I Motori Sincroni
Le macchine sincrone sono macchine che funzionano in CA nelle
quali la frequenza della f.e.m. indotta e la velocità angolare del rotore
sono in rapporto costante. Trovano applicazione come:
• Generatori Elettrici (alternatori);
• Motori per applicazioni a giri fissi;
• Attuatori nei sistemi di controllo.
Generalità di Tipo Costruttivo
Sistema induttore: è montato sul rotore ed è caratterizzato dalla
presenza di un campo magnetico statico;
Sistema indotto: è montato sullo statore ed è composto da un sistema
di avvolgimenti polifasi (tipicamente trifase);
Circuito magnetico di accoppiamento: è diviso da un traferro che
divide la parte fissa (statore) dalla parte mobile (rotore).
Distinzione in Base al Tipo di Rotore
Le macchine sincrone possono essere distinte secondo diversi criteri.
Secondo la tipologia di rotore: Poli salienti; Poli lisci; a magneti
permanenti (brushless).
Macchina a Poli Salienti
L’avvolgimento di eccitazione è concentrato attorno alle scarpe polari,
è formato da Ne spire per polo ed è percorso da una corrente continua,
Ie.
L’alimentazione CC può
venire da:
• una sorgente esterna
(dinamo calettata sullo
stesso albero)
• ponte di raddrizzamento
da alimentazione esterna
o di macchina
Rotori a Poli Salienti
lmr
r
a
b
x
isolamento di spira = 0,2 - 0,3 mm prepreg
isolamento verso massa = 5 - 10 mm elettrovetro
L’avvolgimento genera un campo magnetico che è guidato verso il
traferro dalla scarpa polare di rotore. Il campo è fisso rispetto
all’avvolgimento ed è costante nel tempo e vale, nella espressione
stazionaria e dinamica:
m (t )  N i (t )
M N I
e
e e
e
e e
I poli sono disposti in modo tale da avere una alternanza tra poli nord
e sud.
SISTEMAZIONE DELLE BARRE DELLA GABBIA DI
SMORZAMENTO IN CAVE SEMICHIUSE
GIUNTI FLESSIBILI
DI DILATAZIONE
ANELLO DI CORTO
CIRCUITO
BARRA DELLA GABBIA
DI SMORZAMENTO
4
3
2
1
bp
bp1
f.m.m. GENERATA DAI POLI
Il profilo della scarpa polare
viene
opportunamente
sagomato per ottenere un
determinato campo di valori di
induzione come effetto della
diversa riluttanza.
Il campo di As ha un
0 andamento trapezioidale che
cambia segno passando da un
polo all’altro.
hp
Se il traferro fosse di spessore
uniforme,
l’induzione
B
avrebbe lo stesso profilo (salvo
effetti di bordo come nelle
macchine in CC).
(  )  0 cos(  )
Se si considera un asse di
riferimento che passa per la
mezzaria polare, la scarpa è
sagomata lungo la coordinata
polare , per ottenere valori di
riluttanza tale da generare un
campo di induzione dall’andamento
spaziale di tipo sinusoidale, pur in
presenza di una f.m.m. di tipo
trapezioidale.
Ne I e
B(  ) 
(  )
B(  )  B0 cos(  )
Il campo magnetico generato dai poli ha delle linee di flusso che,
uscendo dal polo, attraversano il traferro, si concatenano con gli
avvolgimenti di statore e si richiudono nelle corone di statore e di
rotore.
Rotore a Poli Salienti
(Macchina Anisotropa)
3
2
1
4
5
6
1- traferro;
2- dente di statore;
3- corona di statore;
4- scarpa polare;
5- polo induttore;
6- corona di rotore.

Sviluppo planare del
campo generato da
0 una coppia di poli.
spessore
traferro;
- passo polare;
del
Rotore a Poli
Salienti
(Macchinaa Anisotropa)
Sistema
Multipolare
Poli Salienti
ie
V
ve
Rp
Re
Le
Il circuito di eccitazione è
composto da un numero di
bobine pari al numero di poli;
Sono connesse in serie ed il
verso di percorrenza della Ie è
tale da generare poli nord/sud
alternati.
Il flusso che esce dal polo si
divide a metà e si chiude sui
due poli di segno opposto.
Il circuito di eccitazione può
essere schematizzato come in
figura. Un sistema di spazzole
lo collega al circuito esterno.
Il Circuito Elettrico di Eccitazione
Come nella CC, la configurazione sintetica prevede che con il reostato
si regoli il livello di tensione ve(t) che alimenta la eccitazione in modo
da far circolare la ie(t) che genera il campo elettrico. La equazione
dinamica della eccitazione si scrive come il solito:
die ( t )
ve ( t )  ( R p  Re )ie ( t )  Le
dt
Ve  ( R p  Re )I e
A regime si ha:
Dalla legge della circuitazione magnetica sappiamo che una corrente
ie(t) che percorre un avvolgimento di Ne spire genera un campo
magnetico il cui valore max è pari a:
h( t )  N eie ( t ) / L
Avente un
flusso totale:
H  Ne Ie / L
( t , )  N eie ( t ) / (  )   N e I e / 
Rotori a Poli Lisci
L’andamento del campo di induzione di forma cosinusoidale può
essere ottenuto passando da avvolgimenti concentrati a quelli
distribuiti sempre di tipo aperto, con ne conduttori per cava e qe cave
per polo.
p
a)
p
b)
Anche questo avvolgimento è percorso dalla Ie generata da un sistema
di alimentazione identico a quello descritto in precedenza.
Le macchine a poli lisci vengono realizzate per macchine veloci (al
massimo 2 coppie polari). L’avvolgimento di eccitazione è di tipo
distribuito, aperto, con ne conduttori per cava e qe cave per polo. La Ie
è ancora in CC (ie(t) nel transitorio di manovra della eccitazione).
Vantaggi:
• struttura compatta e meccanicamente resistente;
• elevato numero di giri;
• riluttanza al traferro (quasi) costante.
Al traferro viene generata
una f.m.m a gradini, fissa
rispetto all’avvolgimento, il
cui valore max. è:
ne qe
ne qe
Me 
I e me ( t ) 
ie ( t )
2
2
Il traferro ha una ampiezza costante e,
nella ipotesi di trascurare l’influenza
delle aperture di cava, la riluttanza
associata è costante lungo la coordinata
angolare, .
Ne segue che l’andamento della f.m.m corrisponde un analogo
andamento della componente radiale della induzione magnetica B.
Dalla scomposizione in serie di Fourier del diagramma a gradini,
lungo la coordinata , si ricava una f.m.m ed una induzione di tipo
sinusoidale più una serie di armoniche.
Il periodo della fondamentale è legato al numero di cave con
conduttori percorsi dalla corrente di eccitazione con segno concorde.
In generale, l’espressione dello sviluppo in serie viene espresso da:

4 ne qe
M e(  )  
I e kei sin(  i )
2
i  1 i
Kei: coeff. Di avvolgimento di eccitazione relativo alla i-ma armonica.
La fondamentale viene descritta dalla relazione di sopra per i=1:
2 ne qe
4 ne qe
I e k e1
M e1 (  ) 
I e ke1 sin(  ) M e1MAX 

 2
La scelta di qe determina lo sviluppo in serie. La f.m.m e l’induzione
devono essere il più possibili sinusoidali. Il contributo delle armoniche
deve essere ridotto al minimo.
Si ottiene ciò controllando la distribuzione delle qe nel semipasso
polare. Se così è, il max. dei gradini e della fondamentale risultano
molto simili.
Rotori a Magneti Permanenti (Brushless)
Molto utilizzati negli azionamenti.
Sul rotore vengono incollati magneti permanenti ad elevata efficienza.
Vantaggi: si elimina il sistema di eccitazione ed i contatti striscianti
che sono fonti di perdite.
Svantaggi: smagnetizzazione
Motore CC a magneti
permanenti
Motore Brushless
Sono di due tipi:
• (a) sinusoidale (equivalente ai poli lisci)
• (b) trapezio (equivalente ai poli salienti)
Statori di Macchine in AC
Gli statori sono costruiti nella stessa maniera (sincroni ed asincroni).
Sono composti da lamierini di materiale ferromagnetico sovrapposti
per formare un pacco dallo spessore voluto, dotato di canali di
raffreddamento, solidali con la carcassa di sostegno.
Gli avvolgimenti di statore vengono allocati nelle cave. Queste hanno
forme diverse a seconda della potenza della macchina e del tipo di
avvolgimento che si intende utilizzare.
Passo polare
Passo di cava
D
p 
2p
D
c 
Z
D: diametro
di alesatura;
D: diametro
di alesatura;
2p: numero
di poli
Z: numero
di cave
All’interno di ogni cava vengono collocati un numero nc di conduttori
raccolti in bobine.
Nella cava possono trovare posto una (singolo strato) o due bobine
(doppio strato)
Le bobine possono essere composte
da conduttori formati o disposti a
caso.
La sezione dei conduttori è calcolata in base alla corrente nominale ed
alla scelta della densità di corrente (legata alla potenza nominale ed al
tipo di raffreddamento).
Il Sistema di Isolamento
E’ diversificato in funzione della potenza, della tensione nominale e
della classe di temperatura.
Isolamento di spira: smalto adeguato alla classe di isolamento di
macchina (Polivinilacetaliche: TI.130°; Poliuretaniche: TI.155°;
Poliesterimidiche: TI.180°; Poliesteri-amidiche-imidiche: TI.200°;
Resine amidiche-imidiche:
TI.240°; Lo spessore dell’isolamento
è di circa s=0.075 mm. Nelle specifiche compare il bispessore.
Isolamento contro massa
• Basse tensione (<1 kV). fogli di
poliesteri, carta plastificata, Mylar
in un unico strato.
•Media tensione (14 kV) 1 o +
nastrature di nastro in fibra di
vetro o micato con impregnazione
in resina epossidica
Isolamento contro massa
• Media tensione (35 kV): 1 o + nastrature di nastro micato con
ricopertura di nastro in fibra di vetro e mylar;
• Media tensione (46 kV): gradature contro massa con vernice
caricata con polvere di carbone per garantire il contatto tra sup.
esterna dell’isolamento e la superficie della cava.
• Alta tensione (57 kV): gradatura di campo di fine avvolgimento
con vernice semicon (SiC) o nastro in poliestere caricato con (SiC)
bc
h3
h2
b1
his
hc
hi3
h1
hi1
h1
h
Lo statore completo di avvolgimenti viene inserito in autoclave per la
impregnazione (tecnica VPI: creazione del vuoto per la estrazione
dell’aria, inserimento della resina a pressione elevata, incremento della
pressione e riscaldamento dell’autoclave per favorire la
polimerizzazione).
Metodo di impregnazione per capillarità: collocamento dello statore in
vasca con epossidica e conseguente infiltrazione.
Materiali “Resin Rich Pre-Preg”. Il sistema isolante è predisposto con
la resina di impregnazione. Viene steso, pressato e riscaldato.
Avvolgimenti in AC
Avvolgimento: insieme di bobine opportunamente collegate in serie o
in parallelo per realizzare le polarità previste. E’ di tipo aperto (I e F).
Un avvolgimento polifase (m>1) si dice simmetrico se le f.e.m. sono
uguali in modulo e sfasate tra loro di 2/m (120° se m=3).
I trifasi (m=3) sono i più comuni. Sono costituiti da 3 avvolgimenti
tutti uguali che possono essere opportunamente connessi (stellatriangolo).
I dati caratteristici dell’avvolgimento sono:
• Z: numero di cave dell’avvolgimento;
• 2p: numero di poli (p: numero di coppie polari);
• nc: numero di conduttori per cava;
• Q: numero di cave per polo: Q=Z/2p
• q: numero di cave per polo e per fase: q=Z/2pm=Q/m
Si ricavano le seguenti relazioni:
• Z=2pmq
• Q=mq
n°di cave/polo
• N=2pqnc n°conduttori/fase
• Ns=N/2
n°spire
• Nb=pq
n°bobine/fase
• il passo polare vale:
p 
D i
2p
• le espansioni polari occupano i
2/3 di p
• l’angolo elettrico sotteso da
una espansione polare è in rapporto  =  p
con l’apertura angolare meccanica

