A. Martini
Specchio
Generatore
d’onda
Specchio
Generatore
d’onda
Specchio
Generatore
d’onda
Specchio
Generatore
d’onda
Specchio
Generatore
d’onda
Specchio
Generatore
d’onda
Specchio
Generatore
d’onda
Specchio
Generatore
d’onda
Specchio
Generatore
d’onda
Specchio
Generatore
d’onda
Specchio
Generatore
d’onda
Quando l’onda raggiunge lo specchio vi si
“appiattisce” contro, poi viene riflessa capovolta
mentre allo specchio continua ad arrivare Specchio
l’onda proveniente dal generatore.
Generatore
d’onda
Specchio
Generatore
d’onda
Specchio
Generatore
d’onda
Specchio
Generatore
d’onda
Specchio
Generatore
d’onda
Specchio
Generatore
d’onda
Specchio
Generatore
d’onda
Specchio
Generatore
d’onda
Specchio
Generatore
d’onda
Specchio
Generatore
d’onda
Specchio
Generatore
d’onda
Specchio
Generatore
d’onda
Specchio
Generatore
d’onda
Specchio
Generatore
d’onda
Specchio
Generatore
d’onda
Specchio
Generatore
d’onda
Da questo momento in poi la zona tra la
sorgente e lo spechio sarà interessata da una
Specchio
perturbazione di questo tipo
Generatore
d’onda
Specchio
Generatore
d’onda
Specchio
Generatore
d’onda
Specchio
Generatore
d’onda
Specchio
Generatore
d’onda
Specchio
Generatore
d’onda
Specchio
Generatore
d’onda
Specchio
Generatore
d’onda
Specchio
Generatore
d’onda
Specchio
Generatore
d’onda
Specchio
Generatore
d’onda
Specchio
Generatore
d’onda
Si possono individuare delle zone particolari che chiameremo:
Specchio
Generatore
d’onda
Si possono individuare delle zone particolari che chiameremo:
NODI
Specchio
Generatore
d’onda
Si possono individuare delle zone particolari che chiameremo:
NODI
Specchio
Generatore
d’onda
Si possono individuare delle zone particolari che chiameremo:
NODI
Specchio
Generatore
d’onda
VENTRI
Si possono individuare delle zone particolari che chiameremo:
NODI
Specchio
Generatore
d’onda
VENTRI
NODI
in questi punti non vi è energia!!!!!
Generatore
d’onda
VENTRI
in queste zone c’è energia!!!!!
Specchio
Specchio
Generatore
d’onda
Questa onda si chiama: STAZIONARIA
Specchio
Generatore
d’onda
POSSIAMO SCRIVERE L’EQUAZIONE DELL’ONDA
STAZIONARIA
Generatore
d’onda
Specchio
POSSIAMO SCRIVERE L’EQUAZIONE DELL’ONDA
STAZIONARIA
TRADUCENDO IN FORMULE QUESTA
AFFERMAZIONE:
Generatore
d’onda
Specchio
POSSIAMO SCRIVERE L’EQUAZIONE DELL’ONDA
STAZIONARIA
TRADUCENDO IN FORMULE QUESTA
Specchio
AFFERMAZIONE:
Generatore
d’onda
L’onda stazionaria è la sovrapposizione di due onde identiche,
ma aventi velocità opposte e sfasate tra loro di , dato che sono
in opposizione di fase
L’onda stazionaria è la sovrapposizione di due onde identiche,
ma aventi velocità opposte e sfasate tra loro di , dato che sono
in opposizione di fase
L’onda stazionaria è la sovrapposizione di due onde identiche,
