Capitolo 7
La crescita economica, I
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Capitolo 7: La crescita economica, I
1
Il modello (neoclassico) di Solow (1956)
La funzione di produzione
Funzione aggregata di produzione (neoclassica):
Y = F(K,L)
Rendimenti di scala costanti (RSC):
zY = F(zK, zL)
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Capitolo 7: La crescita economica, I
5
Il modello (neoclassico) di Solow (1956)
La funzione di produzione pro capite
Tutte le variabili sono espresse in termini pro
capite (denotate con lettere minuscole)
k = K/L
y = Y/L
c = C/L
i = I/L
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6
Il modello (neoclassico) di Solow (1956)
La funzione di produzione pro capite
Poiché F(K,L) è a RSC abbiamo:
y = Y/L = F(K, L)/L
= F(K/L, L/L)
y = F(k, 1) = f(k)
La produttività marginale del capitale pro capite:
PMK = f(k + 1) – f(k)
è decrescente
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Capitolo 7: La crescita economica, I
8
Il modello (neoclassico) di Solow (1956)
La funzione di produzione pro capite
Prodotto per
lavoratore, y
La PMK è
decrescente e
la pendenza
della funzione
di produzione
cala con
l’aumento dello
stock di
capitale
impiegato
PMK
1
PMK
1
Capitale per lavoratore, k
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9
Il modello (neoclassico) di Solow (1956)
Le funzione di consumo e investimenti
La crescita in condizioni di equilibrio
macroeconomico permanente implica che:
Investimento = Risparmio
i = sy
Utilizzando la funzione di produzione pro capite
abbiamo:
i = sf(k)
Il cui grafico è uguale a quello della funzione di
produzione “riscalato” di un coefficiente tra zero e
uno (il tasso di risparmio).
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12
La funzione di produzione pro capite
Consumi e investimenti
Prodotto, f(k)
Prodotto per
lavoratore, y
Il reddito y è
diviso tra
consumi e
investimenti
Nota: Variazioni di s
spostano la funzione
sf(k) in alto e in basso.
c
Risparmio, sf(k)
= Investimenti
y
sy=i
Se s = 1 tutta la
produzione è risparmiata
ec=0
Capitale per lavoratore, k
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13
Lo stock di capitale
L’ammortamento
Il capitale si
deprezza al
tasso costante
Prodotto per
lavoratore, y
Ammortamento
del capitale, dk
d
che rappresenta la
frazione percentuale
di capitale installato
che viene perso in
ogni periodo perché
non più produttivo
Capitale per lavoratore, k
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15
La variazione dello stock di capitale
Investimenti e ammortamento
La variazione netta dello stock di capitale Dk è
data dalla differenza tra investimenti in nuovo
capitale e logoramento di quello installato
(ammortamento):
Dk = i – dk
E poiché gli investimenti sono permanentemente
uguali ai risparmi
Dk = s f(k) – dk
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16
Lo stock di capitale
La funzione di risparmio e gli investimenti
Prodotto, f(k)
Prodotto per
lavoratore, y
Ammortamento del
capitale, dk
Gli investimenti
AUMENTANO lo stock di
capitale installato del
periodo successivo
Risparmio, sf(k)
= Investimenti
k
Capitale per lavoratore, k
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17
Lo stock di capitale
Il deprezzamento
Prodotto, f(k)
Prodotto per
lavoratore, y
dk
Risparmio, sf(k)
= Investimenti
Il deprezzamento RIDUCE
lo stock di capitale
disponibile nel periodo
successivo
k
Capitale per lavoratore, k
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18
Analisi dinamica
L’accumulazione del capitale
Prodotto, f(k)
Prodotto per
lavoratore, y
dk
La DIFFERENZA tra
investimenti e
ammortamento misura
la variazione dello
stock di capitale:
Risparmio, sf(k)
= Investimenti
Dk
Può essere positiva…
k0
k1
k
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19
Analisi dinamica
L’accumulazione del capitale
Prodotto per
lavoratore, y
Prodotto, f(k)
dk
…o può essere
negativa se
l’ammortamento è
superiore
all’investimento
Risparmio, sf(k)
= Investimenti
k
k1 k0
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20
Analisi dinamica
La convergenza verso lo stato stazionario
f(k)
Prodotto per
lavoratore, y
dk
Fino a quando
l’investimento è
superiore al
deprezzamento il
capitale installato
aumenta
sf(k)
Dk0
k0
k1
k
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21
Analisi dinamica
La convergenza verso lo stato stazionario
f(k)
Prodotto per
lavoratore, y
dk
La produttività
marginale del capitale è
decrescente e gli
aumenti di produzione
si riducono con
l’aumentare di k
sf(k)
Dk1
k0
k1
k2
k
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22
Analisi dinamica
La convergenza verso lo stato stazionario
f(k)
Prodotto per
lavoratore, y
dk
Fino a quando
sf(k) > dk
sf(k)
lo stock di capitale
continua a crescere
Dk2
k0
k1
k2 k3
k
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23
Lo stato stazionario
Quando gli investimenti sono uguali
all’ammortamento, lo stock di capitale pro capite
k* non cambia: i nuovi investimenti compensano
esattamente l’ammortamento.
