SISSA SCHOOL in Science Communication
Trieste 24 Maggio 1996:
Le Simmetrie
Che cos’é la
supersimmetria?
E’ l’operazione che scambia
i BOSONI con i FERMIONI
Una scoperta degli anni ‘70:
Breve Storia della Supersimmetria
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La nascita della supersimmetria può essere fatta risalire agli anni 1970-1971 quando,
indipendentemente, André Neveu (Francese) e John Schwarz (Americano) da una
parte, e Pierre Ramond (Franco-Americano) dall’altra, introducono un modello di
supercorda fermionico basato su algebre che contengono sia commutatori che
anticommutatori
L’algebra vera e propria di supersimmetria in quattro dimensioni spazio temporali
viene scoperta nel 1971 dai russi Gol’fand e Likhtman, ma rimane abbastanza
sconosciuta in occidente dove viene riscoperta da Bruno Zumino (Italo-Americano) e
Julius Wess (Tedesco) che ne trovano anche (e questa é la cosa più importante) la
prima realizzazione in un modello di teoria dei campi
Una realizzazione, ma non lineare, dell’algebra di supersimmetria viene trovata, negli
stessi anni, anche dai russi Volkhov e Akhulov.
Le teorie di campo supersimmetriche quantistiche vengono sviluppate negli anni 19741975, nei quali la nozione tecnica (molto utile, ma non indispensabile) di superspazio
viene introdotta da Abdus Salam e Joh Strathdee
Nel 1976 é la volta della gravità
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Nel 1976 Daniel Freedman (Americano), Sergio Ferrara (Italiano) e Peter
van Nieuwenhuizen (Olandese) riescono a rendere supersimmetrica la teoria
della gravità (la Relatività Generale di Einstein) introducendo un nuovo campo
di spin 3/2 che corrisponde ad un’ipotetica nuova particella denominata
gravitino.
E’ nata la teoria della Supergravità
Per questa scoperta teorica Freedman, Ferrara e van Nieuwenhuizen saranno
insigniti della medaglia Dirac 1994
La teoria introdotta da Freedman, Ferrara e van Nieuwenhuizen é riderivata in
una formulazione leggermente differente anche da Stanley Deser e Bruno
Zumino qualche settimana dopo il lavoro dei primi tre autori.
Negli anni 1976-1980 la teoria della Supergravità è sviluppata con assiduità da
ricercatori, italiani, olandesi, belgi, francesi, inglesi tedeschi ed anche americani
Dal 1980 al 1984.............
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in questo periodo si scopre che la dimensione spazio-temporale massima in cui
si può formulare la SUPERGRAVITA’ é D=11
Vi é un’intensa ricerca sulla supergravità in D=11 che oggi é nuovamante di
grande attualità sotto il nuovo nome datole dal fisico americano Edward
Witten di M-theory ovvero teoria del mistero (alternativamente delle membrane)
Nel biennio 1982-1984 si coltiva la speranza di ottenere l’unifcazione di tutte le
interazioni usando la Supergravità D=11 .
Si riutilizzano, in un contesto supersimmetrico, idee sviluppate 60 anni prima da
Kaluza e Klein circa l’origine del campo elettromagnetico dalle simmetrie dello
spazio-tempo nelle dimensioni eccedenti le quattro visibili.
Questo programma di ricerca conduce ad una ricca messe di risultati molto
interessanti, ma vi sono serie difficoltà a trovare modelli realistici. Vi sono tre
problemi in particolare: 1) La costante cosmologica troppo grande, 2) le
rappresentazioni sbagliate per i fermioni, 3) la non chiralità delle interazioni
di gauge
Ottobre 1984
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In questa data John Schwarz (americano) e Michel Green (inglese), in seguito
insigniti per questo di molti premi ed anche della medaglia Dirac, dimostrano che
