Olimpiadi matematiche per ragazzi
Algebra
I numeri reali relativi
La metà di un centesimo
La metà di un centesimo è...
A) 0,5
B) 0,002
C) 0,005
D) 0,02
E) 0,05
(Kangourou, 2006)
[C]
Tre punti su una semiretta
Considera una semiretta con origine O ed un punto A su di essa: se la distanza in
centimetri di A da O vale a, diremo che a rappresenta il punto A. Quale dei seguenti
insiemi di tre numeri rappresenta tre punti della semiretta uno dei quali abbia la stessa
distanza da ciascuno degli altri due?
A) 1/3; 1/4; 1/5
B) 12; 21; 32
C) 0,3; 0,7; 1,3
D) 1/8; 9/80; 1/10
E) nessuno dei precedenti
(Kangourou, 2006)
[D]
Quanti numeri?
Quanti numeri interi sono compresi tra 2,09 e 15,3?
A) 13
B) 14
C) 11
D) 12
E) infiniti
(Kangourou, 2006)
[A]
La lumaca gelsomina
La lumaca Gelsomina vuole salire un muro di 15 metri ma , poiché è in là con l'età, avanza
di tre metri ogni mezz'ora e, sempre ogni mezz'ora, fa una sosta di trenta minuti
scivolando all'indietro di due metri. A che ora è giunta in cima al muro, considerato che il
viaggio è iniziato a mezzanotte del giorno precedente?
A) alle 12,30
B) alle 18,15
C) alle 13,30
(Pristem, Giochi di allenamento, 2001)
[A]
Pari o dispari?
Quale dei seguenti numeri è dispari?
A) 7 x 8
B) 37 - 23
C) 9 x 36
D) 144 : 36
E) 17 x 61
(XXVI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA, 2004)
[E]
Somma di potenze
Quanto fa 26 + 26 + 26 + 26 - 44?
A) 0
B) 2
C) 4
D) 42
E) 44
(XXVI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA, 2004)
[A]
Semplificare una frazione
Semplificando la frazione
A) 2004
, otteniamo:
B)
C)
D)
E)
(XXVI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA, 2004)
[D]
Radice di radice di radice
Calcola il risultato della seguente espressione:
=?
[2]
Calcolo letterale, monomi, polinomi
Le equazioni di 1° grado
La predizione
Marco propone questo gioco al suo amico Luca:
- pensa un numero intero qualsiasi,
- aggiungi il numero immediatamente successivo,
- aumenta di 9 la somma precedente,
- dividi il risultato ottenuto per 2,
- sottrai il numero che hai pensato all'inizio.
Il risultato è 5, vero?
Luca è stupefatto, ma non è magia: si tratta solo di matematica.
Perché si ottiene sempre lo stesso risultato da qualunque numero parta il gioco?
(Rally Matematico Transalpino, 2006)
[Suggerimento: per spiegare il gioco possiamo impostare la seguente espressione, dove x
indica un qualunque numero pensato:
(x+x+1+9):2-x=
= (2x + 10) :2 - x =
=x+5-x=
= 5]
Ma guarda che cosa fa il Pristem!
L'anno scorso la famiglia Pristem ha inaugurato una nuova attività e si è messa ad
allevare struzzi ed elefanti. La signora Pristem dice: "Sono proprio contenta perché, con le
nascite di quest'anno, nel nostro allevamento posso contare 35 teste e 116 zampe!".
Quanti sono gli struzzi e gli elefanti allevati dalla famiglia Pristem?
(Pristem 2004)
[Suggerimento: se indichiamo con x il numero degli elefanti, allora gli struzzi sono (35-x);
sapendo che ci sono 116 zampe, possiamo impostare l'equazione: 4x + 2(35-x) = 116, da
cui otteniamo x=23. Dunque, gli elefanti sono 23 e gli struzzi 12]
Uno scherzo
La mia famiglia è formata dal papà, la mamma, i miei fratelli, le mie sorelle, me e... i miei
pesci rossi.
