Lezione 24
Modulazione d’ampiezza e frequenza
Programmazione per la Musica | Prof. Luca A. Ludovico
Modulazione
• Una modulazione è l’alterazione dell’ampiezza, della
frequenza o della fase di un oscillatore provocata da
un altro segnale.
• L’oscillatore che viene modulato è detto portante
(carrier), l’oscillatore che modula è detto modulante
(modulator).
• In questa lezione ci si soffermerà su 3 tipologie:
1. Modulazione d’ampiezza
2. Modulazione ad anello
3. Modulazione di frequenza
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24. Modulazione d'ampiezza e frequenza
Tipi di modulazione: confronto grafico
A scopo esemplificativo, mostriamo la modulazione di un segnale
sinusoidale tramite un altro segnale sinusoidale.
Si nota la variazione periodica rispettivamente del parametro di
ampiezza (AM) e di frequenza (FM) nel segnale risultante.
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24. Modulazione d'ampiezza e frequenza
Modulazione d’ampiezza
• La modulazione d’ampiezza è anche chiamata AM (da
amplitude modulation); una sua variante è la modulazione
ad anello, detta anche RM (ring modulation).
• Effetto: se la frequenza del segnale portante e del segnale
modulante sono sufficientemente alte si ha la comparsa di
frequenze nuove, che si aggiungono allo spettro della
portante.
• Tali frequenze vengono dette laterali, perché appaiono in
modo simmetrico sopra e sotto la frequenza della portante
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24. Modulazione d'ampiezza e frequenza
Confronto tra RM e AM
Segnale modulante:
bipolare
Ring Modulation (RM)
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24. Modulazione d'ampiezza e frequenza
unipolare
Amplitude Modulation (AM)
Modulazione d’ampiezza
• La modulazione d’ampiezza utilizza come segnale
modulante un segnale unipolare, che si ottiene dal
corrispondente segnale bipolare sommando una costante
detta DC Offset (o componente di corrente continua).
• Tramite questa tecnica, si ottengono 3 frequenze:
– la frequenza della portante fp
– la frequenza laterale f1 = fp – fm
– la frequenza laterale f2 = fp + fm
• Quali sono le ampiezze di ciascuna componente?
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24. Modulazione d'ampiezza e frequenza
Modulazione d’ampiezza
• La modulazione di ampiezza può essere effettuata sia con
segnali puramente sinusoidali (caso non reale), che con
segnali non sinusoidali (caso reale).
• Nel caso della modulazione di ampiezza con segnale
puramente sinusoidale si ha il segnale portante con
ampiezza di picco Ap e frequenza fp, con espressione
matematica
Vp = Ap · cos(2πfp·t)
• Il segnale che contiene l’informazione da trasmettere, con
ampiezza di picco Am, frequenza fm avrà come espressione
matematica la seguente
Vm = Am · cos(2πfm·t)
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24. Modulazione d'ampiezza e frequenza
Modulazione d’ampiezza
• Con la modulazione di ampiezza, si ottiene un segnale
modulato con ampiezza pari a
Ap + Am · cos(2πfm · t)
• Si nota che il valore di ampiezza oscilla tra i picchi
Ap + Am e Ap – Am. Se Ap > Am, ossia l’ampiezza della
portante è maggiore di quella della modulante, l’ampiezza
minima è sempre e comunque positiva.
• Pertanto l’espressione matematica del segnale modulato
in ampiezza è
VAM = [Ap + Am · cos(2πfm · t)] · cos(2πfp·t)
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24. Modulazione d'ampiezza e frequenza
Indice di modulazione per AM
• L’indice (o profondità) di modulazione è il rapporto tra le
ampiezze di modulante e portante, e si esprime come:
I = Am / Ap = Am / dc
• Si possono distinguere tre casi particolari:
– I = 0 (in quanto Am = 0) → si trasmette solo la portante non
modulata in quanto è assente il segnale modulato;
– I = 1 (in quanto Am = Ap) → la portante è modulata al 100 %. Gli
inviluppi della parte positiva e di quella negativa del segnale si
toccano in un punto e si è al limite della distorsione.