Esempio di avvolgimento: singolo strato q=4
Solo le parti attive dei conduttori sono rilevanti ai fini
elettromagnetici


Verso positivo
Verso
negativo
I
F
Esempio di avvolgimento: a doppio strato q=4
I conduttori delle bobine nella stessa cava danno lo stesso
contributi e possono essere considerati come una unica bobina


Verso negativo
Verso positivo
P1
F1
• Gli avvolgimenti aperti possono essere embricati (a) od
ondulati (b):
 gli avvolgimenti embricati hanno maggiore flessibilità di
impiego (Passo intero, raccorciato, frazionario per idraulici
con elevato n°di poli dove l’influenza delle cave produce armoniche di
dentatura);
 gli avvolgimenti ondulati sono solo a passo intero. Vengono
usati nei rotori avvolti dei motori asincroni perché non
hanno bisogno di connessioni fra le matasse.
a)
b)
• Per ciascun strato si possono avere un solo conduttore o più
conduttori in serie.
• I conduttori attivi possono essere collegati fra loro con
collegamenti frontali di tipo concentrico o di tipo embricato.
• I collegamenti frontali di tipo concentrico, ormai praticamente
abbandonati, consentono di ottenere solamente avvolgimenti a
semplice strato, inoltre ciascuna matassa è costituita da zone
tutte diverse fra loro. Se monofasi hanno collegamenti su un
solo ordine, se trifasi, per evitare interferenze hanno
collegamenti su due o tre ordini.
• I collegamenti frontali di tipo embricato consentono di
ottenere avvolgimenti a semplice o a doppio strato, sono
costituiti da zone di due soli tipi con collegamenti appartenenti
a due ordini di solito, per gli avvolgimenti di statore, disposti
su due superfici coniche di diversa conicità.
Procedure per il Tracciamento di un Avvolgimento
1) Dato il diametro di
alesatura D, lo divido in
tanti settori quanti sono i
poli
(esempio:
2p=4,
Z=48). Calcolo il numero
di cave sotto ogni singolo
polo Q=Z/2p=48/4=12.
2) Sotto ogni polo,
dividiamo ciascun settore
in
parti
uguali
corrispondenti al numero
delle fasi (se m=3,
q=Z/2pm=Q/m
allora
q=12/3=4 numero di cave
per polo e per fase.
3) si destinano le prime q=4 cave a raccogliere i conduttori relativi
alla prima fase. Il ritorno di questi conduttori sarà collocato dopo Q
cave per realizzare il polo di segno opposto.
Si avvolgono tra la i-ma e la i+Q cava le nc spire previste dal
progetto. La bobina raccoglie le nc spire. La disposizione di q=4
matasse conclude la disposizione di un singolo polo/fase.
4) Si ripete la disposizione tante volte quanto è il n° di poli previsti.
Ciò conclude la disposizione della prima fase.
Lati attivi
Testate
5) si ripete la procedura per le altre fasi 2,3 ….m
Questo è da considerarsi come uno schema base da cui possono
evolvere diverse varianti per risolvere diversi problemi, in
particolare, la soppressione di armoniche di campo.
AVVOLGIMENTO APERTO, TRIFASE, A TESTE
EMBRICATE, SINGOLO STRATO, PASSO INTERO,
Z=24, 2P=2, Q = 12, q = 4

=D/2=> =180°/12=15°
/3=>60°
Ogni fase contribuisce con 4 cave ( q=4). Per posizionare il
ritorno devo calcolarmi il passo di avvolgimento
y=Z/2p (q=Z/2pm) => y=mq=12
ed il ritorno è quindi posizionato 12 cave dopo. Il polo è
determinato dal verso delle tre correnti di fase nelle 12 cave
adiacenti (Q=12)
AVVOLGIMENTO APERTO, TRIFASE, A TESTE
EMBRICATE, DOPPIO STRATO, PASSO INTERO,
Z=24, 2p=4, Q = 6, q = 2 .





y=Z/2p=6; =180 2p/Z=30°
Ogni fase contribuisce con 2 cave.Il ritorno della 1 è sulla cava
7 . Prima di tracciare lo schema dobbiamo precisare che le
connessioni possono generare un procedere in modo
• progressivo (senso orario) o
• regressivo (antiorario)
TIPO PROGRESSSIVO (Z=24, Q = 6, q = 2, 2p = 4)
N
P
S
N
S
F
• L’avvolgimento progressivo è adatto per avvolgimenti a singolo
strato. Si notino le dissimmetrie di bobina e gli incroci dei
collegamenti
TIPO REGRESSIVO (Z=24, Q = 6, q = 2, 2p = 4)
N
P
S
N
S
F
• anche l’avvolgimento regressivo puro presenta dei problemi nelle
simmetrie delle forme e nei collegamenti di bobine
TIPO PROGRESSIVO/REGRESSIVO (Z=24, Q = 6, q = 2, 2p = 4)
N
S
N
S
P
F
• Si noti come si siano ottenute le migliori simmetrie
TIPO PROGRESSIVO/REGRESSIVO (Z=24, Q = 6, q = 2, 2p = 4)
N
R W S
S
N
T
S
U
V
Il Passo Raccorciato
La presenza di armoniche produce degli effetti paragonabili a quelli
dovuti alla presenza di una successione di corone polari che si
infittiscono e decrescono in ampiezza al crescere dell’ordine
dell’armonica.
Per eliminarle è sufficiente creare dei controcampi in fase con quelli
che si vogliono elidere.
 Fondamentale
 5a armonica
Passo raccorciato; y = 4/5 p
Passo intero; y = 1
Passo allungato; y = 6/5 p
Si raccorcia il passo perché si ottengono bobine più corte in testata
(meno rame= minori costi, perdite, ingombri e reattanze di
dispersione).
Si deve mantenere la simmetria della configurazione che consente di
realizzare l’avvolgimento con bobine tutte uguali (minori costi di
produzione).
Esempio: Raccorciamento di una cava.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 12
13
14 15
16
17
18
19
20
21
22
23 24
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 12
13
14 15
16
17
18
19
20
21
22
23 24
1 cava
2
3
4
1
2
3
5
4
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
11 12
10
13
11 12
14 15
13
16
14 15
17
18
19
20
21
22
23 24
16
17
18
19
20
21
22
1
23 24
Per eliminare la -ma armonica il passo raccorciato si calcola con la:
 1
r 


Il raccorciamento di passo è particolarmente agevole per avvolgimenti
a teste embricate a doppio strato.
Il raccorciamento porta nella stessa cava bobine di fasi diverse. Devo
aumentare le specifiche per il progetto dell’isolamento.
Esempio:
motore con m=3, Z=90, 2p=6.
Q=90/6=15 cave per polo
q=15/3=5 cave polo/fase
con il passo intero, collego cava 1 con la 16; 2 con la 17, etc.
Se raccorcio per eliminare la 5° o la 7° armonica:
5 1
r 5 
15  12
5
7 1
 r7 
15  13
7
con il racc.per la 5° collego cava 1 con la 13; 2 con la 14, etc.
TIPO PROGRESSIVO/REGRESSIVO (Z=24, Q = 6, q = 2, 2p = 4)
raccorciamento di 1 cava, passo r=5
N
S
P
N
S
F
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
13 14 15
10 11 12
13 14
16
17 18 19
20
15
16 17 18 19
21 22
23 24
20 21 22
1
23 24
SCHEMA DI AVVOLGIMENTO APERTO, TRIFASE, A TESTE
EMBRICATE, REGRESSIVO, DOPPIO STRATO, PASSO
RACCORCIATO r=1,
p = 6, y = 5, q = 2, 2p = 4.
N
R W S
S
N
T
S
U
V
Le f.e.m. Indotte
Abbiamo visto che il campo di induzione al traferro può essere
rappresentato da una serie trigonometrica di funzioni spaziali. Di
queste considero la fondamentale (B()=B0sin()).
Sviluppo nel piano una macchina a 4 poli. Il rotore si muove verso dx
con velocità v pari ad una pulsazione m costanti.
Con riferimento ad una singola fase, considero un conduttore di statore
(A) dove colloco un osservatore.
Se il sistema induttore presenta p coppie di poli, (A) vedrà passare p
onde di induzione per ogni giro del rotore.
Se n è il numero di giri compiuti dal rotore in un minuto, la frequenza
dell’onda di induzione sarà
Se si vuole che f sia la frequenza delle grandezze elettriche indotte, il
n° di giri del motore è
pn
60 f
f=50Hz e p=1 =>n=3000 g/min
f 
n
60
p
f=50Hz e p=2 =>n=1500 g/min
p
p
p
p
S
N
A
S
B
0
v
N
e
m
Se la frequenza è f, la pulsazione delle grandezze elettriche è e  2f
mentre la pulsazione meccanica vale
2 n
tenendo conto della relazione tra f ed n m  60 ( 2 )n ( 2 ) f

la pul.elettrica e quella meccanica sono
p
e 60
m 
in proporzione tramite il n°di poli
p
Conseguentemente l’angolo elettrico e quello meccanico sono nella
e
stessa proporzione
m 
p
Assegnata la frequenza, f, per le grandezze indotte sullo statore, il
numero di poli viene scelto in base alla velocità richiesta.
L’andamento dell’induzione vista da (A) può essere espressa in
funzione della posizione angolare del rotore e sarà:
e
BA (  e )  BM sin(  e )  BM sin( p m )
 m  m t 
t
p
e
BA ( t )  BM sin( p m )  BM sin( p t )  BM sin( et )
p
Il flusso totale generato da un singolo polo può essere ora calcolato
con riferimento alla superficie coperta da un singolo polo che è Sp=lp.
Con riferimento alla figura sviluppata su un piano

p
0
p
p
x
x x
l BM sin( )dx  lBM  sin( )d
0
p

p
p
p

p
x 
  lBM  cos( )  lBM  cos(  )  cos( 0 )

 p 


0

2 p
BM 

lBM
2 l

p
Queste relazioni ci mostrano le relazioni tra il flusso sotto un singolo
polo e l’indizione massima che lo determina.
Ora noi sappiamo che le f.e.m. indotte sono legate al flusso
concatenato, . Con riferimento ad (A), sappiamo che:
d( t )
d( t ) d m
d(  )
e( t )  


m ( t )
dt
d m dt
d m
da sopra sappiamo che (  e )  m (  e )   M cos(  e )
ne viene che
e( t )  m ( t ) M sin(  e ( t ))
In condizioni di stazionarietà m=>costante
e( t )  m M sin( et )
Mentre un polo induttore si sposta di un passo polare p, l’osservatore
(A) viene investito da tutte le linee di forza corrispondenti al flusso
totale uscente/entrante dal polo. In (A) si induce una f.e.m. il cui valore
medio Em è determinato dal rapporto: Em=/tp essendo tp il tempo in
cui si compie lo spostamento angolare di un passo polare p.
Osservazione: il flusso totale corrisponde al flusso medio che si ottiene
considerando l’andamento istantaneo del flusso concatenato con (A).
Il tempo tp corrisponde a metà del periodo elettrico (Te/2), allora:
 2
Em  
 2f
T
T
2
E  k f f  K f f

EM  2( )f  2k f f
2

 kf
2
Se consideriamo la relazione con il
valore massimo e poi con il valore
efficace otteniamo le relazioni accanto.
Kf è detto fattore di forma e tiene conto della relazione esistente tra
valori medi ed efficaci.
Ora se (A) è una cava con nc conduttori raccolti in una bobina, il valore
efficace della f.e.m. diventa:
e( t )  EM sin( et )  K f nc fsin( et )
E  nc K f f
Se ho q cave polo/fase ed ogni cava contiene nc conduttori, queste sono
distanziate tra loro per un passo di cava c.
p
p
p
p
Si
concatenano
con
flussi
diversi.
A
S
B
0
v
N
S
e
m
N
Le f.e.m. indotte nei conduttori collocati nelle diverse cave non sono
più in fase tra di loro ma risultano sfasati di un angolo elettrico pari a:
 ec  p c
Se passiamo ai fasori, vediamo che essi sono rappresentati da vettori
della stessa ampiezza ma egualmente sfasati. Dato che siamo sotto lo
stesso polo e la stessa fase, le bobine sono collegate in serie.