Ci sono in tutto 14 mani e 13 bocche. Per fortuna, solo i pesci rossi sono senza mani.
Quanti pesci rossi abbiamo in famiglia?
(Pristem 2004)
[Suggerimento: se ci sono 14 mani, si può dedurre che le persone sono 7. Dunque i pesci
sono 6.]
La scatola
Questa scatola presenta quattro scomparti delle stesse dimensioni.
Il suo perimetro è di 112 cm.
Qual è la sua area?
(Pristem, Giochi di allenamento, 2001)
[Suggerimento: se indichiamo con x il lato minore del rettangolo, allora il lato maggiore è
3x. Sapendo che il perimetro è 112 cm, possiamo impostare l'equazione:
3x+3x+x+3x+x+3x = 112, da cui otteniamo x=8. L'area è 768 cm2]
Rettangoli riuniti
Sei rettangoli identici sono stati riuniti per formare un rettangolo più grande, come illustrato
nella figura seguente.
Qual è l'area del rettangolo grande?
(XXVII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA, 2005)
[588 cm2]
Bilance in equilibrio
Figure uguali rappresentano oggetti che hanno lo stesso peso.
Si sa che:
a) 6 quadrati pesano come 3 triangoli e 1 cerchio;
b) 8 quadrati pesano come 2 triangoli e 4 cerchi.
Si chiede: quanti quadrati sono necessari per equilibrare la seguente bilancia?
(XXVII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA, 2005)
[10]
Mele e arance
3 mele e 2 arance pesano complessivamente 255 grammi;
2 mele e 3 arance pesano complessivamente 285 grammi.
Tutte le mele hanno lo stesso peso e tutte le arance hanno lo stesso peso.
Quanti grammi pesano complessivamente 1 mela e 1 arancia?
(Kangourou 2004)
[Suggerimento: sommando i dati si ottiene che 5 mele e 5 arance pesano
complessivamente..., dunque 1 mela e 1 arancia pesano complessivamente 106 g]
Fratelli e sorelle
Enrico ha tre sorelle e cinque fratelli. Sua sorella Sabina ha "S" sorelle e "F" fratelli.
Quanto vale il prodotto di S per F?
(Kangourou 2001)
[12]
Il numero di Chiara
Chiara pensa un numero intero. Raddoppia tale numero, raddoppia ancora il risultato
ottenuto, raddoppia ancora una volta e poi ancora una volta. Quale dei seguenti numeri
certamente non può essere il risultato?
A) 80
B) 1200
C) 48
D) 84
E) 880
(Kangourou 2001)
[84, perché non è divisibile per 16]
Le teste dei draghi
Se il drago rosso avesse 6 teste in più del drago verde, essi avrebbero in totale 34 teste.
Ma il drago rosso ha 6 teste meno del drago verde.
Quante teste ha il drago rosso?
A) 6
B) 8
C) 12
D) 14
E) 16
(Kangourou 2001)
[Suggerimento: indicando con x il numero di teste del drago verde, si imposta l'equazione
x-6+x=34-12 che dà come risultato 14.
Dunque il drago rosso ha 14-6=8 teste]
Il peso di Anna
Ieri Anna si è pesata con lo zainetto in spalla: la bilancia segnava 45 kg. oggi pesa 53 kg,
ma il suo zainetto è tre volte più pesante di quello del giorno prima.
Quanti chilogrammi pesa Anna (sapendo che il suo peso tra ieri e oggi è rimasto lo
stesso)?
(Giochi Bocconi Parigi 2001)
[41 kg]
Agnelli e oche
Nel cortile della fattoria si trovano agnelli e oche
La mamma manda Pierino e Gea a contare gli animali.
Ciascuno dei due bambini conta a suo modo.
Pierino dice: "Ci sono 192 zampe."
Gea dice: "Io ho contato 60 teste."
Quanti agnelli e quante oche si trovano nel cortile?
