Analisi Statistica per le Imprese
4.4 Numeri Indice
Prof. L. Neri
Dip. Economia Politica e Statistica
a.a. 2014-2015
1
Numeri indice
• I numeri indice sono rapporti statistici che
misurano le variazioni nel tempo o nello spazio
tra grandezze della stessa natura.
• Nelle analisi economiche le grandezze
principalmente analizzate attraverso i numeri
indice sono i prezzi e le quantità di uno o più
prodotti che costituiscono un aggregato.
Misurare le variazioni nel tempo
Caso 1
Dal 2004 al 2008 in Italia le famiglie che hanno
contratto un mutuo ad un tasso variabile per
l’acquisto della casa hanno visto crescere la
rata mensile del loro mutuo in modo
considerevole a causa dell’innalzamento dei
tassi di interesse.
Come possiamo valutare l’entità delle
variazioni della rata del mutuo negli ultimi
cinque anni?
3
Misurare le variazioni nello spazio
Caso 2
Si vuole confrontare i valori del PIL pro-capite
ai prezzi di mercato in quattro regioni :
Piemonte, Lombardia, Campania, Lazio
Come possiamo valutare l’entità delle
variazioni del PIL a prezzi di mercato tra le
quattro regioni ?
4
Confronto di un fenomeno nel tempo
Il problema (CASO I) che si pone è quello di
confrontare un fenomeno economico (la rata
mensile del mutuo) in diversi istanti temporali
(gli ultimi cinque anni)
L’informazione statistica che si deve avere a
disposizione è quindi una serie storica delle
rate mensili del mutuo (in effetti quello che
rileviamo è una media delle rate di tutte le
famiglie italiane che hanno contratto il
mutuo) supponiamo valutate a gennaio di
ogni anno dal 2004 al 2008.
5
Serie storica – Confronti temporali
Anni
2004
Rata mensile media
in euro
350
2005
365
2006
400
2007
550
2008
615
6
Confronto di un fenomeno nello spazio
Il problema (CASO II) che si pone è quello di
confrontare un fenomeno economico (il valore
del PIL) in diversi luoghi (le quattro regioni
italiane).
L’informazione statistica di cui si deve disporre
è quindi una serie territoriale dei valori del PIL
pro capite nelle regioni considerate.
7
Serie territoriale – Confronti spaziali
Regioni
Piemonte
PIL pro capite
(valori in euro)
23.284
Lombardia
27.429
Campania
13.797
Lazio
25.131
8
Numeri indice
In entrambi i casi proposti la variazione della
serie può essere valutata tramite l’ausilio dei
numeri indice.
I numeri indice sono particolari rapporti
statistici calcolati per misurare le variazioni
relative di un fenomeno in diverse situazioni
di tempo o di luogo
Sono numeri puri, ovvero indipendenti
dall'unità di misura e dall’ordine di grandezza
della serie. Usualmente sono espressi in
termini percentuali
9
Numeri indice semplici
Sia
y1 ,...y t ,..., y T
la serie storica (o territoriale) di un dato
fenomeno economico Y osservato in T tempi
diversi (o luoghi)
Il rapporto tra due termini qualsiasi della serie
yt e ys è un numero indice semplice o
elementare che si indica con:
It / s
yt

 100
ys
s = tempo (o spazio) di
riferimento (base dell’indice)
t = tempo (o spazio) corrente
10
Base fissa e base mobile
Un numero indice semplice può essere
costruito:
• a base fissa se ciascuna intensità o
frequenza del fenomeno in ogni istante
temporale (o in ogni spazio) è rapportata ad
un’unica intensità che rimane costante
• a base mobile se ciascuna intensità o
frequenza è rapportata a quella del termine
immediatamente precedente
11
Numeri indice a base fissa (tempo base 1)
I1 / 1 
y1
y
 100  100, I2 / 1  2  100,...
y1
y1
..., It / 1 
Anni
yt
y
 100,..., IT / 1  T  100
y1
y1
Rata
mensile
media
(in euro)
Numeri
indice base
fissa
(2004=100)
2004
350
100
2005
365
104
2006
400
114
2007
550
157
(550/350)*100
2008
615
176
(615/350)*100
(350/350)*100
(365/350)*100
(400/350)*100
12
N.I. indice a base fissa e variazioni percentuali
è la variazione percentuale dal
y2008  y2004
VP(2004 2008 ) 
 100
2004 al 2008
y2004
y2008
è il numero indice riferito al 2008 con
I2008 / 2004 
 100
base 2004
y2004
VP(2004 2008 )
Anni
Numeri
indici base
fissa
(2004=100)
2004
100
2005
104
2006
114
2007
157
2008
176
 y2008