La f.e.m. risultante è data dalla
somma geometrica dei fasori. Se
moltiplico la espressione della
f.e.m. indotta in una singola cava,
E, per le q cave, non ottengo la
Im
f.e.m. risultante. Devo correggere il
valore risultante con il coefficiente
E

di avvolgimento o di distribuzione,
E
ka, che tiene conto dello sfasamento
E
delle cave.
c
A
c
B
C
ec
E  K f K a qnc f
ED
Re
Sia Np=qnc il numero di conduttori per polo e per fase, la f.e.m.
effettiva, E, sarà minore rispetto alla somma delle f.e.m. indotte nelle
singole cave. Da questa constatazione si parte per calcolare ka. Sia EA
la f.e.m. indotta su una singola cava EA  K f nc f
Gli sfasamenti meccanico ed elettrico tra due cave adiacenti sono
2
c 
z
2
 ec  p
z
rispettivamente.
R
R
R
Sotto un polo, per una singola fase,
vengono indotte q f.e.m. sfasate tra di
loro dell’angolo elettrico sopra
riportato, identico per tutte le cave.
Considero la stella dei q fasori
rappresentativi delle f.e.m. indotte.
Considero il cerchio di centro O e
raggio R passante per i vertici dei
fasori.
Si mettono in relazione i triangoli AEO ed
ABO osservando che sono isosceli con il
lati uguali pari ad R.
R
Osservo che AH è metà della f.e.m. di una
singola cava mentre AH è metà della f.e.m.
delle q cave.
R
Con riferimento al triangolo AHO posso
scrivere:
R
EA
1
R
 ec
2
sin(
)
2
Con riferimento al triangolo AKO, avente angolo al centro pari a q e / 2
posso scrivere:
Eguagliando le relazioni in R, si ottiene:
c
R
E
2
1
sin( q
 ec
2
)
E
R
2
1
sin( q
 ec
2
)
EA

2
sin(
1
 ec
2
)
E  EA
sin( q
sin(
 ec
)
2
 ec
2
Se i q vettori fossero stati tutti in fase tra
loro, allora E=qEA. Ora si riprende la
definizione di fattore di avvolgimento:
)
E
1
Ka 

qE A qE A
E A sin( q
sin(
 ec
 ec
2
2
)

)
sin( q
q  sin(
 ec
2
 ec
2
Esempio: Z=72; m=3; 2p=4 => Q=Z/2p=72/4=18, q=Q/m=18/3=6.
2  360
c 

 5
Z
72
 ec  p m  p
 ec
2
360
2
 10
Z
72
10
sin( q
) sin( 6 )
2 
2  0.956
Ka 
 ec
10
q  sin(
) 6  sin( )
2
2
)
)
Se siamo in presenza di un sistema a p coppie polari, tenendo conto
che N è il numero di conduttori per fase (N=pqnc)
E  Ka K f pqnc f  Ka K f Nf  Ke f
Se siamo in un sistema trifase e ripetiamo le stesse considerazioni fatte
per un osservatore posto in (A), per altri due osservatori posti in (B) e
(C) distanziati di 120° elettrici uno dall’altro ((120/p)° meccanici),
tenendo conto del numero di conduttori per fase, del fattore di forma e
di avvolgimento, ottengo un sistema trifase del tipo:
eA ( t )  EM sin( et )
2
eB ( t )  EM sin( et   )
3
4
eC ( t )  EM sin( et   )
3
EM  K a 2 k f Nf
Il Punto di Lavoro
La f.e.m. indotta dipende dal flusso totale. Questi viene determinato
dal valore di induzione massima che si desidera avere in
corrispondenza al valore minimo del traferro. Variando la corrente di
eccitazione è possibile fissare il punto di lavoro sulla caratteristica di
magnetizzazione e stabilire il
P
valore di B0 con cui la macchina
lavora (induzione al traferro minimo).
Stabilito il valore di B0, si
determina il flusso totale per polo e
quindi il valore delle f.e.m. indotte
a giri fissi (caratteristica a vuoto
della macchina).
E0  K e Nf
Il sistema di eccitazione può essere dotato di un sistema di regolazione
per la diseccitazione rapida in caso di mancanza di carico.
Il Funzionamento a Carico
I1
I2
I3
M


m
Se chiudiamo gli interruttori ed
applichiamo una tensione trifase ai
morsetti di macchina, questa
assorbe la corrente necessaria a
farla funzionare.
La corrente, percorrendo gli avvolgimenti di statore, crea un campo
magnetico che si compone con il campo principale dando origine alla
coppia motrice.
Per comprendere come avviene l’interazione tra questi due campi è
necessario prima studiare attentamente quest’ultimo, poi studiarne la
loro composizione.
Il campo generato dalle correnti di armatura è il “campo magnetico
rotante”.
La sua descrizione è valida sia per le macchine sincrone che per le
asincrone. Si da una dimostrazione semplificata ma esaustiva.
Ipotesi sul Campo di Reazione al Traferro
Le ipotesi di campo sono valide per macchine sincrone a rotore liscio,
per brushless sinusoidali, per macchine asincrone. Risultano
approssimate per sincrone a poli salienti e brushless trapezi.
1) permeabilità magnetica del ferro infinita
(f= => Hf=0).
2) distribuzione del campo magnetico identica
in tutti i piani perpendicolari all’asse di
macchina (si trascurano gli effetti di bordo
nelle testate).
3) andamento radiale delle linee di flusso al
traferro (le componenti tangenziali del campo
devono essere nulle).
L’ip.3) ci dice che le linee del campo devono essere ortogonali alle
superfici di statore e rotore ( piccolo). Le aperture delle cave
perturbano questo andamento. L’ip.3)
è accettabile a meno
dell’influenza delle cave (si trascurano in questa trattazione).
Il Campo Rotante
Si consideri una serie di nc conduttori per cava che stanno sotto ciascun
polo e si suppone che siano attraversati dalla corrente i=i(t).
nc
nc i
2
 H  dl  n i
c

nc i
2
4 poli
 :  p  e : x
e
x
p
x
e 
p
Le ip. di linearità mi consentono
di applicare il principio di
sovrapposizione degli effetti.
Al traferro, H sarà costante
perché non è sede di correnti. Il
campo H diventa funzione
lineare della variabile x, distanza
valutata lungo la periferia del
traferro.
Se  è il semi periodo elettrico
che corrisponde al passo polare
p, l’arco di perimetro, x, sotteso
dall’angolo elettrico e vale:
Si considerano alcune curve chiuse su cui appoggiarsi per calcolare la
circuitazione e valutare le Asp e quindi il campo H al traferro.
Considero un riferimento posizionato in A.
Considero come verso positivo di campo quello diretto dal rotore allo
statore (senso orario di verso di percorrenza).
Circ.A-B:
n
A e B sono presi in modo
arbitrario
sotto
un
polo.
Ricordando che Hf=0,
HA- HB=0 =>
HA=HB
Se si ripete il calcolo variando sia A che B, sempre rimanendo sotto il
polo, si ottiene lo stesso risultato: la costanza del campo sotto il polo.
Circ.A-C:
HA- HC=nci
=>
HA-HC= nci/ 
nci genera il campo concatenato con il circuito c (A-C)
c
nc
Circ.A-D:
HA- HD=nci- nci =0
=>
HA=HB=HD
i contributo di Asp dati dalle cave
comprese nella circuitazione si
elidono a vicenda.
Circ.A-E:
HA- HE=nci- nci+ nci = nci
=>
HA-HE= nci/  => HC=HE
Il campo magnetico assume, a poli alterni, lo stesso valore mentre,
passando da un polo all’altro adiacente, subisce una discontinuità
espressa in modulo dalla relazione: nci/ 
Segno:
Si consideri un cilindro coassiale con il rotore con superficie laterale S
compresa nel traferro. Il vettore induzione B è solenoidale quindi il
flussi entrante/uscente dal cilindro è nullo. Nella ipotesi di aver
trascurato gli effetti di bordo (campo nullo nelle testate), posso
scrivere:
BAl p  BE l p  BC l p  BD l p  0
p
l
Al traferro:
 0 H A l  p   0 H E l  p   0 H C l  p   0 H D l p  0
Sapendo che: HA=HD ed HC=HE
20 H Al p  20 H C l p  0
=> HA=-HC ora essendo che
HA-HC= nci/ 
nc
nc i
HA 
2
nci
HC  
2
L’andamento di H(x) è di tipo
rettangolare con valor medio
nullo e periodo di periodo 2p
ni

2
(in uno sviluppo planare).
Si trascurano le perturbazioni delle cave (linee che non si concatenano
con il rotore in corrispondenza ad x=c, x=2c ,…. x=kc).
nc i
2
c
Essendo H(x) rettangolare e periodica, posso svilupparla in seri di
Fourier:
nc i
2

nc i
2
4
4 1
4 1
H (  e )  Hsin (  e )  H sin( 3 e )  ......  H sin( n e )

 3
 n
Se ci limitiamo all’analisi della fondamentale:
H (  e )  H M 1 sin(  e )
H M1
4 nc i 2 nc i


 2  
x
e 
p
x
H ( x )  H M 1 sin( )
p
2 nci
x
H 1( x ) 
sin( )
 
p
Caso di q cave polo/fase
In presenza di q cave per polo e per fase sfasate tra loro del passo di
cava, c, otteniamo una serie di q profili rettangolari sfasati tra loro
del passo di cava, ognuno dei quali può essere sviluppato in serie.
Le fondamentali sono identiche
ma risultano sfasate tra loro
dell’angolo elettrico, c, che
sottende il passo di cava, c.
Il profilo delle Asp al traferro,
sviluppato su un piano, è a
gradini, con un andamento
periodico a valor medio nullo.
Il
profilo
dato
dalla
composizione
delle
fondamentali sfasate è ancora
una funzione trigonometrica
Il diverso sfasamento fa si che la somma algebrica delle onde
differisca da quella geometrica (come nel caso delle f.e.m.).
Introduciamo di nuovo il coefficiente di avvolgimento, Ka.
x
2 nci
x
H 1( x )  H M 1 sin( )
H 1( x ) 
K a qsin(
)
p
 

p
L’espressione della f.m.m. diventa:
Ora ci ricordiamo della corrente
che attraversa i conduttori ha una
legge di variazione temporale in
stato stazionario:
1
H M 1  K f K a qnc i

