Modelli di analisi della
domanda
Facoltà di Economia di Perugia (sede di Assisi)
Laurea Specialistica in Economia del Turismo
Corso in Economia del Trasporto (a.a. 20072008)
Indice


Modelli di domanda a scenari
Modelli di domanda econometrici/statistici
 Modelli
di domanda aggregata
 Modelli di domanda disaggregata/scelta discreta


Approccio utilità costante
Approccio utilità casuale

Modello Logit multinomiale
Modelli a scenari (1)


Costruzioni di scenari alternativi che descrivono possibili
stati del mondo, basati sull’identificazione e descrizioni di
relazioni fondamentali tra variabili e con lo scopo di
stimare gli impatti sulla politica di trasporto
Una volta identificate e descritte le relazioni fondamentali
che intercorrono tra le ipotesi di cambiamento si cerca di
capire come queste influiscano sui fenomeni oggetto
dello studio tramite:


Modelli statistico-econometrici
Analisi qualitativa
Modelli a scenari (2)

Pregi:
 previsioni
what-if;
 flessibilità;
 non dipendenza dalla fonte dei dati

Difetti:
 incertezza
sulla natura, intensità, direzione
dell’interazioni fra variabili e fra queste e gli scenari
 in conclusione non suggeriscono nessun sentiero
ottimale di condotta né alcuna valutazione sui diversi
futuri
Modelli di domanda aggregati (1)


Tali modelli sono prevalentemente utilizzati nelle
procedure di programmazione sia degli
investimenti in infrastrutture, servizi e assetti
territoriali (lungo periodo) sia negli interventi di
regolazione del traffico (breve periodo)
Il punto di partenza di tali modelli è la
delimitazione dell’area geografica oggetto di
studio che viene suddivisa in zone
potenzialmente omogeneee
Modelli di domanda aggregati (2)

Pertanto tali modelli studiano la “generazione” della
domanda di trasporto (bisogno di spostamento) fra varie
zone (O/D)

Modelli segmentati per fasi principali:

Generazione


Scelta modale


Distribuire la domanda fra le varie zone
Assegnazione


Ripartizione della domanda fra le varie modalità
Distribuzione


Definiscono l’entità e la numerosità degli spostamenti
Assegnazione delle unità di traffico ai percorsi che portano da i a j
Valutazione

Valutazione delle soluzioni identificate
Modelli di domanda aggregata (3)


La fase di generazione e di ripartizione modale
più delle altre sono quelle analizzabili come
domande di trasporto
Fase di generazione
 Modelli
di generazione = modelli gravitazionali
 Tij = f (Ai; Bj; Cij)



i
T = numero di spostamenti fra i e j
A e B = opportunità di generare e attrarre spostamenti
C = costo generalizzato dello spostamento
vari modelli si differenziano per le ipotesi sulla f,
sulle variabili A-B, sulla struttura dei modelli
Modelli di domanda aggregata (4)

Fase della ripartizione modale
 La
domanda può essere soddisfatta da più di una
modalità di trasporto (alternative)
 Due interpretazioni:


“frequentista”: aggregazione della domanda soddisfatta da
tutte le modalità e individuazione delle frequenze di ogni
modalità → derivazione dei valori quantitativi dei traffici
distinti per modo
“preferenze”: la domanda di una modalità è il risultato di una
scelta dettata da preferenze → individuazione delle
pobabilità di scelta
 Tre fasi di costruzione dei modelli
 Specificazione delle funzioni di scelta (individuaz. variabili)
 Formalizzazione (trasformazione in forme funzionali)
 Calibrazione (testare il modello)
Modelli di domanda aggregata (5)


Tali modelli sono stati concepiti essenzialmente per la
stima della domanda locale di persone
Stima della domanda di merci




Entrano in gioco diverse variabili e soprattutto diversi decisori
Natura derivata della domanda merci (la funzione obiettivo non
può essere interpretata direttamente in termini di utilità)
Diversità delle unità statistiche di riferimento (tonn, tonn/km,
veicolo)
Per le merci bisogna riformulare la funzione obiettivo e in
particolare definire il livello del ciclo di trasporto che si
sta analizzando
Modelli a scelta discreta (1)



Modelli disaggregati che analizzano le scelte individuali
(comportamento) in maniera descrittiva, astratta,
operativa
Una scelta può essere vista come il risultato finale di un
processo decisionale a fasi
Elementi di una teoria della scelta:




Decisore (individuo o gruppi)
Alternative (insieme di scelta universale/individuale)
Attributi (caratteristiche di alt. eterogenee)
Regola di scelta




Dominanza (confronto tramite attributi)
Soddisfazione (soglie minime per gli attributi)
Lessicografiche (rank degli attributi)
Utilità (ordinale/cardinale)
Modelli a scelta discreta (2)


