Stefano Hajek
Università di Perugia
Contesto: ISVAP 577
Parte IV art. 16.1: “Per ciascuna delle fonti di
rischio identificate dall’impresa come
maggiormente significative sulla base dei
processi di cui all’art. 15, l’impresa stessa è
tenuta ad effettuare analisi prospettiche
quantitative attraverso l’uso di stress test, per
valutare l’impatto sulla sua situazione
finanziaria di andamenti sfavorevoli dei fattori
di rischio, singolarmente considerati o
combinati in un unico scenario.”
Scenario Analysis WORKFLOW
Scenario Analysis OUTPUT
Distribuzione Patrimonio Netto
120
100
120000
100000
60
Premi
80000
40
20
Solvency
Margin
60000
Premi VS Patrimonio
Netto
40000
20000
0
0
-2934,781201
1647,765535
6230,312271
10812,85901
15395,40574
19977,95248
24560,49922
29143,04595
33725,59269
38308,13942
42890,68616
47473,2329
52055,77963
56638,32637
61220,8731
65803,41984
Scenari
80
Patrimonio Netto
0
50000
100000
Patrimonio Netto
150000
TOOLS
Interest rates
Interest rates
modeling
Volatility
Stima della
volatilità
Distribution
Fitting
Distribution
(frequency &
severity) fitting
Hedging
Fund
rebalancing
(Dynamic ALM)
INTEREST RATES
• “2.17 The observed data showed that in general higher
interest rates were associated with higher absolute
changes in interest rates. The log-normal model
exhibits this property and the calibration of the
lognormal model appeared more robust than the
normal model.
• 2.18 The log-normal model treats proportionate
changes in interest rates as a log-normal process, so it
has been assumed that the distribution of the n-year
spot rate in 12 months is given by: R12(n) = R0(n)× eX ,
where x is distributed N(mn, sn2)” – CEIOPS, QIS3
calibration paper, April 2007
INTEREST RATES
IN
- Vettore Term Structure
- Vettore Maturities
- Vettore volatilità stimate
OUT
- Matrice Forward Rates
INTEREST RATES
Processo lognormale per i
tassi d’interesse con drift log
r(t,T) e varianza (ampiezza
della perturbazione
stocastica nell’intorno di log
r(t, T)) 
log r ' ti , T   log r ti , T   W ti  ti 1
r ' ti , T   r ti , T e
W ti ti1
e  0 ,t T 
r
Drift determinato secondo il
principio di non arbitraggio
t T 
rt ,T t  
r v2   r v1 
r v   r v1  
(v  v1 )
v2  v1
 e  0 ,t   e t ,t T 
r0,t T  t  T   r0,t t
r
t
r
T
T
Interpolazione lineare delle
rilevazioni storiche mancanti
INTEREST RATES (HJM)
dpt, T   r t  pt, T dt  vt, T ,  pt, T dzt 
2

vt , T ,   
d ln  pt , T   r t  
  vt , T ,  dz t 
2


f t , T1T2  
ln  pt , T1   ln  p t , T2 
T2  T1
df t , T1T2   d
Processo per i tassi d’interesse
Applicando il lemma di Ito
Imponendo la condizione di non
arbitraggio
ln  pt , T1   ln  pt , T2 
T2  T1
 vt , T2 ,  2  vt , T1 ,  2 
 vt , T1 ,    vt , T2 ,   
df t , T1 , T2   
 dt  
 dz t 
T2  T1 
2T2  T1 




Sostituendo d ln[p(t,T)]
Fi 1, j  Fi , j  mi , j t  si , j  t
mi , j 
si , j 
v 2 i , j 1  v 2 i , j
2t
vi , j 1  vi , j
Passando alla rappresentazione
in tempo discreto
t
vi ,i  0   mi , j 
1
2
t  si , j 
2
VOLATILITY
OUT
IN
- Vettore volatilità attese
- Parametri modello
- Statistiche accessorie
Vettore tassi di variazione
storici
Variance Equation
C
ARCH(1)
GARCH(1)
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
0.0000
0.0772
0.9046
0.0083
0.1791
9028.2809
0.0000
0.0179
0.0196
Akaike info criterion
Schwarz criterion
Durbin-Watson stat
3.1210
4.3046
46.1474
0.0018
0.0000
0.0000
-6.9186
-6.9118
1.8413
VOLATILITY (GARCH)
Il modello GARCH è sensibile alle più recenti dinamiche del tasso di variazione della serie
storica su cui viene calibrato in quanto, ad ogni istante, incorpora un fattore correttivo della
stima effettuata all’istante precedente: in pratica se il modello, ad esempio, tendesse
mediamente a sovrastimare il dato, il termine correttivo risulterebbe pesato in modo tale
da compensare tale sovrastima
2
2
2
    n1  1   un1
Si dimostra semplicemente che tale formulazione equivale all’assunzione di una media
mobile i cui termini sono pesati in misura esponenzialmente decrescente man mano che ci
si allontana dal valore più recente:
 2     2n2  1   u 2n2   1   u 2n1 
La stima dei
 2  2n2  1   u 2n2  u 2n1
n
     1     u
2
n
2
0
i 1
2
n i
i 1
Aggiungendo il termine di volatilità per il
medio periodo:
2
2


v





 n1
un1
2
parametri è
basata sul
metodo
iterativo di
Newton
 y  y 0   m   0 
m  f '  0 
y0
 y 0  f '  0    0 
   0   
y0
f '  0 
Distribution Fitting (EVT)
IN
- Vettore frequenze osservate
OUT
- Scalare parametri distribuzione
- Scalare test KolmogorovSmirnov
- Vettore Hill Plotting
Distribution Fitting (EVT)
• Le distribuzioni di probabilità di impatto e frequenza
vengono ricondotte alle loro presunte forme archetipe, e
per ciascuna forma vengono stimati i parametri per i quali
la distribuzione meglio approssima i dati osservati.
Si suppoga ad esempio di dover stimare i parametri di una
Pareto Generalizzata con funzione di densità
Per k≠0
Distribution Fitting (EVT)
Consideriamo i momenti teorici della distribuzione:
Integriamo per sostituzione
Risolvendo rispetto ad  e k:
Black & Scholes HEDGING
Offrire un minimo garantito ad un cliente
equivale a vendergli una floor option e comporta
per la compagnia la necessità di effettuare una
copertura mediante la creazione di un
portafoglio di replica; il valore di tale portafoglio
è fornito dalle formule di Black & Scholes
assieme alle quote di immunizzazione (da
investire cioè in attività non rischiose)
Black & Scholes HEDGING
IN
OUT
- Scalare time horizon
- Scalare minimo garantito
- Scalare valore sottostante
- Scalare interest rates
- Scalare volatilità attesa
- Scalare timestep
- Scalare investment weight
100%
80%
Risk-Free
60%
Risk
40%
20%
0%
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
Black & Scholes HEDGING
Si consideri il prezzo di
un’opzione secondo il
modello Black & Scholes
Si calcoli il valore di un
portafoglio costituito da
un’opzione put ed un titolo
sottostante
Tale valore corrisponde a quello di un
portafoglio con azioni per un valore di
ed obbligazioni per un valore di