Nel lungo periodo l’economia è caratterizzata da un
equilibrio di stato stazionario
in cui la variabile endogena k* non varia.
Questo implica che anche il reddito e il consumo di stato
stazionario non variano:
y* = f(k*)
c* = f(k*)-dk*
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24
Dinamica del modello
Lo stato stazionario
y
f(k)
Y* = f(k*)
In stato
stazionario gli
investimenti
(risparmi) sono
uguali
i* = dk*
all’ammortamento
dk
sf(k)
Il capitale pro
capite smette di
crescere
k
k*
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25
Analisi dinamica
La convergenza verso lo stato stazionario
f(k)
Prodotto per
lavoratore, y
dk
Se k0 è inferiore a
k* lo stock di
capitale tende a
crescere nel tempo
sf(k)
k0
k1 k2 k3
k*
k
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Capitolo 7: La crescita economica, I
26
Analisi dinamica
La convergenza verso lo stato stazionario
f(k)
Prodotto per
lavoratore, y
dk
Se k0 è superiore a
k* lo stock di
capitale tende a
calare nel tempo
sf(k)
k* k2 k1 k0
k
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Capitolo 7: La crescita economica, I
27
Lo stato stazionario
La matematica
Lo stato stazionario è caratterizzato da Dk = 0
Poiché l’accumulazione del capitale è data da:
Dk = sf(k) – dk
Avremo:
0 = sf(k*) – dk*
Riordinando i termini si ottiene:
k*/f(k*) = s/d
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28
Lo stato stazionario
La matematica
In stato stazionario ammortamenti e investimenti
sono uguali sicché lo stock di capitale smette di
crescere.
Quindi anche la produzione pro capite smette di
crescere e in stato stazionario è pari a:
y* = f(k*)
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29
La convergenza allo stato stazionario
La funzione Cobb-Douglas
Le funzioni di produzione totale e pro capite sono
date da:
Y  F ( K , L)  K L
1/ 2 1/ 2
Y
1/ 2
y k 
L
k
Se il tasso di risparmio è pari a s = 0,3 e il capitale si
deprezza del 10% all’anno d = 0,10.
Prendendo un capitale iniziale pari a 4 possiamo
calcolare l’andamento dinamico dell’economia:
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Capitolo 7: La crescita economica, I
30
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31
Lo stato stazionario
La funzione Cobb-Douglas
Come visto lo stato stazionario è identificato dal
livello di capitale tale per cui:
Dk  sf (k )  dk  0
*
*
*
*
ovvero
Poiché s = 0,3 e d = 0,10
k
k
s

*
f (k ) d
*
0,3

*
0,1
k
E risolvendo otteniamo: k* = 9
Analisi di un caso: Lo stock di capitale e la crescita di Giappone e Germania
dopo la seconda guerra mondiale.
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32
Il tasso di risparmio
Gli effetti di lungo periodo
Una variazione del tasso di risparmio comporta
una modifica del livello degli investimenti.
Se il tasso di risparmio s aumenta,
la curva sf(k)
si sposta verso l’alto. Per ogni livello di capitale
una parte maggiore di produzione viene
destinata ai risparmi e investita.