la teoria supersimmetrica della corda in 10 dimensioni spazio temporali è
consistente quantisticamente perché si cancellano le anomalie.
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E’ nata TOE, the theory of everything, cioé la supercorda.
E’ supersimmetrica e vive in dieci dimensioni.
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La teoria delle corde era nata molti anni prima (nel 1968) con un lavoro di
Gabriele Veneziano (seguito da lavori dello stesso Veneziano con Fubini e poi
da molti altri). Si era sviluppata come teoria degli adroni e non delle
interazioni gravitazionali. Era stata reinterpretata successivamente in questo
senso da Scherck , Schwarz ed altri. La corda supersimmetrica nello spazio
tempo era stata ottenuta nel 1977 da F. Gliozzi (italiano), Joel Scherk
(francese) e David Olive (inglese).
Dal 1984 al 1994
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La teoria delle supercorde é stata sviluppata in tutte le direzioni con enormi
ricadute su tutti gli aspetti sia matematici che fisici della teoria.
Però il sogno di una predizione della struttura specifica della realtà fisica così
come la osserviamo alle energie attualmente accessibili é rimasto per il momento
sogno. Per quale motivo?
Perché la TOE possiede apparentemente una quantità grandissima di vuoti cioé di
stati di minima energia e per predire qualcosa bisogna scegliere un vuoto.
Nel contempo, però, la supersimmetria ha costituito una categoria mentale ormai
ineludibile in tutti gli sviluppi di teoria dei campi applicata sia alla fisica delle
particelle elementari che a sistemi di materia condensata o nucleari.
Dal 1994 nuovi eccitanti sviluppi sono in corso in teoria delle corde e teorie
supersimmetriche: si é cominciato a capire come trattare la corda non
perturbativamente e come i tanti vuoti sono forse tutti collegati tra di loro, quali
regioni diverse dello stesso supervuoto!
Un giornalista deve,
giustamente... Ma che
vuol dire ?
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interessarsi dell’aspetto storico,
sociale ed umano della Scienza
perciò ho delineato brevemente la
storia dell’argomento.
Tuttavia, se ci si limita a questo, il
rischio é di ridurre tutto ad un
elenco di parole d’ordine il cui
significato sfugge sia al divulgatore
che al suo lettore.
Più che raccontare i risultati
ottenuti dagli scienziati sarebbe
forse utile cercare di comunicare al
pubblico la natura dei problemi da
essi affrontati.
gauge
.........
Spin,
Campo,
fermione,
bosone.
Fermioni e bosoni si differenziano per
il tipo di spin
Lo spin é il momento angolare
intrinseco delle particelle elementari
Valore dello spin =numero intero
BOSONE
Valore dello spin = numero semi intero
FERMIONE
Quale struttura concettuale presiede a questa strana
distinzione?
Alla base c’e’ il concetto di....
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Gruppo delle rotazioni
Rappresentazioni lineari del medesimo
Le particelle elementari si classificano in base a
molte proprietà di simmetria. Ogni simmetria é un
gruppo.
Il gruppo delle rotazioni ha due speci diverse di
rappresentazioni, intere e semintere.
A questa distinzione geometrica corrisponde una
distinzione di ruolo dinamico
Una distinzione di ruolo dinamico
I Fermioni sono i costituenti
della materia:
Leptoni
s=1/2
elettrone
mu
tau
neutrini
I Bosoni sono i mediatori delle
forze che “incollano” la materia
Quarks
s=1/2
up
Interazioni
gluoni: s=1
down
forti
m=0
Interazioni
fotone: s=1
elettrodeboli
m=0
strange
charm
bottom
top
Gravità
gravitone : s=2
m=0
W,Z: s=1, m>0
La distinzione più importante tra
bosoni e fermioni é..................