Importanza del paradigma di individuo razionale
(razionalità limitata)
Teorie delle scelte
 Approccio
classico: teoria del consumatore
 Integrazioni: albero delle utilità; beni come input per la
produzione domestica, approccio di Lancaster, vincoli
di tempo
 Approccio delle scelte discrete



Analisi delle “non scelte” di consumo
Insiemi di scelta di natura discreta
Individuare, tramite osservazioni, le preferenze del
consumatore sulla base delle sue scelte (RP o SP)
Modelli a scelta discreta (3)

Secondo l’approccio alla Lancaster, l’utilità è funzione
degli attributi, ovvero:




Vantaggi dell’interpretazione probabilistica:



Dato un insieme di scelta C → Cn
L’individuo n sceglie l’alternativa i ε Cn se e soltanto se
Uin (Zin; Sn) > Ujn (Zjn; Sn)
Inesatta conoscenza delle motivazioni individuali
Eterogeneità delle preferenze
Due approcci dei modelli probabilistici


Approccio dell’utilità costante (e della regola decisionale casuale)
Approccio dell’utilità casuale (RUM)
Approccio dell’utilità costante


La scelta dell’individuo non è funzione di una massimizzazione ma di
un processo probabilistico
Il più semplice modello di UC è quello di Luce (1959) basato
sull’assioma di scelta:
La probabilità di scegliere un’alternativa di un insieme C non è funzione
del sottoinsieme S di C che contiene l’alternativa
 Se j è sempre scelto rispetto ad i allora i può non essere considerato, il
che appare ragionevole, quando si valutano le alternative presenti in C
 Le probabilità di scelta di un insieme dipendono solo dalle alternative
incluse in questo insieme



Dato l’assioma è possibile derivare un modello di scelta in cui le
utilità sono direttamente proporzionali alle probabilità di scelta
Limiti del modello:

Indipendenza dalle alternative irrilevanti (IIA)
 Scalarità semplice (importanza delle differenze)→ indipendenza
dell’ordine delle preferenze
Approccio dell’utilità casuale (1)



Le inconsistenze nel comportamento individuale sono
spiegate con la difficoltà dell’analista di osservare le
funzioni di utilità dell’individuo
L’utilità diventa perciò una variabile casuale →
assunzione di una distribuzione di probabilità congiunta
Ragioni della non coincidenza tra scelte realizzate e
scelte osservate




Importanza di attributi inosservati
Presenza di preferenze inosservate
Errori di misurazione e informazione imperfetta
Utilizzo di variabili strumentali
Approccio dell’utilità casuale (2)

L’utilità di un’alternativa può esprimersi come la
somma di due componenti:
 Componente
(utilità) deterministica V(z; S)
 Componente casuale ε(Z; S)→ termine di errore

P  i | Cn   Pr Vin   in   V jn   jn  j  Cn
 Un
modello di scelta è derivato assumendo una
specifica distribuzione di probabilità congiunta per i
termini d’errore
 Assumendo IID per i termini di errore, la scelta
diventa funzione delle differenze delle utilità delle
alternative
Approccio dell’utilità casuale (3)

Quando l’insieme di scelta comprende solo due
alternative, i e j, si ha il caso dei modelli binomiali
P  i | Cn   Pr Uin  U jn   Pr Vin   in   V jn   jn  =Pr  jn  in   Vin  V jn 


La probabilità dipende dalla differenze delle utilità
(determ.)→ la scala delle utilità non conta
L’utilità deterministica è funzione degli attributi e
delle caratteristiche socioeconomiche
 Normale
assunzione di linearità nei parametri (ma non
negli attributi)
 Varie assunzioni sugli attributi da inserire (ASA) e sui
parametri (ASP)
Approccio dell’utilità casuale (4)

Il termine d’errore generalmente è assunto a
 Media
zero → aggiungere una costante alla
componente deterministica → “contano solo le
differenze”
 Varianza data (fissare la scala delle utilità)
 Dipendente dagli attributi non osservati

Diverse assunzioni sulla distribuzione del
termine d’errore danno origine a modelli diversi
 Modello
Lineare (distribuzione uniforme)
 Modello Probit (distribuzione normale)
 Modello Logit (distribuzione gumbel → logistica)
Modello Logit Multinomiale (1)



I termini di errore sono assunti essere
indipendenti e identicamente distribuiti (la
matrice var/covar è diagonale) secondo una
distribuzione detta Gumbel
La loro differenza è invece distribuita secondo
una logistica
L’indipendenza dei termini di errore è una
assunzione forte ma non impossibile (corretta
specificazione della funzione di utilità)
Modello logit (2)



Derivazione del modello
La probabilità di un alternativa è data da
Assumendo εin fisso, l’espressione sopra può essere
intesa come la distribuzione cumulata di εjn valutata in
uno specifico punto
Modello Logit Multinomiale (3)

Dato che i termini di errori sono indipendenti, la
distribuzione cumulata per tutti i j≠i è pari al prodotto
delle singole distribuzione cumulate

