Analisi e gestione del rischio
Lezione 16
Rischio di controparte in derivati
Derivati su mercati OTC
• Lo sviluppo del mercato del finanza strutturata e
l’operatività dei fondi speculativi ha spostato il
baricentro dell’operatività in prodotti derivati sul
mercato OTC
• Il mercato OTC consente
– la copertura più precisa dei rischi connessi alle
operazioni di finanza strutturata (es la copertura di
prodotti esotici)
– la realizzazione più precisa di strategie speculative
degli hedge fund
Valutazione di prodotti OTC
• La valutazione dei contratti OTC richiede di
prendere in considerazione la possibilità che
– La controparte fallisca prima della scadenza del
contratto.
– Il contratto debba essere chiuso prima della
scadenza naturale del contratto
– Le condizioni del merito di credito e di liquidità
del mercato possono cambiare nel corso del
contratto
L’esempio più semplice
• Consideriamo un contratto lineare OTC, un
forward, stipulato a tempo 0.
• Se analizziamo la posizione prendendo in
considerazione solo il rischio di variazioni del
sottostante la valutazione è immediata
CF(t) = P(t,T)EQ[S(T) –F(0)]
= S(t) – P(t,T)F(0)
dove F(0) è il prezzo forward al tempo 0.
• Si noti che il prodotto è lineare (delta = 1) ed il
portafoglio di replica è statico.
Il rischio di controparte
• Per semplicità assumiamo che la il default della
controparte avvenga alla data di consegna T. Si
noti che i tempi necessari per l’eventuale recupero
del credito sono tipicamente superiori a quelli di
un derivato, a favore della nostra ipotesi, che
comunque verrà abbandonata.
• Assumiamo che se il valore del derivato alla data
di scadenza è positivo per la controparte in default
l’altra sia tenuta a onorare comunque il contratto,
mentre se è negativo il credito della controparte ha
lo stesso grado di seniority delle altre passività.
Posizioni lunghe e corte
• La valutazione dell’impatto del rischio di controparte
richiede la distinzione del segno della posizione.
Assumiamo che la controparte A sia lunga (acquisto del
forward) e la controparte B sia corta (vendita).
• Nel caso in cui alla data di consegna sia S(T) > F(0) si dice
che il contratto è in-the-money per la controparte lunga. In
questo caso l’evento di credito rilevante è il default della
controparte corta del contratto.
• Se si verifica invece S(T) < F(0) si dice che il contratto è inthe-money per la controparte corta, ed è questa a essere
esposta al rischio di credito. In questo caso l’evento di
credito rilevante è il default della controparte lunga del
contratto.
Default e perdita
• Introduciamo due funzioni caratteristiche 1A e 1B.
Ciascuna funzione assume valore 1 se la
controparte riportata in pedice (A o B) è in stato di
default al tempo T, e zero altrimenti.
• Definiamo RRA e RRB i tassi di recupero delle due
controparti. Nello stesso modo definiamo le lossgiven-default LgdA = 1 – RRA e LgdB = 1 – RRB.
Rischio di controparte (lunga)
• Il valore del pay-off del contratto forward deve
tenere conto sia del segno del valore sia
dell’evento di default della controparte rilevante.
• Dal punto di vista della controparte lunga
CFA(T) = max[S(T) – F(0),0](1 –1B) +
max[S(T) – F(0),0]RRB1B –
– max[F(0) –S(T),0] =
CF(T) – LgdB1Bmax[S(T) – F(0),0]
Rischio di controparte (corta)
• Anche per la controparte corta l’evento di
default è rilevante solo nell’ipotesi in cui il
valore del contratto finisca in-the-money.
• Dal punto di vista della controparte corta
CFB(T) = max[F(0) – S(T),0](1 –1A) +
max[F(0) – S(T),0]RRA1A –
– max[S(T) – F(0),0] =
– CF(T) – LgdA1Amax[F(0) – S(T),0]
Il rischio di controparte
• Il rischio di controparte corrisponde a una
posizione corta in opzioni.
• L’opzione è di tipo call per il rischio di
controparte dal punto di vista della controparte
lunga del contratto. E’ di tipo put dal punto di
vista della controparte corta.
• N.B. L’esercizio dell’opzione dipende da
– Il valore del sottostante alla data T
– L’evento di default della controparte rilevante
Valutazione del contratto
• Il valore del prodotto dal punto di vista
della controparte lunga sarà dato da
CFA(t) = S(t) – P(t,T)F(0) –
EQ[P(t,T)LgdB1Bmax[S(T) – F(0),0]] =
• Dal punto di vista della controparte corta
avremo invece
CFB(T) = – S(t) + P(t,T)F(0) –
EQ[P(t,T)LgdA1Amax[F(0) – S(T),0]]
Fattori di rischio
• Il rischio di controparte è rappresentato da
EQ[P(t,T)Lgdi1imax[(S(T) – F(0)),0]]
con i = A, B e  = 1(–1) per opzioni call (put)
• Il rischio di controparte è composto da
–
–
–
–
Rischio di tasso.
Rischio di mercato del sottostante
Rischio di default della controparte
Rischio di recovery
• Tutti questi fattori di rischio possono essere
correlati tra di loro.
Un modello semplice
• Per focalizzare l’attenzione sugli effetti del
rischio di controparte assumiamo che
– Il tasso d’interesse sia dato o indipendente dagli
altri fattori di rischio (quali modifiche
richiederebbe il modello per abbandonare
questa ipotesi?)
– Il rischio di default della controparte sia
indipendente dagli altri fattori di rischio.
Valutazione
• Il valore del rischio di controparte è
P(t,T)EQ[Lgdi1i] EQ[max[(S(T) – F(0)),0]]
• Notiamo che nel caso di un titolo zero-coupon-bond
emesso da i, abbiamo
Di = P(t,T) – P(t,T)EQ[Lgdi1i],
o anche
Di = P(t,T) – P(t,T)ELi,
con ELi = EQ[Lgdi1i] la perdita attesa (expected loss).
• Nel caso di indipendenza tra il mercato sottostante ed il
rischio di default della controparte abbiamo
[P(t,T) –Di] EQ[max[(S(T) – F(0)),0]]
Effetti del rischio di controparte (1)
• Il primo effetto del rischio di controparte è
quello di introdurre un secondo fattore di
rischio.
• Il valore del contratto finanziario può
cambiare a causa di variazioni del profilo di
rischio della controparte, riflessa nel credit
spread di mercato o nella expected loss.
Il rischio di credito: approccio
strutturale
• Nel modello strutturale il rischio di credito è
rappresentato da una posizione corta in un’opzione
put. Otteniamo quindi