 
 1  100  I2008 / 2004  100
 y2004

La serie evidenzia una dinamica
crescente delle rate dei mutui.
Dal 2004 al 2005 si è avuto un
aumento del 4%, dal 2004 al 2006 del
14%, ecc…
Dal 2004 al 2008 l’aumento è stato
pari al 76%
13
Numeri indice a base mobile
I2 / 1 
yt
y2
 100,..., It / t 1 
 100,...
y1
y t 1
..., IT / T 1 
yT
 100
y T 1
Anni
Rata
mensile
media
( in euro)
N.I. base
mobile
2004
350
-
(365/350)*100
2005
365
104
(400/365)*100
2006
400
110
2007
550
138
2008
615
112
(550/400)*100
(615/550)*100
14
N.I. base mobile e variazioni percentuali
è la variazione percentuale dal
y2008  y2007
VP(2007 2008 ) 
 100
2007 al 2008
y2007
y2008
è il numero indice riferito al 2008 con
I2008 / 2007 
 100
base 2007
y2007
VP(2007 2008 )
Anni
N.I. base
mobile
2004
-
2005
104
2006
110
2007
138
2008
112
 y2008

 
 1  100  I2008 / 2007  100
 y2007

La serie evidenzia che tra il 2004 e il
2005 si è avuto un aumento del 4%,
tra il 2005 e il 2006 del 10%, tra il
2006 e il 2007 del 38%, la corsa al
rialzo sembra rallentare tra il 2007 e
il 2008 quando l’incremento è stato
pari al 12%.
15
CASO II - Variazioni del PIL tra le quattro
regioni
Calcoliamo serie di numeri indici a base fissa
o mobile?
Dipende dagli obiettivi
• Sceglieremo una base fissa se siamo
interessati a confrontare il PIL di ciascuna
regione con il PIL di una stessa regione
(tenendo fisso il termine di confronto)
• Sceglieremo una base mobile se vogliamo
fare un confronto tra coppie di regioni senza
sceglierne una quale riferimento
16
Numeri indici da serie territoriale
Regioni
PIL pro Numeri indici base
capite
fissa
(Campania=100)
(in euro)
Piemonte
23.284
23284/13797=
168,8
Lombardia
27.429
27429/13797=
198,9
Campania
13.797
13797/13797=
100
Lazio
25.131
25131/13797=
182,1
Se l’obiettivo è quello
di confrontare ogni
regione con la
Campania si
calcoleranno N.I.
base fissa ottenendo
che il PIL pro capite
•del Piemonte supera
quello della Campania
del 68,8%
•della Lombardia è
maggiore del 98,9%
rispetto a quello della
Campania
•del Lazio supera
dell’82,1% quello
della Campania
17
Numeri indice dei prezzi
• In economia, un indice dei prezzi è un
numero indice che serve a studiare la
variazione del prezzo di uno o più beni o
servizi in un certo arco temporale.
• Se facciamo riferimento ad un solo
bene/servizio si parla di numero indice
semplice se invece ci riferiamo ad un
insieme di beni o servizi si parla di numeri
indice composti
Indici dei prezzi semplici: esempio
Sono dati i seguenti prezzi in euro di un dato
prodotto relativamente all’arco temporale
2005-2008
anno
prezzo
2005
1,9
2006
1,95
2007
1,935
2008
2
a) Calcolare i numeri indice che descrivono la
variazione del prezzo rispetto all’anno 2005
b) Calcolare la variazione corrente del prezzo del
prodotto
19
a) Calcoliamo la serie di numeri indice
(semplici) a base fissa 2005
anni
Numero
indice
2005
100
2006
2007
2008
(1,95/1,9)* (1,935/1,9)* (2/1,9)*
100
100
100
=102,6
=101,8
=105,3
