UNIVERSITÀ DI PISA
Facoltà di Ingegneria
Corso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni
cherubino
cherubino
cherubino “MATEMATICA” – A.A. 1999/2000 – Prova del 27/11/1999
cherubino
cherubino
Nome
Cognome
Matricola
1. Il punto (0, 1) è critico per la funzione sin(x − y) sulla curva di equazione 2x2 + y 4 = 1? V / F
2. La soluzione del problema di Cauchy
3. Sia fn (x) =
1
n3
(
x0 (t) = x(t)2 · sin(t),
x(0) = 1
cos(n · x). La serie di funzioni
4. Sia (an )∞
n=0 la successione definita da
∞
P
n=1
è definita su tutto R? V / F
fn converge uniformemente su tutto R ? V / F
an+2 = 2(an+1 − an ),
a0 = 0, a1 = 1.
È vero che an = 0 per n = 2100 ? V / F
5. La serie di potenze
∞
P
n=0
i+n n
z
i−2n2
converge su tutto C ? V / F
6. Sia α(t) = (1 − t2 )7 + it per t ∈ [−1, 1]. Il numero
R
cos(z) dz è immaginario puro? V / F
α
7. Se f (x, y) = x3 − y 3 e α(t) = (t, −t) per t ∈ [0, 1], quanto fa f ?
α
√
√
a 1/ 2;
b 1;
c 2;
d 2.
R
8. Si consideri la soluzione x del problema di Cauchy
a 0;
b e;
c e−1 ;
(
2
x0 (t) − 2t · x(t) = et ,
x(0) = 0.
Quanto fa x(1) ?
d − e.
9. Qual è il raggio di convergenza della serie di potenze
a 0;
b 1;
c π;
d +∞.
P∞
n
n=1 (x/n)
?
10. Qual è il massimo grado tra le soluzioni polinomiali dell’equazione differenziale 2x00 +(x0 )2 −4x = 0?
a La sola soluzione polinomiale è x ≡ 0;
b Grado 1;
c Grado 2;
d Ci sono soluzioni polinomiali di ogni grado.
11. Sia Ω un aperto di C e f ∈ H(Ω). Si ponga g(z) = |f (z)|2 . Esiste la derivata g 0 (z) ?
a Sı̀, ovunque in Ω, qualunque sia f ;
b No, in nessun punto di Ω, qualunque sia f ;
c Nei punti z in cui f (z) = 0;
d Nei punti z in cui f 0 (z) = 0.
12. Quante sono le soluzioni dell’equazione sin(z 2 ) = i ? (Si ricordi che sin(x + iy) = cosh(y) sin(x) +
i sinh(y) cos(x).)
a Nessuna;
b Una;
c Due;
d Infinite.
Durante la prova deve essere esibito il libretto universitario o un documento. Non è concesso alzarsi prima della fine della prova né
chiedere chiarimenti. I telefoni devono essere mantenuti spenti. Sul tavolo è consentito avere solo i fogli forniti e una penna. Prima di
consegnare bisogna annotare le risposte date. Le domande V/F valgono ±2 punti, le altre +3/−1 punti. Le risposte omesse valgono 0.
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cherubino “MATEMATICA” – A.A. 1999/2000 – Prova del 27/11/1999
cherubino
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Risposte esatte
1. F
2. F
3. V
4. V
5. F
6. V
7. a
8. b
9. d
10. c
11. c, d
12. d