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La statistica.
I BOSONI ubbidiscono la
statistica di BOSE EINSTEIN
I FERMIONI ubbidiscono la
statistica di FERMI-DIRAC
Come conseguenza di
quest’ultima per i fermioni vige
IL PRINCIPIO di
ESCLUSIONE di PAULI

E’ sopratutto a causa di
quest’ultimo che la materia é
dura e come la conosciamo
Il sistema periodico degli elementi é una conseguenza del
Principio di Esclusione. Due elettroni non possono stare
nello stesso STATO dinamico, perché sono fermioni. Perciò
si dispongono via via nelle caselle disponibili e...........
Non ho ancora spiegato lo spin,
ma la statistica..................
• é un concetto più facile da
illustrare.
•Consideriamo un insieme di N
particelle (qualunque cosa ciò
significhi).
•In meccanica classica
descriviamo lo stato del sistema
dicendo, di ciascuna particella, in
quale stato di moto ella si trova.
•la particella Pino si trova costì
ed ha la velocità tale, la particella
Giovanni si trova colà ed ha la
velocità tal altra e così via.
•nel mondo quantico tale dovizia di
particolari è priva di senso, poichè le
particelle sono indistinguibili.
•Lo stato del sistema si descrive
enumerando prima gli stati disponibili
e dicendo poi quante particelle si
trovano in ciascuno di essi
•Di qui nasce il concetto di NUMERO
di OCCUPAZIONE
Precisamente
LA STATISTICA vuol dire:


La funzione d’onda deve essere, per i fermioni completamente
antisimmetrica, per i bosoni completamente simmetrica
Spiegazione: In Meccanica quantistica la funzione d’onda
....,n), é un numero complesso il cui modulo da la
probabilità che le n-particelle siano negli stati ....,n

rispettivamente.
La statistica richiede che sotto un qualunque scambio:
 i
j
 i
j
La funzione d’onda si comporti come segue
 1,, i , j ,, n  
B.E. +
F.D. -
Uno scambio

 1 , j , i ,, n 
La scelta di questo segno distingue le due statistiche. Per quella di Bose
Einstein (simmetrica), la funzione può essere diversa da zero anche con
due o più argomenti uguali. Per quella di Fermi Dirac invece essa si annulla
ogni volta che ha due argomenti uguali. Quindi la probabilità che due
fermioni siano nello stesso stato é zero!
All’ albergo Fermioni chi arriva tardi deve alloggiare
ai piani superiori, più costosi, energeticamente.....!
Mi dispiace, signor elettrone, ma
abbiamo solo camere singole. La
prima libera é al quarto piano
All’ albergo Bosoni c’é sempre posto. E la camerata
(lo stato fondamentale) é aperta a tutti i poveretti
Non c’è problema, signore.
Abbiamo sempre posto. Se
vuole spendere poco,
abbiamo la camerata
SPIN
STATISTICA





Un teorema molto profondo
della Teoria dei Campi
quantistica deduce:
da causalità, principio di
relatività e poco più
un legame tra spin e statistica
CAMPI con spin intero
ubbididiscono alla statistica di
Bose Einstein
CAMPI con spin semintero
ubbidiscono alla statistica di
Fermi Dirac
NO !
giovanotto
Teoria dei campi
quantistici é un
corso del
quart’anno ed io
non ho ancora
dato l’esame.
Posso iniziare la
tesi, lo stesso
data la mia età?
Un esempio spettacolare di conseguenza del
Principio di Pauli é dato dalle stelle Nane Bianche
Una stella comincia la sua vita come una grande massa fredda di gas, parte di una nebula come
la grande Nebula in Orione (foto di sinistra). Sotto effetto della gravità si contrae e si scalda fino a che
si innescano le reazioni termonucleari e l’idrogeno viene fuso in elio. In questo stato
(detto di sequenza principale) una stella media, come il nostro sole, brilla e dura circa 10 miliardi di anni.
(foto al centro). Quando tutto il combustibile é bruciato stelle come il sole finiscono la loro esistenza
come nane bianche: stelle densissime, caldissime che emettono pochissima luce, molto bianca.
Stelle più grandi finiscono invece esplodendo come supernovae.
Una é mostrata nella Grande Nube di Magellano (foto a sinistra)
Se si fa un diagramma della popolazione stellare con la
temperatura in ascissa e la luminosità (o massa) in ordinata si
ottiene la figura seguente. Le nane bianche sono
anormalmente piccole e caldissime, perché?
La risposta é il Principio di
Esclusione