1 N  d1  
EL  N  d 2 1 



d
N

d
2 

ln 1 / d    V2 / 2 T  t 
d1 
V T  t
d2
ln 1 / d    V2 / 2 T  t 

V T  t
d  B exp (-r(T-t))/ V(t)
Il rischio di credito: i modelli in
forma ridotta
• Alternativamente, la probabilità di default può
essere rappresentata in termini di intensità di
default nell’approccio in forma ridotta (o intensity
based).
• In questo caso probabilità di default di una
controparte è data da
DP = (1 – exp(–(T–t))
e quindi
EL = Lgd(1 – exp(–(T–t))
Informazione sul rischio di credito
• La probabilità di default può essere calibrata
usando
– Dati storici (tassi di default e matrici di
transizione)
– Informazione implicita nei prezzi azionari
– Informazione implicita negli asset swap.
– Informazione implicita nei credit spread
– Informazione implicita nei CDS
Effetti del rischio di controparte (2)
• Un effetto rilevante del rischio di controparte è
quello di trasformare un qualsiasi prodotto lineare
in uno non lineare.
• La componente di non linearità modifica il profilo
di rischio del prodotto finanziario anche rispetto al
rischio di mercato del sottostante.
• In altri termini, anche assumendo che il merito
rischio della controparte resti lo stesso, il valore
del contratto risponde in maniera diversa ad
aumenti e diminuzioni del sottostante.
Greek letters
• La sensitività del contratto derivato a variazioni
infinitesime del prezzo di mercato non è più quella
di un titolo lineare. Abbiamo infatti
A = 1 – ELBN()
B = – 1 + ELAN(– )
con
 =(ln(S(t)/F(0))+(r + ½ 2)(T – t))/[(T – t)1/2 ]
Effetti del rischio di controparte (3)
• Non solo il rischio di controparte introduce non
linearità in prodotti lineari: poiché si tratta di
posizioni corte in opzioni, il tipo di non linearità
introdotta è particolarmente rischiosa.
• A parità di merito di credito della controparte e di
valore di mercato del sottostante, il valore del
contratto può essere ridotto da un aumento della
volatilità del mercato (effetto vega)
• Il rischio di controparte aumenta per variazioni di
dimensioni rilevanti del sottostante sia al rialzo
che al ribasso (effetto gamma).
Gamma e Vega
• L’effetto di variazioni di dimensioni rilevanti
del sottostante è dato da
– n()/ [S(t)(T – t)1/2]
• L’effetto di variazioni della volatilità è dato da
– S(t)n()/ [(T – t)1/2 ]
 =(ln(S(t)/F(0))+(r – ½ 2)(T – t))/[(T – t)1/2 ]
Un esempio
• Anagrafica contratto forward
– Valore nozionale 1 milione
– Volatilità 20%
– Tempo di delivery 1 anno
• Anagrafica della controparte
– Loss given default (Lgd): 100%
– Probabilità di default a 1 anno: 5%
• Valore del rischio di controparte all’origine per
posizione sia lunga che corta: 3983
Rischio di controparte
(posizione lunga)
500000
400000
300000
200000
100000
0
0,5
-100000
-200000
-300000
-400000
-500000
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
Delta del contratto forward
Posizione lunga
1,01
1
0,99
0,98
0,97
0,96
0,95
0,94
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
Rischio di controparte
Posizione lunga
30000
25000
20000
15000
10000
5000
0
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
Rischio di controparte
(Posizione corta)
500000
400000
300000
200000
100000
0
0,5
-100000
-200000
-300000
-400000
-500000
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
-0,94
0,5
-0,95
-0,96
-0,97
-0,98
-0,99
-1
-1,01
0,6
Delta del contratto forward
Posizione corta
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
Rischio di controparte
(Posizione corta)
30000
25000
20000
15000
10000
5000
0
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
Rischio di controparte e volatilità
