I modelli completi
I modelli completi di comportamento del
consumatore hanno la caratteristica di
prendere in considerazione
contemporaneamente sia il processo di
scelta fra le marche sia la distribuzione di
frequenza degli acquisti per la marca
stessa o per la classe di prodotto cui essa
appartiene.
1
Si consideri un panel di consumatori che
effettua i propri acquisti all'interno di una
classe di prodotto che comprende g
marche.
Il modello Dirichlet specifica, in termini
probabilistici, quanti acquisti un
determinato consumatore fa in un
prefissato periodo di tempo e su quale
marca ricade la sua scelta in ciascuna
occasione.
2
Ipotesi alla base del modello:
 indipendenza degli acquisti del prodotto
in successive occasioni di scelta;
eterogeneità della popolazione dei
consumatori;
 stazionarietà del mercato.
3
Cons.
Acqu.March Totale
e
acquisti
Prob.per marca Distribuzion
e
1
2
3
4
5
6
7
8
9
…
r1 r2 ... rg
r1 r2 ... rg
r1 r2 ... rg
r1 r2 ... rg
r1 r2 ... rg
r1 r2 ... rg
r1 r2 ... rg
r1 r2 ... rg
r1 r2 ... rg
…
p1 p2 ... pg
p1 p2 ... pg
p1 p2 ... pg
p1 p2 ... pg
p1 p2 ... pg
p1 p2 ... pg
p1 p2 ... pg
p1 p2 ... pg
p1 p2 ... pg
…
n1
n2
n3
n4
n5
n6
n7
n8
n9
…
Multinom.
Multinom.
Multinom.
Multinom.
Multinom.
Multinom.
Multinom.
Multinom.
Multinom.
…
4
p si distribuisce secondo una Dirichelet
Scelta di marca
Se si considera un mercato caratterizzato
dalla presenza di g marche e un periodo di
tempo di ampiezza pari a T, il numero degli
acquisti di ogni marca, r, compiuti da un
singolo consumatore si distribuisce secondo
una multinomiale di parametri n e P:
5
p 

Pr( r1 , r2 ,..., rg | n, P)  n! 


r
!
j 1  j 
g
rj
j
Dove n rappresenta il numero delle
occasioni di acquisto; pj esprime la
probabilità di acquisto della marca j ad
ogni singola occasione.
6
Il vettore delle probabilità di acquisto P
varia da consumatore a consumatore e si
distribuisce nella popolazione secondo la
distribuzione Dirichelet (o beta
multivariata) di parametri a1, a2, …, ag.
7
f ( p1 ,..., pg 1 | a1 ,...,a g ) 

(a1  ...  a g )
(a1 )  ...  (a g )
a1 1
1
 p ... p
a g 1 1
g 1
1  p  ...  p 
1
g 1
g
a

S
 j
j 1
8
a g 1
Frequenza di acquisto
Il numero complessivo degli n acquisti di
ogni consumatore nel periodo di analisi di
ampiezza T segue una distribuzione di
Poisson con valore medio mT:

mT  e
Pr( n | mT ) 
n
 mT
n!
9
Il tasso medio di acquisto m varia da
consumatore a consumatore e si
distribuisce nella popolazione secondo una
gamma di parametri m e k:
k
km