La serie evidenzia una dinamica crescente dei
prezzi del bene
Dal 2005 al 2006 si è avuto un incremento del
2,6%; dal 2005 al 2007 si è osservata una
variazione di + 1,8%; dal 2005 al 2008
+5,3%
20
b) Calcoliamo la serie di numeri indice a base
mobile
anni
Numero
indice
2005
-
2006
2007
(1,95/1,9) (1,935/1,95)
*100
*100
=102,6
=99,2
2008
(2/1,935)
*100
=103,4
La serie evidenzia come dal 2005 al 2006 si
è avuto un incremento del 2,6%;
dal 2006 al 2007 si registra una diminuzione
dello 0,8%; dal 2007 al 2008 un aumento
dello 0,8%
21
Numeri indice complessi
Per poter considerare le variazioni nel livello
generale dei prezzi abbiamo bisogno di
considerare contemporaneamente le variazioni
dei prezzi di più beni costruendo numeri indici
complessi
22
Numeri indice complessi
Con i numeri indici complessi si
confrontano le variazioni di più fenomeni
economici e si ottengono combinando tra
loro gli indici semplici
Se le M componenti sono tutte di una
stessa specie (es. prezzi di M beni che
compongono un paniere) la combinazione
degli indici semplici dà luogo a un indice
sintetico
23
Numeri indice complessi dei prezzi
Abbiamo M serie storiche dei prezzi, una per
ogni bene
p1t p2t … pmt … pMt (t=0,1,2,...T)
attraverso un’unica serie di numeri indici si
vogliono sintetizzare le variazioni relative di
tutte le M serie, rispetto ad una base fissa
oppure mobile.
24
Sintesi con la media ponderata
La sintesi è realizzata mediante una media
aritmetica ponderata di indici elementari
pmt
Indichiamo con
pm0
il generico indice elementare di prezzo al
tempo t con base al tempo 0
La generica media ponderata è data da:
pmt
 sm

m1 pm0
M
It / 0 
ponderazione
M
s
m1
m
25
Indice dei prezzi di Laspeyres
Se la ponderazione è fatta con il valore
(prezzo x quantità) dei beni al tempo base,
cioè
sm  pm0  qm0
l’indice dei prezzi sintetico costruito come
media aritmetica ponderata degli indici
elementari prende il nome di indice dei
prezzi di Laspeyres
26
Indice dei prezzi di Laspeyres
pmt
 pm0  qm0

m1 pm0
M
ILt / 0 
media ponderata
M
p
m1
m0
 qm0
M

p
mt
 qm0
p
m0
 qm0
m1
M
m1
somma ponderata
quindi l’indice di Laspeyres si ottiene anche come
rapporto tra il valore “fittizio” dell’aggregato
ottenuto moltiplicando i prezzi al tempo corrente per
le quantità al tempo base, M
pmt  qm0

m1
e il valore dell’aggregato al tempo base
M
pm0  qm0

m1
27
Indice dei prezzi di Paasche
Se la ponderazione è fatta con il valore
ottenuto moltiplicando le quantità al tempo
corrente per i corrispondenti prezzi espressi
al tempo base, cioè
sm  pm0  qmt
l’indice dei prezzi sintetico costruito come
media aritmetica ponderata degli indici
elementari prende il nome di indice dei prezzi
di Paasche
28
Indice dei prezzi di Paasche
pmt
 pm0  qmt

m1 pm0
M
IPt / 0 
media ponderata
M
p
m1
m0
 qmt
M

p
mt
 qmt
p
m0
 qmt
m1
M
m1
somma ponderata
quindi l’indice di Paasche si ottiene anche come
rapporto tra il valore dell’aggregato al tempo
corrente, M
pmt  qmt

