UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale
Prof. Francesco Castellani
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SISTEMI A 2 GDL: RISPOSTA ALLE CONDIZIONI INIZIALI
Frequenza naturali – Vettori modali
Funzione di parametri “interni” al sistema
CeΦ
DIPENDONO DA PARAMETRI ESTERNI
Corso di “Meccanica Applicata “ A.A. 2011-2012
Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni)
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SISTEMI A 2 GDL: RISPOSTA ALLE CONDIZIONI INIZIALI
Se le condizioni iniziali sono:
Allora avremo:
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SISTEMI A 2 GDL: RISPOSTA ALLE CONDIZIONI INIZIALI
Da cui si ottiene:
Indicando con U la matrice modale:
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SISTEMI A 2 GDL: RISPOSTA ALLE CONDIZIONI INIZIALI
N.B. Questo tipo di approccio è attuabile fino ai sistemi con 2 GDL
per i sistemi con numero maggiore di GDL non è praticabile questo
tipo di soluzione.
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SISTEMI A 2 GDL: FENOMENO DEI BATTIMENTI
Si ottiene quando collego due sistemi ad 1 GDL identici con una molla di
costante elastica molto bassa.
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SISTEMI A 2 GDL: FENOMENO DEI BATTIMENTI
Le equazioni di moto sono:
In forma matriciale avremo dunque:
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SISTEMI A 2 GDL: FENOMENO DEI BATTIMENTI
Si cerca una soluzione del tipo:
Dall’equazione di moto avremo dunque:
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SISTEMI A 2 GDL: FENOMENO DEI BATTIMENTI
L’equazione caratteristica è dunque:
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SISTEMI A 2 GDL: FENOMENO DEI BATTIMENTI
I modi di vibrare risultano dunque essere:
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SISTEMI A 2 GDL: FENOMENO DEI BATTIMENTI
Si ottengono due moti sfasati di 180°:
Una soluzione qualsiasi si scrive nella forma:
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SISTEMI A 2 GDL: FENOMENO DEI BATTIMENTI
Imponendo le condizioni iniziali:
Si ottiene:
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SISTEMI A 2 GDL: FENOMENO DEI BATTIMENTI
Considerando che k<<mgL/a2:
L’equazione di moto diventa:
dove ωB rappresenta la frequenza dei battimenti.
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SISTEMI A 2 GDL: FENOMENO DEI BATTIMENTI
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SISTEMI A 2 GDL: RISPOSTA AD UNA ECCITAZIONE
ARMONICA
VETTORE COSTANTE
Cerco una soluzione del tipo:
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SISTEMI A 2 GDL: RISPOSTA AD UNA ECCITAZIONE
ARMONICA
Se ottengo soluzioni negative vuol dire che ho una fase di 180°:
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SISTEMI A 2 GDL: RISPOSTA AD UNA ECCITAZIONE
ARMONICA
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SISTEMI A 2 GDL: RISPOSTA AD UNA ECCITAZIONE
ARMONICA
VETTORE COSTANTE
Cerco una soluzione del tipo:
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SISTEMI A 2 GDL SMORZATI: RISPOSTA AD UNA
ECCITAZIONE ARMONICA
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SISTEMI A 2 GDL SMORZATI: RISPOSTA AD UNA
ECCITAZIONE ARMONICA
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SISTEMI A 2 GDL SMORZATI: RISPOSTA AD UNA
ECCITAZIONE ARMONICA
La soluzione è dunque:
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SISTEMI A 2 GDL: RISPOSTA AD UNA ECCITAZIONE
ARMONICA
Se il sistema non è smorzato la matrice impedenza è reale:
Questa soluzione include
la fase: l’inversione di
segno è dovuta allo
sfasamento di 180°
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SISTEMI A 2 GDL: ESEMPIO
RISOLVO IL SISTEMA IPOTIZZANDO
SPOSTAMENTI PER LE DUE MASSE.
PICCOLI
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SISTEMI A 2 GDL: ESEMPIO
Ovviamente considero un’unica compontente del moto.
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SISTEMI A 2 GDL: ESEMPIO
Per piccoli spostamenti avremo:
La forza di gravità introduce dei termini che contribuiscono allo
spostamento ma non alle vibrazioni.
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SISTEMI A 2 GDL: ESEMPIO
Scompongo il moto in contributo statico e contributo
vibrazionale.
EQUILIBRIO STATICO
EQUILIBRIO DINAMICO
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SISTEMI A 2 GDL: ESEMPIO
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SISTEMI A 2 GDL: ESEMPIO
I MODI DI VIBRARE SONO DUNQUE:
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SISTEMI A 2 GDL: ESEMPIO
Considerando il caso particolare in cui F2=0 e ponendo
k=T/L:
Il denominatore è il determinante caratteristico:
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SISTEMI A 2 GDL: ESEMPIO
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SISTEMI A 2 GDL NON SMORZATI: SISTEMA DI
ASSORBIMENTO DELLE VIBRAZIONI
N.B. Sistema impiegato per contenere le vibrazioni quando non è possibile
variare massa e/o rigidezza del sistema principale.
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SISTEMI A 2 GDL NON SMORZATI: SISTEMA DI
ASSORBIMENTO DELLE VIBRAZIONI
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SISTEMI A 2 GDL NON SMORZATI: SISTEMA DI
ASSORBIMENTO DELLE VIBRAZIONI
Nel caso in cui ω=ωa allora:
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ASSORBIMENTO DELLE VIBRAZIONI
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