ma aventi velocità opposte e sfasate tra loro di , dato che sono
in opposizione di fase
Y1(x,t) = A sen 2 ( x - t ) + f
l
T
Y2(x,t) = A sen 2 ( x + t ) - f
l
T
L’onda stazionaria è la sovrapposizione di due onde identiche,
ma aventi velocità opposte e sfasate tra loro di , dato che sono
in opposizione di fase
Y1(x,t) = A sen 2 ( x - t ) + f
l
T
Stessa AMPIEZZA
Y2(x,t) = A sen 2 ( x + t ) - f
l
T
L’onda stazionaria è la sovrapposizione di due onde identiche,
ma aventi velocità opposte e sfasate tra loro di , dato che sono
in opposizione di fase
Y1(x,t) = A sen 2 ( x - t ) + f
l
T
Y2(x,t) = A sen 2 ( x + t ) - f
l
T
L’onda stazionaria è la sovrapposizione di due onde identiche,
ma aventi velocità opposte e sfasate tra loro di , dato che sono
in opposizione di fase
Y1(x,t) = A sen 2 ( x - t ) + f
l
T
Stessa lunghezza d’onda
Y2(x,t) = A sen 2 ( x + t ) - f
l
T
L’onda stazionaria è la sovrapposizione di due onde identiche,
ma aventi velocità opposte e sfasate tra loro di , dato che sono
in opposizione di fase
Y1(x,t) = A sen 2 ( x - t ) + f
l
T
Y2(x,t) = A sen 2 ( x + t ) - f
l
T
L’onda stazionaria è la sovrapposizione di due onde identiche,
ma aventi velocità opposte e sfasate tra loro di , dato che sono
in opposizione di fase
Y1(x,t) = A sen 2 ( x - t ) + f
l
T
Stesso periodo (quindi: stessa frequenza)
Y2(x,t) = A sen 2 ( x + t ) - f
l
T
Di conseguenza: stessa velocità! (V=l/T = l.f)
L’onda stazionaria è la sovrapposizione di due onde identiche,
ma aventi velocità opposte e sfasate tra loro di , dato che sono
in opposizione di fase
Y1(x,t) = A sen 2 ( x - t ) + f
l
T
Y2(x,t) = A sen 2 ( x + t ) - f
l
T
L’onda stazionaria è la sovrapposizione di due onde identiche,
ma aventi velocità opposte e sfasate tra loro di , dato che sono
in opposizione di fase
Y1(x,t) = A sen 2 ( x - t ) + f
l
T
Onda che avanza
Y2(x,t) = A sen 2 ( x + t ) - f
l
T
L’onda stazionaria è la sovrapposizione di due onde identiche,
ma aventi velocità opposte e sfasate tra loro di , dato che sono
in opposizione di fase
Y1(x,t) = A sen 2 ( x - t ) + f
l
T
Onda che avanza
Y2(x,t) = A sen 2 ( x + t ) - f
l
T
Onda che torna indietro
L’onda stazionaria è la sovrapposizione di due onde identiche,
ma aventi velocità opposte e sfasate tra loro di , dato che sono
in opposizione di fase
Y1(x,t) = A sen 2 ( x - t ) + f
l
T
Y2(x,t) = A sen 2 ( x + t ) - f
l
T
L’onda stazionaria è la sovrapposizione di due onde identiche,
ma aventi velocità opposte e sfasate tra loro di , dato che sono
in opposizione di fase
Y1(x,t) = A sen 2 ( x - t ) + f
l
T
Y2(x,t) = A sen 2 ( x + t ) - f
l
T
Le due onde hanno fase opposta
L’onda stazionaria è la sovrapposizione di due onde identiche,