Posizione lunga
30000
25000
20000
0,1
0,2
0,3
0,4
15000
10000
5000
0
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
Rischio di controparte e volatilità
Posizione corta
30000
25000
20000
0,1
0,2
0,3
0,4
15000
10000
5000
0
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
Default prima della scadenza
• Modifichiamo adesso l’analisi assumendo che il default si
verifichi prima della scadenza, per esempio al tempo .
• Il valore della perdita per posizioni lunghe
max[S() – P( ,T)F(0), 0 ]
e per le posizioni corte
max[P( ,T)F(0) – S(), 0 ]
• Il valore dell’esposizione al rischio di controparte è dato da
una sequenza di opzioni che verrano moltiplicate per la
densità di probabilità di default corrispondente a tempo .
Un algoritmo di valutazione del
rischio di controparte
• Ripartiamo il tempo di vita del contratto forward
in una griglia di date {t1,t2,…tn}
• Denotiamo Gj(ti) la probabilità di sopravvivenza
della controparte j = A, B oltre il tempo ti.
• Calcoliamo
[GB(ti -1) – GB(ti) ]Call(S(ti), ti; P(ti ,T)F(0), ti )
[GA(ti -1) – GA(ti) ] Put(S(ti), ti; P(ti ,T)F(0), ti )
rispettivamente per posizioni lunghe o corte
• Sommiamo i valori così ottenuti da per i che va
da 1 a n.
0,0007%
0,0006%
0,0005%
0,0004%
0,0003%
0,0002%
0,0001%
0,0000%
Daily
Weekly
Quarterly
Semestral
Yearly
Rischio di controparte in contratti
swap
• In un contratto swap entrambe le gambe del
contratto sono esposte al rischio di controparte.
• Nell’evento di default di una delle due parti l’altra
subisce la perdita del valore netto di due flussi di
pagamenti, se positivo.
• Si noti che il valore netto del contratto è positivo
se il valore del tasso swap al tempo del default è
maggiore di quello all’origine, quando il contratto
ha valore zero per convenzione.
L’esposizione al rischio di
controparte
• Assumiamo che lo scadenzario del contratto swap sia {t1,
t2,…, tn} e che il default della controparte che riceve fisso
(B) si verifichi tra il tempo tj-1 e tj. In questo caso la
perdita per la controparte che paga fisso è pari a
Lgd B  Pt , ti 1  max sr t j , tn   k ,0
n -1
i j
dove sr è il tasso swap al tempo tj e k è il tasso swap
originario.
• Si noti che il pay-off è quello di una swaption payer.
L’esposizione al rischio di
controparte
• Assumiamo che lo scadenzario del contratto swap sia {t1,
t2,…, tn} e che il default della controparte che paga fisso
(A) si verifichi tra il tempo tj-1 e tj. In questo caso la
perdita per la controparte che riceve fisso è pari a
Lgd A  Pt , ti 1  max k  sr t j , tn ,0
n -1
i j
dove sr è il tasso swap al tempo tj e k è il tasso swap
originario.
• Si noti che il pay-off è quello di una swaption receiver.
Rischio di credito (gamba fissa)
Vulnerable Call Swaptions: Financial Institution Paying Fixed
0,012
0,01
0,008
Independence
Perfect positive dependence
0,006
0,004
0,002
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
Swap credit risk: Baa
Correl.
Rho
0
0,25
0,5
0,75
1
Correl.
Rho
0
0,25
0,5
0,75
1
5years
0,0259%
0,0536%
0,0813%
0,1090%
0,1367%
5years
0,0040%
0,0030%
0,0020%
0,0010%
0,0000%
10years
0,0686%
0,1448%
0,2210%
0,2971%
0,3733%
10years
0,0150%
0,0113%
0,0075%
0,0038%
0,0000%
Fixed-Payer
15years
20years
0,0935%
0,2178%
0,3420%
0,4663%
0,5905%
0,1141%
0,2574%
0,4007%
0,5440%
0,6873%
Fixed-Receiver
15years
20years
0,0355%
0,0266%
0,0177%
0,0089%
0,0000%
0,0429%
0,0322%
0,0215%
0,0107%
0,0000%
25years
0,1385%
0,3056%
0,4726%
0,6397%
0,8068%
25years
0,0491%
0,0368%
0,0245%
0,0123%
0,0000%
30years
0,1678%
0,3658%
0,5637%
0,7617%
0,9597%
30years
0,0556%
0,0417%
0,0278%
0,0139%
0,0000%