– I > 1 (in quanto Am > Ap) → l’inviluppo non risulta più sinusoidale.
Si verifica il taglio dei picchi del segnale modulato per la
sovrapposizione degli inviluppi. E’ la cosiddetta sovramodulazione.
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24. Modulazione d'ampiezza e frequenza
Spettro del segnale modulato con AM
• Lo spettro del segnale AM è la rappresentazione
ampiezza/frequenza che indica la distribuzione delle varie
componenti che costituiscono il segnale in funzione della
frequenza, determinando così la banda occupata e la sua
allocazione nell’intera gamma delle frequenze.
• La banda di frequenza del segnale modulato ha
espressione matematica
B = 2 · fm
dove fm è la frequenza del segnale modulante.
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24. Modulazione d'ampiezza e frequenza
Spettro del segnale modulato con AM
Componenti
Espressione
Freq
Ampiezza
Modulante
Vm = Am · cos(2πfm·t)
fm
Am
Portante
Vp = Ap · cos(2πfp·t)
fp
Ap
Modulato
VAM = (Ap+Vm) · cos(2πfp·t)
fp
Ap + Am · cos(2πfm·t)
Vsup = (I · Ap / 2) · cos[2π(fp + fm)·t] =
= (Am/2) · cos[2π(fp + fm)·t]
Laterale sup.
fp + fm I · Ap / 2 = Am / 2
Per definizione: I = Am / Ap
Vinf = (I · Ap / 2) · cos[2π(fp + fm)·t] =
= (Am/2) · cos[2π(fp - fm)·t]
Laterale inf.
fp – fm I · Ap / 2 = Am / 2
Per definizione: I = Am / Ap
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24. Modulazione d'ampiezza e frequenza
Modulazione ad anello
• La modulazione ad anello utilizza come segnale modulante
un segnale bipolare, che oscilla tra valori positivi e
negativi di ampiezza.
– In alternativa, la modulazione ad anello si ottiene moltiplicando
due segnali audio bipolari, ossia la portante per la modulante.
• Se il segnale modulante è nullo, in uscita non vi sarà
nemmeno la frequenza della portante.
– Questo non avviene per AM: anche se la modulante ha ampiezza 0,
la portante assume come ampiezza il DC offset
• Altra differenza con AM: il risultato di una RM non
contiene la portante, ma solo le frequenze laterali.
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24. Modulazione d'ampiezza e frequenza
AM con segnali complessi
• Se vengono moltiplicati segnali complessi anziché
semplici sinusoidi, si ottiene un suono il cui spettro
contiene frequenze somme e differenze di tutte le
componenti spettrali dei due suoni.
• Ad esempio, se ciascun suono ha 6componenti spettrali,
si avranno 6·6·2 o 6·6·3 componenti nel suono prodotto,
a seconda del tipo di modulazione d’ampiezza.
– Alcune componenti potrebbero avere la stessa frequenza,
soprattutto se fp e fm sono in rapporto armonico.
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24. Modulazione d'ampiezza e frequenza
Cenni matematici
• Base matematica: formule di Werner e di prostaferesi
• In trigonometria, le formule di Werner permettono di
trasformare prodotti di funzioni trigonometriche di due
angoli in somme e differenze di funzioni trigonometriche.
– Le formule inverse delle formule di Werner si chiamano formule di
prostaferesi.
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24. Modulazione d'ampiezza e frequenza
Cenni matematici
• Considerando sinusoidi di ampiezza unitaria, la terza
formula di Werner afferma:
sin(a) · sin(b) = 1/2(cos(a–b) – cos(a+b))
• Pertanto la moltiplicazione di due sinusoidi di frequenze a
e b dà come risultato un segnale composto da due
cosinusoidi (ossia due sinusoidi con fase diversa) la cui
frequenza è rispettivamente la somma e la differenza
delle frequenze originali.
• Questa è il risultato della modulazione ad anello.
