I conduttori in un campo
elettrostatico
•
•
•
Abbiamo identificato come conduttori quei materiali
dotati di cariche in grado di muoversi all’interno del
conduttore
Quando il conduttore viene immerso in un campo
elettrostatico, si ha uno spostamento delle cariche mobili
È facile intuire





















– quando si raggiunge una condizione stazionaria
– Il campo elettrico all’interno del conduttore è nullo
– Se così non fosse, il campo elettrico agirebbe sulle cariche
mobili del conduttore accelerandole, contro l’ipotesi di
condizione stazionaria
– Il campo elettrico immediatamente fuori al conduttore è
perpendicolare al conduttore stesso (superficie
equipotenziale)











 

 






appena inserito

















una volta raggiunta la condizione
stazionaria
Vi  Vf 
f
 E dr
0
i
E 0 in o gni punto
del p erco rso
•
Un conduttore in condizioni
stazionarie è equipotenziale
G.M. - Edile A 2002/03
Localizzazione della carica sui
conduttori in equilibrio
•
•
Un conduttore in equilibrio non ha accumuli di
carica al suo interno.
Dimostrazione
– Applichiamo il teorema di Gauss ad una
qualunque superficie tutta interna al conduttore
– Sappiamo che nei conduttori in equilibrio il
campo interno è nullo
– Il flusso del campo elettrico è nullo
– La carica interna alla superficie è nulla
– Questo vale per qualunque superficie all’interno
del conduttore
•
•
Conclusione
Eventuali accumuli di carica sono localizzati
sulla superficie del conduttore
La densità di carica dipende dal raggio di curvatura locale,
più piccolo è il raggio più grande è la densità effetto punta
Superficie sferica = distribuzione uniforme
















Caso del conduttore inizialmente
neutro










Caso del conduttore inizialmente
carico positivamenteG.M. - Edile A 2002/03
Effetto “punta”
•
•
la densità di carica sulla superficie
esterna di un conduttore è
inversamente proporzionale al
raggio di curvatura della superficie
Consideriamo due conduttori sferici
– Di raggio diverso
– Sufficientemente lontani in
maniera che non si influenzano
l’un l’altro
– Connessi elettricamente in maniera
da risultare allo stesso potenziale
1
4 o
1
V2 
4 o
V1 
q1
R1
q2
R2
R1
1
R2
2
q1  4R121
q 2  4R 22 2
q1
q
 2
R1 R2

4R121 4R22  2

R1
R2
R1 1  R 2 2
V1  V2 
q1 q 2

R1 R 2
•
•
Poiché R1 è più piccolo
1 sarà più grande
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Campo elettrico sulla superficie di un
conduttore
•
•
Sappiamo che il campo elettrico esterno
è perpendicolare alla superficie del
conduttore stesso
Applichiamo il teorema di Gauss ad una
superficie cilindrica
– di altezza infinitesima,
– con una base tutta all’interno del
conduttore
•
Solo la base esterna contribuisce al
flusso
– Se l’area di base è piccola (infinitesima)
possiamo supporre costante il campo
elettrico
– e la densità di carica








A
EA 
o











E
o
– Il flusso è EA
– La carica interna è A
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Schermo elettrostatico
•
•
Consideriamo un conduttore con una cavità
Le due regioni delimitate dal conduttore
– la cavità
– lo spazio all’esterno del conduttore
•
sono completamente indipendenti dal punto di
vista elettrostatico
•
– le azioni elettriche non si trasmettono dalla
cavità allo spazio esterno del conduttore e
viceversa
•
•
•
Variando la disposizione delle cariche
all’esterno del conduttore non è rilevabile alcun
effetto all’interno della cavità
Viceversa variando la disposizione delle cariche
all’interno della cavità non è rivelabile alcun
effetto all’esterno del conduttore
VP1  VP 
2

•
•
P1
P1
La carica complessiva sulla
superficie della cavità è nulla
(teorema di Gauss)
Ma non ci possono neppure essere
accumuli di carica (circuitazione di
E)
Variando la disposizione delle cariche
esterne, le conclusioni precedenti
restano immutate
Anche se si fornisce una carica q al
conduttore cavo, questa si
distribuisce sulla superficie esterna
del conduttore (cariche dello stesso
segno tendono ad allontanarsi il più
possibile), lasciando invariate le
condizioni della cavità
E  dr
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Schermo elettrostatico
•
•
Supponiamo ora di localizzare una carica q
puntiforme all’interno della cavità di un
conduttore cavo globalmente neutro
Una carica uguale ma di segno opposto viene
richiamata sulla superficie interna della cavità



– Per giustificare questa affermazione basta
applicare il teorema di Gauss ad una superficie
interna la conduttore che racchiuda la cavità
•
Poiché il conduttore inizialmente era neutro,
una carica dello stesso segno di quella posta
nella cavità si affaccia sulla superficie esterna
del conduttore
– Questa carica si distribuisce sulla superficie
esterna sulla base delle altre cariche
eventualmente presenti attorno al conduttore o,
se se queste sono assenti, con una densità
inversamente proporzionale al raggio di
curvatura della superficie del conduttore
  


  