k 1
m
k
  m e
m

f ( m | m, k ) 
k 
10
Il
modello
completo
è
generato
dalla
composizione di quattro distribuzioni:
Pr(R|n,P)=Multinomiale (n, P)
f(P)=Dirichelet (a1, a2, …, ag)
Pr(n|m)=Poisson (mT)
f(m)=Gamma (m, k)
11
I
parametri
del
modello
completo
da
stimare sono g+2:
 a1, a2, …, ag,
-m e k.
12
Adoperando i g tassi medi di acquisto
individuali osservati, mj, come variabili di
input, si può calcolare il tasso di acquisto
della classe di prodotto, M, sommando tutti
i valori mj :
M = Smj
13
Uguagliando le quote di mercato teoriche
a quelle osservate, si ha:
aj/S = mj/M
14
Un’importante proprietà del modello è che
due marche qualsiasi (j e k) con quota di
mercato ai/S e ak/S, possono essere
combinate in una super-marca la cui quota
di mercato diventa (aj + ak)/S.
15
L'adattamento del modello
Per valutare il corretto impiego del modello
si calcola l’indice di conformità c2, che
saggia l’adattamento alle informazioni
campionarie.
16
La verifica può essere compiuta sia con
riferimento alla distribuzione del numero di
acquisti del prodotto, sia relativamente alla
distribuzione del numero degli acquisti
delle varie marche.
17
Se n rappresenta l’ampiezza del campione,
k il numero delle modalità della
distribuzione degli acquisti del prodotto, fi
la frequenza campionaria dei consumatori
che effettuano i acquisti del prodotto nel
periodo in esame e pi la corrispondente
probabilità teorica, si ha:
18
c
( f i  pi )
 n
pi
i o
k 1
2
NBD
2
Con k-1-h gradi di libertà.
Dove h indica il numero di parametri
stimati, 2.
19
In modo analogo si procede nel caso della
distribuzione del numero degli acquisti
delle g marche.
Conoscendo fij la frequenza campionaria
dei consumatori che effettuano i acquisti
della marca j nel periodo in esame e pij la
corrispondente probabilità teorica, si ha:
20
c
k 1 g
2
Mult
 n
i  o j 1
( f ij  pij )
2
pij
Con (kg)-g-1-h gradi di libertà.
21
Supponiamo di aver rilevato gli acquisti di
una generica classe di prodotto di largo
consumo che sul mercato è presente con
tre marche diverse: X, Y e Z, di 100
consumatori per la durata di 12 settimane.
Le famiglie da 13 a 100 non effettuano
alcun acquisto.
22
Tot.
Marche
9 10 11 12 X Y Z
Acquisti nelle settimane
Fam.
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
X X Y X
X
Z
Y X
X
Z X
Y
Y
Z
X
Y
7
8
X X Y
Z X
Z
Y
Y
X
X
5 6
X
Y
Y
Z
X
X
X
Z
Y
X
X
Y
Z
Z Y
X
X
Y
X
Y
X
X
7
4
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
4
3
2
1
2
1
1
1
-
Tot.
- 11
6
2
5
3
4
4
4
2
3
1
3
3
1
2
2
1
23
I sub-per.II sub-per.III sub-per. Tot.per.
X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z
N.consum.6 4 3 6 3 3 7 4 3 12 8 5
N.acquis. 8 5 3 8 5 3 8 5 3 24 15 9
24
Penetrazione
Marche
I sub. II sub. III sub. Tot. Per.
X
6
6
7
12
Y
4
3
4
8
Z
3
3
3
5
25
Frequenza
Marche
I sub. II sub. III sub. Tot. Per.
X
1,33 1,33
1,14
2
Y
1,25 1,66
1,25
1,9
Z
1
1
1
1,8
26
È opportuno introdurre alcuni indicatori
caratteristici dei dati relativi all'acquisto:
 penetrazione (b),
 frequenza di acquisto per ogni
acquirente (w),
 acquisto ripetuto,
 nessun acquisto.
27
Applicazione del modello Dirichelet
Fornisce i valori teorici di indicatori relativi