Si opera una traslazione di
assi di riferimento per
portarli in corrispondenza del
valore massimo.
1
x
H 1 ( x )  K f K a qnci  cos(
)

p
i( t )  I M cos( et )  2 I cos( et )
L’espressione della f.m.m. diventa una funzione dipendente dal tempo
t e dallo spazio x:
1
x
H 1 ( x )  K f K a qnc 2 I cos( et )  cos(
)

p
12 2
x
HM 
K a qnc I
H 1( x )  H M cos( et )  cos(
)
 
p
Se applichiamo il teorema di Prostaferesi otteniamo:
1
x
1
x
H 1( x ,t )  H M cos( et 
)  H M cos( et 
)
2
p
2
p
1
x
x
H 1( x ,t )  H M [cos e ( t 
)  cos e ( t 
)]
2
e  p
e  p
Se vc è la velocità periferica di questo campo di f.m.m. ed e è la
pulsazione elettrica, possiamo ipotizzare che nel medesimo tempo t*
in cui un singolo polo investe un conduttore si ha una variazione di 
della grandezza elettrica. Quindi:
p
 p e

*
*
t 
ma t 
 vc 
vc
e

La velocità angolare del campo, c, si ottiene dividendo vc per il
raggio di alesatura, R.
vc  p e
2R
2R e e
c  
ma  p 
 c 

 m
R
R
2p
2 p R p
Importante: nello stato stazionario, il campo di f.m.m e quindi il
campo magnetico ha la stessa velocità angolare del rotore. In
60 f
particolare,
e 2nm 2f
nc  nm 
c  m 


p
p
60
p
Vediamo di approfondire il significato della equazione del campo.
1
x
x
H 1 ( x ,t )  H M [cos e ( t  )  cos e ( t  )]
2
vc
vc
La fondamentale di una fase può essere scomposta in due
componenti che pulsano nel tempo con la stessa frequenza e che si
muovono nello spazio con la stessa velocità e versi opposti (onda
progressiva concorde con la direzione di x ed onda regressiva.
Sistema Trifase Equilibrato
L’onda di un campo magnetico stazionario generato al traferro da una
corrente di fase sinusoidale è equivalente a due campi controrotanti di
eguale ampiezza (1/2 HM) ed uguale velocità in modulo.
Se si ripetono le stesse considerazioni per gli altri avvolgimenti
sfasati di 120° e 240°, rispettivamente, abbiamo, per le fondamentali:

x
 H A ( x ,t )  H M cos( et )  cos( )
p


2
x 2
 H B ( x ,t )  H M cos( et  )  cos(  )
3
p 3


4
x 4 
 H C ( x ,t )  H M cos( et  )  cos(  )
3
p 3

Applichiamo di nuovo Prostaferesi.

1
x
x
H
(
x
,
t
)

H
[cos(

t

)

cos(

t

)]
 A
M
e
e
2
p
p


1
2 x 2
2 x 2
H
(
x
,
t
)

H
[cos(

t



)

cos(

t

  )]
 B
M
e
e
2
3 p 3
3 p 3


1
4  x 4 
4  x 4 
 H C ( x ,t )  H M [cos( et    )  cos( et    )]
2
3 p 3
3 p 3

Per l’ipotesi di linearità, in ogni punto x del traferro e per ogni
istante, i singoli campi si sommano in un campo risultante:
3
x

H
(
x
,
t
)

H
[cos(

t

)] 
M
e

2
p


 1 H [cos(  t  x )  cos(  t  x  4  )  cos(  t  x  8  )]
e
e
e
 2 M
p
p 3
p 3
Il secondo termine da la somma di tre vettori uguali in modulo e
sfasati di 120° uno dall’altro che è uguale a zero. Il campo magnetico
viene descritto dalla relazione al primo termine.
L’equazione:
3
x
3
x
H ( x ,t )  H M [cos( et 
)]  H M [cos e ( t  )]
2
p
2
vc
12 2
Descrive il campo magnetico rotante
HM 
K a qnc I
 
nello spazio con pulsazione  = ,
c
m
sincrono con il campo di rotore, in
condizioni di stazionarietà, che pulsa
nel tempo seguendo l’andamento delle
correnti che lo generano.
Si conclude che in un sistema
equilibrato di correnti, la somma delle
componenti inverse del campo da esse
generato si annullano mentre quelle
dirette danno origine ad un unico
campo rotante.
Campo visto da un osservatore fisso con lo statore
Si consideri un osservatore solidale con lo statore in un punto A. A
vede passare il campo con un andamento sinusoidale nel tempo.
3
xA
Infatti, se x=xA costante,
H ( x A ,t )  H M [cos e ( t  )]
2
vc
A vede solo alzare ed abbassare il livello del campo (analogia del
bagnante). Il periodo della oscillazione osservata è:
T
B
2 p
vc
vc
c 
p
Campo visto da un osservatore fisso con il campo
L’osservatore B posto sul campo si muove con velocità vm=vc. B vede
un campo statico (analogia con la barca che cavalca l’onda).
Composizione dei Campi di Induzione e di Reazione
Un sistema di avvolgimenti a due poli, attraversato da un sistema
equilibrato di correnti trifasi, origina un campo magnetico rotante che
ha la stessa pulsazione di rete. In condizioni di stazionarietà, ha anche
la stessa pulsazione di rotore.
Se il sistema di avvolgimenti, con p coppie polari, è attraversato da un
un sistema equilibrato di correnti trifasi, si generano p campi rotanti
che hanno una pulsazione c= e/p.
In condizioni di stazionarietà, c = m in ambo i casi.
Si consideri ora un sistema a due poli. Le considerazioni svolte
possono essere estese ad un sistema multipolare ripetendole per ogni
coppia polare.
Per comprendere come i due campi interagiscono si può pensare di
simulare il campo rotante con delle espansioni polari fittizie che si
contrappongono al sistema polare induttore
N
Stabile
S
N
S
S
N
N
S
N
Senso del moto
S
N
S
N
S
Instabile
S
N
S
Senso del moto
N
In condizioni di stazionarietà, i due campi ruotano nello stesso verso
ed in perfetto sincronismo, conservando invariata la loro posizione
reciproca durante la rotazione.
Il campo generato dalle correnti di fase altera la distribuzione del
flusso magnetico a vuoto con modalità che dipendono dalla natura del
carico (fenomeni di reazione di indotto).
Il metodo generale di studio prevede la composizione delle f.m.m.
punto per punto al traferro (la composizione dei flussi è alterata dalla
saturazione).
Il metodo scelto si basa sulla composizione dei campi sinusoidali
(rotore liscio e condizioni di stazionarietà. Si studiano 3 casi particolari
1. campo rotante (correnti) in fase con la f.e.m. indotta dal sistema
principale;
2. campo rotante (correnti) in quadratura ritardo con la f.e.m. indotta
dal sistema principale;
3. campo rotante (correnti) in quadratura anticipo con la f.e.m. indotta
dal sistema principale;
1. Corrente di fase in fase con la f.e.m. indotta
Se il campo rotante assume il valore
massimo nello stesso momento in cui
la f.e.m. assume il suo, significa che la
corrente di fase i(t) è in fase con la E0
ma a 90° in ritardo rispetto al flusso
principale che la induce.
Le linee di campo di reazione si
richiudono attorno alle correnti che
fluiscono negli avvolgimenti di
statore.
La loro composizione sul rotore origina un campo il cui asse mediano
risulta perpendicolare a quello dell’asse induttore, mantenendosi
costantemente in posizione ortogonale rispetto a quest’ultimo.
L’indotto genera un campo rotante TRASVERSO al campo induttore.
Ciascun polo induttore è collegato, durante la rotazione, ad un polo
indotto di segno equivalente o contrario a seconda che si tratti di un
generatore o di un motore.
Lo schema si evidenzia meglio in uno sviluppo planare:
Ciascun polo indotto viene ad esercitare una forza, Fa,
di
attrazione/repulsione sul polo di segno opposto/concorde del sistema
induttore.
La risultante, F, di queste forze agisce tangenzialmente sui poli
induttori in senso contrario al moto (coppia frenante per i generatori)
o in favore del moto (coppia motrice per i motori).
Nel caso dei generatori, per mantenere la velocità di sincronismo è
necessario applicare all’albero una coppia motrice uguale e contraria,
spendendo potenza meccanica esattamente corrispondente alla
potenza elettrica generata (più le perdite).
2. Corrente di fase in quadratura ritardo con la f.e.m. indotta
I conduttori sede della massima corrente e
quelli di max f.e.m. indotta sono sfasati di
90° elettrici. La corrente è in ritardo
rispetto al sistema induttore.
Sul rotore, si ha la sovrapposizione tra gli
assi dei poli con direzione opposta. La
reazione è di tipo LONGITUDINALE
SMAGNETIZZANTE
(caso
dei
generatori).
La coppia si annulla perché mancano le componenti tangenziali (i
bracci di coppia). Non viene richiesta potenza attiva (solo per le
perdite) nel caso dei generatori o non viene fornita energia meccanica
(motori). Viene messa in gioco solo energia reattiva.
3. Corrente di fase in quadratura anticipo con la f.e.m. indotta
Si tratta ancora di una reazione diretta (poli allineati) ma
magnetizzante perché le polarità non sono antagoniste ma concordi
(reazione LONGITUDINALE MAGNETIZZANTE).
Le forze che si esercitano tra i poli sono senza braccio e la coppia è 0
Osservazione: questo è uno dei motivi per cui si preferisce dare la
potenza apparente come dato di targa. La ripartizione tra potenza
attiva e reattiva dipende dal carico che può variare istante per istante.
4. Angoli compresi tra 0° e 90°
E0
Viene studiato considerando separatamente gli
effetti longitudinale e trasversali della corrente in
fase con E0, Iq=Icos(), ed in quadratura con il
I
Iq
flusso e quelli in quadratura con E0 (in direzione

Id
con il flusso), Id=Isin().

Composizione delle f.e.m.
Il campo rotante produce proprie linee di forza che si concatenano con
gli avvolgimenti di statore inducendo su questi delle f.e.m.
Il flusso totale e le f.e.m. indotte da questi vengono modificati dalla
presenza del campo rotante e delle sue f.e.m. (condizioni da vuoto a
carico).
Se ci limitiamo ad analizzare solo le fondamentali, queste essendo
grandezze variabili con leggi trigonometriche, possiamo sintetizzarle
mediante fasori. Sia:
• 0 il flusso induttore principale ed E0 la f.e.m. indotta da questi e
sfasata di 90° in ritardo rispetto a 0.
• i il flusso indotto dalla corrente I ed Ei la f.e.m. indotta da questi e
sfasata di 90° in ritardo rispetto a i e quindi da I.
Sulla base di queste considerazioni si possono tracciare i diagrammi
fasoriali nelle varie condizioni prima descritte.
1. Corrente di fase in fase con la E0
Se I è in fase con E0, allora la f.e.m. Ei
E0
E
indotta è sfasata di 90° in ritardo rispetto la
E0. La f.e.m. risultante, E, è data dalla

composizione vettoriale tra E0 ed Ei e
I

rappresenta la f.e.m. del campo risultante
i
che si ottiene nelle condizioni di carico

ipotizzate. E e  sono in ritardo su E0 e 0.