Bruciato tutto il suo combustibile la stella è un ammasso di elio spento e nulla più può
contrastare la gravità che forza la stella a contrarsi.
Contraendosi la stella diventa così densa che ad un certo punto gli elettroni di tutti gli
atomi di elio sono così vicini l’uno all’altro da formare un unico gas.
La stella aveva la massa del sole e quindi gli elettroni sono in numero enorme. La
stella non ha più energia da regalare agli elettroni ed essi vorrebbero stare tutti allo
stato energetico più basso possibile.
Ma l’albergo dei fermioni ha solo camere singole. Così gli elettroni riempono tutti gli
stati energetici a partire dal più basso a salire fino ad accomodarsi tutti senza lasciare
buchi.
La gravità vorrebbe comprimere ancora, ma più di così non si può, data la regola
delle camere singole.
La stella si comporta come un gas allo zero assoluto, ma la sua temperatura é milioni
di gradi, perché? Perchè essendo tanti gli elettroni, per sistemarli tutti ce n’e’ un
numero apprezzabile in stati energetici molto elevati.
Osservazioni sulla comunicazione delle idee
scientifiche nei media......
Ho controllato come il concetto di SIMMETRIA é spiegato in un paio Enciclopedie
commerciali su CD-ROM: su ENCARTA 96 alla voce symmetry si legge:
In physics, a system is said to exhibit symmetry if it remains unchanged in the course
of operations such as mirror reversal, reversal in the direction of time, and spacetime translation. Many physical systems obey such symmetries, to which the
conservation laws of physics are also related. This relationship has come to be of
particular importance in the study of elementary particles.
Sull’enciclopedia vi è la voce gruppo, molto ben spiegata, ma la definizione di
simmetria é:
Symmetry, orderly, mutually corresponding arrangement of various parts of a body,
producing a proportionate, balanced form.
Non si dice 1) SIMMETRIA=GRUPPO 2) Non si menziona il GRUPPO delle
ROTAZIONI, la simmetria più famigliare, intuitivamente nota a tutti.
Sempre su ENCARTA 96............
Alla voce SPIN su ENCARTA 96 si legge: Spin, intrinsic angular momentum of a
subatomic particle. In particle and atomic physics, there are two types of angular
momentum: spin and orbital angular momentum. Spin is a fundamental property of all
elementary particles, and is present even if the particle is not moving; orbital angular
momentum results from the motion of a particle.
Nuovamente la parola gruppo e la parola rotazioni non sono menzionate.
ENCARTA 96 ha una voce Standard Model: .....In the standard model, the basic
fermions come in three families, with each family made up of certain quarks and
leptons.........Grand unification theories attempt to unify the strong and
electroweak interactions by assuming they are equivalent at sufficiently high
energies. The ultimate goal in physics is to formulate a Theory of Everything that
would unify all interactions-electroweak, strong, and gravitational.
Nuovamente le PAROLE SIMMETRIA, GRUPPO, RAPPRESENTAZIONE, non
sono menzionate.
Sempre su ENCARTA 96: Vi é persino una voce TOE ed
una descrizione delle superstringhe: ma............
Currently, the best candidate for a TOE is the theory of superstrings. In this theory,
everything in the universe - all particles and perhaps space-time itself-consists of
fantastically small strings under immense tension, vibrating and spinning in a
ten-dimensional superspace. The ten dimensions are mathematically necessary
to avoid tachyons (faster-than-light particles) and ghosts (particles produced with
negative probability). Six of these ten dimensions are thought to be
compactified, or curled up into tiny circles, and thus rendered unobservable.
Different elementary particles correspond to different quantized modes of
oscillation of the strings....................
Nessun accenno alla Supersimmetria (la ragion d’essere delle
superstringhe) ma un riferimento al Superspazio ( un qualche
grande spazio che fa notizia!). Ma il superspazio é nozione
tecnica legata alla supersimmetria....
Che cosa si deduce da questo
esempio?



