Particelle cariche
Fenomeni principali:
Perdita energia
Deflessione
Collisioni anelastiche
con elettroni o nuclei atomici
Diffusione elastica
dai nuclei
Ionizzazione
Bremsstrahlung
trascurabile per particelle
cariche pesanti
Scattering
coulombiano
multiplo
Altri fenomeni:
Emissione Cherenkov,
G. Pugliese
Biofisica, a.a. 09-10
Perdita di energia per ionizzazione
Il fenomeno della perdita di energia per ionizzazione ed eccitazione della materia è stato
affrontato e descritto negli anni trenta soprattutto da MOTT, BETHE, MÖLLER, BLOCH.
Le collisioni con gli elettroni atomici vengono di solito classificate in due categorie: dure e
molli.
Collisioni “dure” sono quelle in cui l’energia trasferita all’elettrone è tanto
grande da poter considerare l’elettrone come libero dal legame atomico.
Le sezioni d’urto dipendono dalla natura e dallo spin della particella incidente.
Ogni collisione per cui l’energia trasferita è sufficientemente grande rispetto
all’energia di ionizzazione dell’elettrone si può considerare dura.
D (T , Q)dQ
È la sezione d’urto differenziale per un processo in cui una
particella di energia cinetica T trasferisce all’elettrone energia
compresa tra Q e Q+dQ, la probabilità differenziale per questa
collisione risulta:
D (T , Q)dQ  NZDdQdx
quando lo spessore di materiale attraversato è dx, N = numero atomi/cm3 nel
materiale e Z = numero di elettroni/atomo ≡ numero atomico del materiale
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Perdita di energia per ionizzazione
L’energia perduta in media per unità di lunghezza è quindi:
 dT 

  NZ
 dx  D
QMAX
 Q
D
dQ
H
dove H è il valore di Q a partire dal quale la collisione può considerarsi “dura”.
Le collisioni considerate “molli” invece riguardano processi per cui Qmin<Q<H,
dove Qmin è l’energia di eccitazione dell’elettrone;
La perdita complessiva di energia per ionizzazione è quindi data dalla
somma dei due contributi:
 dT 
 dT 
 dT 










dx
dx
dx

 ion 
D 
M
G. Pugliese
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Perdita di energia per ionizzazione
I calcoli dettagliati per la collisione dura non sono sempre affidabili soprattutto
per le incertezze sulla funzione ΣD. Inoltre sono parecchio infrequenti cosicché
il contributo al “valore più probabile” della perdita di energia è solitamente
piccolo. Si preferisce calcolare il contributo dei soli processi molli estendendo
l’integrazione fino al valore QMAX ed ignorando il termine
 dT 


dx

D
QMAX
 dT 

  NZ Q Q M dQ
min
 dx  ion
G. Pugliese
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Particelle cariche pesanti: perdita di energia per
ionizzazione
Se valgono le seguenti ipotesi:
1. Massa particella M >> me
2. e- atomico libero e in quiete
3. Impulso trasferito piccolo
calcolo
(-dE/dx) = quantità di energia persa per unità di percorso per
ionizzazione da parte di una particella carica
Bohr (formula classica)
Bethe-Bloch (relativistica)
G. Pugliese
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Formula di Bethe-Bloch
2
dE
z

 2re2 mec 2 NZ 2
dx

 2mec 2 2  2Wmax
C
2
 2    2 
ln
2
I
Z

Valida per β>>Z/137
I = potenziale medio di eccitazione
N, Z (numero atomico)= caratteristiche del mezzo (A peso atomico, ρ denistà)
N 
NA
A
z, β, γ = caratteristiche della particella incidente
Wmax = massima energia trasferita in una collisione
re = raggio classico dell’elettrone
me = massa dell’elettrone
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Commenti (1)
2
dE
z

 2re2 mec 2 NZ 2
dx

• Zona A: ripida
decrescita
proporzionale a 1/β²
• Punto B: minimo
della perdita di
energia
• Zona C: lenta
crescita relativistica
proporzionale a ln
 2mec 2 2  2Wmax
C
2
 2    2 
ln
2
I
Z

• Zona D: perdita di energia per unità di percorso
costante, ionizzazione limitata dagli effetti di densità
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Commenti (2)
dE
Z z2
2
2

 2N Are me c 
dx
A 2
 2me c 2 2  2Wmax
C
2
ln

2




2


I2
Z

Effetto densità (importante ad alte energie): la polarizzazione degli atomi
scherma il campo elettrico sentito dagli elettroni più lontani, quindi le collisioni
con questi elettroni contribuiscono meno alla perdita di energia totale
Correzione
di
shell
(importante
a
basse
energie):
quando
v(particella)~v(orbitale elettrone) non vale l’assunzione di elettrone stazionario
Channeling in materiali con struttura atomica simmetrica: perdita energia
minore se particella incanalata
Avviene quando l’angolo è
minore di un certo angolo
critico
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Commenti (3)
2
dE
z

