I modelli completi
I modelli completi di comportamento del consumatore
hanno la caratteristica di prendere in considerazione
contemporaneamente sia le probabilità di scelta fra
le marche sia la distribuzione di frequenza degli
acquisti in un determinato intervallo di tempo.
Tra questi il modello più importante è quello studiato
da Goodhardt, Chatfield ed Ehrenberg (1984) detto
modello completo o Dirichlet, dal nome di una delle
distribuzioni che lo compongono.
1
Ipotesi alla base del modello
indipendenza degli acquisti del prodotto in
successive occasioni di scelta;
eterogeneità della popolazione dei consumatori;
 stazionarietà del mercato.
Il modello Dirichlet specifica, in termini probabilistici,
quanti acquisti un determinato consumatore fa in un
prefissato periodo di tempo e su quale marca ricade
la sua scelta in ciascuna occasione.
2
Si postula che ad ogni occasione corrisponda l’acquisto
di una sola unità del prodotto.
D’altronde l’acquisto di m (m>1) unità del prodotto in
una stessa occasione di acquisto può essere sempre
scomposto in m occasioni di acquisto di una sola unità.
3
Scelta di marca
Cons.
Acqu.Marche
Totale acquisti Prob.per marca Distribuzione
1
r1 r2 ... rg
n1
p1 p2 ... pg
Multinom.
2
r1 r2 ... rg
n2
p1 p2 ... pg
Multinom.
3
r1 r2 ... rg
n3
p1 p2 ... pg
Multinom.
4
r1 r2 ... rg
n4
p1 p2 ... pg
Multinom.
5
r1 r2 ... rg
n5
p1 p2 ... pg
Multinom.
6
r1 r2 ... rg
n6
p1 p2 ... pg
Multinom.
7
r1 r2 ... rg
n7
p1 p2 ... pg
Multinom.
8
r1 r2 ... rg
n8
p1 p2 ... pg
Multinom.
9
r1 r2 ... rg
n9
p1 p2 ... pg
Multinom.
…
…
…
…
…
p si distribuisce secondo una Dirichlet
4
Scelta di marca
Se si considera un mercato caratterizzato dalla presenza
di g marche e un periodo di tempo di ampiezza pari a T,
il numero degli acquisti di ogni marca, ri, compiuti da un
singolo consumatore si distribuisce secondo una
multinomiale di parametri n e P:
 p rj j 

Pr( r1 , r2 ,..., rg | n, P)  n! 


j 1  r j ! 
g
g
Dove n rappresenta il numero delle occasioni di acquisto ;
n   rj
j 1
pj esprime la probabilità di acquisto della marca j ad ogni singola
occasione.
5
La distribuzione multinomiale rappresenta una
estensione di quella binomiale.
Si applica a k eventi indipendenti di probabilità p1, p2,
...pi, ..., pk (la cui somma è uguale a 1) che possono
comparire nel corso di N prove indipendenti, successive
o simultanee.
Permette di calcolare la probabilità di ogni evento
possibile, quando determinato solo dal caso.
La probabilità (pi) di acquistare la marca i è indipendente
dalle restanti probabilità e si ha che:
g 1
g
p
j 1
j
 1  pi  1   p j
j 1
6
Distribuzione Dirichlet
Il vettore delle probabilità di acquisto P varia da
consumatore a consumatore e si distribuisce nella
popolazione secondo la distribuzione Dirichlet (o beta
multivariata) di parametri a1, a2, …, ag.
f ( p1 ,..., pg 1 | a1 ,...,a g ) 

(a1  ...  a g )
(a1 )  ...  (a g )
a1 1
1
 p ... p
a g 1 1
g 1
1  p  ...  p 
1
g 1
a g 1
g
a
j 1
j
S
dove le aj rappresentano le quote di acquisto di ciascuna marca; ne deriva, quindi
che S rappresenta gli acquisti complessivi di tutte le marche.
7
Frequenza di acquisto
Il numero complessivo degli n acquisti di ogni
consumatore nel periodo di analisi di ampiezza T
segue una distribuzione di Poisson con valore medio
mT:

mT n e  mT
Pr( n | mT ) 
n!
8
Il tasso medio di acquisto m varia da consumatore a
consumatore e si distribuisce nella popolazione
secondo una gamma di parametri m e k:
k
 k  k 1
  m e
m