Vi é spesso un equivoco di fondo su quale sia il contenuto
principale delle teorie scientifiche da divulgare.
Il divulgatore ritiene che il messaggio da comunicare sia una
descrizione degli ingredienti specifici di un modello (l’elenco ad
esempio delle particelle elementari) la cui definizione egli ritiene
sia sufficientemente implicita nel loro nome (e’ il caso sia delle
particelle che della definizione di simmetria...!)
Il messaggio che si dovrebbe divulgare è invece l’insieme di idee
su cui la teoria si fonda. Invece delle scelte specifiche
dell’ultimissimo modello si dovrebbero spiegare le categorie
mentali nel cui linguaggio é formulata la teoria. Esse sono sempre
di natura matematica, ma appunto per questo............
Il linguaggio della matematica
é.....universale e....

e le idee in esso espresse dovrebbero essere
comunicabili.............

Descrivere il modello standard senza parlare di
gruppi di gauge e rappresentazioni, ma
elencando le particelle elementari è come:

Descrivere il Gioco del Bridge elencando le possibili
aperture in qualche sistema di licitazione ma omettendo
di dire che esso é un gioco di carte
Quali sono le carte con cui si gioca alla
FISICA delle PARTICELLE ed
all’UNIFICAZIONE?


Particella
Simmetria

Tipo di particella


Spin

 Supersimmetria



Campo quantistico
Gruppo e sua Algebra
Rappresentazione del
gruppo e dell’algebra
Rappresentazione del
gruppo delle rotazioni
Superalgebra
GRUPPO delle ROTAZIONI
Rotazione
Un gruppo é un insieme i cui
elementi sono operazioni di
trasformazione che possono
essere eseguite in sequenza
Il prodotto di due elementi del
gruppo é......
La sequenza delle
due trasformazioni:
R1
A
R2
In genere il prodotto non
é commutativo
A
R3=R2R1

Il GIOCO delle permutazioni: I semi delle carte da
gioco sono
4: li possiamo disporre in 24 modi....
Ordiniamoli nell’ordine di rango
Un qualsiasi altro dei 24 modi
diversi di disporli si ottiene da
quello iniziale con
un’operazione di permutazione
Il prodotto di due permutazioni è
la sequenza delle due
operazioni












L’insieme delle permutazioni di 4 oggetti forma un
GRUPPO con 24 elementi
Perché GRUPPO?
perché é vero che:


1) Esiste l’elemento identità , cioé tra i 24 elementi c’e’
la permutazione E che lascia le cose come stanno.
2) Per ognuna P delle 24 permutazioni esiste tra le 24
l’elemento inverso , cioé una compagna P -1 che se
applicata dopo P rimette le cose a posto, come stavano
prima di far agire P . Si ha cioe’ P -1 P = E

3) Il prodotto di due qualunque di 24 elementi é uno fra

gli stessi 24 elementi.
4) La differenza tra questo gruppo e quello delle rotazioni é che
quest’ultimo ha un numero infinito e continuo di elementi
IL GIOCO delle Rappresentazioni:
Torniamo alle permutazioni dei 4 semi delle carte ed
inventiamo il seguente gioco. Disponiamo in un modo
qualunque i quattro semi in uno schema a quattro caselle
della seguente forma:
ad esempio


oppure:





oppure,..... altri 24 modi !
Così avremmo creato 24 oggetti, ma ora stabiliamo delle
regole identificano alcuni tra di essi.