ma aventi velocità opposte e sfasate tra loro di , dato che sono
in opposizione di fase
Y1(x,t) = A sen 2 ( x - t ) + f
l
T
Y2(x,t) = A sen 2 ( x + t ) - f
l
T
L’onda stazionaria è la sovrapposizione di due onde identiche,
ma aventi velocità opposte e sfasate tra loro di , dato che sono
in opposizione di fase
Y1(x,t) = A sen 2 ( x - t ) + f
l
T
Y2(x,t) = A sen 2 ( x + t ) - f
l
T
L’onda stazionaria è la sovrapposizione di due onde identiche,
ma aventi velocità opposte e sfasate tra loro di , dato che sono
in opposizione di fase
Y1(x,t) = A sen 2 ( x - t ) + f
l
T
Y2(x,t) = A sen 2 ( x + t ) - f
l
T
Per scrivere l’equazione dell’onda risultante occorre
SOMMARE le due equazioni precedenti
L’onda stazionaria è la sovrapposizione di due onde identiche,
ma aventi velocità opposte e sfasate tra loro di , dato che sono
in opposizione di fase
Y1(x,t) = A sen 2 ( x - t ) + f
l
T
Y2(x,t) = A sen 2 ( x + t ) - f
l
T
Y1(x,t) =A sen 2 (
x- t )+f
l T
Y2(x,t) = A sen 2 (
x+ t )l T
f
Y1(x,t) =A sen 2 (
x- t )+f
l T
Y2(x,t) = A sen 2 (
Y (x,t) = Y1 (x,t) + Y2 (x,t)
x+ t )l T
f
Y1(x,t) =A sen 2 (
x- t )+f
l T
Y2(x,t) = A sen 2 (
x+ t )l T
Y (x,t) = Y1 (x,t) + Y2 (x,t)
Y (x,t) =A sen 2 (
x- t ) + f
l T
+ A sen 2 (
x+ t ) l T
f
f
Y1(x,t) =A sen 2 (
x- t )+f
l T
Y2(x,t) = A sen 2 (
x+ t )l T
Y (x,t) = Y1 (x,t) + Y2 (x,t)
Y (x,t) =A sen 2 (
x- t ) + f
l T
+ A sen 2 (
x+ t ) l T
f
f
Y1(x,t) =A sen 2 (
x- t )+f
l T
Y2(x,t) = A sen 2 (
x+ t )l T
Y (x,t) = Y1 (x,t) + Y2 (x,t)
Y (x,t) =A sen 2 (
x- t ) + f
l T
+ A sen 2 (
x+ t ) l T
f
f
Y1(x,t) =A sen 2 (
x- t )+f
l T
Y2(x,t) = A sen 2 (
x+ t )l T
Y (x,t) = Y1 (x,t) + Y2 (x,t)
Y (x,t) =A sen 2 (
x- t ) + f
l T
+ A sen 2 (
x+ t ) l T
Raccogliamo A a fattor comune
f
f
Y1(x,t) =A sen 2 (
x- t )+f
l T
Y2(x,t) = A sen 2 (
x+ t )l T
Y (x,t) = Y1 (x,t) + Y2 (x,t)
Y (x,t) =A sen 2 (
x- t ) + f
l T
+ A sen 2 (
Y (x,t) =A sen 2 (
x- t ) + f
l T
+ sen 2 (
x+ t ) l T
x+ t ) l T
f
f
f
Y1(x,t) =A sen 2 (
x- t )+f
l T
Y2(x,t) = A sen 2 (
x+ t )l T
Y (x,t) = Y1 (x,t) + Y2 (x,t)
Y (x,t) =A sen 2 (
x- t ) + f
l T
+ A sen 2 (
Y (x,t) =A sen 2 (
x- t ) + f
l T
+ sen 2 (
x+ t ) l T
x+ t ) l T
Risolviamo la parentesi
f
f
f
Y1(x,t) =A sen 2 (
x- t )+f
l T
Y2(x,t) = A sen 2 (
x+ t )l T
Y (x,t) = Y1 (x,t) + Y2 (x,t)
Y (x,t) =A sen 2 (
x- t ) + f
l T
+ A sen 2 (
Y (x,t) =A sen 2 (
x- t ) + f
l T
+ sen 2 (
x+ t ) l T
x+ t ) l T
f
f
f
Y1(x,t) =A sen 2 (
x- t )+f
l T
Y2(x,t) = A sen 2 (
x+ t )l T
Y (x,t) = Y1 (x,t) + Y2 (x,t)
Y (x,t) =A sen 2 (
x- t ) + f
l T
+ A sen 2 (
Y (x,t) =A sen 2 (
x- t ) + f
l T
+ sen 2 (
Y (x,t) =A sen
x+ t ) l T
x+ t ) l T
f
2 x- 2 t + f + sen 2 x + 2 t - f
l
T
l
T
f
f
Dalla trigonometria sappiamo che:
sen  sen  2 sen
 
