Classificazione
Storia
Costruzione
Classificazione
Con il termine CONICA si indica la curva che si ottiene come sezione tra un cono
indefinito e un piano che non passa per il vertice del cono stesso.
Indichiamo con  l’angolo formato dal piano con l’asse del cono, e con  l’angolo
formato dall’asse con la retta generatrice del cono.
Se:
>
 = 90°
Ellisse
Circonferenza
=
Parabola
<
Iperbole
L’equazione generale di una conica è:
ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0
a,b,c,d,e,f  R
Coniche
Parabola
Definizione
Equazione
Formule
Casi particolari
Concavità
Coniche
Classificazione
Parabola
Definizione
Si dice parabola di fuoco F e direttrice d il luogo geometrico dei
punti P del piano equidistanti da F e da d.
y

F
x
d
Coniche
Classificazione

Parabola
Equazione
y=ax2+bx+c
y

x

y
x

x=ay2+by+c
Coniche
Classificazione
Parabola
Formule
y=ax2+bx+c
x=ay2+by+c
vertice V
(-b/2a ; -/4a)
(-/4a ; -b/2a)
fuoco F
(-b/2a ; (1-)/4a)
((1-)/4a ; -b/2a)
direttrice d
y=-((1+)/4a)
x=-((1+)/4a)
equazione asse
x=-b/(2a)
y=-b/(2a)
Coniche
Classificazione
Parabola
Casi particolari
y= ax2+bx+c
y

y
x
b=0

x
y=ax2+c
c=0
y=ax2+bx

y

x
c=0 e b=0
y=ax2
Coniche
Classificazione
Parabola
Concavità
a>0
y
a<0

y
x
y


x


y
x

x
Coniche
Classificazione

Circonferenza
Definizione
Equazione
Casi particolari
Formule
Coniche
Classificazione
Circonferenza
Definizione
Luogo geometrico dei punti P del piano aventi dal
punto fisso C , centro, distanza uguale al raggio, r.
Coniche
Classificazione
Circonferenza
Equazione
x2 + y2 + ax + by + c = 0
a,b,cR
Coniche
Classificazione
Circonferenza
Casi particolari
O
C(
x2 + y2 = r2
x2 + y2 + ax + by = 0
Coniche
Classificazione
Circonferenza
Formule
x2 + y2 + ax + by + c = 0
a, b, c  R
centro: C (a/2  b/2)
raggio: r= (a/2)2 - (b/2)2 - c
eccentricità: e = 1
Coniche
Classificazione
Ellisse
Definizione
Equazione
Grafici
Formule
Ellisse traslata
Coniche
Classificazione
Ellisse
Definizione
Luogo geometrico dei punti P del piano per i
quali è costante la somma delle distanze da
due punti fissi F1 e F2 , detti fuochi.
k
PF1+ PF2= k
R+
y
x
Coniche
Classificazione
Ellisse
Equazione canonica
x2
a2
+
y2
b2
=1
Caso in cui l’asse focale è l’asse x:
y
a: semiasse maggiore
b: semiasse minore
x
c: F1F2 / 2
Coniche
Classificazione
Ellisse traslata
Equazione dell’ellisse con assi || agli assi cartesiani e
traslata di vettore V(; ).
(x -
)2
a2
+
(y -
)2
b2
y
=1
vettore V (; )  centro C (; )
vertici: A’(a ; )
x
B’( ; b)
fuochi:
a>b
F1(+c ; ) ; F2(-c ; ) ; c2=a2+b2
a<b
F1( ; +c) ; F2( ; -c) ; c2=b2-a2
Coniche
Classificazione
Ellisse
Grafici
y
y
x
x
C(0;0) a>b
C(0;0) b>a
Coniche
Classificazione
Ellisse
Formule
a2 = b 2 + c2
Fuochi:
a>b  F1(-a2-b2 ; 0)
a<b  F1(0 ; -b2-a2)
F2(a2-b2 ; 0)
F2(0 ; b2-a2)
Intersezioni:  asse x  A (±a;0)
eccentricità: c/a
eccentricità: c/b
 asse y  B(0;±b)
L’eccentricità di un ellisse è il rapporto
costante tra la semidistanza focale e il
semiasse maggiore.
e =1  segmento
e =0  circonferenza
0<e<1  ellisse
Coniche
Classificazione
Iperbole
Definizione
Equazione
Formule
I. Equilatera
I. Traslata
Coniche
Classificazione
Iperbole
Definizione
Luogo geometrico dei punti P del piano per i quali è costante
la differenza delle distanze da due punti fissi F1 e F2 , detti
fuochi.
PF1- PF2 = k
k
R+
Coniche
Classificazione
Iperbole
Equazione
I caso
x2
a2
y2
-
b2
= +1
c = semidistanza F1 -F2
asse focale: 2c
II caso
x2
a2
-
y2
b2
= -1
Coniche
Classificazione
Iperbole
Formule
I caso: a > b
Vertici: ( a ;0)
fuochi: (a2+b2 ; 0)
II caso: a < b
Vertici: (0 ; b)
fuochi: (0 ; a2+b2)
asintoti: y= (b/a) x
eccentricità
e = c/a
e =1  segmento
e =0  circonferenza
0<e<1  ellisse
e>1  iperbole
Coniche
Classificazione
Iperbole equilatera: a=b
x2 - y2 = -a2