LE REGOLE di identificazione
del gioco:
1) Regola del gioco: La seguente somma é nulla







-

+





-


=

0
2) Regola: Qualunque scambio sulla verticale, cambia il segno




= -





=



Provare per credere....

Con le regole stabilite restano soltanto tre schemi
indipendenti.

A=




,
B=




,
C=



Qualunque altro dei 24 schemi si riduce a uno di questi
tre od ad una somma algebrica di questi tre usando le
due regole precedenti.
Ora possiamo vedere che succede

ad A,B,C se agiamo su di loro con una
qualunque permutazione. Ad esempio......









=










= A-B+C

=
Se chiamiamo P12 la permutazione che.....
che scambia i primi due oggetti, cioe’, partendo
dall’ordinamento per rango, le picche con le cuori
abbiamo trovato che:
P12 A=A-B+C
P12 B=-B
P12 C=-C
ed analogamente si trova che
La stessa cosa si può fare per ogni altra
delle 24 permutazioni P . L’immagine sotto
P di A,B,C è una qualche somma
algebrica degli stessi tre oggetti
Chi ha capito questo gioco....

Ha capito che cos’e’ una rappresentazione lineare di
dimensione d. (=3 nel nostro caso) di un gruppo con N
elementi

Si costruisce un insieme D i cui elementi sono combinazioni
lineari di d colori base. (A,B,C, nel nostro caso). Cioé :
elemento di D = a A + b B + c C (dove a,b,c sono numeri)

L’immagine sotto ogni trasformazione P del Gruppo di ogni
elemento di x dell’ insieme D é un altro elemento
dell’nsieme di maniera però che

P(x+ y)= P(x)+ P(y)
Ogni gruppo ha varie
rappresentazioni diverse



Il gruppo delle permutazioni di quattro elementi
ha due rappresentazioni di dimensione uno, due di
dimensione tre (ne abbiamo costruita una !) ed
una di dimensione due
I gruppi infiniti e continui come il gruppo delle
rotazioni hanno infinite rappresentazioni di
dimensione che man mano cresce.
Il momento angolare é il codice che identifica le
varie rappresentazioni del gruppo delle rotazioni
Invarianti e rappresentazioni


La superficie che é
invariante per tutte le
rotazioni é la sfera.
i punti della sfera sono
identificati da due angoli
Le armoniche sferiche: un altro
gioco delle rappresentazioni

Possiamo considerare le funzioni
complesse sulla sfera f(p)

Ad ogni punto della sfera p associamo
un numero complesso z=x+iy=f(p) .
Questo vuol dire che z(p) é funzione
dei due angoli.
Se interpretiamo il modulo |z(p)| come
la lunghezza di un segmento sulla retta
che congiunge l’origine con il punto p
della sfera, gli estremi di tali segmenti
formano una superficie che visualizza
in parte la funzione
Solo in parte, perché c’e’ anche la fase
di z=x+iy=f(p), ma per visualizzarla
occorrebbero più dimensioni
CI SONO certe funzioni sulla sfera......



Distribuzione del modulo delle
Armoniche sferiche di momento
angolare L=1 Terza componente m=0
Qualsivoglia funzione sulla
sfera........

si può scrivere come una somma di
certe funzioni: Ylm(p) dove

l=0,1,2,........,infinito
e per ogni valore di l :
m= -l,-l+1,...,0,1,...l-1,l



la cosa importante é che ruotando la
sfera ogni funzione Ylm(p) diventa
una somma delle altre 2l+1
funzioni con lo stesso l ,ma m
diverso: RAPPRESENTAZIONE

l è il momento angolare intero
Armonica l =2, m=0
Le altre sono, per l=2, et cetera..
L=2 ; m=1
L=2, m=2
Finalmente la supersimmetria...