(Olimpíada Matemática Argentina - Allenamento)
[Suggerimento: se indichiamo con x il numero degli agnelli, allora le oche sono (60-x);
sapendo che ci sono 192 zampe, possiamo impostare l'equazione: 4x + 2(60-x) = 192, da
cui otteniamo x=36. Dunque ci sono 36 agnelli e 24 oche.]
Un primo passo in Algebra
Il Maestro, e i piccoli allievi Pietro e Paolo.
MAESTRO: Pietro, pensa un numero.
PIETRO: Pensato.
MAESTRO: Aggiungi uno.
PIETRO: Aggiunto.
MAESTRO: Quanto hai trovato?
PIETRO: Sei.
MAESTRO: Tu Paolo, indovina il numero pensato da Pietro.
PAOLO: 6 -1 = 5, tale è il numero pensato.
MAESTRO: Bravo Paolo, hai fatto un primo passo in Algebra.
Come si spiega il calcolo di Paolo?
(tratto da Giuseppe Peano, Giochi di aritmetica e problemi interessanti, Paravia, 1925)
[L'operazione inversa di "aggiungere 1" è "sottrarre 1".]
Un lungo passo in Algebra
Gli stessi.
MAESTRO: Paolo, pensa un numero, raddoppialo, aggiungi 3, dicci il risultato, e tu Pietro
indovina il numero pensato.
PAOLO: 15.
PIETRO: (15 -3) / 2 = 6.
MAESTRO: Bravo Pietro, hai fatto un lungo passo nell'Algebra.
Come si spiega il calcolo di Pietro?
(tratto da Giuseppe Peano, Giochi di aritmetica e problemi interessanti, Paravia, 1925)
[Soluzione dettagliata: le operazioni inverse di "aggiungere 3" e "raddoppiare" sono
rispettivamente "sottrarre 3" e "dimezzare". In alternativa, indicando con x il numero
pensato si può impostare l'equazione:
2x + 3 = 15
da cui si ricava:
x = (15 -3) / 2 = 6.]
Sempre 4
Pensa un numero, raddoppialo, aggiungi 8, dividi per 2, sottrai il numero pensato; avrai 4.
Come si spiega questo risultato?
(tratto da Giuseppe Peano, Giochi di aritmetica e problemi interessanti, Paravia, 1925)
[Per spiegare il gioco possiamo impostare la seguente espressione, dove x indica un
qualunque numero pensato:
(2x + 8) : 2 - x =
=x+4-x=
= 4]
Un gioco di Leonardo
Pensa un numero, moltiplica per 2, aggiungi 5, moltiplica per 5, aggiungi 10, e moltiplica
per10, e dimmi il risultato. Se da questo sottraggo 350, e divido per 100, ho il numero
pensato.
Come si spiega questo risultato?
(tratto da Giuseppe Peano, Giochi di aritmetica e problemi interessanti, Paravia, 1925)
[Se il numero pensato è x, si può impostare la seguente espressione:
{[5·( 2x + 5) +10]·10-350}:100 =
= {[10x + 35]·10-350}:100 =
= {100x + 350-350}:100 =
= 100x:100 =
=x
Così Leonardo, nel capitolo "de divinationibus".]
Mele pere e... un libretto
Osserva la figura (ci sono mele, pere e un libretto).
Sapendo che il libretto pesa 110 g, quanto pesa una mela?
A) 150 g
B) 155 g
C) 160 g
D) 165 g
(Gran Premio di Matematica Applicata, 2001)
[D
Spiegazione dettagliata: dalla seconda bilancia si vede che una pera pesa 110 g (come il
libretto), quindi 3 pere 330 g e una mela (prima bilancia) 165 g.]
Gli acquisti di Pierino
Pierino compra dal cartolaio una matita e poi una biro che costa un euro più della matita.
Spende in tutto EUR 1,70. Quanto costa la biro in centesimi?