E
0
i
2. Corrente di fase sfasata in ritardo di 90° sulla E0
E0
E

0
Ei
i
I
i è opposto a 0 (campo smagnetizzante)
= 0 - i
Anche le f.e.m. corrispondenti lo sono,
quindi:
E= E0 - Ei
Il campo rotante fa diminuire il modulo
della E0.
3. Corrente di fase sfasata in anticipo di 90° sulla E0
E
E0
Ei
I

0
i
i è in fase con 0 (campo magnetizzante)
= 0 + i
Anche le f.e.m. corrispondenti lo sono,
quindi:
E= E0 + Ei
Il campo rotante fa aumentare il modulo
della E0.
4. Condizione Generica
Nel passaggio da vuoto a carico, per effetto della presenza del campo
rotante, si viene a determinare una variazione di f.e.m. indotta sui
conduttori, in termini di ampiezza e fase, in dipendenza del tipo di
carico (ohmico, induttivo, capacitivo).
Determinazione delle Equazioni Interne di Macchina
Caso dei motori: Ipotesi Fondamentali
Regime lineare, non saturo, rotore a poli lisci o brushless sinusoidale
(considerazioni valide, con una certa approssimazione, anche per poli
salienti e brushless trapezio).
F.e.m. Indotte Mozionali in Regime Dinamico
Il rotore non ha più una velocità angolare costante ma dipende dal
carico meccanico che varia con una determinata legge temporale:
m(t)=f(t).
In regime stazionario (m(t)= m=cost) avevamo ricavato le seguenti
espressioni per le fem dovute al flusso di rotore valide per una singola
fase e sotto un polo:
eA ( t )  EM sin( et )  EM sin(  e )  EM sin( p m )
dove
EM  2ka k f qnc f
p
T

Ricordando che  0  Bm  p l ;
ed EM  2ka k f qnc f
2 Rm p
e A ( t )  ( k f  0 )( K a qnc )( 2 f )sin( p m )
Rm p
eA ( t )  ( BM  pl )( K a qnc )(
)sin( p m )
p
e A ( t )  ( BM l )( K a qnc p )( Rm )sin( p m )
eA ( t )  ( K a RlNBM )m sin( p m )
Se m(t) è variabile allora la espressione si modifica come segue:
eA ( t )  ( K a RlNBM )  m ( t )  sin( p m ( t ))
Abbiamo già visto che:
dm ( t )
dm ( t ) d m
dm (  m )
e( t )  


m ( t )
dt
d m dt
d m
Eguagliando le espressioni possiamo ricavare l’espressione del flusso
mozionale:
dm (  m )
e( t )  
m ( t )  ( K a RlNB M )  m ( t )  sin( p m ( t ))
d m
dm (  m )
 ( K a RlNB M )  sin( p m ( t ))
d m
dm (  m )  ( K a RlNB M )  sin( p m ( t ))  d m
p
p
Integrando tra - ed m:
m
m
N
dm ( m )   ( K a Rl p BM )  sin( p m ( t ))  d ( pm )
Si ottiene il flusso mozionale concatenato
N
m  ( K a Rl BM )  cos( p m ( t ))
p
N
BM
Se si pone: K  K a Rl
p
Si ottiene: m ( t )  K  cos( p m ( t )
Estensione al Caso Trifase
Se ripetiamo le stesse considerazioni per le altre due fasi sfasate di
120° e 240 possiamo riassumere le espressioni dei flussi mozionali
concatenati con le tre fasi al variare della posizione angolare del rotore:

m 1  K  cos( p m ( t ))  K  cos(  e ( t ))

2
2

)  K  cos(  e ( t ) 
)
m 2  K  cos( p m ( t ) 
3
3

4
4

m 3  K  cos( p m ( t )  3 )  K  cos(  e ( t )  3 )
F.e.m. Indotte dalle Correnti di Statore in R.D.
Si valutano tenendo conto dell’effetto dei flussi generati dalle correnti
di statore che si concatenano con i conduttori stessi.
Determinazione del coefficiente di autoinduzione, La.
Tiene conto della influenza del flusso, generato dalla corrente che
fluisce nei conduttori, sui medesimi conduttori delle stessa fase.
Il coefficiente di auto induzione si definisce come: La=a/i
a dipende dalla distribuzione dei conduttori. Conosciamo l’andamento
a gradini della f.m.m. per una singola fase.
Con
riferimento
alla
fondamentale della f.m.m di un
singolo polo e fase,
12
H 1 ( e ) 
K a qnc  i  cos(  e )

L’andamento dell’induzione al traferro sarà:
12
B1 (  e )  0 H 1 (  e )  0
K a qnc  i  cos(  e )

Sempre con riferimento al campo di f.m.m. al traferro, possiamo
determinare la distribuzione equivalente di conduttori, F1(e) che
origina un campo di induzione con profilo sinusoidale:
H 1 ( e )  
2
F1 (  e ) 
 K a qnc  cos(  e )
i

Il flusso concatenato con la distribuzione equivalente di conduttori,
generato da un campo di induzione, B1(e), sarà dato dall’espressione:

a  Rl  F1( e )  B1( e )d (  m ) 
F1(e )

B(e )
e
 Rl 

H 1 ( e )  

 0 H 1 (  e )d (  m )
i
Ora, per definizione di coeff. di
autoinduzione
a
Rl
2 
Sapendo che
La 
 0 2 H M 1  cos 2 (  e )d (  m ) 
1

i
i
cos
(

)
d
(

)

cos( 2 )d ( 

2

Rl 1 2
1
1
2
 0 2 ( K a qnc i )  cos 2 (  e )d (  m )  2  cos( 0 )d (  )  0  2 2  

i  
1 2
La  0 Rl ( K a qnc )2 
 


2
e

m



m
e
m
)

Una spiegazione intuitiva sul
perché l’integrale si pari a 
può essere data per via grafica:
1
cos p m d m  2  2  
2
1
Cos2(pm)
1
2
-
p
0

p
m
L’area sottesa dalla curva viene ripartita in un rettangolo di lati 1/2 e
2.
Determinazione del coefficiente di Mutua induzione, M.
Le mutue tengono conto degli effetti dei flussi generati da correnti
relative ad una fase che si concatenano con i conduttori delle altre fasi.
i
1
Si definiscono come:
M ij 
ij
( M 12 
i2
)
Anche le mutue dipendono dalla distribuzione dei conduttori.
Lo sfasamento elettrico tra
F1(e) e B2(e-2/3) è di
F1(e)
120°
elettrici
che
2/3
B2(e-2/3) corrispondono a 120/p°
meccanici
H 1 ( e )  
2
F1 (  e ) 
 K a qnc  cos(  e )
i1

2
2
12
2
B2 (  e   )  0 H 2 (  e   )  0
K a qnc  i2  cos(  e   )
3
3

3

2
 M 12  Rl  F1 (  e )  B2 (  e   )d (  m ) 

3

2
12
2
 M 12  Rl ( K a qnc )( 0
K a qnc  i2 ) cos(  e ) cos(  e   )  d (  m )



3
Sfruttando Prostaferesi, la soluzione per l’integrale è:

2
1 
2
1 
2
cos(

)
cos(



)

d
(

)

cos(
2



)

d
(

)

cos(
 ) d( m ) 
e
e
m
e
m







3
2
3
2
3
1
2
1 1

0  cos(  )2  (  )2  
2
3
2 2
2
Tornando alla definizione di mutua induttanza:
M 12
1
1 2
1

2

 0 Rl ( K a qnc )  i2  ( )(  )
i2
 
i2
2
La mutua è negativa e vale circa la metà del modulo dell’auto
induttanza.
Il flusso totale concatenato
In condizioni di linearità, il flusso totale concatenato sarà la somma di
due contributi:
• flusso mozionale generato dai poli induttori di rotore che dipende
dalla posizione relativa del rotore rispetto all’avvolgimento e quindi
dal moto;
• flusso di auto e mutua induzione, dipendenti dalle correnti di statore e
dalla distribuzione e dal tipo di avvolgimento;
Per le tre fasi si può scrivere:
  1  La i1  Mi2  Mi3  1m  e  Dove im(m) sono in prima
approssimazione (studio della

 2  Mi1  La i2  Mi3  2 m  e  fondamentale),
funzioni
  Mi  Mi  L i     sinusoidali di m.
1
2
a 3
3m
e
 3
La ed M sono i coefficienti di auto e di mutua induzione e sono uguali
tra loro per la configurazione simmetrica della macchina (M=-La/2).
Il motore è di solito connesso a stella senza neutro, quindi:
i1+i2+i3=0 => i2+i3=- i1 => i1+i3=- i2 => i2+i1=- i3
 1  ( La  M )i1  1m  e 

 2  ( La  M )i2  2 m  e  Definiamo L=La-M-Ld,
  ( L  M )i    
a
3
3m
e
 3
dove Ld è il coefficiente di auto
Essendo che M=-La/2, ne viene che
La-M=3/2La.
induzione che tiene conto dei flussi dispersi.
Con questa posizione si ottiene un modello molto semplice.
In forma matriciale:
[i]=[i1, i2, i3]t; []=[1, 2, 3]t;
[m]=[m1, m2, m3]t;
[]=L[i]+ [m]
il vettore [i] si muove sul piano (i1+i2+i3=0), così pure L[i] e [m].
Ciò da origine ad una interpretazione geometrica molto utile.
Interpretazione Geometrica (armonica fond. e p=1)
Si consideri un avvolgimento trifase a due poli che vengono
schematizzati con degli avvolgimenti concentrati sulle direttrici di tre
assi sfasati tra loro di 120° uno rispetto all’altro.
Si consideri il rotore che ruota
i2
2
con un angolo variabile nel tempo
m
N
m (m(t)).
S
i1
La direzione di riferimento è la
1
direzione del flusso mozionale.
3
i3
Le componenti di [m] si ottengono
proiettando m sugli assi 1,2 ,3.
2
2
4
m 
3
m 
3
m
m
3
1
k cos(  m )
1m  m 
m   k cos  m  2   2 m  m 
3 

4   3 m  m 

k cos  m 

3 

Correnti e f.m.m di statore
Se alimento solo la fase 1 con una
corrente I la f.m.m. vale: m1=F1I
che ha la direzione dell’asse 1.
Se alimento la fase 2, sempre con la
corrente I, ottengo:
2
j
m2  F1 I  e 3
m1 = F1 I
I
m2
I
asse
reale
m3
pongo
e
j
2
3
 a ;e
j
4
3
Allo stesso modo per la fase 3
m3  F1 I  e
j
4
3
 a2
alimento le tre fasi con una terna di correnti equilibrate (i1 + i2 + i3 = 0)
la f.m.m sarà sempre sinusoidale, rappresentabile con un vettore
risultante, m, rappresentabile con un fasore
m=m1+m2+m3= F1(i1+ai2+a2i3)
Si definisce come vettore spaziale di corrente, i, il fasore:
i=2/3(i1+ai2+a2i3) in modo che m= 3/2F1i
L’espressione ed il significato del vettore spaziale di corrente, generato
da un sistema di correnti trifasi equilibrate, si determina facilmente
sfruttando le relazioni di Eulero:


j e t
 je t


e

e
i1  i  cos( et )  i



2



 j ( et  23  )  j ( et  23  ) 

e

2
e

)  i
i2  i  cos( et 

3
2

 Dalla definizione di




vettore
spaziale,

 j ( et  43  )  j ( et  43  )  tenendo conto della
e

4
e

 espressione di a ed
i3  i  cos( et  3 )  i
2

 a2 :





i jet  jet
i  ( i1  ai2  a i3 )  e  e

2
2
2
2
4
4
4
j
(

t


)

j
(

t


)
j

j
(

t


)

j
(

t


)
j

 e 3



e
e
e
3  3
3
3  3
e
  e
e
e


e
e







2

i jet  jet
i  e  e e
2
e
4 4
j ( et    )
3 3

e
2 2
j ( et     )
3 3
4 4
 j ( et    )
3 3
i jet  jet j( et )
i  e  e e
e
2
e
2 2
 j ( et    )
3 3