f ( m | m, k ) 
k 

km
m
9
Il modello completo è generato dalla composizione
di quattro distribuzioni:
Pr(R|n,P)=Multinomiale (n, P)
f(P)=Dirichelet (a1, a2, …, ag)
Pr(n|m)=Poisson (mT)
f(m)=Gamma (m, k)
10
I parametri del modello completo
I parametri del modello completo da stimare sono
g+2:
 a1, a2, …, ag,
-m e k.
11
Stima dei parametri m e k
Per quanto riguarda la stima dei parametri m e k si
procede nello stesso modo visto con il modello NBD:
xm
 k 
1 b  

mk 
k
12
Stima dei g parametri aj
Per la stima dei g parametri aj, si ricorre ad un
ragionamento analogo: uguaglianza tra le quote di
mercato campionarie e il loro valore atteso.
Ricordando che ogni singola aj rappresenta il totale
degli acquisti di ogni marca e che il parametro S
indica l’ammontare totale degli acquisti di tutte le
marche osservate, ne deriva che il loro rapporto
definisce le quote di mercato per ciascuna marca.
aj
S
Quota di mercato della j-ma marca
13
Il problema è stimare i valori di aj e di S, in quanto
sono entrambi incogniti.
Si procede ricorrendo ai dati empirici, da cui è
possibile rilevare i tassi medi di acquisto di tutta la
classe di prodotti (Mj), a cui corrisponde il valore
teorico S del modello di Dirichlet, riferito all’intera
popolazione.
14
Posto che, anche in questo caso, la proporzione di
zero buyers sia uguale nel campione osservato e nel
modello teorico, per la proprietà additiva, sottraendo
dal totale delle quote a di acquisto della marche (pari
ad uno) quella relativa agli zero buyers (a0), che è
nota, si ottiene il valore di S, relativo a coloro che
hanno acquistato almeno una volta una data marca.
In particolare, si avrà:
g
a
j 0
j
 1  1a0  S
15
A questo punto, i valori noti sono quelli di S e quelli
di mj e di Mj, dalle rilevazioni campionarie.
Per giungere ad una stima delle aj incognite, è
sufficiente uguagliare le quote di mercato derivate
dal campione a quelle dell’intera popolazione:
 mj


 j




=
a j

 S



Risolvendo un sistema di g-1 equazioni indipendenti in g-1
incognite, si ottengono i valori delle aj, con j=1,2…g-1.
16
E’ necessario sottolineare che il numero delle
incognite è g-1 e non g in quanto si è assunto che la
quota di coloro che non acquistano alcuna marca
(a0) è la stessa nel campione e nella popolazione;
essa, pertanto, non necessita di stima, anzi,
rappresenta l’unica aj nota, da sottrarre a tutte le
altre ag non note.
17
L'adattamento del modello
Per valutare il corretto impiego del modello si calcola
l’indice di conformità c2, che saggia l’adattamento alle
informazioni campionarie.
La verifica può essere compiuta sia con riferimento
alla distribuzione del numero di acquisti del prodotto,
sia relativamente alla distribuzione del numero degli
acquisti delle varie marche.
18
Se n rappresenta l’ampiezza del campione, k il numero
delle modalità della distribuzione degli acquisti del
prodotto, fi la frequenza campionaria dei consumatori
che effettuano i acquisti del prodotto nel periodo in
esame e pi la corrispondente probabilità teorica, si ha:
2
c NBD
( f i  pi ) 2
 n
pi
i o
k 1
Con k-1-h gradi di libertà.
Dove h indica il numero di parametri stimati, 2.
19
In modo analogo si procede nel caso della distribuzione
del numero degli acquisti delle g marche.
Conoscendo fij la frequenza campionaria dei
consumatori che effettuano i acquisti della marca j nel
periodo in esame e pij la corrispondente probabilità
teorica, si ha:
k 1 g
( f ij  pij ) 2
i  o j 1
pij
2
c Mult
 n
Con (kg)-g-1-h gradi di libertà.
20
Indicatori delle abitudini di acquisto





La probabilità di non compiere acquisti della marca j
durante il periodo di analisi
La probabilità che un consumatore compia almeno un
acquisto della marca j durante il periodo di analisi
La probabilità che un consumatore della marca j
acquisti esclusivamente quella marca durante il
periodo di analisi
Il tasso medio pro capite di acquisto della marca j,
ossia il numero atteso di acquisti della marca j
compiuti da un generico consumatore nel periodo di
analisi
La frequenza media teorica, ossia il numero atteso di
acquisti della marca j compiuti da tutti gli acquirenti
della stessa marca nel periodo di analisi
21