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24. Modulazione d'ampiezza e frequenza
Cenni matematici
• Se una sinusoide viene resa unipolare, ossia
sin(b) → 1 + sin(b):
sin(a) · (1 + sin(b)) =
= sin(a) · sin(b)
+ sin(a) =
= 1/2(cos(a–b) – cos(a+b)) + sin(a)
In questo caso permane anche la frequenza della portante,
come previsto dalla modulazione d’ampiezza.
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24. Modulazione d'ampiezza e frequenza
Modulazione di frequenza
• Nella modulazione di frequenza il segnale modulante
bipolare viene sommato alla frequenza del segnale
portante.
– Se Am = 0, rimane solo l’oscillazione sinusoidale della portante.
– Se Am > 0, quando l’uscita del modulante è positiva la frequenza
modulata è più alta di quella base, quando è negativa rende la
frequenza modulata più bassa di quella base.
• Il massimo mutamento di frequenza che l’oscillatore
portante subisce è detto deviazione di picco (peak
frequency deviation).
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24. Modulazione d'ampiezza e frequenza
Spettro del segnale modulato con FM
• Con la FM si genera una serie (teoricamente infinita) di
coppie di bande laterali. Tali bande occorrono alle
frequenze:
fp + fm
fp – fm
fp + 2fm
fp – 2fm
fp + 3fm
fp – 3fm
…
…
• Tanto maggiore è la deviazione di picco, tanto più
l’energia si dispone sulle bande laterali e dunque queste
assumono ampiezza sufficiente per poter essere udite.
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24. Modulazione d'ampiezza e frequenza
Indice di modulazione per FM
• L’indice di modulazione è il rapporto tra la deviazione di
picco D e la frequenza della modulante fm:
I = D / fm → D = I · fm
• Effetto: all’aumentare dell’indice di modulazione I
aumenta il numero di bande udibili ma l’energia viene
sottratta alla portante e alle frequenze laterali ad essa
vicine.
• Formule pratiche:
– Il numero di coppie n che hanno più di un centesimo dell’ampiezza
della portante è n ≈ I + 1
– Larghezza di banda totale lb ≈ 2 · (D + fm)
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24. Modulazione d'ampiezza e frequenza
Effetti di tremolo e vibrato
• Negli esempi visti finora, la frequenza dell’oscillatore
modulante era sufficientemente alta da rientrare nel
campo di udibilità
• Se la frequenza modulante è molto bassa, gli effetti
percepiti non sono la comparsa di nuove frequenze,
bensì:
– nel caso di modulazione dell’ampiezza, una periodica lieve
variazione che prende il nome di tremolo (valore soglia 10 Hz);
– nel caso di modulazione della frequenza, una periodica lieve
variazione che prende il nome di vibrato.
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24. Modulazione d'ampiezza e frequenza
Importanza storica
• Le tre tecniche di modulazione sono state originariamente
utilizzate nella tecnica delle trasmissioni radio.
L’applicazione alla sintesi del suono è stata ideata nello
studio WDR di Colonia.
Tra i compositori più importanti: Karlheinz Stockhausen.
• Questi procedimenti sono stati ampiamente adottati nella
musica elettroacustica degli anni ‘50 e ‘60, con due
finalità:
– creare suoni complessi avendo a disposizione pochi oscillatori
– operare modifiche timbriche di suoni tradizionali, anche dal vivo
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24. Modulazione d'ampiezza e frequenza
ESEMPIO
Il codice esemplifica le tecniche di modulazione di ampiezza e ad anello. Con un
opportuno passaggio parametri alla funzione che realizza la modulazione di
ampiezza viene mostrato l’effetto di tremolo.
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24. Modulazione d'ampiezza e frequenza
ESERCIZIO
Si arricchisca la classe di metodi statici Modulations presentata nell’esempio
precedente con una funzione che implementi la modulazione di frequenza.
Si ricordi che per ottenere la modulazione di frequenza è necessario sommare i
valori in uscita dell’oscillatore modulante alla frequenza base dell’oscillatore
portante.
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24. Modulazione d'ampiezza e frequenza