4
 j ( et   )
3
e
j ( et )
e
8
 j ( et   )
3


i jet  jet
i  3e  e  e
2
4
 j ( et   )
3
e
8
 j ( et   )
3
3 jet
  ie
2
La terna finale si annulla perché sono fasori sfasati di 120° l’uno
dall’altro ed hanno lo stesso modulo.
Rimane l’ultimo termine che è un fasore rotante nello spazio e di
modulo maggiorato di 3/2. Nel caso di alimentazione sinusoidale, il
vettore i si muove di moto uniforme su un cerchio.
In generale, il tipo di moto di

i
i1  i  cos( et )
i sul piano i1+i2+i3=0, e

2  quindi la figura geometrica

) che ne deriva, dipende dal
i2  i  cos( et 
3

4  tipo di alimentazione.

i3  i  cos( et  3 )
Noto i, le correnti i1, i2, i3 si determinano facilmente proiettando il
vettore i sugli assi 1, 2, 3 e moltiplicandoli per 3/2.
Il termine 2/3 è necessario per recuperare
il fattore 3/2 che compare nella
espressione della corrente spaziale.
PI
a2i3
2
P
3 j e t
i  ie
2
i
ai2
1
o
i1
3
i

Li
m
La trasformazione i=(i1+ai2+a2i3) ci
porta ad OPI che è 3/2 maggiore rispetto
ad OP.
Ora, sapendo che il flusso totale può
essere scomposto nel flusso mozionale
e quello di auto e mutua induzione,
possiamo scrivere che

= Li +  m
Anche il flusso totale è rappresentato da
un vettore spaziale.
Li è un vettore parallelo al vettore
spaziale di corrente
Relazioni tra Tensioni e Correnti
Se consideriamo le tensioni di fase applicate agli avvolgimenti chiusi a
stella, possiamo scrivere le seguenti relazioni in base al teorema di
Kirchoff:
d 1 La tensione di fase è pari alla
v1N
v1 N  Ri1 
somma della caduta resistiva
dt
e della variazione nel tempo
i1 1
v2N
d 2 del flusso concatenato con
v2 N  Ri 2 
dt l’avvolgimento stesso.
i2
2
v3N
d 3 Possiamo pervenire ad una
v3 N  Ri 3 
dt forma compatta avendo posto
i
3
3
d  
v  Ri  
dt
[v]=[v1N, v2N, v3N]t;
v jN  Ri j 
d j
dt
per j = 1, 2, 3
Ricordando che : [] = Leq [ i ] + [ m] possiamo sostituire nella
precedente ottenendo la
d i  d  m 
v  Ri   L

dt
dt
Che rappresentano i contributi di una caduta ohmica, una induttiva e
della f.e.m. mozionale. A questa equazione matriciale possiamo
associare il circuito equivalente avendo posto
d jm
i1
+
1
R
L
i2
2
R
R
+
e2
+
e3
L
i3
3
e1
L
ej 
dt
Ogni componente riferito ad una singola
fase può essere descritto dalla:
di j
v jN  Ri j  Leq
 ej
dt
le mutue induttanze sono tenute in conto
da: L = La - M + Ls
Bilancio Energetico
v   Ri   L d i   e
Se premoltiplico la relazione
dt
per [i]t trovo che
d i 
t
i  v   i  Ri   i  L
 i  e
dt
t
t
t
Se esaminiamo componente per componente vediamo che:
la potenza elettrica fornita alla
it v  i1v1N  i2v2 N  i3v3 N èmacchina
dalla rete.
i Ri  R( i1  i2  i3
d i 
di1
t
i  L
 L( i
i
t
2
2
1
dt
dt
2
2
) Perdite Joule.
di3
di2
 i3
)
dt
dt
È la derivata temporale della energia magnetica, W, accumulata nella
macchina
1
W  L i12  i22  i32 È opportuno che L sia piccola.
2


i  e  i 
t
t
Pm  i 
t
d  m 
dt
è la potenza elettrica trasformata in
meccanica (trascurando le perdite nel ferro).
Ora, m è una funzione di e.
d  m  d e
t d  m  pd m
 i 

d e dt
d e
dt
d  m 
 i 
p m ( t )
Sappiamo che Pm=Tm(t)m(t), quindi
d e
t d  m 
Pm  i 
pm ( t )  Tm ( t )m ( t )
d e
t d  m 
Tm ( t )  pi 
d e
In forma estesa
d jm (  e )
Tm ( t )  p  j i j

d e
t
 p( i1
d1m (  e )
d e
 i2
d 2m (  e )
d e
 i3
d3m (  e )
d e
)
Equazioni Interne per la Dinamica
die ( t )
ve ( t )  Reie ( t )  Le
Sistema di eccitazione
dt
Flusso rotorico
m ( t )  N eie ( t ) / 
Alimentazione di macchina
d i 
v   Ri   L
 e
dt
Generazione della coppia
motrice
Tm ( t )  pi 
t
d  m 
d e
Equazioni Esterne per la Dinamica
Alimentazione con terna di tensioni concatenate che possono essere
variate a piacere [v]=f(t).
Carico rappresentato da una coppia resistente, Tr(t), che varia in
funzione della applicazione Tm(t)=Tr(t)+Fm (t)+Jdm (t)/dt
Equazioni Interne per lo Stato Stazionario
Sistema di eccitazione
Flusso rotorico
Alimentazione di macchina
per una singola fase
Coppia motrice
Ve  Re I e
  Ne I e / 
V f  RI  je LI  E
Pm
3 EI cos EI
Tm 

m
m
Equazioni Esterne per lo Stato Stazionario
Alimentazione con terna di tensioni concatenate sinusoidali.
Per una singola fase, vf(t)=Vmsin(et).
Carico rappresentato da una coppia resistente, Tr, costante
Tm=Tr+Fm
Stato Stazionario: Modello Fasoriale di Riferimento
Dalla equazione elettrica
V f  RI  jXI  E
si ricava facilmente il diagramma fasoriale da cui è possibile, tramite
alcune semplificazioni, derivare le caratteristiche statiche più
importanti del motore sincrono. Si ricorda che, a causa della reazione
di indotto, EE0 in dipendenza delle
Vf
jXI
caratteristiche del carico (I e cos).
La f.e.m. Ei che si genera in ciascuna fase per la
RI
presenza della corrente di armatura è simile ad
E
una f.e.m. di auto induzione. Infatti,

I => i in fase con I => Ei in ritardo di 90°
I
Gli effetti della reazione vengono tenuti in conto
attribuendo a ciascuna fase una conveniente
Induttanza fittizia in cui si generi una f.e.m. di autoinduzione pari a
quella che in realtà è dovuta alla rotazione del campo di indotto:
Ei=XiI
Vf
E


i1
jXI
RI
jXiI
1
L
R
L
i3
+ e02
Li
+ e03
e3
3
R
L
e01
Li
e2
2

I
R
i2
E0
+
e1
Li
V f  RI  jXI  jX i I  E0
Si definisce come reattanza sincrona, Xs, la somma di X+Xi.
Il modello di riferimento, valido per poli lisci e macchine non sature,
diventa quindi: V  RI  jX I  E
f
s
0
Questo è un modello semplificato (modello di Ben-Eschemburg) ma è
importante perché mette in evidenza la dipendenza da E0  Kf
Il modello semplificato è sufficiente, entro certi limiti, per descrivere il
comportamento del motore sincrono come attuatore elettromeccanico.
Per descrivere un sistema a poli salienti è necessario ricorrere al
modello delle due reattanza (modello di Blondel) che tiene conto della
diversa riluttanza del circuito magnetico.
Le condizioni di regime del motore sincrono dipendono da due
parametri indipendenti che, entro certi limiti, possono essere variati a
piacere:
• la f.e.m. a vuoto del motore che dipende dal flusso totale e quindi
dalla eccitazione del motore (nei brushless il livello di eccitazione è
legato alla scelta della macchina);
• la coppia resistente applicata all’albero o carico di macchina.
Con riferimento a quest’ultimo aspetto e tenendo conto del modello
semplificato, possiamo dire che la potenza elettrica assorbita dalla
macchina è Pa  3V f I cos V f I
mentre la potenza elettrica trasformata in meccanica è
Pm  3 E0 I cos E0 I
Pm 3 E0 I cos 

E la coppia motrice può essere espressa come Tm 
m
m
avendo posto  l’angolo tra E0 ed I. Ora
3 pE0 I cos  3 p( Kf )I cos  3 pKI cos 
3
Tm 


 k m pI q
e
2 f
2
2
Assegnata la macchina, Km è una costante
3
Tm  k m pI q  K m I q
(costante meccanica di macchina).
2
Il contributo alla coppia viene dato dalla componente della corrente il
fase con la E0, Iq. Se cos=1 => T=Tmax =>I ed E0 sono in fase
Funzionamento con Eccitazione Variabile e Carico Costante
Consideriamo di nuovo il modello semplificato in cui viene trascurato
anche il contributo della caduta resistiva. Fissate le condizioni di
carico (es:ohmico induttivo), il diagramma fasoriale è del tipo:
In queste condizioni, I è in ritardo su Vf
Vf
jXsI
dell’angolo  mentre E0 lo è di  su Vf .
Ora
E0
Pa  3V f I cos 
3 pE0 I cos 
Tm 

e

V =cos  Pm  3 E0 I cos 
f
Icos 
E0=cos 

I
Avendo trascurato R, Pa=Pm,
V f cos   E0 cos 
Se il motore lavora a carico costante, il suo diagramma fasoriale si
modifica al variare di Ie. La variazione di Ie non introduce o toglie
potenza attiva alla macchina. Le grandezze proporzionali a Pm e Tm
devono rimanere invariate al variare di Ie (Vf rimane costante per
ipotesi). In particolare, deve rimanere costante la proiezione di I su Vf
perché direttamente proporzionale a Pm.
Se la Ie varia in +/- => E0 varia in +/- e =>  e  variano in modo che
Icos() resti costante. Il modulo di I varia essendo I:
V E
jXsI

A
Vf

B
C
E0

Icos 


I
V f  jX s I  E0
I
f
0
jX s
Se Ie cresce => E0 cresce => |I| cala;
Se Ie cala => E0 cala => |I| cresce,
mantenendo Icos() = costante
L’angolo in B è  per costruzione mentre la
perpendicolare, per B, alla direzione di I apre
un angolo di 90°.
Dato che il triangolo ABC è rettangolo in C,
L’angolo interno è ancora .
CB=XIcos()
ma CB=E0sin() =>
XIcos()= E0sin()
Nella ipotesi di trascurare R, Pa=Pm la coppia diventa:
3 pV f I cos  3 pV f E0 sin(  ) Se Tm rimane costante,
Tm 

