Matematicamente.it Prova nazionale Invalsi matematica
ESAME DI STATO
ANNO SCOLASTICO 2010-2011
PROVA NAZIONALE
Prova di matematica
Scuola secondaria di I grado
Classe Terza
2011
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2011
SVOLGIMENTO
a. Risposta 27. Devi leggere la colonna che si riferisce al Numero di componenti 2, è alta fino al 27,
che leggi alla voce Percentuale di famiglie.
b. Risposta 5. Devi leggere il valore dell’asse x (Numero di componenti) in corrispondenza al valore
dell’asse y (Percentuale di famiglie) 6%.
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a. Vero, addizionando 3 numeri dispari di ottiene un numero dispari, per esempio 3+5+7=15,
oppure 11+13+15=39, oppure 7+9+11=27. In generale sommando due numeri dispari si ottiene
un numero pari, aggiungendo un altro numero dispari si ottiene un numero dispari.
b. Vero, nei tre casi precedenti si ottiene sempre un multiplo di 3.
c. Falso, sommando due numeri dispari si ottiene un numero pari, sommando 3 numeri dispari
si ottiene un numero dispari.
d. Vero, si ottiene sempre il triplo del numero intermedio.
In generale indicato il primo numero dispari con 2N+1, il seguente è 2N+3, l’ultimo 2N+5.
Sommando i tre numeri si ha 2N+1+2N+3+2N+5=6N+9=3(2N+3) da questa formula si vede che
si ottiene il triplo del numero intermedio 2N+3.
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a. Risposta
Azienda A: 6°. Nel caso dell’azienda A, lo stipendio cresce di 1500 euro per anno dopo il 4°
anno, quindi 40.000-37.000=3.000, dopo altri 2 anni, in tutto al 6° anno.
Azienda B: 7°. La linea tratteggiata incontra la retta orizzontale dei 40.000 euro al 7° anno.
b. Risposta A.
c. Nell’azienda A percepirà 34.000+34.500+35.500+37.000+38.500+40.000+41.500+43.000+
+44.500+45.000=
Nell’azienda B percepirà 30.000+32.500 circa+…+35.000+… ogni anno percepirà di meno che
nell’azienda A.
Sono considerate corrette anche le risposte:
• Dopo 10 anni, l’azienda A gli darà uno stipendio di 46 000 euro, mentre l’azienda B gli
darà uno stipendio di 45 000 euro.
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Nell’azienda A guadagnerà 1 000 euro di più che nell’azienda B.
Azienda A: 37 000 + 1 500 × 6 = 37 000 + 9000 = 46 000. Azienda B: 45 000.
Perché nell’azienda A lo stipendio è più alto rispetto all’azienda B fin dall’inizio e così
rimane per tutti gli anni.
Sono considerate errate le risposte generiche del tipo:
L’azienda A gli darà uno stipendio di 46 000 euro.
Perché nell’azienda A guadagnerà di più.
Perché nell’azienda A lo stipendio è più alto.
Perché nell’azienda B guadagnerà di meno.
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Risposta C
Si tratta di una simmetria assiale, l’asse dovrebbe essere in prossimità della lettera H. In ogni
caso si vedrà prima la lettera L a specchio e poi la lettera H.
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Risposta 70
Poiché vanno alla stessa velocità e Caterina aveva già fatto 20 vasche quando Giovanni ha
iniziato, quando Giovanni fa 50 vasche Caterina ne avrà fatte sempre 20 di più, quindi 70
vasche.
Risposte valide tra 4,5 cm2 e 5,7 cm2.
Prendi come misure la lunghezza di AB. Prolunga AB, traccia la perpendicolare per C ad AB e
misura il segmento di perpendicolare che corrisponde all’altezza del triangolo. Per calcolare
l’area AB x CH :2.
Risposta corretta: Lo studente deve mostrare di aver misurato correttamente almeno un lato e
l’altezza relativa e applicato la formula dell’area (oppure tutte e tre i lati nel caso abbia
applicato la formula di Erone).
Sono accettati errori di ± 1 mm sulle seguenti misure (riferite all’opuscolo della prova):
AB = 5,0 cm h1 = 2,0 cm
BC = 7,3 cm h2 = 1,4 cm
AC = 2,9 cm h3 = 3,5 cm
Lo studente, nel calcolo dell'area, deve utilizzare misure entro i valori indicati, mostrando così
di aver misurato correttamente un lato e l'altezza relativa.
