CALCOLO
DIFFERENZIALE
PER FUNZIONI
DI PIÙ VARIABILI - 4.
Argomenti della lezione
 Funzioni definite implicitamente.
 Invertibilità locale.
Cambiamento di variabili.
FUNZIONI DEFINITE
IMPLICITAMENTE
Un modo ben noto di rappresentare
graficamente una funzione di due
variabili z = f(x,y) è quello di
tracciarne le linee di livello. Ossia
i luoghi dei punti del piano (x,y)
che soddisfano la condizione
f(x,y) = costante.
Si ritiene, in generale, che questi
luoghi siano curve piane più o meno
“regolari”.
Sono ben noti alcuni esempi:
1) x2 + y2 - 2y = 3
È una circonferenza con centro
in (0,1)T e raggio 2.
2) x2 + 4 y2 = -3
È l’insieme vuoto di punti del
piano.
3) x2 + y2 = 0
È l’insieme contenente solo l’origine
del piano.
4) x2 - y2 = 0
È l’insieme del piano formato
dall’unione delle due rette y = x e
y = - x.
5) x3 - y2 = 0
È una curva piana non regolare,
dotata di una cuspide nell’origine.
Possiamo dunque chiederci sotto
quali condizioni un’equazione del
tipo f(x,y) = costante, possa
rappresentare una curva piana. Anzi,
almeno localmente, una curva che
sia grafico di una funzione.
È chiaro infatti che, in molti casi,
una curva piana non sarà grafico
di una funzione.
La curva data da x2 + y2 - 2y = 3 può
essere rappresentata come grafico
di due funzioni in cui x è funzione
di y:
x = g1(y) = (3 - y2 + 2y)1/2
e
x = g2(y) = - (3 - y2 + 2y)1/2
Teorema
(di U. Dini )
Sia f : A  R2  R, A aperto, C1(A),
sia (x0,y0) in A tale che f(x0,y0)= 0 e
∂y f (x0,y0)≠ 0, allora esiste un rettangolo
aperto I  J intorno di (x0,y0)T tale che
f -1(0)(I  J) sia il grafico di g : I  R  R
funzione di classe C1(I); quindi
per ogni x  I, f(x,g(x)) = 0.
Vale g’(x) = -
f
(x,g(x))
x
_________ .
fy(x,g(x))
Il teorema qui enunciato, può
essere generalizzato in molti modi..
Una generalizzazione tra le più
semplici:
Se f(x1, x2, … , xm, z) è di classe C1(),
se (x10, x20, … , xm0, z0) in   Rm+1 è
tale che f(x10, x20, … , xm0, z0) = 0 e fz(x10,
x20, … , xm0, z0) ≠ 0 allora esistono un
intorno U  Rm di
(x10, x20, … , xm0) e una funzione
g : U  Rm  R che è di classe C1(U),
è tale che f(x1, x2, … , xm, g(x)) = 0 per
ogni (x1, x2, … , xm)  U. Le sue
derivate sono date da
f
(x,g(x))
k
Dk g(x) = - _________ .
fz(x,g(x))
Un esempio...
f(x, y, z) = sen(z) + xy2 + y3-8 = 0
nel punto (0,2,0)T.
Una proprietà del gradiente.
Si supponga che l’equazione
f(x,y)= costante definisca una curva
di livello dotata di derivate
continue in (x0,y0). Se x(t), y(t)
sono le equazioni parametriche
della curva, lungo la curva stessa
F(t) = f(x(t),y(t)) = costante.
Perciò F’(t) = 0. Ma
F’(t) = f (x(t),y(t)), (x’(t),y’(t))T = 0
Conclusione
Il gradiente è ortogonale alle
linee di livello di una funzione.
Superficie date in forma
implicita in R3.
f(x,y,z)= costante
INVERTIBILITÀ
LOCALE
Sia f : A  Rm  Rm , A aperto, una
funzione. Diremo che f è localmente
invertibile in x0  A se esistono un
intorno U di x0 e V di f(x0) = y0 tra i
quali f è biiettiva.
Se f stabilisce una corrispondenza
biunivoca tra A e f(A), diremo che
f è globalmente invertibile su A.
Se f : A  Rm  Rm , A aperto, è
differenziabile in x0  A, la matrice
mm che rappresenta il suo
differenziale è detta anche la
derivata o la matrice jacobiana o
il jacobiano di f in x0.
f 0
f’(x0) = J( x)(x
) = J(
f1,f2,..,f
m0)
)(x
x1,x2,..,xm
Teorema
(di invertibilità locale )
Se f : A  Rm  Rm, A aperto, è C1(A),
e det J(xf )(x0) ≠ 0 allora f è localmente
invertibile in x0  A. L’inversa locale
è funzione di classe C1(f(A)).
Si noti che una funzione può
essere localmente invertibile
senza esserlo globalmente.
La funzione f : R2  R2 data da
u = exp(x)cos y
v = exp(x)sen y
ha il det. jacobiano det J = exp(2x) ≠ 0 ed è
in ogni punto localmente invertibile tra
il piano (x,y) e il piano (u,v). Ma non è
invertibile globalmente poiché u e v sono
periodiche di periodo 2 .
Omeomorfismi e
Diffeomeorfismi...
CAMBIAMENTO
DI VARIABILI
Un’applicazione f : A  Rm  Rm,
A aperto, si dice regolare se è
di classe
C1(A)
e se
f
det J(x )(x) ≠ 0
per ogni x  A. Una tale applicazione
individua un cambiamento di
variabili in Rm . Se le condizioni dette
non sono soddisfatte in alcuni punti
isolati, tali punti si dicono singolari
per la trasformazione.
Esempi:
Trasformazioni lineari in Rm.
Coordinate polari in R2.
Coordinate cilindriche in R3.
Coordinate sferiche in R3.
Un esempio:
Cambiamento di variabili nell’
equazione delle onde
2z
2z
∂
∂
____ = 0
c2 ____
∂t2
∂x2
u=x+ct
v=x-ct