2
cos
 
2
Applichiamola alla formula appena calcolata:
sen  sen  2 sen
 
2
cos
 
2
Applichiamola alla formula appena calcolata:
sen  sen  2 sen
Y (x,t) =A sen
 
2
cos
 
2
2 x- 2 t + f + sen 2 x + 2 t - f
l
T
l
T
Applichiamola alla formula appena calcolata:
sen  sen  2 sen
Y (x,t) =A sen
 
2
cos
 
2
2 x- 2 t + f + sen 2 x + 2 t - f
l
T
l
T
Applichiamola alla formula appena calcolata:
sen  sen  2 sen
Y (x,t) =A sen
 
2
cos
 
2
2 x- 2 t + f + sen 2 x + 2 t - f
l
T
l
T
2 x
l
-
2 t + f +
T
2 x
l
+
2 t
T
2 x
-f
Y (x,t) =2A sen
l
-
2 t + f -
T
l
+
2 t
T
cos
2
2
sen  sen  2 sen
Y (x,t) =A sen
2 x
 
2
cos
 
2
2 x - 2 t + f + sen 2 x + 2 t - f
l
T
l
T
-f
2 x
l
-
2 t + f +
T
Y (x,t) =2A sen
2X
di
l
+
2 t
T
2 x
-f
l
-
2 t + f -
T
2 x
l
+
2 t
T
-f
cos
2
Y (x,t)
Y
x ,t  2 Asen
2 x
l

2
2t
2X 2t
2X 2t
2X 2t
 



 


T
l
T
l
T
l
T
cos
2
2
2 x
l
-
2 t + f +
T
Y (x,t) =2A sen
2X
di
l
+
2 t
T
2 x
-f
l
-
2 t + f -
T
2 x
l
+
2 t
T
-f
cos
2
Y (x,t)
Y
x ,t  2 Asen
2 x
l

2
2t
2X 2t
2X 2t
2X 2t
 



 


T
l
T
l
T
l
T
cos
2
2
2 x
l
-
2 t + f +
T
Y (x,t) =2A sen
2X
di
l
+
2 t
T
2 x
-f
l
-
2 t + f -
T
2 x
l
+
2 t
T
-f
cos
2
Y (x,t)
Y
x ,t  2 Asen
2 x
l

2
2t
2X 2t
2X 2t
2X 2t
 



 


T
l
T
l
T
l
T
cos
2
2
2 x
l
-
2 t + f +
T
Y (x,t) =2A sen
2X
di
l
+
2 t
T
2 x
-f
l
-
2 t + f -
T
2 x
l
+
2 t
T
-f
cos
2
Y (x,t)
Y
x ,t  2 Asen
2 x
l

2
2t
2X 2t
2X 2t
2X 2t
 



 


T
l
T
l
T
l
T
cos
2
2
2 x
l
-
2 t + f +
T
2 x
l
+
2 t
T
Y (x,t) =2A sen
l
-
2 t + f -
T
2 x
l
+
2 t
T
-f
cos
2
2
2X
di
2 x
-f
Y (x,t)
Y
x ,t  2 Asen
l

2t
2X 2t
2X 2t
2X 2t
 



 


T
l
T
l
T
l
T
cos
2
2
4 X
4t

 2
l
T
YY x(x,t)=
, t  2 Asen
cos
2
2
bg
2 x
l
-
2 t + f +
T
2 x
l
+
2 t
T
Y (x,t) =2A sen
l
-
2 t + f -
T
2 x
l
+
2 t
T
-f
cos
2
2
2X
di
2 x
-f
Y (x,t)
Y
x ,t  2 Asen
l

2t
2X 2t
2X 2t
2X 2t
 



 


T
l
T
l
T
l
T
cos
2
2
4 X
4t

 2
l
T
YY x(x,t)=
, t  2 Asen
cos
2
2
bg
b g
YY x(x,t)=
, t  2 Asen
2 X
l
 2 t  2 
cos
T
Y (x , t)  2 Asen
2 X
l
2 t

cos 
T
Y (x , t)  2 Asen
2 X
l
2 t

cos 
T
Questo significa che, per qualunque valore di t,
Y (x , t)  2 Asen
2 X
l
2 t

cos 
T
Questo significa che, per qualunque valore di t,
(Cioè: SEMPRE)
Y (x , t)  2 Asen
2 X
l
2 t