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33
La statica comparata
Una variazione del tasso di risparmio
f(k)
Prodotto per
lavoratore, y
dk
Un aumento del
tasso di risparmio:
s2f(k)
s1f(k)
da s1 a s2
sposta la curva
sf(k)
verso l’alto
k*1
k*2
k
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34
Il tasso di risparmio
Gli effetti di lungo periodo
Il capitale di stato stazionario k* cresce al
crescere del tasso di risparmio.
Anche la produzione pro capite è positivamente
correlata con il tasso di risparmio e y = f(k*)
cresce con s.
Il modello di Solow predice che paesi con
tassi di risparmio (e investimenti
conseguenti) superiori abbiano (in stato
stazionario) un livello di reddito superiore
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35
Evidenza empirica
Tassi di investimento e reddito pro capite
Reddito pro
capite nel 1992
(scala log)
Canada
DanimarcaGermania
U.S.A
10,000
Finlandia
Messico
Egitto
Giappone
U.K.
Brasile
Pakistan
Costa
D’Avorio
Israele
Italia
Francia
Singapore
Peru
Indonesia
1,000
Zimbabwe
Kenya
India
Chad
100
Uganda
5
Cameroon
10
15
0
20
25
30
35
40
Investimento come percentuale del
prodotto (media 1960–1992)
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36
Il tasso di risparmio
Gli effetti di lungo periodo
Domanda:
Possiamo quindi concludere che il
benessere degli individui è massimo
quando il tasso di risparmio è massimo
(tendente a 1)?
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Capitolo 7: La crescita economica, I
37
Quale tasso di risparmio è desiderabile?
La regola aurea: “golden rule”
Prodotto per
lavoratore, y
f(k)
dk
Per rispondere alla
domanda fissiamo
per esempio un
tasso di risparmio s1
s1f(k)
k
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38
La massimizzazione dei consumi
La golden rule
Prodotto per
lavoratore, y
In stato stazionario gli
investimenti sono pari
all’ammortamento
Il consumo di stato
stazionario è dato dalla
distanza verticale tra f(k)
e dk
f(k)
dk
s1f(k)
k
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39
La massimizzazione dei consumi
La golden rule
Prodotto per
lavoratore, y
Il benessere della
popolazione
dipende dal
consumo
aggregato di beni e
servizi.
f(k)
dk
Il benessere è
massimo quando i
consumi sono
massimi
k
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Capitolo 7: La crescita economica, I
40
La massimizzazione dei consumi
La golden rule
Prodotto per
lavoratore, y
Se il tasso di
risparmio
aumenta a s2
f(k)
dk
s2f(k)
Il consumo di stato
stazionario cresce
k
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Capitolo 7: La crescita economica, I
41
La massimizzazione dei consumi
La golden rule
Ma se il tasso di
risparmio fosse
ancora superiore:
s3
Prodotto per
lavoratore, y
f(k)
dk
s3f(k)
Il consumo di stato
stazionario sarebbe
inferiore
k
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Capitolo 7: La crescita economica, I
42
Il tasso di risparmio
Gli effetti di lungo periodo
Quale tasso di risparmio permette di
raggiungere il livello di capitale pro capite
di stato stazionario che permette di
massimizzare il benessere (consumi)?
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Capitolo 7: La crescita economica, I
43
La massimizzazione dei consumi
La golden rule
Prodotto per
lavoratore, y
f(k)
dk
Partendo con bassi tassi di
risparmio il consumo di
stato stazionario prima
cresce e poi cala
k
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Capitolo 7: La crescita economica, I
44
La massimizzazione dei consumi
La golden rule
Prodotto per
lavoratore, y
f(k)
dk
k
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Capitolo 7: La crescita economica, I
45
La massimizzazione dei consumi
La golden rule
Prodotto per
lavoratore, y
Il tasso di risparmio di
golden rule è
f(k)
dk
sgold
ed è l’unico che
massimizza i consumi di
stato stazionario
sgold f(k)
K
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46
La massimizzazione dei consumi
La golden rule
f(k)
Prodotto per
lavoratore, y
dk
Nello stato stazionario di
golden rule abbiamo un
livello di capitale
k*gold
sgoldf(k)
k
k*gold
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Capitolo 7: La crescita economica, I
47
La massimizzazione dei consumi
La golden rule
f(k)
Prodotto per
lavoratore, y
dk
Graficamente nello stato
stazionario di golden rule
la pendenza della funzione
di produzione è uguale a
quella della retta di
ammortamento:
sgold f(k)
MPK = d
k
k*gold
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Capitolo 7: La crescita economica, I
48
Se il capitale iniziale è troppo elevato: k* > k*gold
Un aumento di c*
è ottenibile con
una riduzione di s.