 2re2 mec 2 NZ 2
dx

 2mec 2 2  2Wmax
C
2
 2    2 
ln
2
I
Z

A. Particella veloce rilascia meno energia
Particella con carica maggiore rilascia più energia
C. No dipendenza dalla massa della particella incidente
B.
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Curva di Bragg
Andamento qualitativo della ionizzazione specifica in funzione dello
spessore attraversato: Curva di Bragg:
Il numero di coppie create per
unità di lunghezza di percorso è
proporzionale alla frazione dE/dx
d’energia persa dalla particella.
Quando la particella rallenta perde
più energia
Energia depositata per lo più alla
fine: importante per applicazioni
mediche
dE/dx(Mev*cm2/g)
Pick up
Profondità di penetrazione
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Commenti (4): Minimo di ionizzazione
La dipendenza dalla massa
tramite il rapporto p/E:
avviene
 per alto  la perdita di energia è
praticamente indipendente da m(risalita
relativistica);
 per piccoli valori di , a parità di
energia cinetica della particella incidente,
la perdita è essenzialmente dominata dal
valore di m. Particelle più pesanti
raggiungono il minimo a energie maggiori
 L’energia che corrisponde al minimo di
ionizzazione dipende dalla massa della
particella incidente
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Commenti (5): Dipendenza dal mezzo
D.


un mezzo denso e con numero
atomico elevato acquista più
energia dalla particella incidente
La perdita di energia aumenta
all’aumentare di Z/A
esprimendo
la
lunghezza
attraversata nel mezzo in unità di
(x) ≡ gr/cm2
dE

d ( x)
Materiali diversi con lo stesso spessore di
massa hanno lo stesso effetto sulla stessa
radiazione
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Perdita di energia (esempi)
La perdita di energia per particelle cariche pesanti (processo statistico) solitamente è
distribuita attorno ad un valore medio. Tale distribuzione, straggling energetico, è
approssimativamente gaussiana per assorbitori più spessi e tende a sviluppare una
coda verso più alte energia man mano che diminuisce lo spessore, con un andamento
asimmetrico descritto dalla distribuzione di Landau.
Simulazione GEANT dell'energia depositata (scala orizzontale in MeV) da 50000
protoni di energia cinetica 10 MeV in un rivelatore sottile da 2 e 100 micron di Silicio.
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Range di penetrazione
Definiamo percorso della particella la distanza che questa percorre all’interno
del mezzo prima d’aver perso tutta la propria energia (dipende dal tipo di
particella, dalla sua energia e dal tipo di materiale):
Rapporto particelle uscenti - incidenti in
funzione dello spessore del mezzo:
Range medio: distanza in cui la metà
delle particelle del fascio vengono
assorbite
Range estrapolato: viene preso il
punto di intersezione della tangente
condotta dal valore della curva
corrispondente al range medio, con
l'asse delle distanze
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Range particelle cariche (relaz. empiriche)
Il percorso in un certo mezzo di una particella carica di energia iniziale
nota può essere ricavato facendo uso di relazioni empiriche:
Es. Percorso medio in aria di particelle 
di energia cinetica E (tra 4 e 7 MeV)
R (cm)  0.309E ( MeV )3 / 2
1.8
Es. Per un protone per energie tra
qualche MeV e 200 MeV
Per un qualsiasi mezzo, il range medio per
le particelle a
 E ( MeV ) 
R p ( m)  

9 .3


R A ( mg  cm 2 )  0.56 R A1/ 3
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Range particelle cariche (simulazioni)

protoni
La capacità di penetrazione di particelle cariche pesanti è modesta: per es.  di qualche
MeVsono assorbite in meno di 10 cm di aria (densità dell’aria 1.2 10-3 g/cm3).G. Pugliese
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Interazione particelle cariche leggere - materia
Col termine particelle cariche leggere intendiamo gli elettroni (e- ed β-) ed i
positroni (e+ ed β+).
Perdono energia attraversando un mezzo per:

Processi di collisione (predominante per  piccolo):
1. nuclei (collisioni elastiche, deflessione)
2. elettroni atomici (collisioni anelastiche, perdita energia)

Irraggiamento o Bremsstrahlung (alle alte energie tra 10 – 100
MeV): fenomeno dell’emissione di fotoni da parte di particelle
cariche, collegato all’accelerazione subita per la azione dei campi
elettrici dei nuclei atomici
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Ionizzazione per elettroni
modifiche alla formula di Bethe-Bloch:
• Gli elettroni sono generalmente relativistici (2 MeV il  = 4)
• Negli urti con gli elettroni atomici non si possono trascurare le deflessioni
• scattering tra particelle identiche regole quanto-meccanica (indistinguibili)
dE
Z 1
 2 (  2)