La frequenza media teorica di acquisto del prodotto da
parte dei consumatori della marca j, ossia il numero
atteso di acquisti della classe di prodotto compiuti dai
consumatori della marca j nel periodo di analisi
La frequenza media teorica di acquisto degli acquirenti
esclusivi della marca j, ossia il numero atteso di
acquisti della marca j compiuti da coloro che
consumano esclusivamente quella marca nel periodo
in analisi
La costante D relativa alla legge di duplicazione di
acquisto e i coefficienti di duplicazione per tutte le
possibili coppie di marche
22
Esempio
Supponiamo di aver rilevato gli acquisti di una generica classe di prodotto di
largo consumo che sul mercato è presente con tre marche diverse: X, Y e Z, di
100 consumatori per la durata di 12 settimane.
Le famiglie da 13 a 100 non effettuano alcun acquisto.
Acquisti nelle settimane
Fam.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
X
X
Y
X
Z
X
X
Z
X
X
Z
Y
X
Y
X
Y
Y
X
Y
X
X
10 11 12
Y
Z
X
X
X
Z
Y
X
X
Y
Z
Z
Y
9
Z
Y
X
X
Y
X
Z
X
X
Y
Y
Y
X
X
Tot.
Marche
X
Y
Z
7
4
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
4
3
2
1
2
1
1
1
-
Tot.
2
3
2
1
1
-
11
6
5
4
4
4
3
3
3
2
2
1
23
I sub-per.II sub-per.III sub-per. Tot.per.
X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z
N.consum.6 4 3 6 3 3 7 4 3 12 8 5
N.acquis. 8 5 3 8 5 3 8 5 3 24 15 9
Marche
X
Y
Z
I sub.
6
4
3
Penetrazione
II sub.
III sub.
6
7
3
4
3
3
Tot. Per.
12
8
5
Marche
X
Y
Z
Frequenza
I sub. II sub. III sub.
1,33
1,33
1,14
1,25
1,66
1,25
1
1
1
Tot. Per.
2
1,9
1,8
24
Applicazione del modello Dirichelet
- Panel di 290 famiglie
- Acquisti di 6 marche di yogurt: Centrale del latte, Muller,
Parmalat, Vitasnella, Yomo e Altro
- Periodo di rilevazione 9 settimane, suddivise in tre sottoperiodi
da tre settimane
Il modello fornisce i valori teorici di indicatori relativi a:
- le probabilità che le famiglie del panel effettuino un certo
numero di acquisti,
- le probabilità di scegliere una specifica marca.
25
Theoretical NBD parameters for periods
3
6
9
k Values
Any
1.20202 1.14045 1.10517
CENTR
.01697
.07314
.05248
MULLE
.21195
.22163
.22972
PARMA
.25249
.34405
.36623
VITAS
.38597
.50927
.46364
YOMO
.19376
.29120
.29402
ALTRO
.21281
.34255
.35331
26
m Values
Any
CENTR
MULLE
PARMA
VITAS
YOMO
ALTRO
1.28686
.01226
.28598
.18535
.41667
.23201
.17431
2.73103
.02414
.56552
.43448
.92759
.47241
.30690
3.86552
.03103
.85517
.54138
1.23103
.67931
.52759
27
Dirichlet S parameter estimation
CENTR
MULLE
PARMA
VITAS
YOMO
ALTRO
8.8789
.9809
4.3208
1.8882
2.1676
4.2174
Dirichlet S parameter is:
2.4513
28
Predicted Penetration Growth
Base period :
Entity
3
O
Any
9 weeks.
6
T
O
9
T
O
T
58.3
57.4
75.2
73.6
81.0
81.0
CENTR
.9
.9
2.1
1.7
2.4
2.4
MULLE