a:
- le probabilità che le famiglie del panel
effettuino un certo numero di acquisti,
- le probabilità di scegliere una specifica
marca.
28
Theoretical
periods
NBD
3
k Values
Any
1.20202
CENTR
.01697
MULLE
.21195
PARMA
.25249
VITAS
.38597
YOMO
.19376
ALTRO
.21281
parameters
6
1.14045
.07314
.22163
.34405
.50927
.29120
.34255
for
9
1.10517
.05248
.22972
.36623
.46364
.29402
.35331
29
m Values
Any
CENTR
MULLE
PARMA
VITAS
YOMO
ALTRO
1.28686
.01226
.28598
.18535
.41667
.23201
.17431
2.73103
.02414
.56552
.43448
.92759
.47241
.30690
3.86552
.03103
.85517
.54138
1.23103
.67931
.52759
30
Dirichlet S parameter estimation
CENTR
MULLE
PARMA
VITAS
YOMO
ALTRO
8.8789
.9809
4.3208
1.8882
2.1676
4.2174
Dirichlet S parameter is:
2.4513
31
Predicted Penetration Growth
Base period :
Entity
3
O
Any
9 weeks.
6
T
O
9
T
O
T
58.3
57.4
75.2
73.6
81.0
81.0
CENTR
.9
.9
2.1
1.7
2.4
2.4
MULLE
16.6
16.9
24.5
24.9
30.0
30.0
PARMA
13.0
13.6
24.5
22.2
28.3
28.3
VITAS
24.6
25.5
41.0
37.6
45.2
45.2
YOMO
14.1
15.5
24.5
24.0
29.7
29.7
ALTRO
12.0
13.3
19.7
21.7
27.6
27.6
32
Predicted Growth of Average Frequency of
Buying
Base period :
Entity
9 weeks.
3
6
O
T
Any
2.2
2.2
CENTR
1.3
MULLE
O
9
T
O
T
3.6
3.5
4.8
4.8
1.1
1.2
1.2
1.3
1.3
1.7
1.7
2.3
2.3
2.9
2.9
PARMA
1.4
1.3
1.8
1.6
1.9
1.9
VITAS
1.7
1.6
2.3
2.2
2.7
2.7
YOMO
1.6
1.5
1.9
1.9
2.3
2.3
ALTRO
1.5
1.3
1.6
1.6
1.9
33
1.9
Market Shares
Base period : 9 weeks.
Entity
9
O
Any
100.0
CENTR
.8
MULLE
22.1
PARMA
14.0
VITAS
31.8
YOMO
17.6
ALTRO
13.6
34
Average Frequency of Buying the Product
Base period :
Entity
9 weeks.
3
6
9
O
T
O
T
O
T
Any
2.2
2.2
3.6
3.5
4.8
4.8
CENTR
2.3
3.0
3.7
4.8
5.9
6.3
MULLE
2.6
2.8
4.7
4.4
5.8
6.0
PARMA
2.7
2.9
4.1
4.6
5.8
6.2
VITAS
2.5
2.7
4.2
4.3
5.6
5.8
YOMO
2.7
2.8
4.5
4.5
5.9
6.1
ALTRO
2.2
2.9
3.6
4.6
4.7
6.2
35
Share of Requirements
Entity
3
6
9
O
T
O
T
O
T
100.0
100.0
100.0
100.0
100.0
100.0
CENTR
57.1
44.2
31.8
32.7
22.0
27.4
MULLE
68.3
53.8
49.2
43.7
49.4
39.1
PARMA
52.6
50.0
42.9
39.3
32.9
34.3
VITAS
67.6
58.6
53.5
49.5
48.8
45.2
YOMO
60.6
51.6
42.9
41.2
38.9
36.4
ALTRO
67.6
49.8
43.0
39.1
40.8
34.1
Any
Esprime la % degli acquisti totali indirizzati alle singole
marche.
36
Sole Buyers
Entity
3
O
Any
6
T
O
9
T
O
T
100.0
100.0
100.0
100.0
100.0
100.0
CENTR
11.1
31.6
16.7
16.8
.0
10.4
MULLE
56.8
40.7
21.1
24.6
20.7
17.4
PARMA
35.6
37.0
18.3
21.3
14.6
14.5
VITAS
51.3
45.5
22.7
29.3
19.8
21.5
YOMO
46.1
38.6
22.5
22.7
14.0
15.7
ALTRO
57.2
36.9
31.6
21.2
20.0
14.4
37
Distribution of Purchases: % Buyers
Percent
Entity
Any
O
T
CENTR O
T
MULLE O
T
PARMA O
T
VITAS O
T
YOMO O
T
ALTRO O
T
Time period :
3 weeks.
of Buyers Making 1,2,3,…,30 Purchases
1
2
3
4
5
6
7
31.6 28.3 32.7 4.1 2.0 1.2
.2
44.1 25.0 13.9 7.7 4.2 2.3 1.3
66.7 33.3
.0
.0
.0
.0
.0
78.4 15.2
4.2 1.4
.5
.2
.0
46.9 33.5 19.7
.0
.0
.0
.0
69.1 19.7
6.8 2.6 1.0
.4
.2
65.1 27.1
7.8
.0
.0
.0
.0
72.5 18.2
5.8 2.1
.8
.3
.1
46.1 38.9 14.6
.5
.0
.0
.0
65.3 21.2
7.9 3.2 1.3
.6
.3
55.3 25.3 19.4
.0
.0
.0
.0
71.0 18.9
6.2 2.3
.9
.4
.2
67.4 19.5 13.2
.0
.0
.0
.0
72.6 18.1
5.8 2.1
.8
.3
.1
8
.0
.7
.0
.0
.0
.0
.0
.0
.0
.1
.0
.0
.0
.0
38
9
.0
.4
.0
.0
.0
.0
.0
.0
.0
