Assicurazioni vita e mercato del
risparmio gestito
Lezione 3
Contratti Swap e Tassi Swap
Contratti Swap
Contratti swap
• Lo strumento standard di trasferimento del rischio è il
contratto swap: due controparti si scambiano flussi di
pagamenti determinati in un contratto
• Ciascuno dei due flussi di pagamento è definita “gamba”
del contratto.
• Gran parte del mercato swap, definito in termini generali, è
costituito da contratti nei quali vengono scambiati
– Flussi fissi contro flussi variabili più spread (plain vanilla swap)
– Flussi di pagamenti denominati in valute diverse (currency swap)
– Flussi variabili denominati in valuta interna e indicizzati a curve
di paesi diversi (quanto swap)
– Asset swap, total return swap, credit default swap…
Swap: parametri da determinare
• Il valore di un swap può essere espresso come:
– Net-present-value (NPV); la differenza tra il valore
attuale dei flussi che verranno ricevuti e quelli che
verranno pagati
– Cedola fissa (tasso swap): il valore di un pagamento
periodico fisso il cui valore attuale sia uguale a quello
dell’altra gamba del contratto swap
– Spread: il valore di un pagamento periodico fisso che
aggiunto o sottratto a un flusso di pagamenti indicizzati
produce un valore attuale uguale a quello dell’altra
gamba del contratto
Swap fisso contro variabile
• In un contratto fisso contro
variabile
– la controparte lunga paga un
flusso di somme fisse pari a c,
definite su base annua
– la controparte corta paga una
un flusso di somme indicizzate
a un tasso di mercato
• Valore della gamba fissa:
m
c  ti  ti 1 vt , ti 
i 1
• Valore della gamba variabile:
m
1  vt , t m    vt , ti ti  ti 1  f t , ti 1 , ti 
i 1
Swap: esempio di pay-off (1)
Il valore dei pagamenti variabili è descritto in termini
di operazioni di investimento e finanziamento
Tempo
Tassi
0
0.5
4.50%
1
4.60%
1.5
5.00%
2
5.10%
2.5
5.20%
3
5.20%
Swap rate 2.6275%
Nominale
100
Sconto
1
0.9777512
0.955042
0.9277435
0.9030296
0.8780954
0.8555592
Fisso
Variabile Fisso Variabile
0
100
0
100
2.627524
0
2.56907
0
2.627524
0
2.5094
0
2.627524
0
2.43767
0
2.627524
0
2.37273
0
2.627524
0
2.30722
0
2.627524
-100
2.248 -85.5559
Totale 14.4441 14.4441
Swap: esempio di pay-off (2)
Il valore dei pagamenti variabili è descritto in termini di
tassi forward
Tempo
Tassi
0
0.5
4.50%
1
4.60%
1.5
5.00%
2
5.10%
2.5
5.20%
3
5.20%
Swap rate 2.6275%
Nominale
100
Sconto
1
0.9777512
0.955042
0.9277435
0.9030296
0.8780954
0.8555592
Totale
Fisso
0
2.56907
2.5094
2.43767
2.37273
2.30722
2.248
14.4441
Variabile
0
2.22488
2.27093
2.72985
2.47139
2.49341
2.25362
14.4441
Tasso swap
• In un swap fisso contro variabile si scambia un
flusso di pagamenti fissi contro un flusso
indicizzato. All’origine
Valore gamba fissa = Valore gamba variabile
m
swap rate  ti  ti 1 vt , ti   1  vt , t m 
i 1
swap rate 
1  vt , t m 
m
 t
i 1
i
 ti 1 vt , ti 
Tasso Swap
• Rappresentando il flusso di cedole indicizzate tramite i
tassi forward il tasso swap può essere visto come una
media ponderata dei tassi forward
m
m
i 1
i 1
swap rate  ti  ti 1 vt , ti    vt , ti ti  ti 1  f t , ti 1 , ti 
m
swap rate 
 vt , t t
i
i 1
m
 t
i 1
i
i
 ti 1  f t , ti 1 , ti 
 ti 1 vt , ti 
Tasso Swap
• Se assumiamo di aggiungere il rimborso del capitale
alla data di scadenza otteniamo che il tasso swap è il
rendimento a scadenza di un titolo a tasso fisso
valutato alla pari (prezzo uguale a 1)
m
swap rate  ti  ti 1 vt , ti   1  vt , t m 
i 1
m
swap rate  ti  ti 1 vt , ti   vt , t m   1
i 1
Procedura di bootstrapping
Supponiamo che nell’istante t il mercato sia strutturato su m
periodi con scadenze tk = t + k, k=1....m, e su queste scadenze
siano osservati i tassi swap. Considerando che i tassi swap
corrispondono al rendimento di titoli che quotano alla pari e
che per tali titoli il rendimento è uguale al valore della cedola
otteniamo un modo immediato di estendere la procedura di
bootstrapping definita per i titoli a tasso fisso
k 1
vt , t k  
1  swap rate t,tk  vt , ti 
i 1
1  swap rate t,tk 
Tasso forward swap
• In un forward start swap lo scambio di flussi
determinato a t inizia al tempo tj.
Valore gamba fissa = Valore gamba variabile
forward swap rate  ti  ti 1 vt , ti   vt , t j   vt , t m 
m
i j
forward swap rate 
vt , t j   vt , t m 
m
 t
i  j1
i
 ti 1 vt , ti 
Il tasso swap: riassunto
Il tasso swap può essere definito come
1. Il pagamento periodico, espresso su base annua,
equivalente a un flusso di pagamenti indicizzati
2. Una media ponderata di tassi forward, con i
fattori di ponderazione rappresentati dai fattori
di sconto corrispondenti
3. Il tasso interno di rendimento, e quindi la cedola,
di un titolo a tasso fisso che quota alla pari
Asset Swap (ASW)
• L’asset swap è un pacchetto composto di
– un titolo
– un contratto swap
• Le due parti del contratto pagano
– I flussi del titolo e la differenza tra la parità e il
valore di mercato del titolo, se positivo
– uno spread rispetto a un tasso variabile più la
differenza il valore di mercato e la parità, se
positivo
Asset Swap (ASW)
• Asset Swap sul titolo DP(t,T;c)
• Valore della gamba fissa:
m
max 1  DP t , T ; c ,0  c ti  ti 1 vt , ti 
i 1
• Valore della gamba variabile:
m
max DP t , T ; c   1,0  1  vt , t m   spread  vt , ti ti  ti 1 
i 1
Asset Swap (ASW) Spread
• Lo spread è ottenuto eguagliando il valore
attuale dei flussi delle due gambe
spread  c  tasso swap 
1  DP t , T ; c 
m
 t
i 1
i
 ti 1 vt , ti 
• Si noti che lo spread
m è zero se
DP t , T ; c    cvt , ti   vt , T 
i 1
Scelte di strutturazione
• Lag naturale:
– Periodo di riferimento del tasso uguale al periodo di
godimento della cedola. Es. cedola semestrale
indicizzata al tasso semesstrale
– Cedola fissata all’inizio del periodo e pagata alla fine
(cedola “in arrears”)
• “In advance”:
– Cedole indicizzate fissate e pagate alla stessa data
• CBM/CMS: cedole indicizzate a tassi di titoli a
lunga scadenza o a tassi swap.