m1
e il valore “fittizio” dell’aggregato ottenuto
applicando ai prezzi del tempo base le quantità del
M
tempo corrente
pm0  qmt

m1
29
Formula ideale di Fisher
I  I I
F
t
L
t
P
t
È la media geometrica degli indici di Laspeyres e di
Paasche
30
Calcolo dell’indice dei prezzi di
Laspeyres (come somma ponderata)
Beni
Anno
A
Prodotti prezzo x quantità
B
C
A
B
C
p
q
p
q
p
q
ptq04
ptq04
ptq04
2004
10
3
20
1
14
5
10*3=30
20*1=20
14*5=70
2005
12
2
25
2
15
7
12*3=36
25*1=25
15*5=75
2006
15
2
23
4
17
7
15*3=45
23*1=23
17*5=85
2007
15
4
26
5
20
8
15*3=45
26*1=26
20*5=100
3
I
L
05 / 04

p
m 05
 qm 04
p
m 04
 qm 04
m 1
3
m 1
 100 
36  25  75
 100  113,3
30  20  70
Dal 2004 (anno base) al 2005 i prezzi dei tre beni
sono cresciuti del 13,3%
31
Calcolo dell’indice dei prezzi di
Laspeyres (come somma ponderata)
Beni
Anno
A
Prodotti prezzo x quantità
B
C
A
B
C
p
q
p
q
p
q
ptq04
ptq04
ptq04
2004
10
3
20
1
14
5
10*3=30
20*1=20
14*5=70
2005
12
2
25
2
15
7
12*3=36
25*1=25
15*5=75
2006
15
2
23
4
17
7
15*3=45
23*1=23
17*5=85
2007
15
4
26
5
20
8
15*3=45
26*1=26
20*5=100
3
IL06 / 04 
pm06  qm04

m 1
3
pm04  qm04

m 1
 100 
45  23  85
 100  127,5
30  20  70
Dal 2004 (anno base) al 2006 i prezzi dei
tre beni sono cresciuti del 27,5%
32
Calcolo dell’indice dei prezzi di
Laspeyres (come somma ponderata)
Beni
Anno
A
Prodotti prezzo x quantità
B
C
A
B
C
p
q
p
q
p
q
ptq04
ptq04
ptq04
2004
10
3
20
1
14
5
10*3=30
20*1=20
14*5=70
2005
12
2
25
2
15
7
12*3=36
25*1=25
15*5=75
2006
15
2
23
4
17
7
15*3=45
23*1=23
17*5=85
2007
15
4
26
5
20
8
15*3=45
26*1=26
20*5=100
3
IL07 / 04 
pm07  qm04

m 1
3
pm04  qm04

m 1
 100 
45  26  100
 100  142,5
30  20  70
Dal 2004 (anno base) al 2007 i prezzi
dei tre beni sono cresciuti del 42,5%
33
Calcolo dell’indice dei prezzi di
Paasche (come somma ponderata)
Beni
Anno
A
Beni
B
C
A
B
C
p
q
p
q
p
q
p04qt
pt qt
p04qt
p t qt
p04qt
pt qt
2004
10
3
20
1
14
5
30
30
20
20
70
70
2005
12
2
25
2
15
7
20
24
40
50
98
105
2006
15
2
23
4
17
7
20
30
80
92
98
119
2007
15
4
26
5
20
8
40
60
100
130
112
160
3
IP05 / 04 
pm05  qm05

m 1
3
pm04  qm05

m 1
 100 
24  50  105
 100  113,3
20  40  98
Dal 2004 (anno base) al 2005 i prezzi dei
tre beni sono cresciuti del 13,3%
34
Calcolo dell’indice dei prezzi di
Paasche (come somma ponderata)
Beni
Anno
A
Beni
B
C
A
B
C
p
q
p
q
p
q
p04qt
pt qt
p04qt
p t qt
p04qt
pt qt
2004
10
3
20
1
14
5
30
30
20
20
70
70
2005
12
2
25
2
15
7
20
24
40
50
98
105
2006
15
2
23
4
17
7
20
30
80
92
98
119
2007
15
4
26
5
20
8
40
60
100
130
112
160
3
IP06 / 04 
pm06  qm06