•

Spostando la carica all’interno della
cavità,
–
–
–
la distribuzione delle cariche sulla
superficie interna della cavità varia
quella sulla superficie esterna del
conduttore non cambia,
nessun effetto legato agli spostamenti di
cariche potrà essere notato all’esterno del
conduttore cavo (effetto schermo)
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Schermo elettrostatico con geometria
sferica
•
La figura mostra la sezione
trasversale di un guscio sferico
conduttore di raggio interno r.
Una carica puntiforme di -5.0 mC
viene posta ad una distanza di R/2
dal centro del guscio.
Se il guscio è elettricamente neutro,
quali sono le cariche indotte sulla
superficie interna ed esterna?
Queste cariche sono uniformemente
distribuite?
Qual è l’andamento del campo
elettrico all’interno e all’esterno del
guscio sferico?
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Disposizione delle cariche su due piastre
conduttrici cariche
•
•
Lastre conduttrici cariche a) b)
Lastre conduttrici affacciate
– Avvicinando le due lastre non possiamo semplicemente applicare il principio di
sovrapposizione
– Perché avvicinando le due lastre le cariche si spostano fino a raggiungere la
configurazione della figura c
•
Effetti di bordo
– Se le lastre non sono infinite, vicino ai bordi il campo elettrico non sarà costante
come per lastre indefinite.
– Neppure le line di forza saranno delle rette parallele perpendicolare alla lastre
•
La dimensione della zona in cui si ha uno scostamento dalla situazione ideale
è dell’ordine della distanza tra le piastre
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La capacità
•
Un condensatore è costituito da due
conduttori isolati
– I due conduttori vengono chiamati,
qualunque sia la loro forma, “piatti” o
“armature” del condensatore
•
Un condensatore si dice “carico” se le sue
armature possiedono cariche uguale ma di
segno opposto
– (+q e -q)
•
•
•
•
•
Per riferirsi alla carica del condensatore si
parla genericamente di q (per esempio la
carica positiva)
Le due armature, essendo dei conduttori
sono ciascuna equipotenziale.
Sia DV la differenza di potenziale tra le
armature
q
q
C


Si definisce la capacità come
ddp
DV
Si misura in coulomb/volt=farad
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Il circuito elettrico
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•
•
Elementi del circuito elettrico
La batteria è un dispositivo in grado di
mantenere costante la differenza di potenziale
ai suoi elettrodi (morsetti) grazie a reazioni
elettrochimiche interne
L’interruttore : stabilisce il contatto elettrico
tra le varie parti del circuito
Il condensatore: viene rappresentato come un
condensatore a facce piane e parallele
Quando l’interruttore viene chiuso a causa della
differenza di potenziale generata dalla batteria
alcune cariche vengono rimossa da una delle
armatura del condensatore e spostate sull’altra
armatura
Si verifica quindi uno spostamento di cariche
(corrente elettrica)
Quando la ddp raggiunge il valore V, la corrente si
arresta
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Calcolo della capacità nel condensatore a
facce piane e parallele
•
•
•
•
•
Indichiamo con S la superficie delle
armature
d la distanza tra esse
q la carica sulle armature
Supporremo le dimensioni delle
armature grandi rispetto a d in modo da
trascurare gli effetti di bordo
La densità di carica sarà

C  o
q
S
• Il campo elettrico tra le armature E 
2
•
•

S
d

q

o S o
La differenza di potenziale DV   E  dr   Ed
La capacità C 
1
qS o
q
q
S


 o
DV Ed
qd
d
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Calcolo della capacità in un
condensatore cilindrico
•
•
•
Consideriamo un condensatore cilindrico
di lunghezza L costituito da due cilindri
coassiali di raggi a e b
Supponiamo L >> (b-a) per poter
trascurare gli effetti di bordo
Il campo elettrico tra i due cilindri sarà
come quello generato da una distribuzione
lineare di carica
E
1 
1 q

2o r 2o Lr
2
b


1
a
1 q1
1 q
b
DV   E  dr  
dr  
log
2 o L r
2 o L
a
C
q
L
 2 o
DV
log b a
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Capacità di un conduttore sferico isolato
•
•
•
•
Consideriamo un conduttore sferico
isolato
Carico con carica q
in questo caso si suppone che l’altra
armatura, con la carica -q, sia
all’infinito
La differenza di potenziale tra
l’armatura all’infinto e la superficie
del conduttore è
R
+q
R
R
1 q
1
1 q
1 
DV   E  dr  
dr 
q

4o r 2
4 o r  4o R


C


q
q
 4o R  4o R
DV q
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Condensatori in parallelo
•
Due condensatori si diranno in parallelo se
tra le loro armature è applicata la stessa
differenza di potenziale
•
Capacità equivalente
– È un condensatore che ha una carica q uguale
alla somma delle cariche e a cui è applicata la
stessa differenza di potenziale
q  Cequi DV
q  q1  q2  q 3  C1 DV  C 2 DV  C3 DV
C equi DV  C1 DV  C2 DV  C3 DV
C equi  C1  C2  C3
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Condensatori in serie
•
•
La carica q è la stessa per tutti i condensatori
ed è la stessa presente sulla capacità equivalente
•
In questo caso la differenza di potenziale sarà la
somma delle differenze di potenziale ai capi di
ciascuno dei condensatori
V
q
C equi
q
q
q
V  V1  V2  V3 


C1 C 2 C3
1
C equi
1
1
1



C1 C2 C3
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Energia immagazzinata in un
condensatore
• Sarà data dal lavoro che dobbiamo per portare la carica q da una
armatura all’altra.
• Supponiamo di farlo per gradi= sposto una quantità di carica
infinitesima alla volta
• All’inizio il condensatore è scarico non si fa lavoro a spostare la carica
dq’
• Ma appena comincio a spostare la carica, la differenza di potenziale
comincia ad aumentare
• Supponiamo che a un certo punto sia V’
• Se adesso spostiamo dq il lavoro da fare è dL =V’dq’
q' dq'
• Ma V’=q’/C
dL 
C
• Il lavoro complessivo sarà:
q
L

0
q' dq' 1 1 2 q q 2

q'

U
C
C 2 0 2C
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