Il consumo è
superiore a quello
iniziale durante
tutta la transizione
all’equilibrio
y
c
i
Idea: il troppo
capitale installato
viene consumato
t0
Tempo
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Capitolo 7: La crescita economica, I
51
Se il capitale iniziale è troppo basso: k* < k*gold
Un aumento di c* è
ottenibile con un
aumento di s.
Il consumo è
superiore a quello
iniziale nel lungo
periodo (per
definizione di regola
aurea)
Ma nel breve periodo
diminuisce per
permettere
l’accumulazione di
capitale.
y
c
i
t0
Tempo
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Capitolo 7: La crescita economica, I
52
La popolazione nel modello di Solow
La popolazione e la forza lavoro totale crescono a un
tasso esogeno e costante n che rappresenta la
variazione percentuale di L:
DL
n
L
Esempio: Se L = 100 nell’anno 2004 e la popolazione
cresce del 5% all’anno allora n = 0,05 e DL = nL = 0,05
 100 = 5
Quindi nell’anno 2005 avremo L = 105
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Capitolo 7: La crescita economica, I
53
Il capitale pro capite con crescita della popolazione
Se la popolazione cresce, al fine di mantenere k costante,
l’investimento non solo deve rimpiazzare lo stock di
capitale che si logora (ammortamento) ma anche deve
far crescere questo stock di una percentuale pari a
quella con cui aumenta la popolazione.
Quindi:
(d + n)k = livello di investimento
necessario per mantenere k costante
n k tasso di crescita della popolazione x capitale pro capite
d k ammortamento pro capite
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Capitolo 7: La crescita economica, I
54
Lo stato stazionario con crescita della popolazione
Lo stato stazionario è sempre definito dal
fatto che il capitale pro capite non cambia
Quindi in equilibrio di stato stazionario:
Dk = sf(k) – (d + n)k = 0
Ovvero l’investimento è pari alla riduzione del
capitale pro capite:
s f(k) = (d + n)k
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Capitolo 7: La crescita economica, I
55
Graficamente: Solow con crescita della popolazione
f(k)
Prodotto per
lavoratore, y
L’unica differenza è
che in equilibrio la
pendenza della retta
di ammortamento
(cioè l’investimento
necessario per
mantenere invariato
k) dipende anche
dalla crescita della
popolazione
(d + n)k
sf(k)
k*
k
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56
L’aumento del tasso di crescita della popolazione
f(k)
Prodotto per
lavoratore, y
(d + n1)k
Se n aumenta, il
livello di investimento
necessario per
mantenere k
invariato cresce
(d + n0)k
sf(k)
E la produzione pro
capite di equilibrio
è inferiore
k*1
k
k*0
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Capitolo 7: La crescita economica, I
57
La popolazione nel modello di Solow
Più grande è n  più piccolo è k*
Dato che y = f(k),
un minore k*  implica un minore y*
Quanto maggiore è il tasso di crescita della
popolazione tanto minore è, a parità di
investimento, il capitale pro-capite e il
reddito pro capite
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Capitolo 7: La crescita economica, I
58
Analisi di un caso
Crescita della popolazione e reddito pro capite
Reddito pro
capite nel 1992
(scala log)
Germania
U.S.
Danimarca
Canada
10 000
U.K.
Israele
Messico
GiapponeSingapore
Finlandia Francia
Italia
Egitto
Brasile
Pakistan
Peru
Indonesia
1000
Camerun
Costa
D’avorio
Kenya
India
Zimbabwe
Chad
100
0
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Uganda
2
3
4
Crescita della popolazione (percentuale annua)
(media 1960 –1992)
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Capitolo 7: La crescita economica, I
1
59
La massimizzazione dei consumi
La regola aurea con crescita della popolazione
Il consumo è
massimo quando
la produttività
marginale
eguaglia il tasso
di ammortamento
più il tasso di
crescita della
popolazione:
f(k)
Prodotto per
lavoratore, y
(d + n)k
sgoldf(k)
MPK = d + n
k
k*gold
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Capitolo 7: La crescita economica, I
60