Risposte errate: correttamente la formula per il calcolo dell’area, ma fa errori di calcolo oppure
le misure effettuate non sono corrette. Lo studente prende le misure in modo corretto, ma il
lato misurato e l’altezza relativa non si corrispondono oppure sbaglia ad applicare la formula
dell’area.
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Risposta B
Antonio 11x2-9=13
Giada 6x2-14=-2
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Risposta Negozio B
Motivazione. L’offerta “compri 3 e paghi 2” corrisponde allo sconto di 1/3 cioè del 33%, perciò
l’offerta del negozio B del 40% è migliore.
Sono accettate le seguenti risposte corrette:
• Se una bottiglia di olio costa 10 euro, nel negozio A pagherebbe 20 euro per tre bottiglie,
mentre nel negozio B pagherebbe 18 euro.
• L’offerta del negozio A corrisponde a uno sconto del 33%.
• Con il “3×2” pago il 66% (o circa il 66%), mentre con l’altro pago il 60%.
• 3 : 2 = 100 : x
x = 200 : 3 = 66%, quindi 33% di sconto
• Con il “3×2” se ne compro 3, una bottiglia me la regalano, mentre se ne compro 3 con lo
sconto del 40% me ne regalano quasi 1 e mezza, sicuramente un po’ più di una.
Sono considerate errate le risposte generiche
Perché il 40% è di più.
Perché il negozio B è più economico.
Lo sconto del 40% è maggiore del “3×2”.
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a. Falso. L’area dei poligoni regolari si ottiene con la formula A = l 2 × ϕ , per l’esagono ϕ vale
circa 2,598. Supponendo che il lato misuri 1, Il dodecagono contiene 6 quadrati di area 1 più 6
triangoli equilateri. Quindi già l’area dei quadrati supera l’area dell’esagono. L’area del
dodecagono è di gran lunga maggiore del doppio dell’area dell’esagono.
b. Vero. Per il triangolo equilatero ϕ vale circa 0,433 che è proprio 1/6 del valore di ϕ
dell’esagono. Senza ricorrere a queste formule, si può osservare che l’esagono si compone
esattamente di 6 triangoli equilateri di lato 1.
c. Falso. Il triangolo equilatero ha la stessa base del quadrato ma ha altezza inferiore al lato del
l
quadrato, infatti l’altezza del triangolo equilatero è data dalla formula h =
3 poiché l=1, si
2
ha h =
3 1,73
≈
= 0,866 .
2
2
d. Vero. L’esagono ha sei lati di misura l, il dodecagono ha 12 lati di misura l.
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Risposta C
Il segmento più corto è CD ciò significa che si fa un dislivello di 100m su un percorso più breve.
In generale più è corto il segmento più è ripida la strada.
Sono considerate corrette le risposte:
•
Il segmento più corto vuol dire che salgo della stessa quantità (altitudine, altezza,..) in
meno strada.
•
Il segmento più è lungo, più vuol dire che faccio tanto strada per salire sempre di 100
metri, quindi è meno ripido.
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•
Perché da C a D salgo di 100 m solo in 8 mm (o in 800 m). (In questo caso lo studente usa la
scala sulla carta millimetrata)
•
Perché da C a D salgo di 100 m solo in 6 mm (o in 600 m).(In questo caso lo studente usa la
misura presa con il righello.)
•
Perché gli altri segmenti salgono di 100 metri con più lunghezza.
•
Nelle cartine, più le curve di livello sono vicine, più la pendenza è maggiore.
Sono considerate errate risposte generiche del tipo
Esempi di risposta errata:
• Perché è il più corto.
• Perché è lungo solo 800 metri (o 8 mm). (In questo caso lo studente usa la scala sulla carta
millimetrata)
• Perché è lungo solo 600 metri (o 6 mm). (In questo caso lo studente usa la misura presa
con il righello.)
In generale, è errato se lo studente fa riferimento soltanto al fatto che il segmento CD è il più
corto, ma non lo mette in relazione con l’altitudine.
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Risposta NO
Motivazione: Lanciando due monete si può avere una delle seguenti situazioni: TT, CC, TC, CT.
Nel caso di TT laverà i piatti Livia, nel caso di CC laverà i piatti Livia, nei casi TC e CT laverà i piatti
Lorenzo. Lorenzo ha quindi 2 possibilità su 4 di lavare i patti, mentre Livia e Marco hanno ciascuno
1 possibilità su 4.