.0
.0
.0
.0
.0
Distribution of Purchases: % Sales
Time period :
3 weeks.
Sales Importance of Buyers Making 1,2…,30 Purchases
Entity
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Any
O 14.3 25.7 44.5
7.4
4.4 3.1 .6
.0 .0
T 19.7 22.3 18.6 13.7
9.4 6.2 3.9 2.5 1.5
CENT O 66.7 33.3
.0
.0
.0
.0 .0 .0 .0
T 59.5 23.1
9.6
4.2
1.9
.9 .4 .2 .0
MULLE O 27.4 38.8 33.8
.0
.0
.0 .0 .0 .0
T 46.2 26.3 13.6
6.9
3.5 1.8 .9 .4 .2
PARMA O 46.6 37.3 16.0
.0
.0
.0 .0 .0 .0
T 50.8 25.5 12.2
5.9
2.8 1.4 .7 .3 .2
VITAS O 27.7 45.4 25.9
1.1
.0
.0 .0 .0 .0
T 41.2 26.8 15.0
8.1
4.3 2.2 1.2 .6 .3
YOMO O 35.6 29.0 35.4
.0
.0
.0 .0 .0 .0
T 48.7 25.9 12.9
6.3
3.1 1.5 .8 .4 .2
ALTRO O 47.7 25.7 26.6
.0
.0
.0 .0 .0 .0
T 51.0 25.5 12.2
5.8
2.8 1.4 .7 .3 .2
39
Duplicate Proportions Table (O)
CENTR
MULLE
CENTR
7.0
4.0
MULLE
4.0
87.0
PARMA
3.0
24.0
VITAS
4.0
42.0
YOMO
1.0
31.0
ALTRO
2.0
28.0
PARMA
VITAS
YOMO
3.0
4.0
1.0
24.0
42.0
31.0
82.0
51.0
30.0
51.0
131.0
46.0
30.0
46.0
86.0
18.0
35.0
24.0
ALTRO
2.0
28.0
18.0
35.0
24.0
80.0
Consumatori che acquistano più di una marca.
Dei 131 consumatori che nelle 9 settimane hanno
acquistato almeno una volta Vitasnella, 4 hanno
acquistato almeno un prodotto Centrale del latte, 42
Muller, 51 Parmalat, 46 Yomo e 35 altro.
40
Duplicate Buyers Table (O)
CENTR MULLE PARMA VITAS YOMO
ALTRO
CENTR
100.0
57.1
42.9
57.1
14.3
28.6
MULLE
4.6 100.0
27.6
48.3
35.6
32.2
PARMA
3.7
29.3 100.0
62.2
36.6
22.0
VITAS
3.1
32.1
38.9 100.0
35.1
26.7
YOMO
1.2
36.0
34.9
53.5 100.0
27.9
ALTRO
2.5
35.0
22.5
43.8
30.0 100.0
-----------------------------------------------Ave. Dup. 3.0
37.9
33.4
53.0
30.3
27.5
Pred.Dup. 2.7
34.0
32.1
51.2
33.6
31.3
Penetr.
2.4
30.0
28.3
45.2
29.7
27.6
Coef.
1.1
Il 53% di coloro che nelle 9 settimane acquistano le altre
marche ha acquistato anche Vitasnella.
41
Le ultime 4 righe della precedente tabella
rappresentano:
- i valori medi di duplicazione osservati
(Ave. Dup.),
- i valori medi di duplicazione teorici (Pred.
Dup.),
- il coefficiente di penetrazione (Penetr.),
- il coefficiente di duplicazione generale
(Coef.).
42
Come si calcolano i valori medi di
duplicazione teorici (Pred. Dup.)?
Pred.Dupl.=Penetr. X Coef.
43
Come si calcola il coefficiente?
g
D
q
i 1
g
i
b
i 1
i
qi rappresenta i valori medi di duplicazione
(Ave.Dup.),
bi
singole marche.
è
la
penetrazione
delle
44
Nell’esempio:
Somma degli Ave.Dup.=
3.0+ 37.9+ 33.4+ 53.0+ 30.3+ 27.5 = 185.1
Somma delle penetrazioni=
2.4+ 30.0+ 28.3+ 45.2+ 29.7+ 27.6 = 163.2
Da cui:
185.1/163.2 = 1.1
il quale indica l’assenza di significativi processi
di sostituzione tra le marche considerate.
45
Duplication Coefficients Table (T)
CENTR
MULLE
PARMA
VITAS
YOMO
ALTRO
CENTR
1.0
1.2
1.3
1.2
1.3
1.3
MULLE
1.2
1.0
1.2
1.1
1.2
1.2
PARMA
1.3
1.2
1.0
1.2
1.2
1.2
VITAS
1.2
1.1
1.2
1.0
1.1
1.2
YOMO
1.3
1.2
1.2
1.1
1.0
1.2
ALTRO
1.3
1.2
1.2
1.2
1.2
1.0
Sono i coefficienti di duplicazione parziale che
caratterizzano le varie coppie di marche. Indicano
eventuali processi di sostituzione tra marche. Valori >1
indicano che il consumatore è indifferente ad acquistare
l’una o l’altra marca cui è riferito il coefficiente.
46