A) 120
B) 125
C) 130
D) nessuna delle precedenti risposte è esatta
(Gran Premio di Matematica Applicata, 2003)
[D]
Le disequazioni di 1° grado
Insiemi e relazioni
Piano cartesiano, funzioni e grafici
Elementi di logica
I pedoni
Su questa linea si trovano cinque pedoni (bianchi o neri), uno per casella.
Trovare la loro posizione sapendo che:
vi è un pedone nero posizionato fra due pedoni bianchi;
non vi sono pedoni bianchi consecutivi;
due pedoni estremi sono di colore diverso;
il secondo pedone partendo da sinistra è nero.
(Pristem, 2001)
[Il problema ha almeno due soluzioni:
1) Bianco nero bianco nero nero
2) Nero nero bianco nero bianco]
Padroni e animali
Fabio, Giulia, Mauro e Nadia possiedono ciascuno un solo animale.
I loro animali sono un cane, un canarino, un gatto e un pesce rosso.
Si sa che:
l'animale di Mauro ha il pelo;
l'animale di Fabio ha 4 zampe;
Nadia ha un uccellino
sia Giulia sia Mauro non possiedono gatti.
Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
A) Fabio ha un cane
B) Nadia ha un canarino
C) Giulia ha un pesce
D) Fabio ha un gatto
E) Mauro ha un cane
(Kangourou, 2002)
[L'affermazione falsa è la A.
Spiegazione dettagliata:
dalla proposizione "1. L'animale di Mauro ha il pelo", si deduce che Mauro ha un cane
oppure un gatto;
dalla proposizione "4. sia Giulia sia Mauro non possiedono gatti", si deduce che l'animale
di Mauro è un cane;
dalla proposizione "2. l'animale di Fabio ha 4 zampe", si deduce che l'animale di Fabio è
un gatto.
Quindi Fabio non può avere un cane.]
Indovinare un numero
Devi indovinare un numero intero positivo sul quale quattro tuoi amici ti danno le seguenti
informazioni.
Andrea: "Il numero è 9".
Bruno: "Il numero è primo".
Carlo: "Il numero è pari".
Dario: "Il numero è 15".
Sai che, tra Andrea e Bruno, uno dei due dice la verità e così pure fra Carlo e Dario.
Qual è il numero?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 9
E) 15
(Kangourou, 2004)
[B), il numero è 2.
Spiegazione dettagliata:
L'affermazione "Il numero è 15" contraddice entrambe le affermazioni di Andrea e Bruno,
quindi è falsa. È vera allora l'affermazione "Il numero è pari" e questo implica che sia falsa
l'affermazione di Andrea ("Il numero è 9") e vera quella di Bruno ("Il numero è primo").
L'unico numero primo pari è 2.]
La tela rubata
L'ispettore Derrick deve scoprire i responsabile del furto di una famosa tela del '500.
Gli indiziati sono quattro personaggi ben noti alla polizia: i fratelli Augusto e Dante,
Bernardo "la Volpe" e Carlo "lo Smilzo".
L'ispettore interroga tutti e quattro e raccoglie le seguenti dichiarazioni.
Augusto: "Bernardo non ha rubato la tela."
Carlo: "Il furto non è stato commesso da Dante."
Bernardo: "Il ladro è uno dei fratelli."
Dante: "Non sono stato io."
L'ispettore sa che solo uno di loro ha detto il falso.
Chi ha rubato la tela?
Date la vostra risposta e giustificate il ragionamento fatto.
(Rally Matematico Transalpino 2001)
[Carlo ha rubato la tela.
Spiegazione dettagliata:
- Osservare che Carlo e Dante dicono la stessa cosa e quindi che né l'uno né l'altro può
aver mentito perché si avrebbero due affermazioni false
- Dedurre che il mentitore è o Augusto o Bernardo. Se fosse Augusto a mentire, il
colpevole
sarebbe Bernardo, ma ciò contraddirebbe l'affermazione (vera) di quest'ultimo per la quale
il colpevole è uno dei fratelli
- Concludere che è Bernardo a dire il falso e che, quindi, la tela è stata rubata da Carlo o
dallo stesso Bernardo; dall'affermazione di Augusto segue che il ladro è Carlo.]