Sono considerate corrette le seguenti risposte:
• Lorenzo ha più probabilità di lavare i piatti perché lui laverà sia che esca T e poi C, sia
che esca C e poi T.
• Marco e Livia laveranno i piatti solo se escono CC e TT, mentre Lorenzo sia se esce
TC sia CT.
• Marco: CC; Livia: TT; Lorenzo: CT o TC, quindi Lorenzo ha due possibilità mentre gli
altri solo una.
• CC o TT = ¼ oppure 25%; CT o TC = ½ oppure 50% o scritture equivalenti.
In generale, lo studente deve esplicitare perché la probabilità che esca TC (o CT) è diversa rispetto
alla probabilità che esca TT o CC.
Sono considerate errate le risposte generiche
• Lorenzo ha più probabilità di lavare i piatti.
• Le probabilità di lavare i piatti sono diverse.
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Risposta A
Se la scala è 1:5 per il lato, diventa 1:52 cioè 1:25 per l’area.
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Risposta C
Bisogna ricordare che la radice di 10 è quel numero che elevato al quadrato dà 10.
A è falsa perché 92 fa 81, quindi supera di molto 10.
B è falsa perché 52=25.
C è vera perché 32=9 e 42=16, poiché 10 è compreso tra 9 e 16, la sua radice è compresa tra 3 e 4.
D. errata, 100 è il quadrato di 10
Risposta D
27% di 350 corrisponde a
27
× 350 = 0, 27 × 350
100
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Atlanta – Chicago - Los Angeles costa 145,99+101,99=247,98
Atlanta – Denver – Los Angeles costa 130,49+71,50=201,99
Atlanta – Dallas – Los Angelse costa 171,35+90,99=262,34
Atlanta – Toronto – Los Angeles costa 200,01+50,00 = 250,01
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Risposta C
Sara ha intervistato solo gli student della sezione musicale della sua scuola, evidentemente molti
preferiscono la musica, non può da ciò dedurre che in tutta la sua scuola la materia preferita è la
musica, avrebbe quindi dovuto intervistare tutti gli student della scuola o un campione scelto
opportunamente.
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Risposta A
Si parla di una molla corta, quindi L0 deve essere 10 e non 80.
La molta è molto resistente alla trazione, ciò significa che si allunga poco all’aumentare del peso,
perciò il coefficiente K deve essere 0,5 che è minore di 7.
Risposta B
Elisa sbaglia perché 12=1 mentre 21=2.
Paolo ha ragione perché 24=42=16.
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Risposta 6
Per fare 1 litro occorrono 4 bicchieri, per fare ½ litro ne occorrono altri 2.
Risposta B
Si tratta di calcolare la superficie laterale del parallelepipedo, escludendo la faccia che appoggia
alle case e la faccia che appoggi per terra. Quindi, 5mx0,2m+2x5mx1m+1mx0,2m=1+10+0,2=11,2
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Risposta a. D
I maschi sono 35, gli iscritti al club 75.
Risposta b. 37/75. Infatti gli iscritti maggiori di 18 anni sono 37, gli iscritti in tutto sono sempre 75.
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Risposta C
Sono 5 segmenti di uguale lunghezza, ognuno di essi si calcola con il teorema di Pitagora. La
formula corretta del teorema di Pitagora è quella riportata nella risposta C.
Risposta 4,5
Si risolve con la proporzione 1,5 : 6 = x : 18, da cui x = 4,5
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Risposta B
Superficie del prato 4a ⋅ 2a = 8a 2
Superficie della piscina a ⋅ 2a = 2a 2
Differenza 8a 2 − 2a 2 = 6a 2
Risposta C
Si portano tutte le frazioni a denominatore uguale 20, i numeratori sono
Nel caso A: 6; 12; 3 che non sono in ordine crescente.
Nel caso B: 8; 12; 11 che non sono in ordine crescente.
Nel caso C: 10; 12; 13 che sono in ordine crescente.
Nel caso D: 14; 112; 13 che non sono in ordine crescente.
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Risposta A.
Dalla posizione A vede il lato corto a sinistra.
Dalla posizione B vede solo un lato dell’armadio
Dalla posizione C vede il lato lungo a destra e il lato corto a sinistra
Dalla posizione D vede solo il lato corto
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