o
x2 - y2 =a2

asintoti: y =  x
c = a2
e = 2
Coniche
Classificazione
Iperbole traslata
Traslazione di vettore: v (  ; )
I caso: vertici: (  a ;  )
II caso: vertici: ( ;   b )
fuochi: (  c ; ) e = c/a
fuochi: ( ;   c) e = c/b
asintoti: y -  =  (b/a) (x- )
Coniche
Classificazione
Le coniche nella
storia
matematici greci
Apollonio
Coniche
Matematici greci
Le curve non venivano definite come luoghi del
piano che soddisfano una certa condizione,
ma con il seguente ordine:
tre categorie
luoghi piani
rette
cerchi
luoghi solidi
sezioni coniche
luoghi lineari
tutte le altre curve
Coniche
Storia
Apollonio (Biografia)
Apollonio Pergeo (Perga, Panfilia 262 a.C. ca. - ? 180
a.C.), matematico greco. Studiò le matematiche ad
Alessandria d'Egitto; scrisse di calcolo aritmetico ed
elaborò
i
fondamenti
della
disciplina
antenata
dell'attuale geometria proiettiva con le Coniche, opera
che constava originariamente di otto libri, di cui solo i
primi quattro sono giunti fino a noi scritti in greco,
mentre i tre libri rimasti dei quattro seguenti sono noti
solo attraverso traduzioni arabe. Apollonio fornì inoltre
un grande contributo all'astronomia greca, applicando
modelli geometrici al movimento dei pianeti.
Coniche
Storia
Pensiero di Apollonio
Elaborò gran parte di quella che noi oggi definiamo “geometria
analitica”. Considera 2 luoghi:
1)il luogo dei punti tali che la differenza dei quadrati delle loro
distanze da 2 punti fissi sia costante è una retta
perpendicolare al segmento che congiunge i punti.
2)il luogo dei punti tali che il rapporto delle loro distanze da 2
punti fissi sia costante (e diversa da 1) è un cerchio.
Definisce il cono come:
“Se una retta prolungatesi all’infinito e passante sempre per un
punto fisso, viene fatta ruotare lungo la circonferenza di
cerchio che non si trovo nello stesso piano del punto in modo
che passi successivamente attraverso ogni punto di quella
circonferenza, la retta che ruota traccerà la superficie di un
cono doppio”.
Coniche
Storia
Pensiero di Apollonio
Affermò che da un unico cono era
possibile ottenere tutte e tre le
varietà
di
sezioni
coniche,
semplicemente variando l’inclinazione
del piano d’intersezione.
Dimostrò che le proprietà delle curve
non cambiano, se intersecate in coni
obliqui o in coni retti.
Coniche
Storia
“Le coniche”
Trattati di Apollonio
(1°libro) Tratta le proprietà fondamentali
delle curve in maniera più completa e
generale di quanto fosse stato fatto negli
scritti degli altri autori.
(2°libro) Continua lo studio dei diametri
coniugati e delle tangenti.
(3°libro) Contiene molti teoremi notevoli, utili
per la sintesi dei luoghi solidi e per la
determinazione dei limiti.
(4°libro) Apollonio illustra in quanti modi le
sezioni coniche possono incontrarsi l’una con
l’altra.
Coniche
Storia
“Le coniche”
Trattato di Apollonio
(5°libro) Tratta i segmenti massimi e minimi che
si possono tracciare rispetto a una conica.
(6°libro) Abbraccia proposizioni concernenti
segmenti di coniche uguali e disuguali, oltre ad
altre questioni trascurate da altri autori.
(7°libro) Ritorna sull’argomento dei diametri
coniugati e contiene molte nuove proposizioni
concernenti diametri di sezione e le figure
descritte su di esse.
(8°libro)Tratta problemi simili.
Coniche
Storia
Costruzione delle coniche
Proviamo a costruire le coniche
usando un pallone da basket, una
torcia e un piano bianco sul quale
proiettare l’ombra del pallone.
Posizioniamo la torcia secondo
diverse angolazioni e osserviamo cosa
succede...
Coniche
Torcia a livello della
sommità della palla...
...Parabola
Coniche
Costruzione
Proiettando un fascio di luce
perpendicolare alla palla...
...Circonferenza
Coniche
Costruzione
Spostando la torcia verso
destra...
...Ellisse
Coniche
Costruzione
Spostando la torcia al di sotto
della sommità della palla...
...Iperbole
Coniche
Costruzione
Percorso logico
Classificazione
parabola
circonferenza
Storia
iperbole
ellisse
definizione
definizione
definizione
definizione
equazione
equazione
equazione
equazione
formule
casi particolari
formule
grafico
casi particolari
formule
i. equilatera
formule
i. traslata
ellisse traslata
concavità
matematici greci
Costruzione
Apollonio
parabola
pensiero
circonferenza
trattati di Apollonio
ellisse
iperbole
Coniche
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Coniche