 0.1535
[ln

F
( , )   ]
2
2 2
dx
A
2( I / mec )
τ = E(energia cinetica della particella) /mec2
Dove F diverso per e+ ed e-
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Percorso degli elettroni
Relazione empirica che lega il percorso degli elettroni in funzione della loro
energia:
 g 
R  2   0.407  E 1.38
 cm 
0.15  E  0.8 MeV
 g 
R  2   0.542  E  0.133 0.8  E  3 MeV
 cm 
Il percorso è praticamente indipendente dalla natura dal mezzo in cui
avviene l’interazione! Solo dalla densità!
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Bremsstrahlung
 Emissione di radiazione da diffusione nel campo elettrico del nucleo
(bremmstrahlung = frenamento) (Energia non ceduta al mezzo ma ai fotoni
prodotti. )
La distanza tra la particella e il nucleo gioca un ruolo essenziale:
1.
2.
3.
Per distanze grandi rispetto al raggio nucleare ma piccole rispetto al raggio
atomico: si può considerare il campo Colombiano come dovuto alla carica
puntiforme Ze
per distanze ≥ del raggio atomico: diventa importante lo schermaggio degli
elettroni atomici
per distanze ~ raggio nucleare: la carica non appare più puntiforme
 dE 
4Z 2 NE 2 183



re lg 1
 dx 
137
Z 3

 Rad
137mc 2
E 
Z 1/ 3
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Lunghezza di radiazione
Le perdite per irraggiamento diventano più importanti al crescere
dell’energia (al contrario di quelle per ionizzazione).
Molto spesso per gli elettroni anziché parlare di distanze percorse in un
mezzo si preferisce ragionare in termini di lunghezza di radiazione:
 dE 
4Z 2 NE 2 183



re lg 1
 dx 
137
Z 3

 Rad
dE
dx

E
X0
1
4 Z 2 N 2 183

re lg 1
X0
137
Z 3
 E  E 0e  x / X 0
rappresenta la distanza in media percorsa
da un elettrone prima che la sua energia si
riduca di 1/e del valore iniziale.
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Perdita di energia degli elettroni
(dE/dx)tot = (dE/dx)rad + (dE/dx)ionoz
IONIZZAZIONE
BREMSSTRAHLUNG
fino pochi MeV
da decine di MeV
Per ciascun materiale si definisce un’energia
critica Ec alla quale la perdita di energia per
radiazione è uguale alla perdita di energia per
collisione:
(dE/dx)rad = (dE/dx)ioniz
L’energia critica dipende fortemente dal materiale assorbente
800MeV
Ec 
Z
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Tabelle: energia critica – Lungh. radiazione
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Esempi: perdita di energia per elettroni
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Esempi: perdita di energia per elettroni
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Riassumendo: perdita di energia per elettroni
IONIZZAZIONE
 dE/dx varia
BREMSSTRAHLUNG
 dE/dx varia linearmente
logaritmicamente con E e
con E e quadraticamente
linearmente con Z
con Z
 Domina a energie minori
di quella critica
 L’energia è ceduta al
materiale assorbente
 Domina a energie
maggiori di quella critica
 L’energia è ceduta ai
fotoni
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Elettroni e protoni a confronto
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Lunghezza di conversione per i fotoni
Z 2 2  28 183 2 
p 
re  lg 1/ 3  
137  9 Z
27 
dn
dx

n
Lp
n  n0 e
Lp 
 x / Lp
1
N p
Lp 
1
 28 Z 2 N 183 
re 
lg 1 / 3 
 9 137 Z 
2
7
X 0  Lp
9
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Miscele
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DIFFUSIONE ELASTICA DI PARTICELLE
CARICHE
Una particella in moto vicino ad un nucleo subisce una deviazione della direzione
del moto; il nucleo molto più pesante non subisce cambiamenti apprezzabili in
energia e quindi la collisione è elastica
• sono elastici  non contribuiscono alla perdita di energia
• Contribuisco alla deviazione della traiettoria
•Le collisioni elastiche con i nuclei sono meno probabili rispetto
alla collisioni anelastiche con gli elettroni
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Scattering coulombiano multiplo
Scattering della particella causato dalla diffusione nel campo
coulombiano dei nuclei
Descritto dalla formula di
Rutherford per la sezione
d’urto differenziale:
dσ/dΩ=(Zzremec2)2/4p2v2sen4(θ/2)
Probabilità di interazione
θ=angolo di scattering
Grande per
piccoli angoli
Grande per
piccole velocità
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Scattering coulombiano multiplo
La particella nell’attraversare un mezzo
subisce parecchie deflessioni e l’angolo θ
di uscita dal mezzo è il risultato di un
accumulo statistico di piccole deflessioni.
 la variabile θ è distribuita in modo
gaussiano intorno al valore θ=0 e quindi
la probabilità che l’angolo di scattering
multiplo sia compreso tra θ e θ + d θ è
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Scattering coulombiano multiplo
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Riepilogo
Ionizzazione
particelle
cariche
Bremsstrahlung
(trascurabile per particelle cariche pesanti)
Scattering coulombiano multiplo
Effetto Fotoelettrico
fotoni
Effetto Compton
Produzione di coppie
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