3 pV f
essendo
costante
e
Xe
Xe
b
jXsI
A
anche E0sin() deve rimanere costante.
Vf
Le direzioni aa e bb corrispondenti a
segmenti proporzionali a Pm e Tm devono
E0’’’
rimanere costanti. Se Ie varia => E0 varia
E0’’
E0’
ma E0sin()=cost.
I’’’
I’’
I’
a
a
Caso particolare: se Ie è tale per cui
Icos 
E0cos()=Vf (|E0|>| Vf |) allora jXsI ha una
direzione orizzontale ed I ha la direzione di
b
E0sin
Vf (sono in fase, =0 e cos()=1).
La Pa=cost con il minimo di corrente assorbita (massimo rendimento).
Ie => =max è il valore che deve essere impostato in macchina
Funzionamento in sovra-eccitazione
Se aumento la Ie, la corrente assorbita,
jXsI
b
inizialmente in ritardo, si porta prima in fase con
A
la Vf diminuendo il suo modulo, mantenendo
Vf
sempre costante la sua componente attiva, poi I
E0
cresce di nuovo anticipando la Vf stessa con

E0cos()>Vf (|E0|>| Vf |).
I
a
a
La potenza reattiva ha un carattere capacitivo ed

Icos 
il motore si presenta alla linea come un carico
b
E0sin
ohmico-capacitivo (rifasatore).
Curve di Morday o Curve a “V”
E’ possibile definire una famiglia di curve caratteristiche I=f(E0, P) o
I=f(Ie, P) sfruttando la relazione con il flusso tramite la caratteristica
di magnetizzazione, in cui la variabile indipendente è la E0 o la Ie ed il
parametro è la potenza assorbita Pa.
Vf
jXsI
E0
I
A vuoto Pa0 cioè Icos=0. La corrente I è sfasata
di 90° su E0 o Vf in modo che jXsI sia in fase con
esse.
Per una potenza attiva generica, P, si ottiene una
curva spostata verso l’alto e a sinistra il cui
minimo si ha per cos=1 che corrisponde al
minimo
della
corrente
assorbita.
Ogni minimo divide le curve
in
due
sezioni
che
corrispondono al regime sotto
e sopra eccitato.
Ogni curva è delimitata da
limite di stabilità (perdita di
passo) che corrisponde ad un
 di 90° in ritardo.
Funzionamento con Carico Variabile ed Eccitazione Costante
Se Ie=cost allora anche E0=cost in modulo mentre può variare
l’angolo  in quanto deve essere soddisfatta la relazione:
V f  jX s I  E0 Se il carico varia, la corrente I varia, varia la
caduta XsI e l’angolo  varia di conseguenza.
Vf
jXsI0
A vuoto, Pm=0, E0 eVf sono in fase e, se siamo
in regime di sottoeccitazione, Vf > E0.
E0
A Carico, la ruota polare ritarda di un angolo 
I0
e non perde giri. E0 mantiene il modulo costante
Vf
(Ie=cost => =cost; dato che n=cost allora
jXsI
anche E0=cost).
Se consideriamo l’espressione di Tm:
E0
E0
3 pV f E0 sin(  )

Tm 
Xe

questa cresce con sin(). Bisogna però fare
I
attenzione al limite di stabilità
Limite di Stabilità Meccanica
3 pV f E0 sin(  )
3V f E0 sin(  )
Tm 
Sappiamo che
Pm 
Xe
X
Se l’angolo  aumenta, possiamo arrivare
instabile
Pm stabile
B
alla potenza massima
3V f E0
PmMAX 
(sin ( )=1)
X
A
poi cala di nuovo ma con una pendenza

tale da rendere ogni punto di lavoro
=180°
=90°
instabile.
Il tratto stabile è compreso tra 090°.
Se siamo nel punto di lavoro A, un eventuale aumento di carico, e
quindi della coppia resistente all’asse, fa aumentare  che a sua volta
fa richiamare corrente dalla linea (cresce la Pa).
Il tratto instabile è compreso tra 90°180°.
Se siamo nel punto di lavoro B, un eventuale aumento di carico, e
quindi della coppia resistente all’asse, fa aumentare  ma diminuire la
Pm e la macchina tende a fermarsi. =90° è il limite di stabilità.
Per avere un margine di manovra è bene fissare il punto di lavoro A
vicino al limite di =90° per avere il massimo rendimento ma <90°
per evitare la instabilità e la perdita di passo.
Dal punto di vista fisico, la perdita di passo si può spiegare come il
sopravazamento del sistema polari di induzione da parte del campo
rotante. I poli di egual segno e di segno opposti che prima si
affacciavano in modo da “spingersi” uno con l’altro nel verso del
moto, ora sono disposti in modo tale da spingere in senso contrario al
moto.
N
S
S
N
N
S
S
Senso del moto
Stabile
N
N
S
N
S
N
S
N
S
S
Senso del moto
Instabile
N
jXsI’
E0’
Vf
jXsI
’
E0
E0


I
Osservazione:
Si può recuperare un margine di stabilità
aumentando la eccitazione ( a parità di potenza
assorbita).
Se si aumenta Ie a Pa costante,  si chiude ed
ottengo un migliore margine di stabilità.
Per contro, se diminuisco Ie  si apre e posso
andare incontro ad instabilità.
Le Curve Caratteristiche di Macchina
Tm
La Caratteristica Meccanica Tm=f(n)
60 f
Sappiamo che la velocità angolare è
n
p
rigidamente legata alla frequenza ma non
direttamente alla coppia. La caratteristica
è una retta verticale che interseca l’asse
orizzontale in corrispondenza ai giri nominali.
Tmmax
Tmn
Tmsp
n<nn n=nn n>nn
n
E’ possibile regolare il numero di giri controllando la frequenza di
alimentazione con dispositivi appositi.
La Caratteristica Coppia Angolo di Stabilità Tm=f()
Tm
Ie
=0°
=90°
=180°
Una caratteristica di uso comune è quella che
mostra, graficamente, la dipendenza tra Tm e
 assumendo Ie come parametro di controllo,
ritenendo Vf ed  costanti.

Tm 
3 pV f E0 sin(  )
Xe
Lo stessa valore di Tm è ottenibile impostando diversi valori di Ie ma
con Ie maggiori,  risulta minore, quindi più lontano dal limite di
instabilità.
La Regolazione della Velocità nei M.S.
Sappiamo che la caratteristica meccanica è una retta verticale nel piano
Tm=f(n).
Se si vuole regolare la velocità del motore è
60 f
n
necessario disporre di una sorgente di
p
alimentazione a frequenza variabile (ciclo
Tm
fa<f f fb>f
convertitore, convertitore statico).
In tale caso, ad una variazione di frequenza,
f, corrisponde una traslazione orizzontale
della caratteristica meccanica.
Vediamo di chiarire meglio i limiti di
funzionamento (caso di M.S: a poli lisci,
na n=nn nb
non satura e con perdite trascurabili).
In condizioni nominali sappiamo che:
Pm  3V f I n cos(  ) 
Tm 
3 pV f E0 sin(  )
Xe

3V f E0 sin(  )
X
3 pV f I n cos(  )
e
Sia f= fn una generica frequenza di alimentazione. Il confronto tra i
limiti di prestazione del motore alle frequenze f ed f viene effettuata,
finchè è possibile, a parità di corrente di indotto fissata nella corrente
nominale (In).
Riduzione della velocità (<1)
Se f<f, con Vf=Vn ed Ie => costanti, sia E0 che X variano
proporzionalmente con  (E0=Kf). Considero la relazione
V f  RI  jX s I  E0

B’
jI’
B
A
jI
Vf/Xs

E0/Xs
O
Considero il
quest’ultima.
Vf
E0
 jI 
Xs
Xs
diagramma
fasoriale
di
E0
Kf
K
OA 


Xs
2fL
2L
Il segmento OA resta costante al variare di f
perché ambedue i termini del rapporto
dipendono da f.
B’
Vf
Vf
Cresce perché è calata Xs e
OB 

B
OB => OB’. Cresce così la
A
X
2

fL
s
jI
corrente assorbita.
Vf/Xs

Si è però ipotizzato che I=In. La diminuzione di f ci
porta in sovra-carico. Continuare a lavorare a potenza
E0/Xs
O
costante (e  costante) non è possibile.
Si deve calare la potenza con il diminuire della frequenza.
Se si riduce la tensione di alimentazione nel medesimo rapporto  con
cui si diminuisce la frequenza allora |Vf/Xs|=costante e si lavora con
I=In e  costanti
A parità di I e di Ie, la potenza si riduce con Vf e
quindi con  mentre la Tm resta costante, infatti
jI
B
jI’
A
Vf/Xs
Pm 

E0/Xs
O
3V f E0 sin(  )
X
Tm 
3 pV f E0 sin(  )
Xe
Tale condizione è verificata finchè f rimane
sufficientemente elevata in modo che Xs>>R.
Aumento della Velocità (>1)
Se si vuole aumentare la velocità, si aumenta la frequenza (f>f),
mantenendo costante Vf=Vn perché non posso andare in sovratensione. E0 ed Xs variano proporzionalmente con  ed il loro rapporto
resta costante. Il rapporto |Vf/Xs| si riduce in modo inversamente
proporzionale ad .
Se si vuole operare a potenza costante, è
B
necessario fare in modo che |E0/Xs| si riduca
Vf/Xs
jI
della stessa proporzione in modo che la I, e
B’
jI
A
quindi jI, restino costanti (AB=A’B’).
Vf/Xs’
ed E0
E0/Xs Essendo Xs proporzionale a f
A’

proporzionale a sua volta ad f ed al flusso,
affinchè tutto ciò accada è necessario diminuire
’
E0’/Xs
il flusso nel rapporto OA’/OA agendo sulla Ie
O
(Deflussaggio). L’angolo  aumenta.
Pm  3V f I n cos(  )  cos t
Tm 
3 pV f I n cos(  )
e
1
 Tm 

L’apertura dell’angolo  può avvenire fino al limite del margine di
stabilità consentito (’). A questo angolo limite viene associato un
valore di frequenza e numero di giri limite f’ tale che |Vf/Xs|=OB’’
(AB=A’’B’’).
Se si vuole continuare ad aumentare la
B’’
velocità fino ad un valore limite nL (=>fL),
jI
definito in base ad esigenze di
Vf/Xs’’
dimensionamento del convertitore o del
B’’’
jI’’’
rotore, è necessario che |E0/Xs| vari nella
A’’
E0’’/Xs’’ direzione OA’’ con ampiezza proporzionale
’
A’’’
alla variazione |Vf/Xs|. Ciò implica che la
Vf/Xs’’’
corrente debba essere ridotta di un fattore .
E0’’’/Xs’’’
O
In tali condizioni, la potenza risulta essere
inversamente proporzionale ad  mentre la
coppia risulta proporzionale ad 1/ 2.
1
1
Pm  3V f I n cos(  )  Pm 