Come abbiamo detto la supersimmetria scambia
bosoni e fermioni. Che significa?
Vuol dire che esiste un operatore Q (la carica di
supersimmetria) che applicato ad uno stato
contenente sia bosoni che fermioni distrugge un
bosone e crea un fermione.
Q
Fermione
Bosone
Q
C’é anche la carica coniugata

Inoltre esiste un operatore Q+ (la carica di
supersimmetria coniugata) che applicato ad uno
stato contenente sia bosoni che fermioni fa
l’opposto, cioé distrugge un fermione e crea un
fermione.
Q+
Bosone
Fermione
+
Q
Su di un generico stato si ha.....
Q Q stato  0 ; Q  Q  stato  0
mentre
Q  Q stato  Q  Q  stato = Estato stato
Dove Estato é l’energia dello stato e, per costruzione l’immagine
di uno stato sotto Q o
Q stato  stato
Q stato  stato
Q+ é un altro stato/:
e la somma di due stati é uno stato
Lo spazio degli stati..........

Anche in meccanica classica esiste uno spazio degli stati di un sistema fisico.
Approssimativamente un punto in questo spazio é assegnato specificando le
posizioni e le velocità di tutte le particelle che compongono il sistema.
In meccanica quantistica , uno stato é descritto da una funzione (o delle
posizioni, o delle velocità) il valore del cui modulo é la probabilità, che, se si
misurano le posizioni (o velocità) delle particelle, si trovino esattamente quei
valori.
Tale funzione é la funzione d’onda (simmetrica per i bosoni ed antisimmetrica
per i fermioni) di cui abbiamo già parlato.
Lo spazio degli stati é uno spazio i cui punti sono le possibili funzioni d’onda

Il punto essenziale é che lo spazio degli stati é uno spazio vettoriale. Cioé:




Se  e sono due possibili funzioni d’onda ed a1 , a1 due
numeri, allora anche a1 a2 é una possibile funzione
d’onda
Meraviglia di Filosofo...........




Quello enunciato é il principio di sovrapposizione della Meccanica quantistica
ed é la ragione per cui possiamo parlare dell’operatore di supersimmetria Q
come di un operatore lineare sullo spazio degli stati
Nel libro MIND BRAIN and the QUANTUM il filosofo inglese Michael
Lockwood descrive così la propria meraviglia di fronte a questo concetto:
We should pause to reflect just how extraordinary this is. My having my jacket
on is a possible state. My having my jacket off is a possible state. According to
the superposition principle, then two-and-three quarters time jacket on plus six
times jacket off is also a possible state. Actually it gets worse. What I have so
far neglected to point out is that state space is a complex vector space......So six
times jacket on plus eight times the square root of minus one times jacket off is
also a possible state.
LA SUPERSIMMETRIA esiste già classicamente, ma il concetto di fermione a
livello classico é ancora più astruso del concetto quantistico di spazio degli stati
e senza fermioni non c’e’ supersimmetria.........DUNQUE!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Così come.........................
(2+3/4)
+
Jacket on
6
Jacket off
è un possibile stato del sistema fisico
Nello stesso modo..........


Se abbiamo un sistema di bosoni e fermioni
Uno stato del sistema può essere descritto da
stato  a1 n1b n1f  a2 nb2 n 2f  ak nbk n kf
dove ai sono numeri complessi e nbi n if
i
nb
i
nf
=
=è
uno stato puro :
E dove ni ed ni sono
b
f
i numeri di occupazione, bosonico e
fermionico, rispettivamente. I loro
valori possibili sono:
i
nb =0,1,2,3, .......,
mentre
i
n f =0,1
Perché l’albergo dei fermioni ha solo
!!!!
camere singole
Che fa dunque la supersimmetria?
Q
......
......
Q
......
=
Distrugge un bosone e crea
un fermione, ma se la
stanza fermionica é già
occupata, dà zero
=
0
L’anticarica fa l’opposto:
+
Q
......
=
+
Q
......
=
=
......
0
Distrugge un fermione e
crea un bosone, ma se la
stanza fermionica é già
vuota, dà zero
Supponiamo ora che ...........
ogni bosone porti un quanto di energia

