Felix Christian Klein
Un’altra
teoria
Il modello
La vita
Esci
La vita di Klein
Felix Christian Klein (1849-1925) è soprattutto conosciuto per il suo lavoro sulle
Geometrie non Euclidee, per i suoi studi sulla connessione tra la geometria e la
teoria dei gruppi e per i risultati sulla teoria delle funzioni. L’idea di Klein è che ogni
geometria può essere caratterizzata da un gruppo di trasformazioni e che il vero oggetto della geometria sono
le proprietà invarianti rispetto a questo gruppo di trasformazioni.
Klein frequentò il Ginnasio a Dusseldorf. Dopo il diploma entrò all'Università di Bonn e nel 1865 e
1866 studiò matematica e fisica. Lui voleva diventare un fisico. Durante l’ università nel 1866
divenne assistente di laboratorio del professore Plucker e nel 1868 vinse il dottorato supervisionato
da Plucker. Nel 1870, per un breve periodo fece il servizio militare e nel 1871 insegnò a Gottingen.
Le prime importanti scoperte di Klein furono fatte sulle proprietà fondamentali delle linee
asintotiche e poi sulle curve invarianti rispetto a il gruppo delle trasformazioni proiettive. In questo
periodo, 1871, Klein ottenne molti risultati di geometria. Egli pubblicò On the So-called NonEuclidean Geometry in cui considerava la Geometria Euclidea e quella non Euclidea come casi di
particolari superfici proiettive con una specifica sezione conica aggiunta. Nel 1872, in occasione della
nomina come professore all'Università di Erlangen scrisse la sintesi della geometria come studio
delle proprietà dello spazio invarianti rispetto a dati gruppi di trasformazioni; lo studio comprendeva
anche la Geometria Euclidea e la Geometria non Euclidea. Questo lavoro è conosciuto come il
Programma di Erlangen. Nel 1875 andò alla Technische Hochschule a Monaco dove insegnò corsi
avanzati. Dopo cinque anni alla Technische Hochschule, a Lipsia, occupò la cattedra di geometria.
Nel 1885 fu nominato membro della Società Reale. Nel 1886 accettò la cattedra all'Università di
Gottingen ove insegnò diversi corsi di matematica e fisica fino al suo ritiro nel 1913; poi, durante la
prima guerra mondiale, tenne lezioni di matematica a casa sua.
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Felix Klein
Il modello di Klein
In tale modello si fissa una conica K irriducibile (per comodità un'ellisse o
circonferenza) e si danno le seguenti interpretazioni dei concetti primitivi:
• punto è un punto interno a K;
• retta è una corda di K estremi esclusi;
• piano è l'insieme dei punti interni di K.
Si costruisce un modello di geometria che soddisfa tutti gli assiomi della geometria euclidea (in
una forma più moderna data da Hilbert) tranne il quinto e per la quale valgono le prime 28
proposizioni del I libro degli Elementi: il quinto postulato è quindi indimostrabile a partire dai
primi quattro postulati e dalle prime 28 proposizioni, quindi è indipendente da essi; una geometria
basata sui primi quattro postulati e sulle prime 28 proposizioni non presenta alcuna contraddizione
logica.
Ma vediamo come si procede.
Le due rette PA e PB dividono le rette che intersecano la retta AB da quelle che non la intersecano;
vi sono perciò infinite rette passanti per P parallele ad AB; seguendo la definizione di Hilbert si
chiamano però parallele le rette PA e PB, le "separatrici" delle rette parallele da quelle non
parallele. Pertanto:
"Per un punto esterno ad una retta passano due rette parallele alla retta data".
La geometria non euclidea in cui vale il precedente postulato al posto del quinto di Euclide è detta
"geometria iperbolica".
N.B. Un altro modello di geometria iperbolica viene sviluppato da Poincarè: in tale modello si fissa una
circonferenza K; si chiama punto un punto interno alla circonferenza; si chiama retta l'insieme dei punti
di una circonferenza perpendicolare a K che sono interni a K.
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L’otre a bottiglia
Superficie chiusa unilaterale, cioè senza
esterno né interno, che può pensarsi
ottenuta dal quadrato, dato dai punti (x, y)
tali che 0£x£1 e 0£y£1, identificandone
i lati opposti in modo tale che (0, y) sia
identificato con (1, y) per ogni y e che (x, 0)
sia identificato con (1-x, 1). La figura così
ottenuta è, dal punto di vista topologico,
una superficie. Ogni suo punto ha infatti un
intorno omeomorfo a un intorno di un
punto nel piano ordinario. Per avere
un'idea della bottiglia di K., si pensi di
avere un quadrato di gomma. Si
identifichino innanzitutto i lati verticali del
quadrato. Si ottiene un cilindro. Le due basi
del cilindro corrispondono ai lati
orizzontali del quadrato che devono essere
ancora identificati. Perché una tale
identificazione possa verificarsi, si ripiega il
cilindro in modo che una sua base penetri
nella superficie e vada a identificarsi con
l'altra base nel modo voluto. La bottiglia di
K. è una superficie non orientabile.
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Presentazione realizzata da
Non-so-chi della II SBa