Tm 
3 pV f I n cos(  )
e
1
 Tm  2

Curve Limite di Potenza e Coppia con alimentazione a frequenza
variabile
Al variare della frequenza di
alimentazione, e quindi della
velocità di rotazione, si
ottengono delle curve limite di
potenza e di coppia, secondo
le modalità sopra descritte, che
delimitano
le
zone
di
funzionamento possibili per il
motore sincrono.
Motori
sincroni
che
a
frequenza di rete possono
arrivare al massimo a n=3000
giri/min, possono arrivare, in
deflussaggio anche a n=6000
giri/min. Si deve accettare una
riduzione della Tm.
L’Avviamento di un M.S.
Si intuisce facilmente che il campo rotante sopravanza la ruota polare
all’avviamento generando una coppia motrice a valor medio nullo. Il
rotore deve essere aiutato a partire ed a raggiungere il sincronismo
perché solo la sincronia tra campo rotante e campo di rotore genera la
coppia motrice a valor medio non nullo (macchina non auto avviante).
Diversi sono i metodi:
• Sistema di regolazione frequenza ed ampiezza della tensione di
alimentazione.
• Gabbie ausiliarie per un motore auto avviante
(autosincrono). Sfrutta il campo indotto nelle
gabbie smorzatrici montate sulle espansioni polari.
In questa fase, la macchina si comporta come un
asincrono. Una volta raggiunto il sincronismo, il
campo indotto si annulla. La coppia di spunto è bassa e la macchina
deve essere avviata a vuoto.
• Motore di lancio. La sua potenza deve essere sufficiente per vincere
le perdite a vuoto della macchina (510% di Pn). Può essere una
macchina asincrona o un motore CC. L’avviamento è sempre a vuoto.
Dopo la partenza, il motore di lancio viene staccato dalla alimentazione
o staccato dall’albero.
Il Rendimento
Si riassumono i termini di perdita per il calcolo del rendimento:
• Perdite costanti, P0:
• perdite a vuoto nel ferro attivo e perdite addizionali a vuoto nelle
altre parti metalliche;
• Perdite meccaniche per attrito e ventilazione.
• Perdite nel circuito di eccitazione, Pe:
• perdite Joule nell’avvolgimento e nei reostati di eccitazione;
• perdite nel sistema di alimentazione dell’eccitazione;
• perdite elettriche nelle spazzole.
• Perdite sotto carico:
• perdite Joule nell’avvolgimento di armatura;
• perdite Joule negli avvolgimenti di avviamento e smorzamento.
• Perdite addizionali sotto carico:
• perdite dovute al carico nel ferro attivo e nelle altre parti
metalliche, esclusi i conduttori;
• perdite per correnti parassite nei conduttori dell’avvolgimento di
armatura.
Pu
Pu

Pa

Pu  P0  Pe  Pa
Dati la tensione ai morsetti ed un
determinato cos,  varia con la I
secondo l’andamento qualitativo
indicato dalle curve di figura (cos
come parametro).
L’influenza del cos non è rilevante
finchè questi non diventa troppo
basso.
 assume i valori massimi tra metà e
pieno carico e scende rapidamente
quando I è circa 1/4 della nominale.
Strategie per il Controllo: Equazioni per la Dinamica
Da un punto di vista modellistico siamo di fronte ad un avvolgimento
trifase, fisso nello spazio, attraversato da un sistema di correnti
equilibrate, collegate a stella, che
i2
danno origine ad un campo
i
2
m
magnetico rotante nello spazio, i.
N
m i=2/3(i +ai +a2i ) con (i +i +i )=0
1
2
3
1 2 3
S
i1
1 Il rotore è sede di un campo
statico che ruota solidale con esso.
3
i3
L’espressione di Tm vale:
d1m
d2m
d3m
d [ m ]
Tm ( t )  pi 
 p( i1
 i2
 i3
)
d e
d e
d e
d e
t

i
Li

m
m

Nelle ipotesi di trascurare il contributo delle
d jm
armoniche, possiamo ammettere che :
0
Ne segue che i vettori [i] e d[m]/de 
j d e
stanno su uno stesso piano.
La coppia Tm può anche essere rappresentata dal prodotto interno di
due vettori a due dimensioni sul piano [i] e d[m]/de che indichiamo
come piano .
d [ m ]
Tm ( t )  pi 
d e
t

d m
3
Tm ( t )  pi 
2
d e
Nel piano posso rappresentare il vettore tramite un sistema di due assi
cartesiani, , con un numero complesso, oppure come somma di tre
vettori allineati con le tracce, sul piano, dei tre assi nello spazio.


i
i
2

i
3

1

 i  i cos 
i     

i
     i sin  
i  i  ji
 2
2
i

i

ai

a
i3

1
2
 3

ae

2
j 
3
La trasformazione di coordinate trifase-bifase, nella ipotesi di
conservare le ampiezze delle componenti, si ottiene facilmente
conoscendo gli sfasamenti che sono multipli di 120°.
1
 sin 30  sin 30 i1
2
i2 
3
cos 30  cos 30 i
0
3
1
i
2

i 3 0
 
i
2
i

i

1 
3
i
i

2
3
0
1

3
1
3
1 i

1
3
i2
1

i3
3
Con le stesse considerazioni possiamo
pervenire alla matrice per la trasformazione
inversa bifase-trifase. Si dimostra facilmente
2
I
che
BB  I
3
1

2
3
2
1
i1
1
i2  
2
i3
1

2
1

2
i1
i2
3

i3
2
0
3
2
3

2
i
i
2
3
1
0
1

2
3
2
1

2
1
1

2
3

1
2

2
0
3
2
3

2
I
Un sistema trifase equilibrato
può riferirsi ad un vettore
spaziale il quale, per essere
identificato, necessita di due
sole componenti sul piano.
i 123
3
i 
2
d m
3
Tm ( t )  pi 
2
d
Definiamo quindi, nel piano ,
dove
i  ie j  i  ji
m  m e j  m  jm
m è funzione
dell’angolo
,
2
2
2
2
 i1  ai2  a i3   1m  a2 m  a 3 m  intrinsecamente.
3
3
I vettori spaziali m e d m / d sono ortogonali tra loro e di pari
2
N
ampiezza (|m| è pari a
K f K a Rl
B0
3
p
d m d m j
j
j
m   m e 

e   m je  j m
d
d
Su questa base, possiamo riscrivere l’espressione della coppia come:
d m
3
3
Tm ( t )  p( i 
)  p( i  m )
2
d
2
d m
 j m
d
i

m
3
Tm ( t )  p  i  m  sin(    )
2
Tm è massima se il seno è 1 o quasi.
Sarà
compito
del
controllo

ottimizzare questa condizione.
Entrambi i vettori sono funzione dell’angolo meccanico. Se si
riuscisse anche a rendere indipendente il flusso dall’angolo e quindi
dal tempo, l’espressione si trasformerebbe T ( t )  3 p    i( t )
m
m
nella espressione
2
Tm ( t )  K    i( t )
simile a quella ricavata in continua.
Ci si riferisce ad un sistema di riferimento cartesiano che ruota con il
rotore e che risulta fermo rispetto a questo (sistema d’assi dq) con
l’asse d allineato con il fasore di flusso m .
Trasformazione Assi Fissi / Assi Rotanti
Si consideri un sistema di riferimento (d,q) che ruota rispetto al
riferimento fisso con una velocità angolare d/dt, scelto in modo tale
che per t=0 l’asse d coincide con l’asse .
Per portarsi sugli assi rotanti (d, q) si possono individuare delle
trasformazioni matriciali che operano direttamente sui vettori

q
i
i
id
iq
i
A(  ) 
cos
sin 
d


sin
cos

id  i cos  i sin


iq  i sin   i cos
cos sin i
id
i


  A(  ) 
iq
i
i


sin  cos
Si noti che la matrice inversa di A() è
pari alla trasposta
A  1 (  )  At (  ) 
cos
 sin
sin 
cos
Si ha quindi:
id
iq
 A(  ) 
i
i
i
i
 A () 
t
id
iq
L’operatore matriciale A() trasforma le coordinate dello stesso
vettore da un sistema di riferimento (, ) fisso ad un altro (d, q)
mobile con il rotore e viceversa.
Nel piano complesso, l’operatore e -j , applicato ad un vettore, lo
ruota di -  rispetto allo stesso sistema di riferimento. Si ha una
completa corrispondenza tra gli operatori di rotazione:
A()<==> e -j
idq = id + jiq ; i = i + ji ; idq = e-j  i

d
i
q
At()<==> e j
id  jiq  e  j ( i  ji ) 


e-j i
 (cos   jsin )( i  ji ) 
  i
cos   i sin   j( i sin   i cos  )
Che corrisponde alla trasformazione matriciale:
id
iq

cos
sin 
sin

i
i
cos 
 A(  ) 
i
i
Con la trasformazione assi fissi / assi rotanti ci portiamo su un
riferimento fisso con il rotore. E’ necessario conoscere la posizione
angolare del rotore stesso mediante misura o ricostruzione algoritmica.
In queste condizioni, l’asse d è allineato con il vettore spaziale del
flusso mozionale m e si perde la sua dipendenza dal tempo.
Abbiamo visto che solo
q
componente
in
i 
i dq la
A()
quadratura contribuisce
alla generazione della
iq
Possiamo
angolo  coppia.
concludere che con le
id
m d
trasformazioni
viste
3
T  p m iq ( t ) otteniamo una buona
2
espressione della coppia
Le equazioni per la descrizione della dinamica possono essere riscritte
con riferimento agli assi rotanti nel modo seguente.
La relazione corrente-flusso si trasforma dal riferimento 123 a quello
 usando la matrice B e dal riferimento  a quello dq usando la
matrice di trasformazione A.
[] = L [ i ] + [ m]
sapendo che
[i]=[i1, i2, i3]t;
[]=[1, 2, 3]t;
[m]=[m1, m2, m3]t;
trasf. 123 => 
[i] =[B][i]; [] =[B][];
trasf.  => dq
[i]dq=[A()][i] ;
[m] =[B][m];
[] = L [ i ] + [ m]
[]dq=[A()][[] ;
[m]dq=[A()][[m] ;
[]dq = L [ i ]dq + [ m]dq
d  
v  Ri  
L’equazione elettrica
dt
si trasforma immediatamente da 123 =>  usando la matrice B in
quanto B non dipende dal tempo, tramite l’angolo , e l’operatore di
derivazione non ha effetti su B.
Bv  BRi  B
d 
dt

v  Ri 
d 
dt
La trasformazione  => dq richiede maggiore attenzione per la
presenza di un operatore di trasformazione dipendente dal tempo,
A(). Si è visto che l’operazione di trasformazione può essere
eseguita indifferentemente usando la matrice A() o l’operatore e-j
applicato ai fasori rappresentativi delle grandezze elettriche. In questa
trasformazione si sceglie quest’ultimo metodo.
j
de
 dq
d
j
j
v  Ri 
 e vdq  e Ridq 
dt
dt
j
j
de  dq de j
d

d  dq
de
d
dq
j
j

 dq  e

 dq  e
dt
dt
dt
d dt
dt
de j  dq
j
 je ( t ) dq  e
j
d dq
dt
dt
Tornando alla equazione di partenza, si trova che
j
j
j
j
d  dq
e vdq  e Ridq  je ( t ) dq  e
dt
d  dq
vdq  Ridq  j( t ) dq 
dt
È comparso un termine j(t) dq che tiene conto del fatto che il
riferimento dq è rotante con pulsazione (t). Riassumendo, le
equazioni interne di macchina, con riferimento agli assi rotanti dq, è
vdq  Ridq  j( t )dq 
dq  Lidq  mdq
ddq
dt
3
Tm  p   m  iq
2
Il modello è valido per macchine in linearità e con rotore liscio
(isotropo).