m1
3
pm04  qm06

m1
 100 
30  92  119
 100  121,7
20  80  98
Dal 2004 (anno base) al 2006 i prezzi dei
tre beni sono cresciuti del 21,7%
35
Calcolo dell’indice dei prezzi di
Paasche (come somma ponderata)
Beni
Anno
A
Beni
B
C
A
B
C
p
q
p
q
p
q
p04qt
pt qt
p04qt
p t qt
p04qt
pt qt
2004
10
3
20
1
14
5
30
30
20
20
70
70
2005
12
2
25
2
15
7
20
24
40
50
98
105
2006
15
2
23
4
17
7
20
30
80
92
98
119
2007
15
4
26
5
20
8
40
60
100
130
112
160
3
IP07 / 04 
pm07  qm07

m 1
3
pm04  qm07

m 1
 100 
60  130  160
 100  138,9
40  100  112
Dal 2004 (anno base) al 2007 i prezzi dei
tre beni sono cresciuti del 38,9%
36
Calcolo dell’indice dei prezzi di
Fisher
Laspeyres
Paasche
Fisher
I05/04
113,3
113,3
113,3  113,3  113,3
I06/04
127,5
121,7
127,5  121,7  124,6
I07/04
142,5
138,9
142,5  138,9  140,7
37
Calcolo dell’indice dei prezzi di Laspeyres
(come media ponderata)
Beni
Indici elementari 2005
(base 2004=100)
A
B
C
1,2
1,25
1,07
30
20
70
Somma
pmt
pm 0
Pesi Sm
Prodotto
Indice elem. x peso
I
L
05 / 04
36
25
120
75
136
136