16.6
16.9
24.5
24.9
30.0
30.0
PARMA
13.0
13.6
24.5
22.2
28.3
28.3
VITAS
24.6
25.5
41.0
37.6
45.2
45.2
YOMO
14.1
15.5
24.5
24.0
29.7
29.7
ALTRO
12.0
13.3
19.7
21.7
27.6
27.6
29
Predicted Growth of Average Frequency of Buying
Base period :
Entity
9 weeks.
3
6
O
T
Any
2.2
2.2
CENTR
1.3
MULLE
O
9
T
O
T
3.6
3.5
4.8
4.8
1.1
1.2
1.2
1.3
1.3
1.7
1.7
2.3
2.3
2.9
2.9
PARMA
1.4
1.3
1.8
1.6
1.9
1.9
VITAS
1.7
1.6
2.3
2.2
2.7
2.7
YOMO
1.6
1.5
1.9
1.9
2.3
2.3
ALTRO
1.5
1.3
1.6
1.6
1.9
1.9
30
Market Shares
Base period : 9 weeks.
Entity
9
O
Any
100.0
CENTR
.8
MULLE
22.1
PARMA
14.0
VITAS
31.8
YOMO
17.6
ALTRO
13.6
31
Average Frequency of Buying the Product
Base period :
Entity
9 weeks.
3
6
9
O
T
O
T
O
T
Any
2.2
2.2
3.6
3.5
4.8
4.8
CENTR
2.3
3.0
3.7
4.8
5.9
6.3
MULLE
2.6
2.8
4.7
4.4
5.8
6.0
PARMA
2.7
2.9
4.1
4.6
5.8
6.2
VITAS
2.5
2.7
4.2
4.3
5.6
5.8
YOMO
2.7
2.8
4.5
4.5
5.9
6.1
ALTRO
2.2
2.9
3.6
4.6
4.7
6.2
32
Share of Requirements
Entity
3
6
9
O
T
O
T
O
T
100.0
100.0
100.0
100.0
100.0
100.0
CENTR
57.1
44.2
31.8
32.7
22.0
27.4
MULLE
68.3
53.8
49.2
43.7
49.4
39.1
PARMA
52.6
50.0
42.9
39.3
32.9
34.3
VITAS
67.6
58.6
53.5
49.5
48.8
45.2
YOMO
60.6
51.6
42.9
41.2
38.9
36.4
ALTRO
67.6
49.8
43.0
39.1
40.8
34.1
Any
Esprime la % degli acquisti totali indirizzati alle singole marche.
33
Sole Buyers
Entity
3
O
Any
6
T
O
9
T
O
T
100.0
100.0
100.0
100.0
100.0
100.0
CENTR
11.1
31.6
16.7
16.8
.0
10.4
MULLE
56.8
40.7
21.1
24.6
20.7
17.4
PARMA
35.6
37.0
18.3
21.3
14.6
14.5
VITAS
51.3
45.5
22.7
29.3
19.8
21.5
YOMO
46.1
38.6
22.5
22.7
14.0
15.7
ALTRO
57.2
36.9
31.6
21.2
20.0
14.4
Consumatori che durante il periodo considerato acquistano esclusivamente una
determinata marca.
34
Percent
Entity
Any
O
T
CENTR O
T
MULLE O
T
PARMA O
T
VITAS O
T
YOMO O
T
ALTRO O
T
Distribution of Purchases: % Buyers
Time period :
3 weeks.
of Buyers Making 1,2,3,…,30 Purchases
1
2
3
4
5
6
7
31.6 28.3 32.7 4.1 2.0 1.2
.2
44.1 25.0 13.9 7.7 4.2 2.3 1.3
66.7 33.3
.0
.0
.0
.0
.0
78.4 15.2
4.2 1.4
.5
.2
.0
46.9 33.5 19.7
.0
.0
.0
.0
69.1 19.7
6.8 2.6 1.0
.4
.2
65.1 27.1
7.8
.0
.0
.0
.0
72.5 18.2
5.8 2.1
.8
.3
.1
46.1 38.9 14.6
.5
.0
.0
.0
65.3 21.2
7.9 3.2 1.3
.6
.3
55.3 25.3 19.4
.0
.0
.0
.0
71.0 18.9
6.2 2.3
.9
.4
.2
67.4 19.5 13.2
.0
.0
.0
.0
72.6 18.1
5.8 2.1
.8
.3
.1
8
.0
.7
.0
.0
.0
.0
.0
.0
.0
.1
.0
.0
.0
.0
9
.0
.4
.0
.0
.0
.0
.0
.0
.0
.0
.0
.0
.0
.0
35
Distribution
Time period :
3 weeks.
Sales Importance of Buyers
Entity
1
2
3
Any
O 14.3 25.7 44.5
T 19.7 22.3 18.6
CENT O 66.7 33.3
.0
T 59.5 23.1
9.6
MULLE O 27.4 38.8 33.8
T 46.2 26.3 13.6
PARMA O 46.6 37.3 16.0
T 50.8 25.5 12.2
VITAS O 27.7 45.4 25.9
T 41.2 26.8 15.0
YOMO O 35.6 29.0 35.4
T 48.7 25.9 12.9
ALTRO O 47.7 25.7 26.6
T 51.0 25.5 12.2
of Purchases: % Sales