cos 
T
Questo significa che, per qualunque valore di t,
(Cioè: SEMPRE)
CI SONO DEI PUNTI CHE HANNO AMPIEZZA
ZERO
Y (x , t)  2 Asen
2 X
l
2 t

cos 
T
Questo significa che, per qualunque valore di t,
(Cioè: SEMPRE)
CI SONO DEI PUNTI CHE HANNO AMPIEZZA
ZERO
(Cioè: ci sono dei punti che stanno SEMPRE FERMI:
I NODI!)
Y (x , t)  2 Asen
2 X
l
2 t

cos 
T
Questo significa che, per qualunque valore di t,
(Cioè: SEMPRE)
CI SONO DEI PUNTI CHE HANNO AMPIEZZA
ZERO
(Cioè: ci sono dei punti che stanno SEMPRE FERMI:
I NODI!)
Sono quelli per i quali vale la relazione:
Y (x , t)  2 Asen
sen
2 X
l
2X
l
2 t

cos 
T
0
(Cioè: ci sono dei punti che stanno SEMPRE FERMI:
I NODI!)
Sono quelli per i quali vale la relazione:
Y (x , t)  2 Asen
sen
2 X
l
2X
l
2 t

cos 
T
0
(Cioè:
Infatti
ci sono
quando
dei punti
si verifica
che stanno
questa
SEMPRE
condizione,
FERMI:
I NODI!)
Y(x,t) risulta uguale a zero
Sono quelli per i quali vale la relazione:
Y (x , t)  2 Asen
sen
2 X
l
2X
l
2 t

cos 
T
0
(Cioè: ci sono dei punti che stanno SEMPRE FERMI:
I NODI!)
Sono quelli per i quali vale la relazione:
sen
2X
l
0
Questo si ha quando:
2X
l
 n
sen
2X
l
0
Questo si ha quando:
2X
l
 n
X n
l
2
n  1, 2 , 3 , ...
sen
2X
l
0
Questo si ha quando:
2X
l
 n
X n
l
2
Vediamo alcuni esempi
n  1, 2 , 3 , ...
Specchio
Generatore
d’onda
n=1
X 
l
2
Specchio
Generatore
d’onda
n=1
X 
l
2
Specchio
Generatore
d’onda
n=1
X 
l
2
Specchio
Generatore
d’onda
n=1
X 
l
2
Generatore
d’onda
Specchio
NODI
n=1
X 
l
2
Specchio
VENTRE
Generatore
d’onda
n=1
X 
l
2
Specchio
VENTRE
Generatore
d’onda
1 VENTRE
n=1
Specchio
Generatore
d’onda
Specchio
Generatore
d’onda
n=2
X 2
l
2
l
Specchio
Generatore
d’onda
n=2
X 2
l
2
l
Specchio
Generatore
d’onda
n=2
X 2
l
2
l
Specchio
Generatore
d’onda
n=2
X 2
Generatore
d’onda
l
2
l
Specchio
NODI
n=2
X 2
l
2
l
Specchio
VENTRE
VENTRE
Generatore
d’onda
n=2
X 2
l
2
l
Specchio
VENTRE
VENTRE
Generatore
d’onda
2 VENTRI
n=2
Specchio
Generatore
d’onda
Specchio
Generatore
d’onda
n=3
l
3
X  3

l
2
2
Generatore
d’onda
n=3
Specchio
l
3
X  3

l
2
2
Generatore
d’onda
n=3
Specchio
l
3
X  3

l
2
2
Generatore
d’onda
n=3
Specchio
l
3
X  3

l
2
2
Specchio
Generatore
d’onda
NODI
n=3
l
3
X  3

l
2
2
VENTRE
Specchio
VENTRE
Generatore
d’onda
n=3
VENTRE
l
3
X  3

l
2
2
VENTRE
Specchio
VENTRE
VENTRE
Generatore
d’onda
n=3
3 VENTRI
eccetera...
Un’applicazione molto nota ai musicisti è questa:
Se questo è il
suono di una
corda quando
non è premuta
Sfiorando la corda con
un dito, senza premerla,
si ottiene l’armonica
superiore