100  113,3
120
38
Indice dei prezzi al consumo (IPC)
Numero indice complesso che misura la variazione dei prezzi dei beni
e servizi nazionali acquistati dal consumatore medio (variazione del
livello generale dei prezzi al consumo);
IPC è (quasi) un indice dei prezzi di Laspeyres che utilizza:
• quantità dei beni che entrano in un paniere di consumo nell'anno
base (0);
• prezzi dei beni che costituiscono quel paniere
•
nell'anno base (0);
•
nell'anno di riferimento (t).
IPC diversi per:
• paniere di consumo considerato;
• anno base
Modalità di calcolo dell’IPC
• Analisi del comportamento dei consumatori e
determinazione della struttura del paniere di consumo,
cioè quanta parte delle spese del consumatore medio
sono costituite da acquisti di ogni bene:
v10; v20; … ; vn0;
• Rilevazione del prezzo di ciascun bene nell'anno base:
p10; p20; … ; pn0;
• Rilevazione del prezzo di ciascun bene nel periodo t per
cui si vuole calcolare l'indice:
p1t ; p2t ; … ; pnt ;
Modalità di calcolo dell’IPC
• Calcolo degli indici semplici di prezzo:
p1t/p10 ; … ; pnt/pn0;
• Calcolo dell'IPC come media ponderata
(moltiplicata per 100) degli indici di prezzo
semplici:
(v10*p1t/p10+ … + vn0*pnt/pn0)*100
Esempio calcolo IPC
• I consumatori consumano 2 soli beni: pizza margherita e
birra media alla spina.
• Nel 2005: 1/3 delle loro spese va in pizza ed i restanti
2/3 in birra. I prezzi sono:
• Nel 2012 i prezzi sono:
ppizza=3.5 euro, pbirra=3 euro,
ppizza=4 euro, pbirra=4.5 euro
• Calcolare IPC dell’anno 2012 con base 2005
IPC200122005 =(1/3*4/3.5+2/3*4.5/3)*100=138.09
INDICI DEI PREZZI IN ITALIA
In Italia, ISTAT calcola tre diversi indici:
• Indice Nazionale dei prezzi al consumo per l'Intera
Collettività (NIC): calcolato con riferimento a intera
popolazione presente sul territorio nazionale; insieme di
tutti i beni e servizi acquistati dalle famiglie ed aventi un
collettivo prezzo di mercato;
• Indice nazionale dei prezzi al consumo per le Famiglie di
Operai e Impiegati (FOI): calcolato con riferimento ai
consumi delle famiglie facenti capo a un lavoratore
dipendente (extragricolo); utilizzato per l'adeguamento di
atti e assegni di mantenimento;
• Indice dei Prezzi al Consumo Armonizzato per i Paesi
membri dell'Unione Europea (IPCA): calcolato dal 1997
come misura comparabile dell'inflazione a livello
europeo;
Valori nominali e variabili reali
• Non siamo interessati al denaro in quanto
tale, ma al suo potere d'acquisto;
• Data una somma di denaro X, ipotizzando
che il prezzo di un “paniere tipo” di
consumo al tempo t sia Pt , il valore reale
di X, cioè il numero di panieri acquistabili
con X, è:
X/Pt al tempo t;
X/Pt+1 al tempo t+1.
Valori nominali e variabili reali
Per confrontare valori nominali in periodi
diversi dobbiamo tenere conto del livello
dei prezzi:
Xt1 = Xt2*(P t1/Pt2)
• Xti valore monetario nel periodo ti (i =1,2);
• Pti livello dei prezzi nel periodo ti .
Esempio: utilizzo dell'IPC per depurare
dall'inflazione
Dati IPC del 2000 e del 2010 (generali medi senza
tabacchi, anno base = 1995):
IPC(2000) = 112.7
IPC(2010) = 139.0
Per sapere quanti euro garantiscono nel 2010 lo stesso
potere d'acquisto garantito da 1000 Euro nel 2000,
occorre calcolare:
1000*(139/112.7)= 1233.36
Nel periodo 2000-2010 c'e stata un'inflazione pari al 23.3%.
Esempio
Anno t
2000
PILt/t
PIL a prezzi
correnti
It/0
PILt/0
Numeri PIL a prezzi
indici dei
costanti
prezzi
(2000)
(base)
1.191.057
100,0
1.191.057
2001
1.248.648
2002
1.295.226
102,7
1.215.821
2003
1.335.354
105,2
1.231.203
2004
1.388.870
107,8
1.238.733
2005
1.417.241
109,9
1.263.758
111,8
1.267.657
PIL 2001 / 2000
PIL 2001 / 2001
1.248 .648

 100 
 100
I2001 / 2000
102,7
47
Variazioni reali
PILt/t
PIL a
prezzi
costanti
(2000)
Numeri
indici
(base fissa
2000)
(base)
1.191.057
100,0
2001
1.215.821
102,1
2002
1.231.203
103,4
2003
1.238.733
104,0
2004
1.263.758
106,1
2005
1.267.657
106,4
Anno t
2000
La serie del PIL a prezzi
costanti varia nel tempo
solo per effetto di
variazioni nelle quantità
(variazioni reali)
Le variazioni reali sono
evidenziate dai numeri
indici calcolati sulla serie
deflazionata
Dal 2000 al 2002 il PIL è cresciuto in termini reali del
3,4%
Dal 2000 al 2005 la crescita reale è stata del 6,4%
48
Numeri indice delle quantità
Misurano variazioni fisiche (o di volume) di un
fenomeno nel tempo o nello spazio
L’indice complesso che sintetizza le variazioni nelle
quantità di M fenomeni
si può costruire con la formula
M
M
qmt
di Laspeyres
pm0  qm0

 pm0  qmt
ILt / 0 
m1
qm0
M
p
m1
m0

 qm0
o con quella di Paasche
IPt / 0 
p
m1
m0
 qm0
qmt
 pmt  qm0

m1 qm0
M
M
p
m1
oppure con quella di Fisher
m1
M
mt
 qm0
M

p
mt
 qmt
p
mt
 qm0
m1
M
m1
IFt  ILt  IPt
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