Le macchine Matematiche
Classe 3D
a.s. 2011-12
Insegnante : Claudia Caroli
ANAMORFISMI
L'anamorfismo è un effetto di illusione ottica per cui una immagine
viene proiettata sul piano in modo distorto, rendendo il soggetto
originale riconoscibile solamente guardando l'immagine da una
posizione precisa
Il soggetto originale può essere una figura piana oppure un oggetto
tridimensionale. Nel secondo caso, l'osservatore dell'anamorfismo
percepirà la figura come tridimensionale. In altri casi la visione è
possibile utilizzando uno specchio curvo (ad esempio cilindrico o
conico).
Anamorfismo prospettico
La proiezione risulta molto deformata, e chi osserva da una posizione frontale può non
riconoscere l’oggetto proiettato.
Anamorfismi per riflessione
La superficie riflettente del cilindro retto genera una corrispondenza fra i punti (P e Q)
rispettivamente dei piani y e p, mediante la quale è possibile determinare quale
figura f deve essere disegnata sul piano p affinché un osservatore posto in S ne raccolga
una immagine g prefissata su y.
Anamorfismi per riflessione
Cono circolare retto e superficie riflettente.
TRASFORMAZIONI
Meccanismi per trasformazioni. Fra le numerose tecniche per produrre
trasformazioni prenderemo in esame quella che si avvale di sistemi
articolati o biellismi. Il meccanismo stabilisce una corrispondenza locale
tra i punti di due regioni piane limitate sovrapposte collegandole
fisicamente, e incorpora le medesime proprietà che caratterizzano la
trasformazione. Lo studio dello strumento permetterà quindi di
riconoscere il tipo di trasformazione che esso realizza: mentre il
puntatore percorre una figura geometrica disegnata su una delle due
regioni sovrapposte, il tracciatore disegna sull’altra la figura
corrispondente (trasformata). Puntatore e tracciatore possono essere
scambiati fra loro (biunivocità della corrispondenza). Oppure, il sistema
articolato possiede due puntatori dotati ognuno di due gradi di libertà:
non è nota alcuna figura iniziale, le figure che i puntatori disegnano
contemporaneamente (le regioni che essi “ricoprono” durante il
movimento) si corrispondono in una trasformazione.
Traslatore del Kempe
Il sistema è costituito da due parallelogrammi articolati aventi il lato CD in comune e
giacenti sul medesimo piano.
Uno dei lati opposti a CD (per es. BA) è fissato a p, l’altro è libero di muoversi (ha due
gradi di libertà).
Il sistema articolato pilota l’asta PQ (PQ ha lunghezza arbitraria ), scegliendo un punto sul
piano e portando su di esso il vertice P (o Q) del sistema articolato, automaticamente il
vertice Q (o P) individua il suo corrispondente nella traslazione caratterizzata in modulo,
direzione e verso dal vettore PQ (o QB).
Simmetria Assiale
Un rombo articolato ha due vertici opposti vincolati a cursori che scorrono entro una
scanalatura rettilinea s. Il biellismo ha due gradi di libertà: i vertici liberi del rombo (P e Q)
descrivono perciò due regioni piane (limitate) che si trovano in semipiani opposti aventi s come
origine comune. La posizione di P determina univocamente quella di Q (e viceversa). Dalla
semplice geometria del sistema meccanico si ricava subito che:
la retta PQ è perpendicolare ad s;
i punti P e Q sono equidistanti da s.
Perciò P e Q si corrispondono nella simmetria assiale ortogonale di asse s.
Se (per es.) P è vincolato a una traiettoria assegnata, Q descrive la traiettoria simmetrica rispetto
ad s
Simmetria Centrale
Il meccanismo è costituito da un rombo articolato ABCP con il lato BC imperniato al piano
del modello nel suo punto medio O.
L'asta AB è prolungata di un tratto BQ=AB.
La macchina realizza una corrispondenza tra due regioni limitate del medesimo piano in cui
P e Q sono sempre allineati con O; inoltre PO=OQ.
La trasformazione generata è la simmetria centrale con centro in O.
CONICHE
In matematica, e in particolare in geometria analitica e in geometria
proiettiva, con sezione conica, o semplicemente conica, si intende
genericamente una curva piana che sia luogo dei punti ottenibili
intersecando la superficie di un cono circolare retto con un piano.
Le sezioni coniche sono state studiate accuratamente in epoca
ellenistica intorno al 200 a.C.; i nomi tuttora in uso per i tre tipi
fondamentali di sezioni coniche sono: ellisse (la circonferenza ne è
un caso degenere), parabola e iperbole.
Tipi di sezioni coniche: i piani, intersecando il cono, descrivono
una circonferenza (in giallo), un'ellisse (in rosso), una parabola (in
blu) e un'iperbole (in verde)
Ellissografo a filo
Un filo di lunghezza l>AB è vincolato nei suoi estremi ai perni A e B. Mantenendo il filo teso
mediante la punta P di una matita si disegna l'ellisse di fuochi A e B e semiasse maggiore uguale
a l/2: infatti in ogni posizione si ha : PA+PB=l (cost.).
Ellissografo di Leonardo
Il meccanismo è costituito da un rombo articolato OABC di lato l il cui vertice O è imperniato al
piano del modello e il vertice opposto B, dotato di cursore, è vincolato a scorrere nella
scanalatura s, passante per O. Quando B scorre lungo la scanalatura i vertici A e C descrivono
insieme la semicirconferenza di centro O e raggio l, mentre ogni altro punto P delle aste dei lati
AB e BC descrive la quarta parte di una ellisse di centro O e assi di simmetria coincidenti con la
scanalatura s e con la retta r perpendicolare ad s per O. Durante il movimento i punti E ed F,
distanti l rispettivamente da A e da C descrivono ciascuno un segmento della retta r con un
estremo in O e lunghezza 2l.
La mostra è stata molto
interessante e ci ha consentito di
fare poi approfondimenti in
classe