Cognomi e capelli
Due uomini e una donna di cognome Biondi, Neri e Rossi si incontrano in un bar.
La donna, che non ha i capelli rossi, osserva: "I nostri cognomi corrispondono proprio al
colore dei nostri capelli!". "Vero," risponde la persona dai capelli neri "però nessuno di noi
ha i capelli che si accordano col proprio cognome." "Hai proprio ragione!" esclama Biondi.
Qual è il colore dei capelli di Neri?
(Gran Premio di Matematica Applicata, 2004)
[Suggerimento: la donna non ha i capelli rossi e nemmeno neri, quindi è bionda e, di
conseguenza non può chiamarsi Biondi. Non può però chiamarsi Rossi, perché l'uomo dai
capelli neri non è Biondi (che parla dopo di lui). Quindi la signora Neri hai capelli biondi.]
Canguri sinceri
Nel recinto c'era più di un canguro. Un canguro disse: "Siamo in 6" e saltò fuori dal recinto.
Allo scadere di ogni minuto successivo, un canguro saltò fuori dal recinto dicendo: "Tutti
quelli che sono saltati fuori prima di me hanno mentito", finché non ci furono più canguri
nel recinto.
Quanti canguri hanno detto la verità?
(Kangourou, 2004)
[Un solo canguro ha detto la verità e potrebbe essere il primo oppure il secondo.
Spiegazione dettagliata:
La proposizione del primo canguro, "Siamo in 6" potrebbe essere vera oppure falsa.
Riflettiamo ora sulla proposizione del secondo canguro, "Tutti quelli che sono saltati fuori
prima di me (cioè il primo canguro) hanno mentito"; anche questa può essere vera oppure
falsa:
se è vera, allora il primo canguro ha mentito;
se è falsa, allora il primo canguro ha detto la verità.
Quindi esattamente uno dei primi due canguri ha detto la verità.
Di conseguenza tutti i successivi canguri hanno mentito.]
Tre amici al bar
Davide, Enrico e Matteo si ritrovano, dopo parecchio tempo, al bar e si scambiano qualche
confidenza.
Davide: "Io non ho ancora trovato l´anima gemella".
Enrico: "Nemmeno io, l´ho trovata".
Matteo: "Enrico mente".
Davide: "Matteo dice la verità".
In realtà uno solo dei tre amici mente.
Quale dei tre sicuramente non ha trovato l´anima gemella?
(Pristem, Giochi a squadre, 2001)
[Davide]
Le ranocchie e il principe azzurro
Emy, Valentina e Susanna stanno conversando, piö o meno amabilmente, su una bella
ninfea.
Valentina: "Io non ho trovato il principe azzurro."
Emy: "Nemmeno io, l´ho trovato."
Susanna: "Emy mente."
Valentina: "Susanna dice la verità."
In realtà una sola delle tre ranocchie mente.
Quale delle tre ha veramente trovato il principe azzurro?
(Pristem, 2001)
[Emy]
La carta da indovinare
Una persona del pubblico estrae una carta da un mazzo di 32 carte e la guarda senza
mostrarla al mago che la deve indovinare. Ecco il dialogo tra il mago (M) e la persona (P).
M: "La carta è una numero?" P: "Sì"
M: "E' pari?" P: "Sì"
M: "E' un otto?" P: "No"
M: "E' nera?" P: "Sì"
M: "E' di fiori?" P: "No"
A questo punto il mago ha capito di che carta si tratta. E voi?
Qual è la carta estratta?
Nota: Un mazzo di 32 carte contiene 4 colori: cuori (carte rosse), quadri (carte rosse), fiori
(carte nere), picche (carte nere) e, per ciascun colore, le seguenti carte: il 7, l´8, il 9, il 10,
il Fante, la Donna, il Re e l´Asso.
(Pristem, 1999)
[10 di picche]
Probabilità