Dato che εin non è dato bisogna integrare per tutti i suoi
possibili valori, quindi l’espressione precedente diventa

Con opportuni passaggi matematici il tutto diventa
Proprietà di un modello Logit Multinomiale



La P(i) è compresa tra 0 e 1 = la probabilità
dipende dall’attrazione di un alternativa rispetto
le altre
La somma delle diverse probabilità è pari a 1
Facile interpretazione della relazione tra utilità
deterministica e probabilità di scelta
Fonte: Train, 2003
Limiti del modello Logit Multinomiale

Assunzioni di termini di errori IID
 Identico
termini di scala (relazione inversa con la
varianza) per tutti gli errori



Incapacità di considerare nel modello
eterogeneità “non osservate” delle preferenze
Incapacità di considerare correlazione delle
scelte nel tempo
Proprietà IIA = indipendenza dalle alternative
irrilevanti (o sostituzione proporzionale fra le
utilità)
Proprietà IIA



Il rapporto tra le probabilità di due alternative
non dipende dalla presenza/assenza di altre
alternative
In termini formali
La proprietà IIA da vita al cosiddetto paradosso
dell’autobus blu/rosso
Paradosso dell’autobus blu/rosso

Due modalità di trasporto:




Introduzione di una nuova modalità ma quasi identica
alla seconda (bus blu)




Autovettura → P(A)= ½
Bus rosso → P(Br)= ½
P(A)/P(B) = 1
P(Bb) = P(Br)= P(Bb)/P(Br) = 1
P(A)/P(Br) non deve cambiare per la IIA
Questo è possibile solo se P(A)= P(Bb) = P(Br) = 1/3
In realtà ci si aspetterebbe


P(A)= ½
P(Bb)= P(Br)= ¼
Ancora sul’IIA

La IIA può essere definita anche come sostituzione
proporzionale fra un alternativa e le altre


IIA è un’assunzione valida se le alternative sono
realmente percepite come distinte. Se così allora:



Ovvero se un alternativa migliora/peggiora tale cambiamento fa
diminuire/aumentare proporzionalmente le probabilità di scelta
delle altre alternative
Stima delle probabilità su sottoinsiemi di scelta
Interessi dell’analista
Test per validare l’IIA


Due fasi di stima con differenti (ridotti) insieme di scelta
Stima dopo l’introduzione di attributi di altre alternative
Altri elementi da considerare: aggregazione

Problemi nell’aggregazione delle scelte individuali (a
differenza di modelli lineari o di regressione)
Fonte: Train, 2003

Varie procedure di aggregazione: rappresentatività del
dei campione; segmentazione
Altri elementi da considerare: metodi di
stima


Metodo principalmente utilizzato è quello della
massimo verosimiglianza (ML)
Dato un campione di N osservazioni bisogna
trovare quei parametri (stime) che massimizzino
la funzione di verosimiglianza (ovvero che
riproducano verosimilmente le scelte effettive) e
che rispettino alcuni test statistici (consistenza,
efficienza, distribuzione normale).
Altri elementi da considerare: derivate e….

Derivate delle probabilità logit
Derivata diretta
Derivata indiretta
…ed elasticità

Elasticità del modello logit
Elasticità diretta
Elasticità incrociata
Altri elementi da considerare: test sui diversi
elementi del modello

Esistenza di diversi test sugli elementi del
modello tra cui
 T-statistici
 Rapporto
di verosimiglianza (con rispetto la cost. o
l’assenza di parametri)
 Test sulla bontà del modello
 Test degli attributi generici
 Test sull’IIA
 Test su specificazioni non lineari
Esempio di scenari possibili
Influenze
esterne sul
settore
trasporti
Scenario di
Scenario di
rapida crescita crescita
moderata
Scenario a
Scenario a
bassa crescita crescita zero
Evoluzione UE Forte
Forte
Debole
Forte
Crescita
economica
1980-2006
4% annua +
120%
3% annua +
80%
2% annua +
30%
0%
Crescita
prezzi
100%
100%
100%
100%
(Fonte: ITS, 1982)
Esempio di scelta discreta (1)


Scelta fra due modi alternativi di trasporto A e B
U(Qa, Qb) dove
 Qa
è 1 se è scelto il modo A (0 altrimenti)
 Qb è 1 se è scelto il modo B (0 altrimenti)

Tale funzione di utilità non è differenziabile
ovvero l’analisi si sposta dalle domande alle
utilità
Esempio di scelta discreta (2)








Ua = U(Ta, Ca) / Ub = U(Tb, Cb)
Ua = -β1Ta - β2Ca / Ub = -β1Tb -β2Cb
Ua = -βTa –Ca / Ub = -βTb –Cb
Ua ≥ Ub
-βTa –Ca ≥ -βTb –Cb
-β(Ta –Tb) ≥ Ca –Cb
β(Ta –Tb) ≤ Cb – Ca
Β = (Cb – Ca)/(Ta –Tb)