella indicano una differenza nel raccolto medio delle 4
varietà? Usare un'analisi della varianza con α = 0.05.
Esercizio 2
• L'assorbimento da parte del suolo dei metalli che
fuoriescono nell'aria durante alcuni processi industriali
produce gravi danni ambientali. Per accertarsi se le
percentuali di assorbimento variano tra i tipi di
terreno,sono stati casualmente scelti 6 campioni di terre
coltivate, aventi 5 tipi di suolo differenti (1, 2, 3, 4, 5) in
un'area nota per avere un'esposizione relativamente
uniforme ai metalli osservati. I 30 campioni di terreno
sono stati analizzati per contenuto di cadmio (Cd). I
risultati sono presentati nella seguente tabella. Eseguire
un'analisi della varianza per determinare se vi siano
differenze nel contenuto di cadmio tra i terreni.
Esercizio 2
Esercizio 3
Grazie per l’attenzione