B

B
ed ogni fermione porti un quanto di
energia 
F
Allora, l’energia totale di uno stato
sarà
 F


E=
B nB+
 F n
F
Nel caso in cui i due quanti fermionico e bosonico siano
uguali avviene che............
Il sistema é supersimmetrico
perché se uno stato
anche lo stato
Q
E, allora
stato
ha energia
stato
ha la stessa energia.
Togliere un bosone e rimpiazzarlo con un fermione non
cambia il valore dell’energia totale.
Questa verità può essere detta in un modo più
matematico, scrivendo una superalgebra!
Possiamo facilmente inventare un operatore che misura
l’energia, come segue
L’hamiltoniana ha un modo cruento di
misurare l’energia:
L’operatore H, misura l’energia così.
Uno alla volta uccide tutti i bosoni, prende il loro quanto di energia e
poi, prima di uccidere il prossimo ricrea il bosone appena ucciso.
Indi fa la stessa cosa con i fermioni. L’unica differenza é che in
ogni camera fermionica trova o nessuno od un solo fermione.
H
Un altro
quanto di
energia
nel sacco!
...............
A questo punto vediamo che
Tutto quello che abbiamo discusso fin ora può
riassumersi in relazioni algebriche tra gli operatori
 2
Q  (Q )  0
2
QQ   Q  Q  H
QH  HQ  0


Q H  HQ  0
E’ questa nella sua forma più
semplice la superalgebra di
supersimmetria. L’idea fondamentale
é che nei sistemi supersimmetrici
bosoni e fermioni hanno la stessa
energia (o massa). La distinzione di
ruolo dinamico tra materia e campi di
forza scompare. Riappare quando la
supersimmetria é spontaneamente
rotta
L’ oscillatore armonico ed i
quanti di energia


Per capire che cosa sono i
quanti di cui abbiamo parlato
prendiamo un sistema composto
da due oscillatori armonici, uno
bosonico ed uno fermionico
Classicamente un oscillatore
armonico è una particella

soggetta ad una forza che cresce
linearmente con la distanza
V(x) = - k x2
F
é l’energia
potenziale
-x
0
x
Classicamente l’oscillatore....
Oscilla avanti ed indietro attorno alla
posizione di equilibrio (x=0)
E2
Se ha energia E
raggiunge una
certa elongazione
massima X che è
maggiore tanto
maggiore é
l’energia
E1
-X2
-X1
0
X1
X2
Quantisticamente, invece.......
Si può solo definire l’ampiezza di probabilità
che l’oscillatore si trovi qui piuttosto che colà
In uno stato di energia E definita
tale probabilità non cambia nel
tempo.
Però i possibili livelli di E sono
quantizzati:
E =n+1/2) ; n=0,1,2,3,........
Quanto
Per l’energia più bassa, la distribuzione
di probabilità é la curva rossa qui a
fianco
Per livelli più alti di E si ha.....
Come si vede,
crescendo E, la
probabilita’ si
estende
sempre più
esternamente
E=(3+1/2) ma resta costante
nel tempo
E=(4+1/2)
La probabilità invece varia....




nel tempo per stati che non hanno energia fissa,
ma sono somme di stati con energie diverse.
Ad esempio se prendiamo la somma degli stati
corrispondenti ai primi otto livelli
abbiamo .........
un film
Per un oscillatore armonico
fermionico...............
Non esiste nessuna descrizione in termini di
funzione d’onda nello spazio che si possa
visualizzare. L’oscillatore ha solo due stati
 diciamo SU, GIU’
 Ciò che conta é la superalgebra
 Di essa abbiamo rappresentazioni sui
campi, corrispondenti alle varie particelle
fondamentali, ma...............

Questo ormai ci porterebbe.........


In terre aspre, e selvagge, ma assai belle (per chi le apprezza!)
Pertanto Mister Fermion ringrazia per l’attenzione.

bye bye