Making
4
7.4
13.7
.0
4.2
.0
6.9
.0
5.9
1.1
8.1
.0
6.3
.0
5.8
1,2…,30 Purchases
5
6
7
8
9
4.4 3.1 .6
.0 .0
9.4 6.2 3.9 2.5 1.5
.0
.0 .0 .0 .0
1.9
.9 .4 .2 .0
.0
.0 .0 .0 .0
3.5 1.8 .9 .4 .2
.0
.0 .0 .0 .0
2.8 1.4 .7 .3 .2
.0
.0 .0 .0 .0
4.3 2.2 1.2 .6 .3
.0
.0 .0 .0 .0
3.1 1.5 .8 .4 .2
.0
.0 .0 .0 .0
2.8 1.4 .7 .3 .2
36
Duplicate Proportions Table (O)
CENTR
MULLE
CENTR
7.0
4.0
MULLE
4.0
87.0
PARMA
3.0
24.0
VITAS
4.0
42.0
YOMO
1.0
31.0
ALTRO
2.0
28.0
PARMA
VITAS
YOMO
ALTRO
3.0
4.0
1.0
2.0
24.0
42.0
31.0
28.0
82.0
51.0
30.0
18.0
51.0
131.0
46.0
35.0
30.0
46.0
86.0
24.0
18.0
35.0
24.0
80.0
Consumatori che acquistano più di una marca.
Dei 131 consumatori che nelle 9 settimane hanno acquistato almeno una
volta Vitasnella, 4 hanno acquistato almeno un prodotto Centrale del latte,
42 Muller, 51 Parmalat, 46 Yomo e 35 altro.
37
Duplicate Buyers Table (O)
CENTR MULLE PARMA VITAS YOMO
ALTRO
CENTR
100.0
57.1
42.9
57.1
14.3
28.6
MULLE
4.6 100.0
27.6
48.3
35.6
32.2
PARMA
3.7
29.3 100.0
62.2
36.6
22.0
VITAS
3.1
32.1
38.9 100.0
35.1
26.7
YOMO
1.2
36.0
34.9
53.5 100.0
27.9
ALTRO
2.5
35.0
22.5
43.8
30.0 100.0
-----------------------------------------------Ave. Dup. 3.0
37.9
33.4
53.0
30.3
27.5
Pred.Dup. 2.7
34.0
32.1
51.2
33.6
31.3
Penetr.
2.4
30.0
28.3
45.2
29.7
27.6
Coef.
1.1
Il 53% di coloro che nelle 9 settimane acquistano le altre marche ha
acquistato anche Vitasnella.
38
Le ultime 4 righe della precedente tabella rappresentano:
- i valori medi di duplicazione osservati (Ave. Dup.),
- i valori medi di duplicazione teorici (Pred. Dup.),
- il coefficiente di penetrazione (Penetr.),
- il coefficiente di duplicazione generale (Coef.).
39
Come si calcolano i valori medi di duplicazione teorici (Pred. Dup.)?
Pred.Dupl.=Penetr. X Coef.
g
Come si calcola il coefficiente?
D 
q
i 1
g
i
b
i 1
i
qi rappresenta i valori medi di duplicazione (Ave.Dup.), bi è la
penetrazione delle singole marche.
40
Nell’esempio:
Somma degli Ave.Dup.=
3.0+ 37.9+ 33.4+ 53.0+ 30.3+ 27.5 = 185.1
Somma delle penetrazioni=
2.4+ 30.0+ 28.3+ 45.2+ 29.7+ 27.6 = 163.2
Da cui:
185.1/163.2 = 1.1
il quale indica l’assenza di significativi processi di sostituzione tra le
marche considerate.
41
Duplication Coefficients Table (T)
CENTR
MULLE
PARMA
VITAS
YOMO
ALTRO
CENTR
1.0
1.2
1.3
1.2
1.3
1.3
MULLE
1.2
1.0
1.2
1.1
1.2
1.2
PARMA
1.3
1.2
1.0
1.2
1.2
1.2
VITAS
1.2
1.1
1.2
1.0
1.1
1.2
YOMO
1.3
1.2
1.2
1.1
1.0
1.2
ALTRO
1.3
1.2
1.2
1.2
1.2
1.0
Sono i coefficienti di duplicazione parziale che caratterizzano le varie coppie di
marche. Indicano eventuali processi di sostituzione tra marche.
Valori >1 indicano che il consumatore è indifferente ad acquistare l’una o l’altra
marca cui è riferito il coefficiente.
42